— Попробуй сам.
……….
= Проверил. Получается. Но, что делать когда корни разных знаков, ведь тогда не разница квадратов, а сумма.
— Молодец. А подумать! Сумма квадратов — это что?
= Гипотенуза?
Пример
Задаем корни x1 = -2 и x2 = 8
Получится уравнение x2 -6x - 16 = 0.
Производим вычисления h = 3; v = 4
При разнополых корнях порядок действий немного изменяется.
По прежнему на оси ОХ откладываем h = 3
Перпендикуляр в данном случае не нужен.
V = 4 откладываем на оси OY [на рисунке я ошибся и отложил v в отрицательную сторону, но ущерба ошибка не принесла никакого. Посмотри внимательно и поймешь, что v можно откладывать в любую сторону]
Теперь самое забавное, ножку циркуля ставим в точку x = 3 и раскрываем его до точки y = 4 полученным радиусом R делаем засечки на оси OX.
Все — корни получены.
= Как-то это сложнее.
— Нисколько, дело практики.
+ + +
# В любом случае — решение КУ - это решение прямоугольного треугольника.
# таким значком я буду помечать упоминание КУ-треугольника
= Но графическое решение дает только приближенное решение!
— Ничего страшного. Точные значения совсем рядом, и тебе не составит труда за пару проверок их найти.
* * *
— О графическом решении КУ — пожалуй, все.
Но есть дополнение к анализу КУ.
+ + +
Я считал их совершенно банальными, однако надо поставить точку и над этим i.
— Разберем оставшиеся возможные варианты КУ.
{1}. Напиши уравнение в котором оба корня равны, но противоположны по знаку.
= Надо подумать, в чем подвох….. Так, если они равны и противоположны, то сумма будет равна нулю, значит b = 0. И уравнение будет:
x2 + c = 0
— Нет, ошибка. Если знаки противоположны то произведение отрицательно.
x2 - c = 0
— Т.к. решение уравнения элементарно, то обычно в заданиях его не используют.
= А графическое решение?
— Корни разнополые, и методику ты знаешь, НО
# треугольник КУ вырождается в отрезок (см. черную параболу [2])
{2}. А теперь напиши уравнение, в котором один из корней равен 0.
= Теперь меня не обманешь, с = 0, значит:
x2 - bx = 0
— Как видишь, решение еще проще, делишь все на x, и получаешь ответ.
(голубая парабола [1])
= интересное название
# треугольник опять превратился в отрезок
{3}. Теперь напишем уравнение в котором есть только одно решение и это решение 0.
x2 = 0
= Тут решать нечего.
— Да, решать нечего, но подумать есть о чем.
Формула y = x2 описывает параболу, вершина которой, находится в начале координат.
# треугольник уменьшится до точки (красная парабола [3])
А если вершина не в начале координат, то формула будет y = (x - h)2 [почему минус? ... подставь значения х и h ... сообразишь].
Откроем скобки в уравнении (x - h)2 = 0:
x2 — 2hx + h2 = 0
= Хе, хе, хе — опять то-же самое уравнение.
— Ты прав, структурно уравнение, обычное приведенное, НО ты можешь отчетливо видеть признак единственного решения уравнения [c = h2].
# напомню, треугольник все еще точка
Из этого варианта вытекает четвертый.
= Как? Еще и четвертый?
— Итак, вариант КУ НЕ ИМЕЮЩЕГО решения
Мы уже знаем формулу параболы «гуляющей» вершиной по оси ОХ:
y = (x — h)2
Добавим сюда еще смещение по оси ОУ
y = (x — h)2 - d
т. е. «гуляем» по всему полю оси координат.
Я утверждаю, что такая формула правильнее выражает графическое изображение параболы. Смещение по оси ОХ — h, смещение по оси ОУ — d.
Откроем скобки:
и сравни с привычной формой уравнения
y = x2 — 2hx + h2 — d
x2 — bx + c = 0
т. е. c — на самом деле состоит из двух частей c = h2 — d
Отсюда: d = h2 - c
= Погоди, погоди! Получается, что дискриминант…
— Совершенно верно. Нужен для вычисления смещения параболы по оси ОУ.
Если d — меньше нуля (парабола выше оси ОХ) — решения у уравнения нет.
Если d — равно нулю (вершина параболы лежит на оси ОХ) — решение единственное.
Если d — больше нуля (вершина параболы ниже оси ОХ) — обычные два ответа.
# Мы убедились, что в граничных случаях ( {1},{2},{3} ) треугольник решения КУ вырождается.
- Хи-хи-хи (это очень и очень смешно)
- ПодведемИТОГ графическому решению КУ.
Сейчас меняинтересует только подкоренное выражение:
Посмотривнимательно.
= Как-то тыстранно написал. Ну b/2 — это мы ужерасшифровывали.
= А зачем тывозводишь в степень квадратный корень?Это же тавтология.
- ПовторюсьСМОТРИ ВНИМАТЕЛЬНО!!
= ?
= !
= Понял! b/2 —это среднее арифметическое, а кореньиз произведения x1 и x2 ихсреднее геометрическое (это же 7 класс— поэтому сразу не узнал)
- Итого подкорнем у нас средние арифметическое игеометрическое.
- А теперьфокус!
- Поищи-ка винтернете «среднее геометрическое» ипосмотри связанные с ним картинки.
Довольноскоро ты найдешь такую:
= Ну и гдесмеяться?
- СМОТРИВНИМАТЕЛЬНО!!!
= Но это жевторая руна!!
- Вот это иесть... три тополя на Плющихе
= Интересно. Мы с тобой рассуждаем о КУ уже 6 дней. Создается впечатление, что такие разговоры можно вести бесконечно.
— Согласен.
Болтать есть много о чем:
* о том, чтопарабола есть геометрическое местоточек…… и сравни это определениес соответствующим для эллипса, гиперболы,окружности
* о том, чтозадача попадания бомбы (снаряда) в цель— это построение КУ по заданнымкоординатам
* о том, что«Гиперболоид инженера Гарина» долженбыл называться «Параболоид….
* о том, чтолучше для создания арок и мостов Парабола,Гипербола или Цепная линия?
Каждая из этих тем требует большого инеоднозначного обсуждения.
= Но?
Но пора заканчивать дозволенные речи. Аперечисленные темы пусть будут домашнимзаданием.
I'll be back
Приложение 1. Задачи.
1) x2 - 10x + 21 = 0 | 2) x2 - 8x + 7 = 0 | 3) x2 - 6x + 9 = 0 |
4) x2 - 12x + 11 = 0 | 5) x2 - 12x + 35 = 0 | 6) x2 + 12x + 11 = 0 |
7) x2 - 16x + 39 = 0 | 8) x2 + 3x - 10 = 0 | 9) x2 + 9x - 22 = 0 |
10) x2 - 4x - 21 = 0 | 11) x2 - 20x + 51 = 0 | 12) x2 - 10x - 119 = 0 |
13) x2 - 5x - 14 = 0 | 14) x2 - 24x + 119 = 0 | 15) x2 + 5x - 14 = 0 |
16) x2 - 22x + 85 = 0 | 17) x2 - 18x + 17 = 0 | 18) x2 - 9x + 14 = 0 |
19) x2 + 2x - 15 = 0 | 20) x2 - 4x + 3 = 0 | 21) x2 - 14x + 49 = 0 |
22) x2 - 12x - 13 = 0 | 23) x2 - 1x - 6 = 0 | 24) x2 - 2x - 3 = 0 |
25) x2 - 15x + 26 = 0 | 26) x2 - 8x + 15 = 0 | 27) x2 + 2x - 35 = 0 |
28) x2 + 2x - 3 = 0 | 29) x2 - 19x + 34 = 0 | 30) x2 - 6x - 7 = 0 |
31) x2 + 16x + 55 = 0 | 32) x2 - 7x + 10 = 0 | 33) x2 - 4x + 4 = 0 |
34) x2 + 4x - 77 = 0 | 35) x2 + 10x - 119 = 0 | 36) x2 - 3x + 2 = 0 |
37) x2 - 5x + 6 = 0 | 38) x2 + 12x - 85 = 0 | 39) x2 - 14x + 33 = 0 |
40) x2 - 2x - 15 = 0 | 41) x2 + 10x - 39 = 0 | 42) x2 - 20x + 91 = 0 |
43) x2 + 15x - 34 = 0 | 44) x2 + 4x - 5 = 0 | 45) x2 - 18x + 65 = 0 |
46) x2 + 1x - 6 = 0 | 47) x2 - 4x - 77 = 0 | 48) x2 + 6x - 7 = 0 |
49) x2 + 16x - 17 = 0 | 50) x2 - 2x - 35 = 0 | 51) x2 - 10x + 25 = 0 |
52) x2 - 13x + 22 = 0 | 53) x2 - 6x + 5 = 0 | 54) x2 - 1x - 2 = 0 |
55) x2 + 4x - 21 = 0 | 56) x2 - 6x - 91 = 0 | 57) x2 + 10x - 11 = 0 |
58) x2 - 16x + 55 = 0 | 59) x2 - 14x + 13 = 0 | 60) x2 - 4x - 5 = 0 |
61) x2 - 18x + 77 = 0 | 62) x2 + 12x - 13 = 0 | 63) x2 - 3x - 10 = 0 |
64) x2 - 8x - 65 = 0 | 65) x2 - 12x - 85 = 0 | 66) x2 - 9x - 22 = 0 |
67) x2 + 11x - 26 = 0 | 68) x2 + 4x + 3 = 0 | 69) x2 |