Скрытая реальность. Параллельные миры и глубинные законы космоса — страница extra из 80

Комментарии

1

Возможность того, что наша Вселенная представляет собой лист, парящий в многомерном пространстве, восходит к статье двух знаменитых советских физиков В. А. Рубакова и М. Е. Шапошникова «Do We Live Inside a Domain Wall?» (V A. Rubakov and М. E. Shaposhnikov, «Physics Letters В» 125 (May 26, 1983): 136) и не использует теорию струн. Рассматриваемый в главе 5 сценарий возникает из теоретико-струнных построений середины 1990-х годов.

2

Эта цитата взята из мартовского выпуска «Literary Digest» 1933 года. Следует отметить, что точность цитаты недавно была поставлена под сомнение датским историком науки Хельге Крагхом (см. его книгу: Helge Kragh, «Cosmology and Controversy». Princeton: Princeton University Press, 1999), который считает, что она может являться перефразировкой более ранней заметки в газете «Newsweek» того же года, где Эйнштейн высказывался о происхождении космических лучей. Однако доподлинно известно, что в этом же году Эйнштейн отрёкся от веры в статичную вселенную и принял динамичную космологию, возникающую из его исходных уравнений общей теории относительности.

3

Этот закон определяет силу гравитационного притяжения F между двумя объектами с заданными массами m₁ и m₂ и расстоянием r между ними. Математически закон имеет вид F = Gm₁m₂/r², где G обозначает константу Ньютона — экспериментально измеренное число, характеризующее силу гравитационного взаимодействия.

4

Для математически подкованного читателя приведём уравнения Эйнштейна:

где g — это метрика пространства-времени, R_μν — тензор кривизны Риччи, R — скалярная кривизна, G — константа Ньютона, T_μν — тензор энергии-импульса.

5

За десятилетия, прошедшие с момента этого знаменитого подтверждения общей теории относительности, возникли вопросы, касающиеся надёжности полученных результатов. Чтобы увидеть световой луч от удалённой звезды, огибающий Солнце, наблюдения должны были проводиться во время солнечного затмения; к сожалению, плохая погода затруднила получение чётких фотографий затмения 1919 года. Вопрос в том, могли ли Эддингтон и его сотрудники внести систематическую ошибку под влиянием ожидаемого результата: отбраковывая фотографии, кажущиеся ненадёжными по причине интерференции, вызванной погодными условиями, они могли бы исключить несоразмерное количество фотографий с данными, которые казались противоречащими теории Эйнштейна. Недавнее подробное исследование Даниэля Кеннефика (см.: www.arxiv.org, paper arXiv:0709.0685, в котором, помимо прочих рассмотрений, делается современная переоценка фотографических пластинок, сделанных в 1919 году) убедительно свидетельствует что подтверждение теории, сделанное в 1919 году, на самом деле является надёжным.

6

Для заинтересованного читателя приведём уравнения Эйнштейна общей теории относительности, которые в рассматриваемом случае выглядят так:

Переменная a(t) является масштабным фактором вселенной — её значение, как указывает название, устанавливает масштаб расстояния между объектами (если значения a(t) в два разных момента времени отличаются, например, в 2 раза, то расстояние между двумя частными галактиками будет отличаться между этими временами также в 2 раза), G — это константа Ньютона, ρ — плотность материи/энергии, и k является параметром, значение которого может быть 1, 0 или −1, в зависимости от того, является ли форма пространства сферической, евклидовой («плоской») или гиперболической. Обычно считается, что вид этого уравнения был найден Александром Фридманом и, собственно, называется уравнением Фридмана.

7

Внимательный читатель может отметить два момента. Во-первых, в общей теории относительности, как правило, мы определяем координаты, которые сами зависят от находящегося в пространстве вещества: мы используем галактики в качестве носителей координат (как будто на каждой галактике «нарисован» частный набор координат — так называемые движущиеся системы координат). Поэтому для задания определённой области пространства обычно ссылаются на присутствующую в ней материю. Тогда более точная перефразировка текста такова: область пространства, в которой находится некоторая группа из N галактик в момент времени t₁, будет иметь больший объём в более поздний момент времени t₂. Во-вторых, интуитивно понятное утверждение, касающееся плотности материи и энергии, изменяющиеся при расширении или сжатии пространства, содержит неявное предположение насчёт уравнения состояния материи и энергии. Есть ситуации и скоро мы столкнёмся с одной из них, когда пространство может расширяться или сжиматься, а плотность некоторого вклада энергии — плотность энергии так называемой космологической постоянной — остаётся неизменной. Действительно, есть даже более экзотические сценарии, в которых пространство расширяется а плотность энергии при этом растёт. Такое происходит, потому что при определённых обстоятельствах гравитация служит источником энергии. Важный момент этого параграфа состоит в том, что уравнения общей теории относительности в исходном виде противоречат статичной вселенной.

8

Двумерный тор обычно изображается как пустой бублик. Двухшаговый процесс показывает, что эта картинка согласована с приведённым в тексте книги описанием. Когда, достигнув правого края экрана, вы попадаете назад на левый край, это равносильно отождествлению всего правого края с левым краем. Если бы экран был гибким (например, из тонкого пластика), то такое отождествление могло бы быть буквальным, если скатать экран в цилиндр и объединить вместе правый и левый края. Когда, ступив на верхний край, вы попадаете в нижний, то это тоже равносильно отождествлению этих краёв. Это достигается явным образом на втором шаге, в котором мы скручиваем цилиндр и соединяем верхний и нижний круговые края. Получившаяся фигура выглядит как обычный бублик. Обманчивый аспект этих манипуляций состоит в том, что поверхность бублика выглядит искривлённой; если его поверхность покрыть отражающей краской, то ваше отражение будет искажено. Это артефакт реализации тора в виде объекта, расположенного в объемлющем трёхмерном пространстве. В действительности, являясь двумерной поверхностью, тор не искривлён. Он плоский. Что очевидно, если его представить в виде плоского экрана для видеоигр. Именно поэтому в тексте книги я выбрал более фундаментальное описание в виде фигуры, края которой попарно отождествляются.

9

Искушённый в математике читатель заметит, что под словами «подходящим образом нарезать и скомпоновать» я подразумеваю факторпространства, которые возникают при факторизации односвязных накрывающих пространств по дискретным группам изометрии.

10

Образно говоря, можно считать, что в силу квантовой механики частицы всегда находятся в состоянии, которое мне нравится называть «квантовым дрожанием»: что-то вроде неизбежных случайных квантовых вибраций, что придаёт самому понятию частицы с определённым положением и скоростью (импульсом) приближённый смысл. В этом смысле изменения в положении/скорости, достаточно малые, чтобы быть на равных с квантовыми флуктуациями, являются квантово-механическим «шумом» и, следовательно, не имеют значения.

На более точном языке, если погрешность в измерениях положения умножить на погрешность в измерениях импульса, то результат — неопределённость — всегда больше, чем число, называемое постоянной Планка (в честь Макса Планка, одного из пионеров квантовой физики). Это, в частности, означает, что точное разрешение в процессе измерения положения частицы (небольшая погрешность) обязательно приведёт к большой неопределённости при измерении импульса частицы и, за компанию, её энергии. Поскольку энергия всегда ограничена, разрешение при измерении положения, таким образом, тоже является ограниченным.

Также отметим, что эти понятия всегда будут применяться в конечной пространственной области — как правило, в областях, размер которых сопоставим с современным космическим горизонтом (как в следующем разделе). Область конечного размера, пусть даже большая, подразумевает максимальную неопределённость при измерении положения. Если предполагается, что частица находится в данной области, то неопределённость её положения конечно же будет не больше размера самой области. Согласно принципу неопределённости, такая максимальная неопределённость в положении приводит к минимальной неопределённости при измерении импульса. Помимо ограниченного разрешения при измерении местоположения, мы видим редукцию от бесконечного к конечному числу возможных различных конфигураций положений и скоростей частицы.

Вы всё ещё можете задаваться вопросом о том, что препятствует построению прибора, способного измерять положения частицы с ещё большей точностью. Это также касается энергии. Как описано в книге, если вы хотите измерить положение частицы с большей точностью, необходимо использовать более точный прибор. Для определения местоположения мухи в комнате можно включить обычный верхний свет. Для определения положения электрона необходимо осветить его узким лучом мощного лазера. Для ещё более точного определения положения электрона надо использовать ещё более мощный лазер. Когда более мощный лазер бьёт по электрону, его скорость сильно искажается. Таким образом, ключевой момент здесь в том, что точность определения положения частицы достигается за счёт огромных изменений скорости частицы — и, следовательно, огромных изменений её энергии. Если есть предел того, сколько энергии может иметь частица, а такой предел есть всегда, то также есть предел того, насколько точно можно измерить её положение.

Таким образом, ограниченность энергии в ограниченной пространственной области приводит к конечному разрешению при измерении как положения, так и скорости.

11

Наиболее прямой способ проделать это вычисление состоит в использовании результата, который без привлечения технических подробностей будет описан в главе 9: энтропия чёрной дыры — логарифм числа различных квантовых состояний — пропорциональна площади её поверхности, измеренной в единицах планковской площади. Заполняющая наш космический горизонт чёрная дыра будет иметь радиус примерно 10²⁸ сантиметра, или примерно 10⁶¹ планковских длин. Таким образом, её энтропия будет примерно 10¹²² в единицах планковской площади. Следовательно, полное число различных состояний составляет примерно 10, возведённое в степень 10¹²², или 10¹⁰¹²².

12

Можно поинтересоваться, почему не учитываются поля. Как мы увидим, описания частиц и полей дополнительны друг к другу — поле может описываться в терминах определённых частиц, из которых оно состоит, подобно тому как океанские волны могут описываться в терминах составляющих их молекул воды. Выбор описания в терминах частиц или полей является в основном вопросом удобства.

13

Расстояние, проходимое светом за заданный промежуток времени, сильно зависит от скорости расширения пространства. В последующих главах мы обсудим доводы, указывающие на то, что темп пространственного расширения ускоряется. Если так, то существует предел того, насколько далеко свет может распространиться в пространстве, даже если ждать сколь угодно долго. Удалённые области пространства будут удаляться от нас так быстро, что излучаемый нами свет не сможет достичь их; аналогичным образом испущенный ими свет не сможет достичь нас. Это будет означать, что космические горизонты — та часть пространства, с которой можно обмениваться световыми сигналами, — не будут расти бесконечно. (Заинтересовавшийся читатель может найти соответствующие формулы в комментарии ^{49}.)

14

Дж. Эллис и Дж. Бандрит исследовали повторяющиеся миры в бесконечной классической вселенной; Ж. Гаррига и А. Виленкин изучали такие миры в квантовом контексте.

15

В ранних работах Дикке рассматривал идею осциллирующей Вселенной, которая многократно проходит через вереницу циклов Большой взрыв — расширение — сжатие — схлопывание и снова Большой взрыв. В любом цикле будет присутствовать заполняющее пространство остаточное излучение.

16

Проблема горизонта довольно тонкая, и приведённое мной описание решения на основе инфляционной космологии несколько отличается от стандартного, поэтому, возможно, читателя заинтересует чуть более подробное обсуждение этого вопроса. Сначала опять постановка проблемы: рассмотрим две области в ночном небе, настолько удалённые друг от друга, что они никогда не вступали в контакт. Для определённости скажем, что в каждой области находится наблюдатель, который контролирует термостат, поддерживающий температуру в его области. Эти наблюдатели хотят, чтобы две данные области имели одинаковую температуру, но поскольку наблюдатели не имели возможности контактировать, они не знают на какую температуру устанавливать свои термостаты. Естественная идея состоит в том, что поскольку миллиарды лет назад наблюдатели находились гораздо ближе, то тогда им было проще установить контакт и сравнять температуры в своих областях. Однако, как отмечалось в основном тексте, в стандартной теории Большого взрыва эти рассуждения не проходят. И этому есть причины. В стандартной теории Большого взрыва Вселенная расширяется, но в силу гравитационного притяжения темп расширения со временем замедляется. Это очень похоже на подбрасывание мяча вверх. Во время подъёма он сначала быстро удаляется от вас, но в силу притяжения Земли постепенно замедляется. Замедление пространственного расширения имеет серьёзные последствия. Для пояснения я воспользуюсь аналогией с подброшенным мячом. Представьте, что мяч достигает верхней точки за шесть секунд. Поскольку изначально (после того как отрывается от вашей руки) он двигался быстро, он может пройти первую половину расстояния за две секунды, но из-за уменьшения скорости пройдёт четыре секунды, прежде чем он одолеет вторую половину пути. Таким образом, на половине временного интервала, через три секунды, он пролетел больше половины пути. Аналогичным образом происходит процесс замедляющегося во времени пространственного расширения: в середине космической истории два наших наблюдателя будут разделены расстоянием бо́льшим, чем половина современного расстояния между ними. Давайте подумаем, что это значит. Два наблюдателя будут ближе друг к другу, но им будет тяжелее — а не легче — установить контакт. Посылаемый одним из наблюдателей сигнал будет располагать половиной от прошедшего интервала времени для достижения второго наблюдателя, но расстояние, которое он должен будет преодолеть, больше половины от современного расстояния. Половина времени для взаимодействия на расстоянии, превышающем половину текущего расстояния между ними, осложняет установление контакта между наблюдателями.

Таким образом, расстояние между наблюдателями — лишь один из факторов при анализе возможности наблюдателей влиять друг на друга. Другой фактор — время, прошедшее с момента Большого взрыва, поскольку это ограничивает дальность распространения сигнала. В стандартной теории Большого взрыва, хотя в прошлом всё действительно располагалось ближе друг к другу, Вселенная также и расширялась быстрее, поэтому, пропорционально говоря, для распространения влияния было меньше времени.

Решение этого вопроса, предложенное в инфляционной космологии, состоит в добавлении некоторой фазы в самые ранние моменты космической истории, в которой темп расширения не замедляется, как скорость подброшенного вверх мяча; наоборот, пространственное расширение начинается неспешно, а затем постепенно наращивает скорость: расширение ускоряется. Согласно только что приведённым рассуждениям, на половине пути такой инфляционной фазы два наших наблюдателя будут разделены расстоянием меньшим половины расстояния между ними в момент завершения инфляционной фазы. А если есть половина времени для распространения сигнала на менее чем половину расстояния, это означает, что в ранние моменты времени контакт мог быть легче установлен. Можно сказать, что ускорение расширения в более ранние моменты времени означает, что для распространения сигнала было больше времени, а не меньше. Это позволяло удалённым на настоящий момент областям легко контактировать в ранней Вселенной, что объясняет их одинаковую температуру сейчас.

Поскольку по сравнению со стандартной теорией Большого взрыва ускоренное расширение приводит к ещё большему пространственному расширению, эти области будут гораздо ближе в начальный момент при инфляции, чем в аналогичный момент времени в стандартной теории Большого взрыва. Эта разница в расстоянии в ранней Вселенной является эквивалентным способом для понимания того, почему контакт между областями, невозможный при стандартном Большом взрыве, легко достигается в инфляционной теории. Если в некоторый момент после начала расстояние между двумя областями меньше, им легче обмениваться сигналами.

Применяя уравнения, описывающие расширение в произвольные ранние моменты времени (представьте, для определённости, что пространство имеет форму сферы), мы увидим, что две области в инфляционной модели будут удаляться друг от друга медленнее, чем при стандартном Большом взрыве: именно поэтому они удаляются на меньшее расстояние по сравнению с теорией Большого взрыва. В этом смысле в инфляционном подходе есть период времени, когда темп разлёта областей меньше, чем в картине обычного Большого взрыва.

При описании инфляционной космологии очень часто всё внимание целиком сосредоточено на фантастическом увеличении скорости расширения по сравнению со стандартными подходами, а не на уменьшении. Различие в описании возникает из того, какие физические свойства двух подходов сравниваются. Если сравнить траектории двух областей, расположенных в ранней Вселенной на некотором расстоянии друг от друга, то в инфляционной теории эти области разлетаются гораздо быстрее, чем в стандартной теории Большого взрыва; на сегодняшний день они находятся гораздо дальше друг от друга, чем после обычного Большого взрыва. Но если рассматривать области, расположенные на определённом расстоянии сегодня (подобно двум участкам в противоположных концах ночного неба), то становится важным приведённое мной описание. А именно: в определённый момент времени в очень ранней Вселенной эти области были гораздо ближе друг к другу, и в теории с инфляционным расширением разлетались гораздо медленнее, чем в теории без такового. Роль инфляционного расширения в том, чтобы компенсировать медленный старт, разгоняя затем эти области быстрее и быстрее, гарантируя, что они окажутся в тех же местах на небе как и в стандартной теории Большого взрыва.

Более полное обсуждение проблемы горизонта включало бы подробное рассмотрение условий возникновения инфляционного расширения, а также последующих процессов, которые, например, приводят к возникновению реликтового излучения. Однако цель приведённых выше рассуждений — подчеркнуть существенное различие между ускоряющимся и замедляющимся расширением.

17

Отметим, что, сжимая пакет, вы добавляете в систему энергию, и поскольку масса и энергия приводят к гравитационному искривлению, то увеличение веса будет частично происходить благодаря увеличению энергии. Однако увеличение давления также даёт вклад в увеличение веса. (Точности ради заметим, что следует представлять этот «эксперимент» в вакуумной камере, поэтому нет необходимости рассматривать выталкивающую силу со стороны воздуха вокруг пакета.) В повседневных примерах обсуждаемое увеличение веса крайне мало. Однако на космических масштабах оно может оказаться весьма значительным. На самом деле, оно играет роль при объяснении того, почему в определённых ситуациях звёзды обязательно схлопываются в чёрные дыры. Как правило, равновесие в звёздах поддерживается благодаря балансу между давлением, направленным наружу, порождённым ядерными процессами в звёздном ядре, и направленной внутрь гравитацией, порождаемой массой звезды. По мере того как звезда расходует ядерное топливо, положительное давление падает, что приводит к её сжатию. При этом вещество внутри звезды сжимается плотнее, вследствие чего гравитационное притяжение возрастает. Для избежания дальнейшего сжатия, необходимо дополнительное давление наружу (что называется положительным давлением, как в следующем абзаце в основном тексте). Однако дополнительное положительное давление само создаёт дополнительную силу гравитационного притяжения и таким образом приводит к необходимости ещё большего дополнительного положительного давления. В определённых ситуациях это приводит к спиральной нестабильности, и положительное давление, на котором обычно держится противодействие звезды внутреннему гравитационному сжатию, настолько усиливает внутреннее притяжение, что становится неизбежным полный гравитационный коллапс. Звезда коллапсирует, и образуется чёрная дыра.

18

В описанном только что подходе к инфляции нет фундаментального объяснения, почему значение поля инфлатона должно находиться на возвышенной части кривой потенциальной энергии, а также нет объяснения, почему кривая потенциальной энергии имеет именно такую форму. Всё это предположения теории. В последующих версиях теории инфляции, в особенности версии, разработанной Андреем Линде, которая называется хаотическая инфляция, более «обычная» кривая потенциальной энергии (параболическая форма без плоских участков, выводимая из простейших математических уравнений для потенциальной энергии) также может приводить к инфляции. Для запуска инфляционного расширения значение поля инфлатона также должно находиться высоко на этой кривой потенциальной энергии, однако неимоверно горячая среда в ранней Вселенной естественным образом создаёт для этого все условия.

19

Внимательного читателя заинтересует следующая подробность. Быстрое расширение пространства в инфляционной космологии приводит к сильному остыванию (подобно тому как быстрое сжатие пространства, или чего-нибудь ещё, вызывает повышение температуры). Однако, когда инфляция подходит к завершению, поле инфлатона колеблется около минимума своей кривой потенциальной энергии, трансформируя свою энергию в газ частиц. Этот процесс называется «повторным разогревом», потому что порождённые таким образом частицы получают кинетическую энергию и, следовательно, могут характеризоваться температурой. По мере того как пространство продолжает расширяться обычным (не-инфляционным) способом, в сценарии Большого взрыва температура газа частиц постепенно снижается. Однако важный момент в том, что возникшая при инфляции однородность задаёт однородные условия для этого процесса, и поэтому приводит к однородным результатам.

20

Значение поля инфлатона определяет количество энергии и отрицательное давление, которыми оно наполняет пространство. Чем больше энергия, тем быстрее темп расширения пространства. В свою очередь быстрое расширение пространства оказывает обратное влияние на само поле инфлатона: чем быстрее расширение пространства, тем сильнее флуктуации значений поля инфлатона.

21

Давайте рассмотрим вопрос, который, возможно, уже возникал у вас, и к которому мы вернёмся в главе 10. Когда пространство испытывает инфляционное расширение, его полная энергия возрастает: чем больше объём пространства, заполненного полем инфлатона, тем больше полная энергия (если пространство бесконечно, энергия тоже бесконечна — в этом случае следует говорить об энергии, содержащейся в конечной области пространства, по мере того как эта область растёт). Что естественным образом приводит к следующему вопросу: где источник энергии? В аналогичной ситуации с бутылкой шампанского источник дополнительной энергии в бутылке обеспечивается усилиями ваших мускулов. Что играет роль мускулов в расширяющемся космосе? Ответ — гравитация. Подобно тому как ваши мускулы обеспечивают расширение доступного пространства в бутылке (путём вытаскивания пробки), гравитация является движущей силой расширения доступного пространства в космосе. При этом важно понимать, что энергия гравитационного поля может быть сколь угодно отрицательно большой. Рассмотрим две частицы, падающие друг на друга при взаимном гравитационном притяжении. Гравитация заставляет эти частицы приближаться друг к другу всё быстрее, при этом их кинетическая энергия становится всё более положительной. Гравитационное поле может обеспечить частицы такой положительной энергией за счёт расходования своего собственного энергетического резерва, который в таком процессе становится сколь угодно отрицательным: чем сильнее частицы сближаются, тем более отрицательной становится гравитационная энергия (эквивалентно, тем более положительна энергия, которую надо приложить, чтобы преодолеть силу гравитации и заново разнести частицы). Таким образом, гравитация подобна банку, который предоставляет безграничную кредитную линию и может давать бесконечное число денег; гравитационное поле может дать бесконечное количество энергии, потому что его собственная энергия может становиться при этом всё более отрицательной. Именно в этом состоит источник энергии, запускающий инфляционное расширение.

22

Для математически подготовленного читателя отметим, что более точное описание горизонтальных осей на рис. 3.5 таково: рассмотрим двумерную сферу, состоящую из точек пространства в момент времени, когда реликтовое излучение начало свободно распространяться. Подобно любой двумерной сфере, удобный набор координат на этой поверхности — это угловые переменные сферической системы координат. Тогда температура реликтового излучения может рассматриваться как функция этих угловых переменных и, соответственно, может быть разложена в ряд Фурье по сферическим гармоникам Y_l^m(θ, ϕ). Вертикальная ось на рис. 3.5 отражает величину коэффициента каждой моды в этом разложении — перемещение вправо вдоль горизонтальной оси соответствует уменьшению углового разделения. Технические подробности могут быть найдены, например, в отличной книге Додельсона: Scott Dodelson, «Modern Cosmology». San Diego, Calif.: Academic Press, 2003.

23

Напомним, что при обсуждении лоскутной мультивселенной предполагалось, что компоновки частиц варьируются случайным образом от лоскутка к лоскутку. Связь между лоскутной и инфляционной мультивселенными также позволяет прояснить это предположение. Пузырёк-вселенная образуется в данной области, когда падает значение поля инфлатона; когда это происходит, энергия инфлатона трансформируется в частицы. Точный набор этих частиц в любой момент времени определяется точным значением инфлатона во время процесса трансформации. Поскольку поле инфлатона испытывает квантовые флуктуации, при спускании оно начинает испытывать случайные колебания — такие же случайные колебания, которые приводят к образованию структуры из чуть более горячих и чуть более холодных пятнышек на рис. 3.4. Применительно к лоскуткам внутри пузырька-вселенной это будет соответствовать тому, что на значении инфлатона будут отражаться случайные квантовые колебания. Такая случайность обеспечит случайность получающихся распределений частиц. Именно поэтому мы ожидаем, что любая конфигурация частиц, например такая, которая отвечает за то, что мы видим вокруг нас прямо сейчас, будет повторяться так же часто, как любая другая.

24

Я благодарен Вальтеру Исааксону за личное обсуждение этого и ряда других исторических вопросов, связанных с Эйнштейном.

25

Давайте рассмотрим этот вопрос подробнее. Глэшоу, Салам и Вайнберг предположили, что электромагнитное и слабое взаимодействия являются проявлениями единого электрослабого взаимодействия. Электрослабая теория была подтверждена в экспериментах на ускорителе в конце 1970-х и начале 1980-х годов. Глэшоу и Джорджи пошли дальше и предложили, что электрослабое и сильное взаимодействия являются проявлениями ещё более фундаментального взаимодействия, в рамках подхода, который был назван великим объединением. Однако простейшая версия великого объединения была отброшена, когда учёным не удалось экспериментально подтвердить одно из предсказаний — что протоны должны время от времени распадаться. Тем не менее есть много других вариантов великого объединения, которые пока экспериментально не отвергнуты, например потому, что предсказываемая ими скорость распада протона настолько мала, что чувствительность современного экспериментального оборудования недостаточна для обнаружения распада. Однако даже если великое объединение не подкрепляется экспериментальными данными, уже нет никаких сомнений, что три негравитационных взаимодействия могут быть описаны на едином математическом языке квантовой теории поля.

26

Открытие теории суперструн дало толчок к развитию других, тесно связанных теоретических подходов, направленных на поиски единой теории фундаментальных взаимодействий. В частности, суперсимметричная квантовая теория поля и её гравитационное расширение (супергравитация) глубоко изучались в середине 1970-х годов. Суперсимметричная квантовая теория поля и супергравитация основаны на новом принципе суперсимметрии, который был открыт в рамках теории суперструн, но эти подходы подключают суперсимметрию к обычным теориям точечных частиц. Позже в этой главе мы кратко обсудим суперсимметрию, но для заинтересовавшихся читателей я здесь замечу, что суперсимметрия — это самая последняя из имеющихся симметрий (помимо вращательной симметрии, трансляционной симметрии, симметрии Лоренца и, в общем случае, симметрии Пуанкаре) в нетривиальной теории элементарных частиц. Она связывает частицы различных квантово-механических спинов и вскрывает глубокое математическое родство между частицами-переносчиками взаимодействий и частицами, из которых состоит материя. Супергравитация — это расширение суперсимметрии посредством включения гравитационного поля. В ранний период исследований по теории струн учёные осознали, что суперсимметрия и супергравитация возникают в низкоэнергетическом пределе теории струн. При низких энергиях протяжённость струны разглядеть нельзя, поэтому она выглядит как точечная частица. Соответственно, как будет обсуждаться в этой главе, применительно к низкоэнергетическим процессам математический аппарат теории струн преобразуется в аппарат квантовой теории поля. Учёные обнаружили, что поскольку суперсимметрия и гравитация выживают при таком преобразовании, то низкоэнергетические теории струн приводят к суперсимметричным квантовым теориям поля и супергравитации. Как будет обсуждаться в главе 9, связь между суперсимметричной теорией поля и теорией струн впоследствии стала ещё более глубокой.

27

Осведомлённый читатель может не согласиться с моим утверждением, что каждое поле ассоциируется с частицей. Более точное утверждение звучит так: малые флуктуации поля около локального минимума его потенциала обычно интерпретируются как возбуждения частиц. Этого определения будет достаточно для наших обсуждений. К тому же осведомлённый читатель заметит, что локализация частицы в точке сама по себе является идеализацией, потому что для этого потребуется — из принципа неопределённости — бесконечный импульс и энергия. Опять же суть в том, что в квантовой теории поля нет, в принципе, предела того, как можно в конце концов локализовать частицу.

28

Исторически математическая техника, известная как перенормировка (или ренормализация), была развита для устранения количественных проявлений жёстких (высокоэнергетичных) колебаний квантового поля на малых расстояниях. При применении к квантово-полевым теориям трёх негравитационных взаимодействий перенормировка устранила бесконечные величины, возникающие при различных вычислениях, что позволило физикам сделать фантастически точные предсказания. Однако, когда перенормировку применили к квантовым флуктуациям гравитационного поля, она оказалась неэффективной: метод не смог устранить бесконечности, возникающие при квантовых вычислениях с учётом гравитации.

С более современных позиций эти бесконечности рассматриваются несколько иначе. Физики осознали, что на пути к более глубокому пониманию законов природы разумно придерживаться той точки зрения, что любая теория приблизительна — если вообще значима — и скорее всего может описывать физические явления только вплоть до некоторого определённого масштаба (или только до некоторого энергетического масштаба). Явления за его пределами не могут описываться данной теорией. Согласно этой точке зрения, безрассудно применять данную теорию на расстояниях, меньших чем область применимости теории (или на энергиях, превышающих область применимости). С учётом таких встроенных отсеканий (подобно тем, что описаны в основном тексте) бесконечности никогда не будут возникать. Наоборот, все вычисления проводятся в теории, диапазон применимости которой обозначен с самого начала. Это означает, что предсказательная сила ограничена явлениями, находящимися в установленных теорией пределах, а на очень коротких расстояниях (больших энергиях) теория не работает. Окончательная цель полной теории квантовой гравитации состоит в устранении встроенных пределов и распространении предсказательной силы теории на произвольные масштабы.

29

Чтобы понять, откуда берутся эти конкретные числа отметим, что квантовая механика (см. главу 8) сопоставляет частице волну, и чем тяжелее частица, тем короче длина волны (расстояние между последовательными гребнями). Общая теория относительности Эйнштейна также сопоставляет длину произвольному объекту — это размер, до которого надо сжать объект, чтобы он стал чёрной дырой. Чем тяжелее объект, тем больше этот размер. А теперь возьмите частицу, которая описывается квантовой механикой, и представьте, что её масса медленно растёт. При этом квантовая волна частицы укорачивается, а её «размер чёрной дыры» увеличивается. При некоторой массе квантовая длина волны и размер чёрной дыры совпадут, что задаст тот уровень массы и размера, при котором квантово-механические и гравитационные рассмотрения одновременно важны. При проведении численной оценки такого мысленного эксперимента масса и размер оказываются равными тем значениям, которые озвучены в основном тексте — планковской массе и планковской длине соответственно. Забегая вперёд, скажу, что в главе 9 мы будем обсуждать голографический принцип. Основываясь на общей теории относительности и физике чёрных дыр, этот принцип утверждает, что существует очень определённое ограничение на количество физических степеней свободы, которые могут существовать внутри произвольной области пространства (это более точная версия рассуждений из главы 2 относительно количества различных конфигураций частиц в заданном объёме пространства; это также обсуждается в комментарии ^{11}). Если этот принцип верен, то конфликт между общей теорией относительности и квантовой механикой может возникнуть прежде, чем расстояния станут малыми, а кривизны большими. Огромный объём пространства, заполненный газом частиц даже малой плотности, будет обладать, согласно квантовой теории, значительно бо́льшим количеством степеней свободы, чем позволяет голографический принцип (основанный на общей теории относительности).

30

Квантово-механический спин является достаточно тонким понятием. Трудно представить, что значит «вращающийся», особенно в квантовой теории поля, где частицы считаются точками. На самом деле, из экспериментов следует, что частицы могут обладать внутренним свойством, очень похожим на постоянный угловой момент. Более того, из квантовой теории следует, и эксперименты это подтверждают, что частицы могут иметь угловой момент, который является только целым кратным некоторой фундаментальной величины (константы Планка, делённой на 2). Поскольку классические вращающиеся объекты обладают внутренним угловым моментом (который, однако, не является постоянным — он изменяется при изменении вращательной скорости объекта), теоретики заимствовали название «спин» и применили его к аналогичной квантовой ситуации. Отсюда название «спиновый угловой момент». Хотя выражение «вращающийся как волчок» создаёт подходящий зрительный образ, более точно будет представлять, что частицы характеризуются не только их массой, электрическим зарядом, зарядом ядра, а также внутренним неизменным спиновым угловым моментом. Подобно тому как электрический заряд частицы является одним из её фундаментальных определяющих свойств, эксперименты демонстрируют, что таким же свойством является её спиновый угловой момент.

31

Напомним, что причиной напряжённости между общей теорией относительности и квантовой механикой являются мощные квантовые флуктуации гравитационного поля, которые сотрясают пространство-время настолько сильно, что традиционные математические методы перестают работать. Квантовая неопределённость говорит нам, что эти флуктуации становятся тем сильнее, чем меньше расстояние (именно поэтому эти флуктуации в обычной жизни не видны). Вычисления показывают, что именно энергичные флуктуации на расстояниях, меньше планковского масштаба, расстраивают наши математические инструменты (чем меньше расстояние, тем больше энергия флуктуаций). Поскольку в рамках квантовой теории поля частицы описываются как точки, не имеющие пространственного размера, расстояния, достижимые этими частицами, могут быть сколь угодно малыми, и, следовательно, ощущаемые ими квантовые флуктуации могут быть сколь угодно энергичными. В теории струн ситуация изменяется. Струны не являются точками — у них имеется пространственный размер. Это означает, что есть предел малости достижимого расстояния, даже в принципе, так как струна не может уместиться на расстоянии меньшем, чем её длина. В свою очередь самое малое достижимое расстояние задаёт предел того, насколько энергичными могут быть квантовые флуктуации. Этот предел оказывается достаточным, чтобы приручить неуправляемую математику, позволяя теории струн соединить квантовую механику и общую теорию относительности.

32

«What Einstein never knew», NOVA documentary, 1985.

33

Некоторые исследователи могут заметить, что хотя ни квантовая теория поля, ни текущее состояние теории струн не дают объяснения свойств частиц, этот вопрос более насущен для теории струн. Он достаточно сложен, но для заинтересованных читателей приведём краткое резюме. Свойства частиц в квантовой теории поля — например, их массы — задаются числами, которые подставляются в уравнения теории. Сам факт того, что уравнения квантовой теории поля допускают варьирование таких чисел, является математическим способом сказать, что квантовая теория поля не определяет массы частиц, а, наоборот, использует их в качестве начальных данных. В теории струн гибкость в выборе масс частиц имеет схожее математическое происхождение — уравнения допускают свободное варьирование некоторых чисел, — однако проявление этой гибкости более значимо. Свободно изменяющиеся числа — числа, которые могут изменяться без каких-либо затрат энергии — соответствуют наличию в теории безмассовых частиц. (Если вернуться к главе 3 к языку кривых потенциальной энергии, то представьте совершенно плоскую кривую, то есть горизонтальную линию. Подобно тому как прогулка по совершенно плоской поверхности не меняет вашей потенциальной энергии, изменение значения такого поля не приведёт к затратам энергии. Поскольку масса частицы соответствует кривизне кривой потенциальной энергии квантового поля вблизи её минимума, то кванты таких полей являются безмассовыми.) Избыточное число безмассовых частиц является особенно неприятным свойством любой предлагаемой теории, потому что есть строгие ограничения на такие частицы, вытекающие из экспериментальных данных, полученных на ускорителях, и космологических наблюдений. Чтобы теория струн была жизнеспособной, безмассовым частицам необходимо придать массу. В течение последних лет было предложено несколько механизмов генерации масс, основанных на потоках, пронизывающих дырки в пространствах Калаби — Яу дополнительных измерений. Я вернусь к этому в главе 5.

34

Возможно, что в экспериментах будут получены данные, которые сильно пошатнут нашу веру в теорию струн. Структура теории струн гарантирует, что определённые базовые принципы должны соблюдаться во всех физических явлениях. Среди них унитарность (сумма вероятностей всех возможных результатов в данном эксперименте должна быть равна 1) и локальная Лоренц-инвариантность (в достаточно малой области справедлива специальная теория относительности), а также более технические свойства, такие как аналитичность и кроссинг-симметрия (результат столкновения частиц должен зависеть от импульсов частиц таким образом, чтобы удовлетворялся некоторый набор математических критериев). Если будет обнаружено — возможно, на Большом адронном коллайдере, — что любой из этих принципов нарушается, то примирить полученные данные с теорией струн станет трудной задачей. (Согласовать эти данные со Стандартной моделью физики частиц, которая также использует эти принципы, будет столь же проблематично; однако здесь спасает допущение, что при достаточно высоких энергиях Стандартная модель должна уступить место некой новой физике, поскольку она не включает в себя гравитацию. Но если мы получим данные, конфликтующие с любым из перечисленных выше принципов, это будет указывать на то, что новая физика — это не теория струн.)

35

Первое указание на парность форм Калаби — Яу возникло в работе Ланса Диксона, а также в независимой работе Вольфганга Лерхе, Николаса Уорнера и Кумруна Вафы. В моей работе с Роненом Плессером был предложен метод построения первого конкретного примера таких пар, которые мы назвали зеркальными парами, а соотношение между ними — зеркальной симметрией. Плессер и я также показали, что трудная задача, такая как определение числа сфер, которые можно упаковать в данную форму, неподъёмная при использовании одного из партнёров по паре, может стать гораздо легче на зеркальной форме. Этот результат был подхвачен Филиппом Канделасом, Ксенией де ла Осой, Полом Грином и Линдой Паркерс — они развили технику вычислений, основанную на равенстве, которое Плессер и я установили между «трудными» и «простыми» формулами. С помощью простой формулы они получили информацию о трудном партнёре, включая числа, связанные с упаковкой сфер, приведённые в основном тексте книги. За последующие годы зеркальная симметрия стала отдельной областью исследований, где было получено много важных результатов. Детальная история этого вопроса приведена в книге Шин-Туна Яу и Стива Надиса: Shing-Tung Yau and Steve Nadis, «The Shape of Inner Space». New York: Basic Books, 2010.

36

Классическая механика:  Электромагнетизм: d*F = *J; dF = 0. Квантовая механика:

Общая теория относительности:

37

Я имею в виду постоянную тонкой структуры, α = e²/ħc, численное значение которой (при характерных энергиях электромагнитных процессов) примерно равно 1/137, что приближённо составляет 0,0073.

38

Согласно Виттену, когда константа связи в теории струн типа I становится большой, эта теория преобразуется в O-гетеротическую теорию с малой константой связи, и наоборот; теория типа IIB с большой константой связи преобразуется в себя, в теорию типа IIB, но с малой константой связи. В случае E-гетеротической и теории типа IIA ситуация более тонкая (более подробно см.: «Элегантная Вселенная», глава 12), но общая картина такова, что все пять теорий являются участниками целой сети взаимосвязей.

39

Для подготовленного читателя отметим, что особенность струн — одномерных объектов — состоит в том, что описывающая их движение физика основана на некоторой бесконечномерной группе симметрии. Так как при движении струна заметает двумерную поверхность, то струнный функционал действия, на основе которого выводятся уравнения движения, определяет двумерную квантовую теорию поля. Классически, такие двумерные действия являются конформно-инвариантными (инвариантными относительно сохраняющих углы растяжений двумерной поверхности), и при наложении некоторых ограничений (таких как число измерений пространства-времени, в котором движется струна) конформная симметрия может сохраняться на квантовом уровне. Конформная группа преобразований симметрии бесконечномерная и это существенно для математической согласованности пертурбативного квантового анализа движущейся струны. Например, бесконечное число возбуждений движущейся струны, которые иначе имели бы отрицательную норму (возникающую из отрицательного знака временной компоненты пространственно-временной метрики), может быть устранено с помощью преобразований «вращения» из бесконечномерной группы симметрии. Более подробно можно прочитать в книге: М. Green, J. Schwarz, and Е. Witten, «Superstring Theory». Vol. 1. Cambridge: Cambridge University Press, 1988.

40

Подобно истории многих открытий, заслуживают славы те, чьи идеи легли в основу, и те, кто указали на их важность. Большую роль в открытии бран в теории струн сыграли Майкл Дафф, Пол Хов, Такео Иннами, Келлог Стелле, Эрик Бергшофф, Эргин Жегин, Пол Таунсенд, Крис Халл, Крис Поп, Джон Шварц, Ашок Сен, Эндрю Строминджер, Куртис Калан, Джо Польчински, Петр Хоржава, Джин Дай, Роберт Лей, Герман Николаи и Бернард Девитт.

41

Внимательный читатель может сказать, что в инфляционной мультивселенной время также было вплетено фундаментальным способом, потому что, в конце концов, граница нашего пузырька служит отметкой начала времени в нашей Вселенной; за пределами нашего пузырька означает за пределами нашего времени. Это безусловно так, но здесь идея носит более общий характер — все обсуждавшиеся до сих пор мультивселенные были основаны на анализе, сфокусированном на процессах, происходящих в пространстве. В обсуждаемой мультивселенной главную роль с самого начала играет время.

42

Александр Фридман, «Мир как пространство и время», 1923.

43

Потоки с большими значениями также приводят к дестабилизации заданной формы Калаби — Яу. То есть потоки стремятся заставить форму Калаби — Яу увеличиваться в размерах, что сразу приводит к противоречию с критерием малости дополнительных измерений.

44

George Gamow, «My World Line». New York: Viking Adult, 1970; J. C. Pecker, Letter to the Editor, «Physics Today». May 1990, p. 117.

45

Albert Einstein, «The Meaning of Relativity». Princeton: Princeton University Press, 2004, p. 127. Отметим, что вместо принятого сейчас названия «космологическая постоянная» Эйнштейн использовал термин «космологический член»; в процитированном тексте я воспользовался этой заменой для наглядности.

46

«The Collected Papers of Albert Einstein», edited by Robert Schulmann et al. Princeton: Princeton University Press, 1998, p. 316.

47

Есть одно усложнение, которое не влияет на основную идею, но которое начинает играть существенную роль при детальном научном анализе. При движении фотонов от сверхновой звезды к нам, плотность числа фотонов рассеивается описанным выше способом. Однако есть и другая причина для уменьшения. В следующем разделе будет рассказано, что растяжение пространства заставляет растягиваться длины волн фотонов, вследствие чего их энергии падают — эффект, называемый красным смещением. Астрономы используют данные по красному смещению для установления размера Вселенной в момент испускания этих фотонов — важный шаг в определении того, как расширение пространства меняется с течением времени. Но растяжение фотонов — уменьшение их энергии — проявляет себя ещё и другим способом: удалённый источник тускнеет. Поэтому для правильного определения расстояния до сверхновой путём сравнения видимой и собственной яркости астрономы должны учитывать не только рассеивание плотности числа фотонов (как описано в основном тексте), но дополнительно также и уменьшение энергии, вызванное красным смещением. (Если быть более точным, то дополнительный фактор уменьшения следует применить дважды; второй фактор красного смещения описывает степень растяжения длины фотона из-за космического расширения в момент приёма.)

48

В определённом смысле и второй вариант ответа на то, какое расстояние измеряется, также может считаться правильным. В примере раздувающейся поверхности Земли, города Нью-Йорк, Остин и Лос-Анджелес удаляются друг от друга, но их географическое положение на Земле остаётся при этом неизменным. Города удаляются друг от друга, потому что поверхность Земли раздувается, а не потому, что их выкапывают гигантским ковшом, кладут на прицеп и перевозят на новое место. Аналогично, хотя галактики из-за космического расширения разлетаются, их положение в пространстве остаётся неизменным. Представим себе, что галактики — это блёстки на космической ткани. Если ткань растягивать, блёстки начинают разъезжаться, но каждая из них остаётся пришитой к тому же самому месту, что и ранее. Поэтому если на первый взгляд второй и третий варианты ответа и кажутся разными — во втором речь идёт о расстоянии между нами и положением удалённой галактики миллиарды лет назад, когда сверхновая излучила свет, дошедший до нас сейчас, а в третьем рассматривается расстояние в данный момент между нами и текущим положением галактики, — на самом деле это не так. Положение удалённой галактики в пространстве оставалось неизменным как в настоящий момент, так и в течение миллиардов лет. Только движение через пространство, а не свободный дрейф по волнам пространственного расширения может изменить её положение. В этом смысле второй и третий ответы действительно одинаковы.

49

Поясним подготовленному читателю, как вычислить расстояние — сейчас, в момент времени t_наст, — которое свет прошёл с момента излучения во время t_изл. Мы будем рассматривать модель, в которой пространственная часть пространства-времени является плоской, и поэтому метрика может быть записана в виде

ds² = c²dt² − a²(t)dx²,

где a(t) — это масштабный фактор Вселенной в момент времени t, а c — скорость света. Используемые координаты называются сопутствующими. На образном языке этой главы их можно рассматривать как координаты, соответствующие точкам на статичной карте, а масштабный фактор даёт информацию, приведённую в легенде карты.

Траектории светового луча характеризуется тем, что ds² = 0 (это эквивалентно тому, что скорость света всегда равна c), откуда следует, что

или, выбирая конечный интервал времени между t_изл и t_наст:

Левая часть этого уравнения задаёт расстояние, пройденное светом по статичной карте от момента излучения до настоящего момента. Чтобы перевести это в расстояние в реальном пространстве, необходимо перемасштабировать формулу с учётом современного масштабного фактора; поэтому полное расстояние, проходимое светом, будет равно

Если пространство не расширяется, полное пройденное расстояние будет

как и ожидалось. Таким образом, при вычислении расстояния, пройденного в расширяющейся Вселенной, мы видим, что каждый участок траектории светового луча умножается на фактор a(t_наст)/a(t), который характеризует то, как на настоящий момент увеличился участок траектории с того момента, как через него прошёл свет.

50

Более точно примерно 7,12 × 10⁻³⁰ грамма/кубический сантиметр.

51

Пересчёт составляет 7,12 × 10⁻³⁰ грамма/кубический сантиметр = (7,12 × 10⁻³⁰ грамма/кубический сантиметр) × (4,6 × 10⁴ планковская масса/грамм) × (1,62 × 10⁻³³ сантиметр/планковская длина)³ = 1,38 × 10⁻¹²³ планковская масса/кубический планковский объём.

52

Гравитационное отталкивание при инфляции является кратким и интенсивным. Это объясняется огромной энергией и отрицательным давлением, обусловленными полем инфлатона. Однако если изменить форму кривой потенциальной энергии квантового поля, то количество энергии уменьшится и отрицательное давление снизится, что снизит интенсивность ускоренного расширения. Кроме того, при подходящей модификации кривой потенциальной энергии можно продлить период ускоренного расширения. А такой менее интенсивный и более продолжительный период ускоренного расширения — именно то, что требуется для объяснения данных по сверхновым. Однако за более чем десять лет с момента первого наблюдения ускоренного расширения, наиболее убедительным объяснением остаётся наличие у космологической постоянной небольшого отличного от нуля значения.

53

Хотя утверждение о том, что изменения физических свойств нашей Вселенной не будут благоприятствовать жизни в привычном виде, широко признано научной общественностью, некоторые учёные полагают, что диапазон значений, совместимых с жизнью, может быть шире, чем принято думать. Эти вопросы широко обсуждались в литературе. См., например: John Barrow and Frank Tipler, «The Anthropic Cosmological Principle». New York: Oxford University Press, 1986; John Barrow, «The Constants of Nature». New York: Pantheon Books, 2003; Paul Davies, «The Cosmic Jackpot». New York: Houghton Mifflin Harcourt, 2007; Victor Stenger, «Has Science Found God?» Amherst, N. Y.: Prometheus Books, 2003; а также приведённые там ссылки.

54

Опираясь на материал, изложенный в предыдущих главах, можно, казалось бы, легко заключить, что ответ, безусловно, да. Рассмотрим, говорите вы, стёганную мультивселенную, в бесконечном пространственном объёме которой находится бесконечно много вселенных. Однако вам следует быть осторожнее. Даже при бесконечном количестве вселенных список различных значений для космологических постоянных может оказаться коротким. Если, например, основные законы не допускают много различных значений для космологической постоянной, то тогда независимо от числа вселенных, будет реализовываться лишь малый набор возможных космологических постоянных. Поэтому задаваемый нами вопрос такой: (а) есть ли кандидаты на роль физических законов, которые приводят к мультивселенной, (б) содержит ли порождённая таким образом мультивселенная значительно больше, чем 10¹²⁴ различных вселенных, (в) гарантируют ли эти законы, что значение космологической постоянной варьируется от вселенной к вселенной.

55

Эти четыре автора были первыми, кто показал, что при разумном выборе пространств Калаби — Яу и пронизывающих их отверстия потоков, можно прийти к струнным моделям с небольшими положительными значениями космологической постоянной, сопоставимыми с наблюдаемыми данными. Впоследствии, совместно с Хуаном Малдасеной и Лайамом Макалистером, эта группа опубликовала крайне важную статью о том, как совместить инфляционную космологию с теорией струн.

56

Если быть более точным, этот горный рельеф будет существовать внутри приблизительно 500-мерного пространства, независимые направления которого — координатные оси — будут соответствовать различным полевым потокам.

Рисунок 6.4 даёт приблизительную картину, но позволяет получить представление о взаимосвязях между различными формами дополнительных измерений. Помимо этого, говоря о струнном ландшафте, физики обычно подразумевают, что кроме возможных значений потоков этот горный рельеф отражает также все возможные размеры и формы (различные топологии и геометрии) дополнительных измерений. Долины струнного ландшафта — это те места (определённые формы дополнительных измерений и их потоков), где естественным образом располагаются пузырьки-вселенные, как расположился бы мяч, скатившийся в долину с реального горного ландшафта. С математической точки зрения долины — это (локальные) минимумы потенциальной энергии, ассоциированной с дополнительными измерениями. В классической теории, если пузырёк-вселенная обретёт форму дополнительных измерений, соответствующую долине, то это свойство останется навсегда неизменным. Однако в квантовой теории туннелирование может привести к изменению формы дополнительных измерений.

57

Квантовое туннелирование на более высокий пик возможно, но согласно квантовым вычислениям, значительно менее вероятно.

58

Продолжительность расширения пузырька-вселенной до столкновения определяет силу столкновения и последующие разрушения. Если вернуться к примеру с Трикси и Нортоном из главы 3, такие столкновения поднимают интересный вопрос о времени. При столкновении двух пузырьков-вселенных их внешние края — на которых энергия поля инфлатона имеет большие значения — соприкасаются. С точки зрения наблюдателя, находящегося внутри любого из сталкивающихся пузырьков, большое значение энергии поля инфлатона соответствует ранним моментам времени, близким к моменту Большого взрыва в этом пузырьке. Таким образом, столкновения пузырьков-вселенных происходят на заре их рождения, и потому образовавшиеся волны могут оказывать влияние на ещё один процесс, происходящий в ранней Вселенной, — на образование реликтового излучения.

59

В главе 8 мы рассмотрим квантовую механику более подробно. Как мы увидим, моё утверждение «находятся за кулисами повседневной реальности» может быть интерпретировано разными способами. Здесь я имею в виду самый простой: уравнение квантовой механики подразумевает, что волны вероятности, как правило, отсутствуют в обычных пространственных измерениях. Наоборот, эти волны распространяются в другой среде, которая учитывает не только привычные пространственные измерения, но также число описываемых частиц. Эта среда называется конфигурационным пространством; его объяснение заинтересованный читатель может найти в комментарии ^{71}.

60

Если наблюдаемое нами ускоренное расширение пространства не постоянно, тогда в некоторый момент в будущем расширение замедлится. Замедление позволит свету от объектов, находящихся в данный момент за пределами нашего космического горизонта, достичь нас; наш космический горизонт увеличится. В этом случае будет совсем странным считать, что миры за пределами нашего горизонта не являются реальными, поскольку в будущем к ним может появится доступ. (Вы можете вспомнить, что в конце главы 2 было отмечено, что показанные на рис. 2.1 космические горизонты будут увеличиваться с течением времени. Это верно для вселенной, в которой темп пространственного расширения не убыстряется. Однако, если расширение ускоряется, то существует расстояние, за которое мы никогда не сможем заглянуть, сколь долго мы не ждали бы. В ускоряющейся вселенной космический горизонт не может превзойти размер, который определяется математически темпом ускорения.)

61

Приведём конкретный пример свойства, которое может быть общим для всех вселенных из некоторой мультивселенной. В главе 2 отмечалось, что современные наблюдательные данные строго указывают на то, что кривизна пространства равна нулю. Однако довольно сложные математические вычисления показывают, что все пузырьки-вселенные в инфляционной мультивселенной обладают отрицательной кривизной. Грубо говоря, пространственные формы с равными значениями инфлатона — формы, определяемые соединением равных чисел на рис. 3.8б, — больше похожи на картофельные чипсы, чем на плоскую поверхность стола. Но даже в этом случае инфляционная мультивселенная остаётся совместимой с наблюдениями, потому что при расширении любой формы её кривизна уменьшается (кривизна жемчужины всем очевидна, а кривизна поверхности Земли не замечалась тысячелетиями). Если наш пузырёк-вселенная продолжает испытывать значительное расширение, его кривизна может быть отрицательной и при этом настолько малой, что современные измерения не смогут уловить отличие от нуля. Отсюда следует возможный тест. Если более точные наблюдения в будущем покажут, что кривизна пространства очень мала, но положительна, это опровергнет гипотезу о том, что наша Вселенная является частью инфляционной мультивселенной, как было отмечено Б. Фрайфогелем, М. Клебаном, М. Родригез Мартинезом и Л. Сасскиндом в статье: B. Freivogel, M. Kleban, M. Rodriguez Martinez, and L. Susskind «Observational Consequences of a Landscape», «Journal of High Energy Physics» 0603, 039 [2006]; если измерения дадут положительное значение для кривизны, равное примерно 10⁻⁵, это станет сильным аргументом против квантово-туннельных переходов, которые согласно теории заполняют струнный ландшафт (см. главу 6).

62

Список космологов и струнных теоретиков, внёсших значительный вклад в эту область, включает, помимо многих других, таких исследователей как Алан Гут, Андрей Линде, Александр Виленкин, Жауме Гаррига, Дон Пейдж, Сергей Виницки, Ричард Истер, Юджин Лим, Мэттью Мартин, Майкл Дуглас, Фредерик Денеф, Рафаэль Буссо, Бен Фрайфогель, И-Шен Янг, Делия Шварц-Перлов.

63

Стоит ещё отметить, что описанные вычисления выполнялись без конкретизации типа мультивселенной. Наоборот, Вайнберг и его соавторы рассмотрели модель мультивселенной с изменяющимися характеристиками и вычислили густоту галактик в каждой из составляющих её вселенных. Чем больше галактик во вселенной, тем больший вес приписывается её свойствам при вычислении усреднённых свойств, с которыми столкнётся типичный наблюдатель. Однако, поскольку Вайнберг и его соавторы не конкретизируют модель мультивселенной, их вычисления не могут учесть вероятность нахождения в данной мультивселенной вселенных с теми или иными свойствами (те вероятности, которые обсуждались в предыдущем разделе). Возможно наличие вселенных с космологическими постоянными и флуктуациями, лежащими в определённом диапазоне, так что они готовы для запуска процесса образования галактик, но если такие вселенные редки в данной мультивселенной, то мы вряд ли обнаружим, что находимся в одной из них.

Для упрощения вычислений Вайнберг и его соавторы предположили, что поскольку рассматриваемый ими диапазон значений космологической постоянной очень узок (между 0 и 10⁻¹²⁰), то вероятности существования таких вселенные в данной мультивселенной не будут, по всей видимости, сильно варьироваться (подобно как вероятность того, что вы встретите собаку весом в 26,99997 килограмма не сильно отличается от вероятности, что вы встретите собаку весом 26,99999 килограмма). Таким образом, они полагали, что любое значение космологической постоянной в том узком диапазоне, который совместим с образованием галактик, столь же вероятно, как и любое другое. На нашем рудиментарном уровне понимания механизма возникновения мультивселенной это кажется достаточно разумным предположением. Однако дальнейшие исследования поставили под вопрос справедливость данного допущения, требуя более полного анализа. Было показано, что для того чтобы продвинуться дальше, необходимо конкретизировать тип мультивселенной и задать распределение вселенных с разными свойствами. Вычисления, основанные на антропном принципе с самым минимальным набором допущений, являются единственным способом понять, сможет ли этот подход в будущем дать осмысленные плоды, обладающие предсказательной силой.

64

Само слово «типичное» тоже добавляет проблем, поскольку его смысл зависит от того, как оно определяется и какие измерения за этим стоят. Если, например, мы используем в качестве критерия число детей и машин, то придём к одному виду «типичной» американской семьи. Если использовать другие критерии, такие как интерес к физике, любовь к опере или увлечение политикой, то характеристика «типичной» семьи изменится. Тот анализ, что верен для «типичной» американской семьи, по всей вероятности верен и для «типичных» наблюдателей в мультивселенной: рассмотрение других свойств помимо размера популяции приведёт к другому определению «типичного» наблюдателя. В свою очередь это будет влиять на предсказание вероятности наблюдения того или иного свойства в нашей Вселенной. Чтобы антропные вычисления стали по-настоящему убедительны, они должны учитывать этот аспект. В противном случае, как говорилось в основном тексте, распределения должны иметь очень резко выраженные пики, чтобы отклонения от одной населённой вселенной к другой были бы минимальными.

65

Изучение наборов с бесконечным числом составляющих является богатым и хорошо изученным разделом математики. Любознательный читатель может быть знаком с тем фактом, что проводимые в XIX столетии исследования выявили, что есть различные «размеры» или, как принято говорить, «уровни» бесконечности. То есть одна бесконечная величина может быть больше, чем другая бесконечная величина. Уровень бесконечности, задающий размер множества, содержащего все целые числа, обозначается Ν₀. Георг Кантор показал, что эта величина меньше, чем аналогичная величина для множества всех вещественных чисел. Грубо говоря, если попытаться сопоставить целые и вещественные числа, то первые обязательно закончатся раньше вторых. А если рассмотреть множество всех подмножеств вещественных чисел, то уровень бесконечности будет ещё больше.

Во всех обсуждавшихся выше примерах из основного текста речь шла о бесконечности типа Ν₀, потому что мы рассматривали бесконечные наборы дискретных, или «счётных», объектов — то есть различные наборы целых чисел. Тогда в математическом смысле во всех примерах размер одинаков; полное число составляющих описывается одним и тем же уровнем бесконечности. Однако, как мы вскоре увидим, для физиков вывод такого сорта не особенно полезен, ибо цель состоит в том, чтобы найти физически обоснованную схему для сравнения бесконечных наборов вселенных, которая приведёт к более точной иерархии, той, что позволит объяснить относительное преобладание одного набора свойств во всей мультивселенной по сравнению с другим набором. Типичный для физиков подход при решении такого сорта задач состоит в следующем. Сперва следует сравнить между собой конечные подклассы рассматриваемых бесконечных наборов (потому что в конечном случае все непонятные вопросы снимаются), а затем добавлять в подклассы всё больше и больше элементов, так чтобы в конце концов включить полный бесконечный набор. Трудность в том, чтобы найти физически оправданный способ выбора конечных подклассов для сравнения, а также обосновать, что при увеличении выбранных подклассов сравнения остаются осмысленными.

66

У теории инфляции есть и другие достижения, в частности решение проблемы магнитных монополей. При попытке объединить три негравитационных взаимодействия в одну теоретическую схему (известную под названием великое объединение) исследователи обнаружили, что Большой взрыв должен сопровождаться образованием большого количество магнитных монополей. Эти частицы представляют собой, по сути, северный полюс линейного магнита, в котором нет привычной пары — южного полюса (и наоборот). Однако до сих пор такие частицы не были обнаружены. Инфляционная космология объясняет отсутствие монополей тем, что быстрое колоссальное расширение пространства сразу после Большого взрыва разметало их по всему пространству, поэтому вероятность их присутствия в нашей Вселенной близка к нулю.

67

В настоящее время есть разные точки зрения, насколько трудна эта задача. Некоторые рассматривают проблему измерения как хитроумный технический трюк, который в случае успешного решения станет важным дополнением инфляционной космологии. Другие (например, Пол Стейнхард) считают, что решение проблемы измерения потребует выхода далеко за рамки математического формализма инфляционной космологии, что приведёт к новому подходу, который должен будет рассматриваться как новая космологическая теория. Моя личная точка зрения, которую разделяют немногие, но их число постоянно растёт, состоит в том, что проблема измерения уходит корнями на самый глубокий фундаментальный уровень, и её решение может потребовать серьёзного пересмотра основополагающих идей.

68

Оригинальную версию 1956 года и урезанную версию 1957 года диссертации Эверетта можно найти в книге Брайса ДеВитта: «The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics», edited by Bryce S. DeWitt & Neill Graham. Princeton: Princeton University Press, 1973.

69

27 января 1998 года я обсуждал с Джоном Уилером аспекты квантовой механики и общей теории относительности, которые я собирался описать в «Элегантной Вселенной». Прежде чем углубиться в науку, Уилер отметил, насколько важно, особенно для молодых теоретиков, найти правильный способ представления своих результатов. В тот момент я воспринял это как не более чем мудрый совет, возможно, побуждённый его разговором с мной, «молодым теоретиком», проявившим интерес к описанию математических достижений на обычном языке. Однако, читая поучительную историю, изложенную в книге Питера Бирна: Peter Byrne, «The Many Worlds of Hugh Everett III». New York: Oxford University Press, 2010, я был поражён тем, что Уилер также акцентировал эту тему примерно сорок лет назад в его общении с Эвереттом, только в ситуации, где ставки были гораздо выше. Комментируя черновой вариант диссертации Эверетта, Уилер сказал, что надо «подчистить слова, не формализм», и предупредил о «сложности использования обычных слов для описания математического формализма, который удалён от обычной жизни настолько, насколько это вообще возможно; о противоречиях и недопониманиях, которые могут возникнуть; об очень и очень тяжёлой ноше ответственности, с которой следует делать все утверждения, так чтобы эти недопонимания не могли возникнуть». Бирн убедительно свидетельствует, что Уилер балансировал на тонкой грани между восхищением работой Эверетта и уважением к квантово-механическому подходу, над которым трудились Бор и много других знаменитых физиков. С одной стороны, он не хотел, чтобы идеи Эверетта бесцеремонно были принижены старой гвардией только потому, что Эверетт выбрал неудачную форму для презентации или потому что эмоциональные слова (вроде «расщепляющиеся» вселенные) могут резануть своей новомодностью. С другой стороны, Уилер не хотел, чтобы почтенное физическое сообщество подумало, будто он является инициатором ничем не оправданной атаки на успешный квантовый формализм. Относительно Эверетта и его диссертации Уилер предложил компромисс, что развитый математический формализм должен быть сохранён, но трактовка и приложения должны быть облечены в более мягкую форму. В то же время, Уилер настоятельно побуждал Эверетта съездить к Бору и изложить свои доводы лично, у доски. В 1959 году Эверетт так и поступил, однако то, что ему виделось как двухнедельные разносторонние обсуждения, свелось к нескольким непродуктивным разговорам. Никто не изменил своего мнения; позиции остались прежними.

70

Позвольте пояснить одну неточность. Из уравнения Шрёдингера следует, что значения, которые может принимать квантовая волна (или, на языке полей, волновая функция) могут быть положительными и отрицательными; в общем случае, эти значения могут быть комплексными числами. Такие числа не могут быть напрямую интерпретированы как вероятности — что означает отрицательная или комплексная вероятности? Вероятности ассоциируются с квадратом амплитуды квантовой волны в данной точке. Математически это означает, что для определения вероятности нахождения частицы в данной точке мы перемножаем значение волны в этой точке с его комплексно сопряжённым значением. Это пояснение также важно для понимания следующего вопроса. Сокращения между перекрывающимися волнами необходимы для появления интерференционной картины. Но если бы волны действительно описывались как волны вероятности, такие сокращения не происходили бы, потому что вероятности являются положительными числами. Однако, как мы теперь знаем, квантовые волны принимают не только положительные значения; благодаря этому и происходят сокращения между положительными и отрицательными числами, а в общем случае, между комплексными числами. Поскольку нам важны только качественные свойства таких волн, для упрощения обсуждения в основном тексте я не буду различать квантовые волны и связанные с ними волны вероятности (получаемые путём возведением амплитуды в квадрат).

71

Для математически подготовленного читателя заметим, что квантовая волна (волновая функция) одной частицы с большой массой будет описываться так, как это указано в основном тексте. Однако очень массивные объекты, как правило, состоят из многих частиц. В такой ситуации квантово-механическое описание более сложное. Вы могли бы подумать, что все частицы будут описываться квантовой волной, определённой на той же сетке координат, которая использовалась для одной частицы — с помощью тех же трёх пространственных осей. Но это не так. Волна вероятности использует в качестве начальных данных возможное положение каждой частицы и задаёт вероятность нахождения частиц в этих положениях. Следовательно, волна вероятности живёт в пространстве с тремя осями для каждой из частиц — то есть общее количество осей будет в три раза больше количества частиц (или в десять раз больше количества частиц, если учитывать дополнительные измерения теории струн). Это означает, что волновая функция составной системы, состоящей из n фундаментальных частиц, будет являться комплекснозначной функцией, определённой не на обычном трёхмерном пространстве, а на 3n-мерном пространстве; если число пространственных измерений не 3, а m, то число 3 в этом выражении будет заменено на m. Такое пространство называется конфигурационным. То есть в общем случае, волновая функция будет отображением . Когда мы говорим, что волновая функция имеет острый пик, мы имеем в виду, что это отображение определено на небольшом mn-мерном шаре внутри области определения. Отметим, в частности, что волновая функция, как правило, определена не в привычном пространстве. Конфигурационное пространство совпадает с привычным нам пространством только в идеализированном случае волновой функции одной, полностью изолированной, частицы. Ещё заметим, что когда говорится, что квантовые законы гарантируют распространение остролокализованной волновой функции массивного объекта по траектории, которую задают уравнения Ньютона, можно представлять себе, что волновая функция описывает движение центра масс данного объекта.

72

Из этого описания вы можете сделать вывод, что существует бесконечно много местоположений, где может находиться электрон: для заполнения плавно меняющегося волнового профиля квантовой волны понадобится бесконечное число пикообразных форм, каждая из которых ассоциирована с возможным положением электрона. Как это стыкуется с главой 2, в которой мы обсуждали конечное число различных конфигураций частиц? Во избежание постоянных оговорок, не имеющих важного значения для основного изложения этой книги, я не стал заострять внимание на факте (указанном в главе 2), что для всё более точного определения положения электрона измерительный прибор будет тратить всё больше энергии. Поскольку в реальных ситуациях энергия ограничена, то разрешение прибора не идеально. Для пикообразных квантовых волн это означает, что при любой конечной энергии у пиков имеется отличная от нуля ширина. В свою очередь это означает, что в любой ограниченной области (например, внутри космического горизонта) существует конечное число различных измеряемых положений электрона. Более того, чем тоньше пик (более точное разрешение положения частицы), тем шире квантовая волна, описывающая энергию частиц, что демонстрирует обусловленный принципом неопределённости компромисс между характеристиками частицы.

73

Для читателя с философским складом ума замечу, что описанная выше двухъярусная картина научного объяснения была предметом философских обсуждений и споров. Смежные идеи и обсуждения можно найти в работах: Frederick Suppe, «The Semantic Conception of Theories and Scientific Realism». Chicago: University of Illinois Press, 1989; James Ladyman, Don Ross, David Spurrett, & John Collier, «Every Thing Must Go». Oxford: Oxford University Press, 2007.

74

Физики часто довольно свободно говорят о бесконечном количестве вселенных в контексте многомирового подхода к квантовой механике. Безусловно, существует бесконечно много форм возможных волн вероятности. Даже в одной и той же точке пространства можно непрерывным образом изменять значение волны вероятности, и поэтому число принимаемых ею значений будет бесконечным. Однако волны вероятности не являются физическими характеристиками системы, к которым у нас есть прямой доступ. Наоборот, волны вероятности содержат информацию о возможных различных исходах в заданной ситуации, а их не обязательно бесконечное число. В частности, подготовленный читатель заметит, что квантовая волна (волновая функция) находится в гильбертовом пространстве. Если данное гильбертово пространство конечномерно, то имеется конечное число разных возможных результатов измерений в физической системе, задаваемой этой волновой функцией (то есть любой эрмитов оператор имеет конечное число различных собственных значений). Это приведёт к конечному числу миров для конечного числа наблюдений или измерений. Считается, что гильбертово пространство, ассоциированное с физическими явлениями, происходящими внутри пространства конечного объёма и с ограниченной энергией, является с необходимостью конечномерным (мы остановимся на этом более подробно в главе 9), откуда следует, что число миров также будет конечно.

75

См.: Peter Byrne, «The Many Worlds of Hugh Everett III». New York: Oxford University Press, 2010, p. 177.

76

В разное время многие учёные, включая Нила Грахама; Брайса де Витта; Джеймса Хартли; Эварда Фархи, Джефри Голдстоуна и Сэма Гутмана; Дэвида Дойча; Сидни Коулмена; Дэвида Альберта и других, включая меня самого, независимо обнаружили удивительный математический факт, который, по видимому, является центральным для понимания природы вероятности в квантовой механике. Приведём его формулировку для математически подготовленного читателя: пусть ψ — волновая функция квантово-механической системы — вектор, являющийся элементом гильбертова пространства H. Волновая функция для n тождественных копий системы имеет, таким образом, вид . Пусть A — это произвольный эрмитов оператор с собственными значениями α_k и собственными функциями . Пусть F_K(A) — это оператор «частоты», который подсчитывает число раз, которое  появляется в данном состоянии, принадлежащем . Тогда имеем следующий математический результат:

То есть при неограниченном росте числа тождественных копий системы волновая функция всей составной системы стремится к собственной функции оператора частоты с собственным значением . Это замечательный результат. Из самого определения собственной функции тогда следует, что в указанном пределе наблюдатель, измеряющий A, обнаружит α_k дробное число раз, равное , что выглядит как самый прямой вывод знаменитого правила Борна для квантово-механической вероятности. С точки зрения многомирового подхода это означает, что миры, в которых число наблюдений α_k не согласуется с правилом Борна, обладают нулевой нормой в гильбертовом пространстве в пределе произвольно больших n. В этом смысле кажется, будто квантово-механическая вероятность имеет прямую интерпретацию в рамках многомирового подхода. Все наблюдатели в многомировом подходе будут видеть результаты с частотами, которые соответствуют возникающим из стандартной квантовой механики, за исключением множества наблюдателей, норма которых в гильбертовом пространстве становится исчезающее мала при n, стремящемся к бесконечности. Хотя это выглядит многообещающим, но по зрелому размышлению возникают сомнения. В каком смысле можно говорить, что наблюдатель, норма которого в гильбертовом пространстве мала или норма которого стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности, неважен или не существует? Мы хотим сказать, что такие наблюдатели аномальны или «маловероятны», но как установить связь между нормой вектора в гильбертовом пространстве и этими характеристиками? Ситуацию можно разъяснить на примере. В двумерном гильбертовом пространстве с состояниями спин-вверх  и спин-вниз  рассмотрим состояние . При измерении это состояние даёт вероятность состояния спин-вверх примерно 0,98 и состояния спин-вниз примерно 0,02. Если рассмотреть n копий этой спиновой системы, , то при стремлении n к бесконечности подавляющее большинство членов в разложении этого вектора имеют примерно одинаковые количества состояний спин-вверх и спин-вниз. Поэтому подавляющее большинство наблюдателей (копий экспериментаторов) будут видеть состояния спин-вверх и спин-вниз в отношении, которое не согласуется с квантово-механическими предсказаниями. Лишь небольшое количество членов в разложении , у которых 98 процентов состояний спин-вверх и 2 процента состояний спин-вниз, будут согласованы с квантово-механическим ожиданием. Этот результат говорит нам, что только эти состояния и будут теми единственными, имеющими ненулевую норму при n, стремящемся к бесконечности. Тогда абсолютное большинство членов в разложении  (абсолютное большинство копий экспериментаторов) следует рассматривать в некотором смысле как «несуществующие». Проблема состоит в том, чтобы понять, что всё это вообще значит.

Я независимо пришёл к описанному выше математическому результату во время подготовки к лекциям по курсу квантовой механики. Было бы полным восторгом получить вероятностную интерпретацию квантовой механики, напрямую следующую из математического формализма — я представляю как учащённо бились сердца всех физиков, которые, как и я, получили этот результат. Поражает, однако, сколь мало известен этот результат в физическом сообществе. Например, я не знаю ни одного стандартного учебника по квантовой физике, в котором он содержится. Я считаю, что этот результат можно осмыслить с нескольких ракурсов: во-первых, как сильную математическую мотивацию вероятностной интерпретации волновой функции Борном — если бы Борн не «угадал» эту интерпретацию, то кто-нибудь, в конце концов, вывел бы её прямо из математического формализма; во-вторых, как проверку совместимости вероятностной интерпретации — если бы этот математический результат не выполнялся, то встал бы вопрос о внутренней осмысленности вероятностной интерпретации волновой функции.

77

Я использовал выражение «рассуждения закстарианского типа» для обозначения подхода, в котором понятие вероятности возникает благодаря неведению каждого обитателя из множества миров относительно того, какому конкретному миру он принадлежит. Лев Вайдман предложил отнестись более серьёзно к идее закстарианского сценария. Он говорит, что понятие вероятности возникает в многомировом подходе во временном промежутке между завершением измерения и считыванием полученного результата экспериментатором. Но, возражают скептики, ложка хороша к обеду: обязанность квантовой механики и науки вообще состоит в том, чтобы давать предсказания о том, что произойдёт, а не о том, что произошло. Более того, сомнительно, чтобы понятие квантовой вероятности основывалось на отсрочке во времени, которая легко поддаётся устранению: если учёный имеет немедленный доступ к результатам эксперимента, то возникает опасение, что квантовая вероятность может быть вообще вытеснена из формализма. (Подробное обсуждение содержится в работах: David Albert, Probability in the Everett Picture, «Many Worlds: Everett, Quantum Theory, and Reality», eds. Simon Saunders, Jonathan Barrett, Adrian Kent, David Wallace. Oxford: Oxford University Press, 2010; Peter Lewis, Uncertainty and Probability for Branching Selves, philsciarchive.pitt.edu/archive/00002636.) Окончательный вердикт о гипотезе Вайдмана и подобной вероятности неведения таков: если я подбрасываю монетку в контексте обычной, одной единственной Вселенной и говорю, что есть 50-процентная вероятность того, что выпадет орёл, то я говорю так по той причине, что хотя я и получил всего один результат, на самом деле существуют два результата, которые я мог бы получить. Однако давайте я закрою глаза и представлю, что я только что измерил положение нашего электрона. Я знаю, что монитор детектора показывает либо Земляничные поля, либо мемориал Гранта, но я не знаю, что именно. Тогда вы обращаетесь ко мне. «Брайан, — говорите вы, — какова вероятность того, что монитор показывает мемориал Гранта?» Чтобы ответить, я вспоминаю подбрасывание монетки, но как только я начинаю рассуждать в том же духе, меня одолевают сомнения. «Ммммм, — думаю я, — действительно ли есть два результата, которые я мог бы получить? Единственное, что отличает меня от другого Брайана, — это показание монитора. Представить, что на мониторе показана другая надпись, — это всё равно что представить, что я — это не я. Это представить, что я — другой Брайан». Поэтому, хотя я не знаю, что написано на мониторе, я — тот парень, который говорит сейчас в моей голове — не мог бы получить никакого другого результата; отсюда следует, что моё неведение не может быть причиной вероятностного мышления.

78

Считается, что учёные должны быть объективны в своих оценках. Но я спокойно отношусь к тому, что мне хотелось бы, чтобы многомировой подход оказался верным, по причине его математической экономичности и далеко идущих последствий для понимания реальности. В то же время, я проявляю здоровый скептицизм, который исходит из трудностей, с которыми сталкивается включение понятия вероятности в этот подход, потому я полностью открыт альтернативным способам решения этого вопроса. Два из них являются хорошим материалом для обсуждения. В одном делается попытка доработать незавершённый копенгагенский подход до полной теории; другой можно рассматривать как многомировой подход, но без множественности миров.

В первом подходе, инициаторами которого являются Джанкарло Джирарди, Альберто Римини и Туллио Вебер, делается попытка придать смысл копенгагенской схеме путём подстройки математического аппарата теории, основанного на уравнении Шрёдингера, так чтобы он действительно приводил к схлопыванию волны вероятности. Но проще сказать, чем сделать. Подстроенный математический аппарат теории не должен изменять волны вероятности объектов микромира, таких как отдельные частицы или атомы, поскольку у нас нет причин вносить поправки в успешное описание явлений в этой области. Но подстройка обязательно требуется, когда в игру вступают объекты макромира, такие как лабораторное оборудование, что приводит к схлопыванию общей волны вероятности. Джирарди, Римини и Вебер развили соответствующий математический аппарат. Итог их работы таков, что с помощью предложенных ими подстроенных уравнений акт измерения действительно заставляет волну схлопнуться; это приводит к эволюции волны вероятности, показанной на рис. 8.6.

Второй подход, изначально развитый Луи де Бройлем в 1920-х годах и затем спустя десятилетия дополненный Дэвидом Бомом, начинается с математического предположения, перекликающегося с идеями Эверетта. Уравнение Шрёдингера при любых обстоятельствах обязано задавать эволюцию квантовых волн. Поэтому в теории де Бройля — Бома волны вероятности распространяются так же, как в многомировом подходе. Однако теория де Бройля — Бома основана на идее, которую я ранее охарактеризовал как ошибочную: в этом подходе все, кроме одного, из множества миров, содержащиеся в волне вероятности, являются лишь возможными мирами; только один мир считается реальным.

С этой целью в данном подходе перестают петь заученную квантовую песню о волне или частице (что до измерения электрон — это волна, а после измерения электрон превращается в частицу), а вместо этого предлагают одновременно рассматривать волны и частицы. В противоположность стандартной квантовой точке зрения, де Бройль и Бом считают частицы крошечными, локализованными сущностями, эволюция которых происходит вдоль определённых траекторий, что приводит к обычной, однозначной действительности, так же как и при классическом описании. Единственный «реальный» мир — это тот, в котором частицы находятся в своих единственных, определённых положениях. При этом квантовые волны играют совершенно другую роль. Вместо воплощения всей совокупности реальностей, роль квантовой волны сводится к руководству движением частиц. Квантовая волна толкает частицы в те положения, где высота волны большая, что делает вероятным обнаружение частиц в этих положениях, и отталкивает от положений, где высота волны мала, что делает обнаружение частиц в этих положениях маловероятным. Для описания этого процесса де Бройлю и Бому требуется дополнительное уравнение, описывающее действие квантовой волны на частицу, поэтому хотя от уравнения Шрёдингера не отказываются, но теперь на сцене появляется и другой математический исполнитель. (Заинтересованный читатель познакомится с этими уравнениями ниже.)

В течение многих лет бытовало мнение, что подход де Бройля — Бома не стоит того, чтобы на него тратить время, что он перегружен дополнительными вещами — не только вторым уравнением, но также, поскольку он вовлекает одновременно частицы и волны, удвоенным списком ингредиентов. Недавно, однако, стали раздаваться голоса, что этот критицизм надо вложить в контекст. Из работы Джирарди — Римини — Вебера совершенно ясно следует, что даже в версии флагмана квантовой механики, в копенгагенском подходе, требуется второе уравнение. Помимо этого, включение как частиц, так и волн приносит огромную выгоду: возрождается понятие объектов, движущихся вдоль определённых траекторий, происходит возвращение к базовому, привычному свойству реальности, от которого копенгагенцы несколько поспешно убедили всех отказаться. На более техническом уровне критицизм состоит в том, что этот подход является нелокальным (новое уравнение показывает, что воздействие в одной точке моментально переносится в удалённые точки), и его трудно совместить со специальной теорией относительности. Но важность первого критического замечания снижается, если заметить, что даже в копенгагенском подходе имеются нелокальные свойства, которые, к тому же, подтверждены экспериментально. Вопрос насчёт совместимости со специальной теорией относительности безусловно важен, и его ещё предстоит решить в полном объёме.

Частично неприятие теории де Бройля — Бома вызвано тем, что математический формализм теории не всегда представляется в отчётливом виде. Для математически настроенного читателя, приведём здесь прямой вывод этой теории.

Начнём с уравнения Шрёдингера для волновой функции частицы:

где плотность вероятности частицы в точке x, ρ(x) задаётся стандартным уравнением,

Теперь представьте, что частица движется по определённой траектории со скоростью, задаваемой функцией υ(x) в точке x. Какому физическому условию должна удовлетворять функция скорости? Определённо, она должна удовлетворять закону сохранения вероятности: если частица движется со скоростью υ(x) из одной области в другую, плотность вероятности должна меняться соответственно:

Теперь легко найти решение для υ(x), которое имеет вид

где m — это масса частицы.

Вместе с уравнением Шрёдингера это уравнение определяет теорию де Бройля — Бома. Отметим, что второе уравнение нелинейно, но это не влияет на уравнение Шрёдингера — оно по-прежнему остаётся полностью линейным. Тогда подходящая интерпретация такова, что этот подход для устранения недочётов копенгагенского подхода предлагает новое уравнение, зависящее от волновой функции нелинейным образом. Вся сила и красота основополагающего уравнения, то есть уравнения Шрёдингера, полностью сохраняется.

Можно также добавить, что уравнение непосредственно обобщается на случай многих частиц: в правую часть нового уравнения подставляется волновая функция многочастичной системы ψ(x₁, x₂, x₃… x_n), и при вычислении скорости k-й частицы производная берётся по отношению к k-й координате (рассматривается, для простоты, одномерное пространство; в старших измерениях, соответственно, увеличивается число координат). Это обобщённое уравнение явно нелокально: скорость k-й частицы мгновенным образом зависит от положений других частиц (поскольку волновая функция зависит от координат положения частиц).

79

Приведём конкретный умозрительный эксперимент, демонстрирующий различия между копенгагенским и многомировым подходом. Электрон, подобно всем остальным элементарным частицам, обладает свойством, известным как спин. Электрон, подобно волчку, может вращаться вокруг некоторой оси, но с тем существенным отличием, что скорость его вращения — независимо от направления оси — всегда постоянна. Спин является внутренней характеристикой электрона, подобно массе или электрическому заряду. При этом значение имеет лишь то, вращается он по часовой стрелке или против часовой стрелки вокруг заданной оси. Если против часовой стрелки, мы говорим, что спин электрона вдоль этой оси направлен вверх; если по часовой стрелке, мы говорим, что спин электрона направлен вниз. Из квантово-механической неопределённости следует, что если спин электрона вдоль данной оси имеет определённое значение — например, со 100-процентной вероятностью спин электрона направлен вверх вдоль z-оси — то его спин вдоль x-оси и y-оси неопределён: вдоль x-оси спин будет с вероятностью 50 процентов направлен вверх и с вероятностью 50 процентов вниз; то же самое справедливо для y-оси.

Представьте теперь, что берётся электрон, спин которого вдоль z-оси с вероятностью 100 процентов направлен вверх, и затем требуется измерить его спин вдоль x-оси. Согласно копенгагенскому подходу, если спин окажется направленным вниз, это означает, что волна вероятности спина электрона схлопнулась: возможность «спин-вверх» была стёрта из реальности, остался единственный пик, соответствующий «спин-вниз». В многомировом подходе наоборот, имеют место оба результата, «спин-вниз» и «спин-вверх», поэтому, в частности, возможность «спин-вверх» полностью сохраняется.

Чтобы вынести решение в пользу того или иного подхода, вообразим следующее. Представим, что после измерения спина электрона вдоль x-оси, кто-то полностью обратил физическую эволюцию. (Фундаментальные уравнения физики, включая уравнение Шрёдингера, инварианты относительно обращения времени, что означает, в частности, что по крайней мере в принципе можно развернуть назад любую эволюцию. В моей книге «Ткань космоса» содержится полное обсуждение этого вопроса.) Этой инверсии подвергнется всё: электрон, приборы, всё что угодно, участвующее в эксперименте. Теперь, если многомировой подход верен, последующее измерение спина электрона вдоль z-оси должно привести, со 100-процентной вероятностью, к значению, с которого мы начали: «спин-вверх». Однако, если верен копенгагенский подход (под которым я подразумеваю математически самосогласованную версию, такую как формулировка Джирарди — Римини — Вебера), то мы получим другой ответ. Копенгагенский подход говорит, что при измерении спина электрона вдоль x-оси, где мы обнаружили «спин-вниз», возможность появления «спин-вверх» была аннулирована, полностью стёрта из регистра реальности. Поэтому при обращении измерения мы не возвратимся назад в начальное положение, потому что часть волны вероятности навсегда потеряна. При последующем измерении спина электрона вдоль z-оси нет 100-процентной вероятности получения того же самого результата, с которого мы начали. Наоборот, оказывается, что есть 50 процентов вероятности, что будет получен исходный результат, и 50 процентов вероятности, что будет получен другой. Если повторять этот эксперимент раз за разом и если доверять копенгагенскому подходу, то в среднем в половине случаев вы не получите исходного результата для спина электрона вдоль z-оси. Проблема, конечно же, в осуществлении полного обращения физической эволюции. Но в принципе, этот эксперимент может помочь выяснить, какая из двух теорий верна.

80

Основываясь на общей теории относительности и проведя соответствующие вычисления, Эйнштейн математически доказал, что экстремальные конфигурации Шварцшильда — известные теперь как чёрные дыры — не могут существовать. Математически его вычисления были совершенно верными. Но он ввёл дополнительные предположения, которые, при экстремальной искривлённости пространства и времени, вызываемой чёрной дырой, оказались слишком ограничительными. Эти ограничения означали, что используемый Эйнштейном математический формализм не обладал достаточной свободой для обнаружения существования чёрных дыр. Но это всего лишь артефакт подхода Эйнштейна, а не указание на то, могут или нет образовываться чёрные дыры. При современном понимании очевидно, что в общей теории относительности есть место для решений, содержащих чёрные дыры.

81

В 1972 году Джеймс Бардин, Брэндон Картер и Стивен Хокинг открыли математические законы, описывающие эволюцию чёрных дыр, и обнаружили, что эти уравнения выглядят точно так же, как уравнения термодинамики. Всё, что надо сделать для перевода из одного набора законов в другой, это заменить «площадь горизонта чёрной дыры» на «энтропию» (и наоборот), а «гравитацию на поверхности чёрной дыры» на «температуру». Поэтому, чтобы идея Бекенштейна сработала — чтобы сходство оказалось не просто совпадением, а свидетельством наличия энтропии у чёрных дыр, — температура чёрных дыр должна быть отлична от нуля.

82

Причина, по которой энергия меняется, отнюдь не так очевидна; она основывается на внутренней связи между энергией и временем. Энергию частицы можно представлять как скорость вибраций квантового поля. Если заметить, что сам смысл скорости вовлекает понятие времени, взаимосвязь между энергией и временем становится очевидной. Чёрные дыры оказывают глубочайшее влияние на время. Для удалённого наблюдателя время при приближении объекта к горизонту чёрной дыры замедляется, а на горизонте останавливается совсем. При пересечении горизонта время и пространство меняются ролями — внутри чёрной дыры радиальное направление становится временем. Это означает, что внутри чёрной дыры понятие положительной энергии совпадает с движением вдоль радиального направления к центру сингулярности чёрной дыры. Когда партнёр с отрицательной энергией из пары рождённых из вакуума частиц пересекает горизонт, он действительно падает в центр чёрной дыры. Таким образом, отрицательная энергия, которая у него была с точки зрения удалённого наблюдателя, становится положительной энергией для наблюдателя внутри чёрной дыры. Поэтому такие частицы могут существовать во внутренности чёрной дыры.

83

Из всех достижений, которые будут обсуждаться далее в этой главе, только вопрос о микроскопическом устройстве чёрной дыры пока не имеет полной ясности. Как упоминалось в главе 4, в 1996 году Эндрю Строминджер и Кумрун Вафа обнаружили, что если постепенно уменьшать (математически) силу гравитации, то чёрные дыры определённого типа превращаются в некоторые наборы струн и бран. Подсчитав возможные конфигурации всех составляющих, Строминджер и Вафа заново вывели, самым явным из когда либо имеющихся способов, знаменитую формулу Хокинга об энтропии чёрной дыры. Но даже при этом они не смогли описать эти составляющие в случае более сильного гравитационного поля, то есть в условиях, когда формируется чёрная дыра. Другие учёные, например Самир Матур и некоторые из его коллег, выдвинули другие идеи, в том числе возможную реализацию чёрных дыр в виде так называемых «пушистых шариков», места скопления вибрирующих струн, разбросанных по всей внутренности чёрной дыры. Пока эти идеи остаются гипотетическими. Далее в этой главе будут обсуждаться результаты (в разделе «Теория струн и голография»), наиболее внятно проясняющие вопрос микроскопического устройства чёрной дыры.

84

Более точно, гравитация может быть выключена в некоторой области пространства, если перейти в состояние свободного падения. Размер этой области зависит от масштабов изменения гравитационного поля. Если гравитационное поле изменяется только на больших расстояниях (то есть если гравитационное поле однородно или почти однородно), свободное падение скомпенсирует гравитацию в большой области пространства. Но если гравитационное поле изменяется на малых расстояниях — например, на расстояниях порядка вашего роста — то гравитацию можно погасить на уровне ног, но при этом чувствовать её на уровне головы. Это будет особенно важно потом, при падении на чёрную дыру, потому что гравитационное поле усиливается по мере приближения к сингулярности чёрной дыры; сила гравитации резко возрастает при уменьшении расстояния до сингулярности. Быстрое изменение означает, что нет никакого способа скомпенсировать эффект наличия сингулярности, что в конце концов растянет ваше тело до точки полного разрыва, потому что гравитационное притяжение на уровне ваших ног будет сильнее (если вы падаете ногами вперёд), чем на уровне головы.

85

Эти рассуждения иллюстрируют открытие, сделанное в 1976 году Вильямом Унру, в котором движение некоторого объекта связывается частицами, встреченными им на пути. Унру обнаружил, что если вы будете двигаться с ускорением сквозь пространство, вы окажетесь в газе частиц, температура которого задаётся вашим движением. Общая теория относительности указывает, что наличие ускорения определяется по сравнению с системой отсчёта, связанной с наблюдателем в состоянии свободного падения (см.: «Ткань космоса», глава 3). Поэтому если удалённый наблюдатель не находится в состоянии свободного падения, он видит излучение, испускаемое чёрной дырой; свободно падающий наблюдатель его не видит.

86

Чёрная дыра образуется, если масса M, заключённая внутри сферы радиуса R, превышает c²R/2G, где c — скорость света и G — постоянная Ньютона.

87

На самом деле, когда материя под давлением своего собственного веса сжимается и образуется чёрная дыра, горизонт событий будет, как правило, находиться внутри границы рассматриваемой области. Иными словами, мы ещё не максимизировали энтропию в данной области. Это легко поправить. Набросайте больше материи внутрь чёрной дыры, что приведёт к расширению горизонта событий до исходной границы области. Поскольку за счёт этого добавочного процесса энтропия снова увеличится, то энтропия материи внутри данной области окажется меньше энтропии чёрной дыры в этом объёме, то есть площади поверхности данной области в планковских единицах.

88

G.’t Hooft, Dimensional Reduction in Quantum Gravity, «Salam Festschrift», eds. A. Ali, J. Ellis & S. Randjbar-Daemi. River Edge, N. J.: World Scientific, 1993, p. 284–296 (QCD161:C512:1993).

89

Большинство самых важных научных открытий выросло из работ и достижений предшественников. Данный результат не является исключением. Помимо т’Хоофта, Сасскинда и Малдасены, среди исследователей, осветивших путь к этому результату и развивших его последствия, были Стивен Габсер, Джо Польчински, Александр Поляков, Ашок Сен, Эндрю Строминджер, Кумрун Вафа, Эдвард Виттен и многие другие.

Для подготовленного читателя приведём более точное описание результата Малдасены. Пусть N — это число три-бран в стопке бран и пусть g — это значение константы связи в теории струн типа IIB. Когда gN мало, много меньше единицы, физика хорошо описывается низкоэнергетическими струнами, движущимися в стопке бран. В свою очередь такие струны хорошо описываются некоторой четырёхмерной суперсимметричной конформно-инвариантной квантовой теорией поля. Но когда gN велико, теория поля попадает в режим сильной связи, что затрудняет её аналитическое рассмотрение. Однако в этом режиме мы можем применить результат Малдасены, который говорит, что можно перейти к описанию струн, движущихся на фоне геометрии, обусловленной близким расположением к горизонту стопки бран, что есть AdS₅×S⁵ (пятимерное пространство анти-де Ситтера на пятимерную сферу). Радиус этого пространства контролируется gN (точнее, радиус пропорционален (gN)^1/4), таким образом, при больших gN кривизна пространства AdS₅×S⁵ мала, что гарантирует обозримость вычислений по теории струн (в частности, они хорошо аппроксимируются вычислениями в рамках модели, являющейся модификацией эйнштейновской гравитации). Поэтому при изменении gN от малых значений до больших физическое описание переходит от четырёхмерной суперсимметричной конформно-инвариантной квантовой теории поля к десятимерной теории струн на пространстве AdS₅×S⁵. Это и есть так называемое АдС/КТП соответствие (анти-де Ситтер / конформная теория поля).

90

Хотя полное доказательство гипотезы Малдасены пока неосуществимо, за последние годы связь между описаниями в балке и на границе значительно прояснилась. Например, был выделен класс вычислений, результаты которых справедливы для любых значений константы связи. Поэтому эти результаты можно явно проследить от малых значений константы связи до больших. Таким образом, можно подсмотреть процесс «трансформации», согласно которому описание физики в объёме переходит в граничное описание, и наоборот. Такие вычисления показали, например, как цепочки взаимодействующих частиц в граничной теории могут трансформироваться в струны в объёме — особенно убедительная интерполяция между двумя описаниями.

91

Более точно, это некий изменённый вариант гипотезы Малдасены. Здесь на границе вместо изначальной квантовой теории рассматривается теория, приближённая к квантовой хромодинамике. Это изменение приводит к соответствующим модификациям теории в балке. В частности, следуя работе Виттена, высокая температура в граничной теории переходит в чёрную дыру в теории в балке. В свою очередь словарь по переводу между двумя описаниями показывает, что трудная задача вычисления вязкости кварк-глюонной плазмы переходит в задачу вычисления реакции горизонта чёрной дыры на определённые деформации — что трудоёмко, но вполне выполнимо.

92

Другой подход к задаче полного определения теории струн, возникший из более ранних работ в этой области, называется Матричной теорией (что даёт ещё одно возможное объяснение для значения буквы «M» в M-теории). Этот подход был разработан Томом Бэнксом, Вили Фишлером, Стивом Шенкером и Леонардом Сасскиндом.

93

Я указал число 10⁵⁵ грамм, что соответствует содержимому наблюдаемой вселенной на современном этапе, но в более ранние времена температура содержимого вселенной была выше, и поэтому оно имело бо́льшую энергию. Поэтому 10⁶⁵ грамм является более точной оценкой для той массы, которую вам потребуется собрать в крохотное зёрнышко для повторения эволюции нашей Вселенной с того момента, когда её возраст составлял примерно одну секунду.

94

Можно подумать, что поскольку ваша скорость ограничена сверху скоростью света, то ваша кинетическая энергия также будет ограничена. Но это не так. По мере того как ваша скорость приближается к скорости света, ваша энергия увеличивается; из специальной теории относительности следует, что она не ограничена. Математически формула вашей энергии имеет вид:

где c — это скорость света, а υ — ваша скорость. Как можно видеть, когда υ стремится к c, энергия E неограниченно растёт. Отметим также, что это справедливо с точки зрения наблюдателя, который следит за вашим падением, например, кого-то, неподвижно стоящего на поверхности Земли. С вашей точки зрения, пока вы свободно падаете, вы неподвижны, а окружающая вас материя постоянно набирает скорость.

95

На нашем текущем уровне понимания имеется значительный разброс в таких оценках. Величина в 10 грамм возникает из следующих рассуждений: считается, что энергетический масштаб инфляции составляет примерно 10⁻⁵ от планковской энергии, которая превышает примерно в 10¹⁹ энергию, эквивалентную массе протона. (Если бы инфляция происходила на бо́льших масштабах энергии, то по некоторым оценкам мы уже должны были бы наблюдать гравитационные волны, порождённые в ранней вселенной.) В более привычных единицах планковский масштаб составляет примерно 10⁻⁵ грамма (небольшая величина по обычным меркам, но на масштабе физики элементарных частиц, где говорится об энергии, переносимой отдельными частицами, она огромна). Таким образом, плотность энергии поля инфлатона будет составлять примерно 10⁻⁵ грамма на каждую кубическую единицу объёма, линейный размер которого определяется расстоянием, кратным планковской длине с множителем 10⁵ (напомним, что из соотношения квантовой неопределённости следует, что энергия и длина обратно пропорциональны друг другу), что составляет примерно 10⁻²⁸ сантиметра. Таким образом, полная масса-энергия поля инфлатона в объёме с ребром в 10⁻²⁶ сантиметра равна 10⁻⁵ грамма/(10⁻²⁸ сантиметра)³ × (10⁻²⁶ сантиметра)³, что составляет примерно 10 грамм. Те, кто прочитал «Ткань космоса», возможно помнят, что там я использовал несколько иное значение. Различие возникло из предположения, что энергетический масштаб инфлатона был несколько выше.

96

Hans Moravec, «Robot: Mere Machine to Transcendent Mind». New York: Oxford University Press, 2000. См. также: Ray Kurzweil, «The Singularity Is Near: When Humans Transcend Biology». New York: Penguin, 2006.

97

См., например: Robin Hanson, «How to Live in a Simulation», «Journal of Evolution and Technology» 7, 1 (2001).

98

Согласно тезису Чёрча — Тьюринга, любой компьютер так называемого универсального тьюрингова типа может моделировать действия другого компьютера, поэтому вполне справедливо, что находящийся внутри симуляции компьютер — он сам смоделирован основным компьютером, на котором выполняется общая симуляция — может решать определённые задачи, эквивалентные тем, что решаются на основном компьютере.

99

Философ Дэвид Льюис развил похожую идею, названную им модальным реализмом. См.: Lewis David, «On the Plurality of Worlds». Malden, Mass.: Wiley-Blackwell, 2001. Однако, мотивация Льюиса для введения всех возможных вселенных отличается от мотивации Нозика. Льюису нужен был контекст, в котором, например, могли бы воплотиться нереализованные утверждения (такие как «если бы Гитлер выиграл войну, то мир был бы другим»).

100

Джон Барроу высказывал похожее мнение в: John Barrow, «Pi in the Sky». New York: Little, Brown, 1992.

101

При более детальном обсуждении вычислимых и невычислимых функций мы встретимся с функциями, вычислимыми с любой наперёд заданной точностью. Это функции, для которых имеется конечный алгоритм вычисления значений с растущей точностью. Например, это имеет место для вычисления числа π с точностью до определённого количества знаков: компьютер может вычислить в π каждый последующий знак после запятой, хотя никогда не достигнет конца вычислений. Поэтому, хотя π, строго говоря, не является вычислимым числом, оно вычислимо с любой наперёд заданной точностью. Однако большинство вещественных чисел непохожи на π. Они не просто невычислимы, они также невычислимы с любой наперёд заданной точностью.

При рассмотрении «успешных» симуляций мы должны рассматривать те, которые основаны на функциях, вычислимых с любой наперёд заданной точностью. В принципе, убедительная реальность может быть создана на основе частичного результата вычислений на компьютере функций, вычислимых с любой наперёд заданной точностью.

Чтобы законы физики были вычислимы, или даже вычислимы с любой наперёд заданной точностью, следует отказаться от традиции опираться на вещественные числа. Причём не только при описании пространства и времени, где обычно задействуются вещественнозначные координаты, но также для всех остальных математических составляющих законов природы. Например, величина силы электромагнитного поля не должна пробегать вещественные значения, а только принимать набор дискретных значений. То же самое должно выполняться для вероятности нахождения электрона в том или ином месте. Шмидхубер обращает внимание, что все когда-либо проделанные в физике вычисления вовлекают манипуляции с дискретными символами (на бумаге, на доске, на компьютере). Поэтому хотя всегда считалось, что эта часть научной работы использует вещественные числа, на практике оказывается, что это не так. То же самое справедливо для всех когда-либо проведённых измерений. Ни один из приборов не имеет абсолютной точности, поэтому наши измерения всегда выдавали дискретные численные результаты. В этом смысле все успехи в физике можно считать успехами цифровой парадигмы. Тогда возможно, что истинные законы сами являются вычислимыми (или вычислимыми с любой наперёд заданной точностью).

Есть много разных взглядов на «цифровую физику». См., например, книгу С. Вольфрама: Stephen Wolfram, «A New Kind of Science». Champaign, Ill.: Wolfram Media, 2002; и книгу С. Ллойда: Seth Lloyd, «Programming the Universe». New York: Alfred A. Knopf, 2006. Математик Роджер Пенроуз считает, что человеческий разум основывается на невычислимых процессах и, следовательно, Вселенная, в которой мы обитаем, обязана содержать невычислимые математические функции. С этой точки зрения наша Вселенная не соответствует цифровой парадигме. См., например: Penrose Roger, «The Emperor’s New Mind». New York: Oxford University Press, 1989; Penrose Roger, «Shadows of the Mind». New York: Oxford University Press, 1994.

102

Steven Weinberg, «The First Three Minutes». New York: Basic Books, 1973, p. 131.