— Но, давай прощаться. У тебя есть ТРИ метода поиска корней и в зависимости от ситуации ты выберешь самый эффективный.
= У нас в классе этим уже особо не удивишь. Пожалуй, пойду заниматься с сестренкой ей в следующем году найдется кого удивить мгновенными решениями.
— Заодно почитай с ней Яков Исидорович Перельман «Быстрый счет [Тридцать простых приемов устного счета]», да и остальные книги Перельмана очень и очень достойны внимания. Если хочешь, открой более современную Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер».
= Ну, ладно, пока.
Вот такие дела.
День 7Чет - нечет
— Привет.
= Привет?
Шо опять!!!
— Как ты знаешь, последние годы я развлекаюсь изготовлением fb2-версий книг. Последняя моя работа «Энциклопедический словарь юного математика» 1989 года издания (ясно, что статьи этой книги написаны намного раньше) несколько забавна здесь статья о вычислительной технике, ну что поделать, развитие стремительно (по закону Мура), а в остальном... математика штука стабильная, хотя... К недостаткам можно отнести, то, что упор в рассказе сделан на советских математиках, т.е. «за бортом» оказались... Но в целом, очень и очень интересно, в том числе и о КУ.
= Щас спою.
— Так вот. Если в КУ ax2 + bx + c = 0 коэффициент b — четен ТО назовем половинку b как h (half - половинка) изменяем запись ax2 + 2hx + c = 0 то корни будут:
Но если, в нашем случае, a = 1, то:
= Да! Существенные сокращения вычислений!
= Попробуем?
— Вперед. Пусть корни будут 3 и 5 тогда КУ будет x2 - 8x + 15 = 0 или x2 - 2·4x + 15 = 0
= Под корнем будет 16 — 15 ...... да, сложнейшие вычисления и корень равняется 4 ±1 т.е. подтверждается!
ЗАРАБОТАЛО!!!
= Как же мы сами до такого не додумались?!!!
— Слушай, обидно, клянусь, самому обидно.
— Хорошо, давай теперь проанализируем новый параметр — четность. Как всегда, рассматриваем формулу x2 - Sx + M = 0.
= S будет четен если корни оба четны или нечетны. Т.е. S будет нечетным только тогда, когда нечетен только один из корней.
— Хорошо, далее.
= Произведение может быть нечетным только если нечетны оба корня.
— Давай изложим это в виде таблицы:
S | M | корни |
чет | нечет | Оба корня нечетны |
нечет | чет | Только один корень нечетен |
чет | чет | Оба корня четны |
= Ты упустил еще одну комбинацию.
— Все учтено могучим ураганом. Как ты помнишь, мы рассматриваем в основном Диофантовы уравнения, если ты еще помнишь, что это.
= Помню, помню. Забудешь тут. Ну и что?
— Перечитай свои-же рассуждения, и получится, что S и M одновременно нечетными быть не могут и если такое есть, то уравнение не Диофантово. Например: x2 — 9x + 13 = 0.
= Значит. Кроме анализа знаков, полезно проверить и четность, интересная информация.
— Еще из таблицы следует что S в диофантовых уравнениях чаще четен!
= О сколько нам открытий чудных явили эти два числаS и M.
— Хорошо, но нам пора прощаться. Сказать хотелось-бы многое о многом, но такое растекание по клавиатуре отдаляло-бы нас от задачи поставленной в аннотации. Поэтому:
Если у тебя есть фонтан, заткни его; дай отдохнуть и фонтану.
День 11теорема Виета
— Привет! Путик достижению цели, заявленной в аннотации,определены. И получить мгновенноерешение уравнения, возможно,ограничивают только недостаточныетренировки.
«Я небоюсь того, кто изучает 10'000 различныхударов. Я боюсь того, кто изучает одинудар 10'000 раз»Назови автора цитаты?
= Допустим,а о чем ты хочешь поговорить?
— Смотри!:
(x — x1)(x— x2) = 0
= Ну, и что?Видел я где-то это уравнение, но не вижупользы. Если корни уже известны, торешать нечего.....
— Меня всевремя интересовало, откуда в теоремеВиета, такие коэффициенты «сумма» и«произведение» корней? Слишком красиво!
Но посмотривнимательно на это уравнение.
1. для выполненияравенства — необходимо и достаточно,чтобы x равнялся или x1 или x2.
2. раскройскобки
........
(x — x1)(x— x2) = x2 — (x1 + x2)x + (x1 * x2)
= Нечтоподобное ты проделал в самом начале —при решении системы Диофанта.
— Да, кругзамкнулся. И вопросов больше нет.[4]
День 23Графическое решение
КУ?!!
Какой! Восторг!!!
Я действительно могу научить кого угодно,
но это не значит, что я готов работать с учеником, которому неинтересны мои уроки. /Снейп/
— Давай еще раз займемся графическим решением КУ.
— Напомню популярные способы:
1. Формула y = x2 + bx + c, описывает параболу. Функция получает значение «ноль» при пересечении этой, самой параболы с осью абсцисс.
Т.е. для графического решения КУ предлагается построить параболу и посмотреть где она пересечет ось X.
= Ну, в принципе, построить параболу по точкам — можно. …. Но это не наш метод.
- Согласен, к формулам подходить надо «по-мягше»
= И смотреть на них «по-ширше»
2. Уравнение x2 + bx + c = 0 можно перезаписать как: x2 = - bx — c. Формула y = x2 описывает параболу вершина коей будет расположена в начале координат. В свою очередь формула y = - bx — c отобразится прямой. Решением искомого уравнения будут ординаты точек пересечения этой параболы и той прямой.
= Так,… что тут сказать…. оно может и умно, но построений еще больше, а следовательно……….
= Еще я нашел какие то «нормо...»
— Нет, «номограммы» - отличная штука, но только, если требуется ПОСТОЯННЫЕ вычисления. Например вы лесник, и вам постоянно требуется вычислять кубатуру древесины по диаметру и длине дерева, ИЛИ вы постоянно подбираете точные сопротивления для настройки вольтметров ИЛИ вам надо знать время сброса бомбы (для попадания в цель) учитывая скорость и высоту самолета (на самом деле еще несколько параметров).
В подобных случаях ЗАРАНЕЕ строятся хитро размеченные прямые и кривые, и опытный оператор приложив линейку, за доли секунды находит ответ.
z2+pz+q = 0
Например: z2 - 9z + 8 = 0
1. на шкале p находим отметку -9, на шкале q отметку 8.
2. проводим через эти метки прямую, которая пересекает криволинейную шкалу номограммы в отметках 1 и 8.
3. следовательно, корни уравнения 1 и 8.
* * *
* * *
* * *
Что-то мне это напоминает? Что же напоминает? Уже долгое время я смотрю на этот корень и… вижу что-то знакомое
= И что же?
— Видишь ли, если я так сразу скажу, то сработает эффект «Колумбова яйца»[1] - реакция будет: «Ну, это-же элементарно»
Гляжу, как безумный, на черную шаль,
И хладную душу терзает...
….меня терзают смутные сомнения
= Хватит интриговать, рассказывай!
— Сейчас, все поймешь сам. Расскажи, что ты видишь.
= Ну, корень, под корнем разность квадрата числа и еще одного числа.
— Хорошо! А теперь представь, что это не «еще одно число», а «некое число --- в квадрате»
= Теперь и мне что-то напоминает.
— Сосредоточься, напрягись «крибле — крабле — бумс»
= Теорема Пифагора???
— Бинго!!!
= Да, похоже на теорему Пифагора, но, что это дает?
— Ну-ну. Не стоит корить себя за бесконечную тупость. Это присуще всем моим сотрудникам.
— Разжевываю:
1 Гипотенуза нам известна (h)
достаточно:
2 вычислить (корень из с — назовем его v) - это один катет,
3 взять циркуль,
4 построить прямой угол
5 отложить на одной стороне v
6 циркуль раскрыть на расстояние h
7 и сделать засечки (x1 и x2) на другой стороне прямого угла.
Т.к. я разжевывал максимально мелко, то получилось вроде-бы длинно, но займет это дело пять секунд. (правда еще 1.5 часа на поиски циркуля и линейки)
= ?
— Повторю вывод. При данном методе графического решения КУ, надобно произвести только два вычисления
1. h = -b/2
2. v = (корень квадратный из с)
а дальше, поработать с линейкой и циркулем. И ни каких Али-Бабов.
= Не увижу! Не поверю!
— Хорошо. Пусть корнями будут x1 = 2 и x2 = 8. [честно признаюсь, для примеров я подобрал очень легкие уравнения]
Тогда уравнение будет x2 -10x + 16 = 0.
h = 10/2 = 5
выполняем самое сложное вычисление:
v = корень квадратный из 16 = 4
по оси Х откладываем h = 5
из полученной точки проводим перпендикуляр (как его построить отвлекаться не буду. Ты должен это знать. И строить его циркулем и линейкой 3 секунды)
откладываем на перпендикуляре значение v = 4
раскрываем циркуль на размер h = 5
делаем две засечки на оси ОХ. Это и есть ДЕРЕВО (т. е. корни квадратного уравнения)
= Да не может быть! Так просто!