не будет, — ответил Шалтай-Болтай. — Теперь мы действительно знаем, что утверждение Эпименида не может быть истинным, потому что будь оно истинно, это бы означало, что все критяне лгут всегда, не исключая и самого Эпименида, который, будучи критянином, тоже лжет всегда, следовательно, солгал и тогда, когда сделал это заявление. Так что, будь утверждение истинно, оно одновременно должно было быть ложным, что является противоречием.
— Но ведь это и есть парадокс! — воскликнула Алиса.
— Да нет же! Нет! — закричал Шалтай-Болтай. — Противоречие возникает лишь тогда, когда мы допускаем, что утверждение истинно. Если же считать, что утверждение ложно, никакого противоречия нет!
— Будьте любезны, объясните! — попросила Алиса.
— Что в нашем случае означает «ложное утверждение»? Это означает, что утверждение о том, что все критяне лжецы, не соответствует действительности. Другими словами, на самом деле как минимум один критянин хоть иногда говорит правду. Следовательно, из заявления Эпименида следует лишь то, что он солгал, потому что в действительности как минимум один критянин иногда говорит правду. И нет тут никакого парадокса!
— Это очень интересно! — сказала Алиса.
— Кстати сказать, — добавил Шалтай-Болтай, — если мы предположим, что Эпименид единственный на свете критянин и что это утверждение — единственное утверждение в его жизни — тогда только мы и придем к парадоксу! Тогда это будет похоже на то утверждение, которое я записал в твою записную книжку — утверждение, доказывающее собственную ложность.
— Раз уж речь зашла о парадоксах, — продолжал Шалтай-Болтай, — проведем еще один эксперимент. Не одолжишь ли мне снова свой блокнот?
Алиса протянула ему блокнотик и карандаш. Шалтай-Болтай что-то нацарапал в блокноте и вернул его Алисе со словами:
— Взгляни на страницу 11. Истинно или ложно написанное там утверждение?
Алиса открыла блокнот на одиннадцатой странице и прочла:
— 11 —
— Утверждение на странице 11 истинно
Алиса принялась размышлять над вопросом, который задал ей Шалтай-Болтай.
— Затрудняюсь с ответом, — произнесла она, наконец. — Мне кажется, что это утверждение может быть как истинным, так и ложным. Если оно истинно, то никакого противоречия нет, а если оно ложно, то я все равно не вижу никакого противоречия.
— Вот теперь ты совершенно права! — воскликнул Шалтай-Болтай. — Именно поэтому я и считаю тебя хамелеоном!
Алиса от изумления чуть дар речи не потеряла.
— Что это значит?!
— Только то, что иногда ты права, а иногда — не права. Точь-в-точь как хамелеон, который сегодня одного цвета, завтра — другого.
Алисе еще не приходилось слышать, чтобы слово «хамелеон« употребляли в таком необычном значении. Но тут ей вспомнилось, что Шалтай-Болтай вообще склонен обращаться со словами так, как ему заблагорассудится!
— Хочу тебе еще кое-что показать, — сказал Шалтай-Болтай. — Дай мне еще раз свой блокнот, пожалуйста.
Шалтай-Болтай взял у Алисы блокнот и на страницах 10 и 11 стер цифры 10 и 11 в записанных там фразах, а на место стертых цифр вписал соответственно 11 и 10. Получилось следующее:
— А теперь скажи мне, — продолжал Шалтай-Болтай, — истинно или ложно утверждение на странице 11?
Алиса думала-думала, и внезапно ее осенило:
— Ни то, ни другое, — воскликнула она. — Ведь это снова парадокс!
— Ты права! — сказал Шалтай-Болтай. — Но как ты это докажешь?
— А вот как, — принялась рассуждать Алиса. — Фраза на странице 11 утверждает собственную ложность, только не
— 10 —
— Утверждение на странице 11 ложно
—11—
Утверждение на странице 10 истинно
напрямую, а косвенным образом: она подтверждает фразу на странице 10, которая утверждает ложность фразы на странице 11. Таким образом, если утверждение на странице 11 является истинным, оно одновременно должно быть ложным, и если оно ложно, оно одновременно должно быть истинно. А это парадокс.
— Ты начинаешь делать успехи! — воскликнул довольный Шалтай- Болтай.
— Есть один парадокс, с которым я никак не могу разобраться! — сказала Алиса. — Может, вы поможете?
— Непременно помогу, — горделиво заявил Шалтай-Болтай. — Я могу решить любую головоломку, которая только была, и намного больше тех, которые еще только будут! Что там у тебя?
— Это головоломка про цирюльника, — ответила Алиса. — В одном маленьком городке живет цирюльник. Он бреет всех жителей, которые не бреются сами, и никогда не бреет жителей, которые бреются сами. Бреет ли цирюльник сам себя или не бреет?
— Это очень старая головоломка и до того простая, что тут и думать нечего! — ответил Шалтай-Болтай со смешком.
— Но я так и не нашла возможного ответа! — пожаловалась Алиса. — Я думала, думала, но ни к какому выводу так и не пришла! Если цирюльник бреет сам себя, то нарушает правило, брея того, кто бреется сам. Если он сам себя не бреет, то он один из тех, кто сами не бреются, а поскольку он бреет всех этих людей, то должен брить и самого себя. Так что в любом случае — бреется он или не бреется — мы сталкиваемся с противоречием! И тут уже не отделаешься утверждением, что «это не может быть ни истинным, ни ложным», потому что должен же он либо бриться, либо не бриться!
— Кто должен либо бриться, либо не бриться? — уточнил Шалтай - Болтай.
— Как это кто? Цирюльник, конечно!
— Какой цирюльник? — снова спросил Шалтай-Болтай.
— Естественно, цирюльник из этой истории! — ответила Алиса несколько нетерпеливо.
— Вот как? — сказал Шалтай-Болтай. — А кто сказал, что эта история правдива?
Алиса призадумалась.
— Послушайте, — сказала она наконец, — нам ведь дано, что цирюльник именно такой, как описано в истории. Мы не можем опровергать заданные нам условия головоломки!
— Ах, не можем? — довольно язвительно заметил Шалтай-Болтай, — даже если так называемые заданные условия противоречат сами себе?
Для Алисы это было что-то новенькое.
— Проблема в том, — продолжал Шалтай-Болтай, — что такого цирюльника нет, никогда не было и никогда не будет. Такого цирюльника просто не может быть, потому что если бы он был, его существование противоречило бы самому себе.
Алису такое объяснение не слишком убедило.
— Ну смотри же, — досадливо поморщился Шалтай-Болтай, — допустим, я бы утверждал, что был на свете человек, рост которого шесть футов и рост которого не шесть футов — что бы ты на это сказала?
— Очевидно, что такого человека не было, — ответила Алиса.
— Хорошо! А допустим, я бы утверждал, что был на свете цирюльник, который брился и не брился — что бы ты на это сказала?
— Что такого цирюльника просто не было, — ответила Алиса.
— Но ведь это и есть цирюльник из твоей истории! Такой цирюльник не может бриться и не может не бриться. Следовательно, такого цирюльника не может быть. Вот тебе и логика!
Это окончательно убедило Алису.
— Есть одна похожая задача, которая поможет тебе лучше понять проблему с цирюльником, — продолжал Шалтай-Болтай. — В одном городке живут два цирюльника — назовем их Первый Цирюльник и Второй Цирюльник. Нам известно, что Первый Цирюльник бреет всех жителей городка, которые не бреются сами, но ничего не сказано о том, что он не бреет и других жителей тоже. Что до Второго Цирюльника, то он никогда не бреет жителей, которые бреются сами, но вовсе необязательно, что он бреет всех жителей, которые не бреются сами. При таких условиях мы вполне можем допустить существование и Первого Цирюльника, и Второго Цирюльника и никакого противоречия здесь не будет.
— Тогда в чем тут загвоздка? — спросила Алиса.
— А загвоздки тут две: бреется Первый Цирюльник сам или не бреется? И вторая: бреется Второй Цирюльник сам или не бреется?
Алиса погрузилась в размышления.
— Первый Цирюльник бреется сам, а Второй Цирюльник — нет, — заявила Алиса, весьма гордая собой.
— Хорошо! Очень хорошо! — вскричал Шалтай-Болтай. — А можешь объяснить, почему?
— Потому что, — уверенно заговорила Алиса, — если бы Первый Цирюльник не брился сам, то он был бы одним из тех, кто сам не бреется, но раз он всех таких людей бреет, то должен брить и себя. Это противоречие. Следовательно, он бреется. Что касается Второго Цирюльника, то если предположить, что он бреется, то ему пришлось бы брить кого-то, кто бреется сам, а по условиям задачи он этого никогда не делает. Следовательно, Второй Цирюльник не может бриться.
— Мои уроки не проходят для тебя даром, — удовлетворенно заметил Шалтай-Болтай. — Должен сказать, что тебе невероятно повезло с учителем!
Алиса даже не знала, как на это реагировать. Уроки логического мышления, которые преподнес ей Шалтай-Болтай, и вправду оказались чрезвычайно поучительны. Но при этом, подумала Алиса, он вовсе не прочь слегка прихвастнуть при каждом удобном случае!
— Вы сказали, это поможет лучше понять старую головоломку про цирюльника, — напомнила Алиса. — Какая связь между этими двумя головоломками?
— Молодец, что спросила, — ответил Шалтай-Болтай. — Видишь ли, может существовать цирюльник вроде Первого Цирюльника, и такой цирюльник должен бриться сам. Вполне мог бы быть на свете и цирюльник вроде Второго Цирюльника, только вот бриться такой цирюльник не мог. Но Первый Цирюльник и Второй Цирюльник не могут быть одним человеком! Тогда как в первоначальной головоломке у тебя был только один цирюльник, который сочетал в себе характеристики Первого Цирюльника и Второго Цирюльника, а это невозможно.
— Я поняла! — сказала Алиса, — это очень интересно!
— Вот тебе еще одна головоломка, — сказал Шалтай-Болтай, —только у этой есть совершенно определенный ответ. Ты знаешь задачку про «Клуб Сердец»?
— Нет, — ответила Алиса, — никогда раньше не слышала.
— Молодец, — неожиданно похвалил он, — ты правильно ответила на вопрос!