Ученый: Представь, что ты разделил два пополам, получил единицу и опять разделил ее пополам. Можно так делить до бесконечности?
Ребенок: Да. Когда что-то делишь, всегда что-то остается.
Ученый: Ты когда-нибудь получишь ноль?
Ребенок: Нет, потому что есть бесконечно много чисел меньше единицы, но больше ноля.
Крайне важно то, что осознание детьми делимости чисел сопровождает осознание делимости материи. Дети, утверждающие, что числа на каком-то шаге деления перестают существовать, согласны и с тем, что материальные вещества в какой-то момент деления теряют вес, в то время как дети, несогласные с первым утверждением, не согласны и со вторым. И тем не менее, если понимание приходит не одновременно, отстает именно представление о бесконечной делимости чисел, то есть бесконечную делимость материальных сущностей (предметов) дети усваивают раньше бесконечной делимости нематериальных (чисел).
Понимание строения материи, таким образом, может стать трамплином к более сложному пониманию чисел. Бесконечная делимость, как и бесконечная плотность, — очень важная идея, которую можно перенести из одной области в другую. Подчеркивание параллелей между этими явлениями — очень продуктивная стратегия преподавания натуральных дробей и других видов рациональных чисел, например десятичных дробей и процентов[58]. Ученики, которых учили ассоциировать дроби с долей емкости, заполненной водой (веществом), успевают намного лучше, чем те, которым дроби показывали в виде кусков пирога (предмета). Предметы бывают полезны при освоении целых чисел, так как и то и другое дискретно, связано и едино, но дроби лучше объяснять на примере веществ, так как и то и другое непрерывно, делимо и обладает плотностью. Параллели между числами и материей проходят глубже, чем в самих этих областях.
Что тяжелее: килограмм пуха или килограмм золота? Конечно, ни то ни другое: килограмм и есть килограмм. Но вполне вероятно, что перед тем, как ответить на этот вопрос, вы на секунду задумались. Золото «весомее» пуха, и концепция тяжести вступает в противоречие с концепцией веса. Тяжесть и величина — это воспринимаемые качества материи. Они сохраняются при изменениях ее концептуального понимания и мешают рассуждать о материальных явлениях на протяжении всей нашей жизни[59].
Возьмем задачу о том, какой предмет утонет, а какой — нет. Взрослые быстро оценивают, что большие плотные предметы, например сковородка, идут ко дну, а легкие и воздушные, например упаковочный пенопласт, остаются на поверхности. Однако сравнить легкий, но при этом плотный предмет, например железную стружку, с тяжелым, но воздушным, например пенопластовой коробкой, уже сложнее. Даже если человек признает, что плотность — единственный параметр, имеющий отношение к задаче, тяжесть и величина все равно вмешиваются в рассуждения[60].
Тяжесть и величина нарушают и способность отделять материальные сущности от нематериальных. Если попросить человека быстро классифицировать «материальное» и «нематериальное», неощутимые вещества (чернильные пятна, духи, воздух) потребуют больше времени, чем ощутимые (камни, кирпичи, ботинки). Ошибки будут совпадать с детскими ошибками в аналогичных заданиях без ограничения времени. В одном из исследований скоростной классификации взрослые относили чернильные пятна к материи лишь в 85% случаев, духи — в 83%, а воздух — в 75%. И наоборот, в 35% случаев к материи причисляли гром, в 37% — свет звезд, а в 57% — молнию[61]. Даже Антуан Лавуазье, основоположник современной химии, был сбит с толку физической сущностью тепла и света. И то и другое он отнес к элементам материи[62].
Чтобы сбиться в рассуждениях о материи, не обязательно нужна нехватка времени. Люди ошибаются и в обычных ситуациях. Например, мы ставим заполненную до краев бутылку воды в холодильник, забывая, что она лопнет, когда вода внутри расширится. Мы переплачиваем за большие упаковки продуктов, не задумываясь об эквивалентности количества на единицу упаковки в товарах разных размеров. Мы перенапрягаемся, расчищая снег с дорожки, не осознавая, что скопление не имеющих тяжести снежинок — это десятки килограммов замерзшей воды. А еще мы не можем разобраться, наполовину пуст стакан или наполовину полон, хотя в действительности он заполнен целиком — отчасти жидкостью и отчасти газом.
Мой любимый бытовой пример ошибок, связанных с материей, — это разливное пиво в пабе. Стандартный стакан на пинту — 0,47 литра — размером 14,9 сантиметра в высоту, 8,2 сантиметра в диаметре сверху и 6 сантиметров в диаметре у донышка. Сколько пива, по-вашему, будет не хватать, если на глазок налить стакан не до краев, а до высоты 12,7 сантиметра?
Почти четверти объема! Ведь стакан сужается книзу и в его верхней части умещается больше пива, чем в нижней. Большинство забывают, сколько пива упускают из-за недолива, но теперь решение проблемы найдено. Предприимчивые любители пива изобрели карманный прибор для измерения уменьшения объема пива в зависимости от высоты. Его название хорошо отражает происхождение идеи: пивоизмеритель Пиаже.
Рис. 2.5. Бытовых ошибок на сохранение очень много даже у взрослых. Хороший пример — хроническое неумение оценить, сколько пива не хватает в неполном стакане
Глава 3. Энергия
В середине XVII столетия во Флоренции была основана Академия дель Чименто — Академия эксперимента. Целью этого общества было изучение тайн природы путем наблюдений и опытов. Его члены создали одни из первых градуированных лабораторных инструментов, размеченных стандартными единицами, например спиртовые термометры[63]. Они пользовались такими термометрами, чтобы разобраться в тепловых явлениях, например в том, как происходит расширение жидкостей при замерзании, расширение твердых тел при нагревании, и во влиянии тепла и холода на атмосферное давление.
В одной серии экспериментов флорентийские ученые помещали сосуды с разными жидкостями — розовой водой, фиговой водой, вином, уксусом и растопленным снегом — в ледяную ванну, чтобы вызвать замерзание. Когда жидкости замерзли, расширение отмечалось по отношению к температуре. Странно то, что экспериментаторы ставили термометры не в сам сосуд, а в лед рядом с ним. Прошло 250 лет, и измерение точки замерзания стало обычным экспериментом на детских научных ярмарках. Все инструкции по их проведению рекомендуют помещать термометры в замораживаемую жидкость. Почему же флорентийцы поступали иначе?
Из записок экспериментаторов следует, что они пытались измерить изменения именно в жидкости, а не в ледяной ванне. Однако сам процесс замерзания они понимали совсем не так, как сегодняшние ученые. Термометр, с их точки зрения, был нужен, чтобы измерить силу холода, перетекающего из ледяной ванны в жидкость[64]. Сосуд и его содержимое воспринимались как пассивные получатели холода, а не как равные партнеры в двустороннем взаимодействии. Современный взгляд на процессы, происходящие во время таких экспериментов, заключается в том, что тепло передается от сосуда ледяной ванне. Но тогдашние экспериментаторы об этом даже не подозревали. Холод для них был не отсутствием тепла, а чем-то фундаментально отличным. Разве тепло может охладить?
Рис. 3.1. Эти термометры были созданы в Академии дель Чименто — флорентийском научном обществе XVII века. С их помощью провели одни из первых лабораторных опытов по нагреванию, охлаждению, сжиганию и заморозке
Флорентийские ученые не только рассматривали тепло и холод как противоположные процессы, но и представляли их как вещества, аналогичные воде, спирту и маслу. Считалось, что тепло состоит из частиц огня и в процессе нагревания другие вещества наполняются этими частицами, которые расталкивают их изнутри (отсюда явление теплового расширения). Кроме того, полагали, что тепло могут излучать только источники тепла: свечи, уголь, костры, солнце. Жидкость комнатной температуры не рассматривалась как носитель теплоты, не говоря уже о передаче тепла более холодной системе (ледяной ванне).
Взгляд флорентийских экспериментаторов на тепловые явления назвали теорией источника и получателя[65], поскольку она четко различает источники и получателей тепла, а также источники холода и получателей холода. Эта теория объясняет подход флорентийцев ко всем тепловым явлениям, не только к искусственной заморозке. В другой серии опытов они наблюдали, как латунь, бронза и медь расширяются при нагревании и сокращаются при охлаждении. Степень расширения они сравнивали с расширением древесины, впитывающей воду. Для современных взглядов на тепловое расширение это странное сравнение, но для теории источника и получателя оно вполне разумно, поскольку частицы впитывающейся воды в ней физически аналогичны впитывающимся частицам огня — предполагаемым составным частям тепла.
Еще ученые из Академии дель Чименто сравнили замерзание воды в ледяной ванне («искусственное замораживание») с тем, как вода замерзает на улице в холодный день («естественное замораживание»). Они искали разницу в скорости, полноте замерзания и прозрачности получившегося льда. Их эксперименты были основаны на представлении, что разные виды холода оказывают разное действие. Результаты, однако, не позволили экспериментаторам сделать окончательных выводов. Они не позаботились проверить, совпадает ли температура воздуха на улице с температурой ледяной ванны, и были больше сосредоточены на том, чтобы охарактеризовать природу другого «источника холода» и его воздействие.