— нелинейный дифференциальный оператор матричной структуры, действующий на множествах функций и ;
Q(Dt) — пространство функций состояния, удовлетворяющих граничным условиям;
R(Dt) — область допустимых значений параметров;
В — диагональная матрица, в которой все или часть элементов могут быть нулями;
— источники;
—, где D — область изменения пространственных переменных;
— интервал изменения времени t.
Входящий в соотношение (1.1) оператор — определяется уравнениями гидротермодинамики системы атмосфера — почва — вода, переноса и трансформации примесей, а также условиями на границах раздела.
Граничные и начальные условия записываются для конкретного физического содержания модели.
В частности, для математической модели переноса примесей в атмосфере, которая входит в состав уравнения (1.1) в качестве составной части, получаем уравнение
Эта модель учитывает процессы возможной трансформации веществ, турбулентного обмена и обменных процессов между природными средами: водой, воздухом и почвой.
В соотношении (1.2):
— концентрация примесей;
— вектор скорости с компонентами u,v,w в направлении пространственных координат соответственно;
μ и ν — коэффициенты турбулентности в горизонтальных (x1,x2) и вертикальном (х3 = z) направлениях;
индексом s отмечены операторы, действующие в горизонтальных направлениях;
— операторы трансформации примесей;
— источники примесей (одновременно учитываются источники естественного и антропогенного происхождения).
Отметим, что операции с вектором реализуются покомпонентно, т. е. уравнение (1.2) представляет собой систему n уравнений в частных производных. Оператор — в общем случае нелинейный. Он определяет скорость изменения концентраций ci за счёт химических и фотохимических реакций. Скорости вертикального движения частиц (оседания или всплытия) учитываются функцией w. Примеси — многокомпонентны, количество компонент — входной параметр модели. На практике параметр модели определяется количеством химических веществ, участвующих в реакциях.
Модель дополняется начальными и граничными условиями:
Здесь:
R1 и R 2 — некоторые операторы;
— источники и стоки примесей на верхней и нижней границах области D.
Для глобальной модели задаются условия периодичности всех функций на поверхности сферы, а для моделей на ограниченной территории — условия на поля концентраций на боковых границах области Dt.
Процессы взаимодействия примесей с подстилающей поверхностью, включая обменные процессы между воздухом, водой, почвой и растительностью, описываются оператором . Причем вектор концентраций включается в вектор-функцию состояния системы в целом, а коэффициенты уравнений (1.2) и граничных условий (1.4), (1.5), а также начальные условия (1.3), функции источников и константы скоростей газофазных реакций в операторе включаются в вектор параметров.
Отметим, что в вычислительных моделях [19] используется расширительное понятие параметров, включая в их число не только численные значения некоторых величин, но и алгоритмы их вычисления. Тогда в число параметров попадают схемы реакций, алгоритмы вычислений радиационных потоков тепла, коэффициентов турбулентного обмена, а также коэффициентов в моделях взаимодействия воздушных масс с подстилающей поверхностью.
Развитием представленных здесь подходов для построения дискретных аналогов моделей и вычислительных алгоритмов применяются вариационные принципы [19], использование которых дает качественно новую информацию о поведении математической модели.
Очевидно, что в процессе численного моделирования не должен потеряться смысл, заложенный в исходных постановках задачи, а результаты вычислений должны соответствовать реально протекающим процессам.
При решении практических задач всегда остро стоит проблема задания входных параметров и начальных данных, информация о которых, как правило, является отрывочной и неполной. Поэтому использование многомерных и многокомпонентных моделей, создавая иллюзию детального рассмотрения процесса, не способно выдать результаты, точность которых превышает точность исходных постановочных параметров. Каждая математическая модель только тогда может считаться состоявшейся, когда проведена оценка достоверности результатов ее использования.
1.4. Типизация выбросов загрязняющих веществ в атмосферу
Выбросы загрязняющих и токсичных веществ в атмосферу могут быть типизированы по разным параметрам:
— по времени формирования выброса (мгновенные, кратковременные, продолжительные);
— по пространственной протяженности выброса (локальные, компактные и протяженные);
— по степени турбулизации вещества (турбулентные и ламинарные);
— по наличию вещества в разных фазах (плазменные, газообразные или парообразные, жидкофазные или твердофазные, многофазные);
— по химической активности вещества (химически активные и пассивные).
В «чистом» виде при таких типизациях выбросы токсикантов встречаются сравнительно редко; обычно антропогенный выброс представляет собой комбинацию типов разных видов. Например, струйные течения (струи) включают в себя сочетание пространственно-временной типизации выбросов вдобавок к другим типизациям в зависимости от динамической и химической активности вещества, а также наличия одной или нескольких фаз состояния вещества.
Термики можно определить как компактные вихревые выбросы вещества разной степени химической активности, клубы — как турбулентные компактные объемы и т. п.
В терминах временной типизации, являющейся в наибольшей степени инструментально обоснованной, выбросы условно можно подразделить на мгновенные, продолжительные и кратковременные. Рассмотрим условия формирования и специфику таких выбросов.
Мгновенные выбросы возникают при чрезвычайно быстром выделении энергии и (или) вещества в окружающее пространство. При этом выброс формируется в виде тора с циркуляционным движением вещества относительно направления выхода рабочего тела. Подобные выбросы возникают при взрыве ядерного заряда, емкостей с углеводородным топливом в газовой фазе или перегретым паром, при взрыве детонирующего химического взрывчатого вещества (ВВ) и т. п. Распределение физических характеристик в таком выбросе имеет существенно неоднородный характер, и появившийся после взрыва тороидальный объем под действием сил плавучести начинает двигаться в атмосфере.
Продолжительные выбросы формируются в виде протяженных образований (струй) — объемов с неоднородным вдоль течения распределением динамических, тепловых и концентрационных характеристик. В зависимости от соотношения плотности вещества струи и вещества окружающего воздуха они либо всплывают, либо опускаются. Расчет характеристик струйных течений является хорошо изученным вопросом.
Кратковременные выбросы возникают в виде компактных клубов и термиков. Клубом называется турбулентный изолированный объем хаотически движущихся вихрей разного размера и ориентации. Растянутость по времени выхода рабочего тела и высокий уровень его турбулентности приводят к тому, что к моменту окончания выхода загрязняющих веществ в атмосферу формируется ограниченный объём практически однородный по составу с относительно небольшими отличиями размеров в разных направлениях. Термик отличается от клуба наличием кругового движения вещества относительно направления его движения.
Следует подчеркнуть условность разделения источников по продолжительности выхода рабочего тела. Это касается четкой временной границы, отделяющей мгновенные выбросы от кратковременных. На практике случается, что выброс, происходящий короткое время, формирует практически однородное пространственное распределение массовых, термодинамических и концентрационных характеристик. Такой случай может реализоваться при малом отличии плотности рабочего тела от плотности окружающей среды (инжекция газа при Т = Const, «взрывающиеся проволочки» и т. п.). Основным критерием кратковременности выброса в любом случае следует считать после прекращения действия источника наличие сильно турбулизованного, а потому хорошо перемешанного вещества в компактном объеме.
Применительно к вопросам математического моделирования основной характеристикой выброса, определяющей его рассмотрение как физического объекта, является его фазовое состояние [73]. В зависимости от этого применяется эйлеров, либо лагранжевый подходы. В свою очередь типизация газопарообразных выбросов по пространственно-временной и турбулентной характеристикам также важна, так как она определяет характер уравнений сплошной среды, описывающих возникновение и эволюцию подобных образований — либо это уравнения, характеризующие ламинарное поступательное или вращательное движение сплошной среды, либо уравнения типа Навье-Стокса, описывающие движение турбулентной компактной или протяженной области.
Выбросы загрязняющих и токсичных веществ, связанные с деятельностью человека, по характеру возникающего источника целесообразно подразделить на твердофазные (жидкофазные) и газообразные (парообразные). Причем для описания движения твердой (жидкой) примеси используются уравнения баллистики, для газовой или паровой — уравнения сплошной среды. В дальнейшем для сокращения записи будем указывать только газообразные и твердофазные выбросы, имея в виду, что все получаемые результаты пригодны и для паровых и жидких фаз, соответственно.
Отметим, что антропогенные твердофазные выбросы имеют преимущественно взрывное происхождение в отличие от парогазообразных, которые возникают от многих причин: при взрыве, испарении, горении и др. Наиболее важные для практических приложений газопаровые выбросы реализуются в виде струй, термиков и клубов — турбулизованных объемов, термодинамические и концентрационные характеристики которых отличаются от соответствующих характеристик окружающей среды.