Асимметрия распределения легко обнаруживается и измеряется на основе разницы между средней величиной и модой. В умеренно асимметричных распределениях мода и средняя образуют интервал, в пределах которого находится медиана. Если разделить этот интервал на 3, то медиана отстоит от моды на 2/3, а от средней – на 1/3.
Для измерения асимметрии рядов распределения применяется эмпирический коэффициент асимметрии:
где x— – простая средняя;
М о– мода;
G – среднеквадратическое отклонение.
10. Абсолютные показатели вариации
К абсолютным показателям вариации относятся:
1) вариационный размах ( R );
2) среднее абсолютное (линейное) отклонение (в);
3) дисперсия ( G 2 );
4) среднеквадратическое отклонение ( G ).
Вариационный размах R — это разность между
наибольшей и наименьшей вариантами вариационного ряда:
R = хmax – хmin
Вариационный размах является наиболее простой характеристикой рассеяния вариационного ряда. Недостатки данного показателя:
1) неточно характеризует колеблемость, потому что зависит только от двух значений признака;
2) зависит от объема совокупности, т. е. с увеличением объема совокупности увеличивается вероятность размера вариационного размаха.
Среднее абсолютное отклонение в — это вели чина, которая рассчитывается как среднее арифметическое абсолютных отклонений в данной совокупности.
Различают простое и взвешенное среднее абсолютное отклонение.
Среднее абсолютное простое отклонение рассчитывается по формуле:
где – n– объем совокупности;
x – выборочное среднее.Среднее абсолютное взвешенное отклонение рассчитывается по формуле:
где x – выборочное среднее;
m – веса.
Недостатки данного показателя:
1) оторванность от других показателей. Это объясняется тем, что при построении показателя используется искусственный подход, т. е. отклонение берется по модулю (положительное);
2) недостаточная реакция на слабые различия в степени вариации.
Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от – их среднего значения x.
Если значения признака, полученные в результате выборочного наблюдения, не группировать и не представлять в виде вариационного ряда, то для вычисления дисперсии используют формулу:
где n – объем выборки.
Среднеквадратическое отклонение – это квадратный корень из среднего арифметического квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от – их среднего значения x, или квадратный корень из дисперсии.
Среднеквадратическое отклонение для несгруппированных данных рассчитывается по формуле:
11. Относительные показатели вариации. Правило сложения дисперсий
Основной недостаток абсолютных показателей заключается в том, что они не позволяют сопоставлять между собой средние отклонения различных показателей. Для сопоставления необходимы относительные показатели, характеризующие относительную колеблемость. К ним относятся:
1) коэффициент вариации. Рассчитывается как процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической величине:
2) коэффициент колеблемости. Рассчитывается как процентное отношение среднего абсолютного (линейного) отклонения к средней арифметической величине:
3) коэффициент асциляции. Рассчитывается как отношение вариационного размаха к средней арифметической величине:
С помощью относительных показателей вариации решаются следующие задачи:
1) сравнение степени вариации в процентах различных признаков в одной и той же совокупности;
2) сравнение степени вариации одного и того же признака в различных совокупностях.
Правило или теорему сложения дисперсий сформулировал и доказал В. Лексис. В связи с тем что некоторые совокупности делятся на группы, помимо общей дисперсии, могут быть рассчитаны также дисперсии для каждой отдельной группы. Кроме этого, можно рассчитать среднюю из групповых дисперсий и межгрупповую дисперсию. В. Лексис доказал, что между данными показателями существует связь.
Теорема. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутри-групповой и межгрупповой дисперсий:
где σобщ – общая дисперсия:
σвнгр – внутригрупповая дисперсия:
σгр – групповая дисперсия:
σмегр – межгрупповая дисперсия:
Если межгрупповая дисперсия равна нулю, то общая дисперсия равна средней из групповых дисперсий.
С помощью теоремы сложения дисперсий решаются следующие задачи :
1) исследование зависимостей между признаками;
2) оценка тесноты связи между признаками;
3) оценка точности типичной выборки.
12. Понятие индексов. Классификация индексов
Индексный метод является одним из важнейших методов в статистике. Индексы относятся к числу обобщающих показателей. Следует различать понятие индекса в широком и узком смысле.
В широком смысле индекс – это относительная величина, характеризующая изменения явлений во времени (динамику). Но подобные относительные величины могут быть рассчитаны лишь для простых явлений или однородных совокупностей, единицы которых могут быть суммированы. Такие совокупности называются соизмеримыми.
Индекс в узком смысле слова – это обобщающий показатель сравнения двух совокупностей, состоящий из элементов, непосредственно не поддающихся суммированию.
С помощью индексов решаются две основные задачи:
1) синтетическая задача – обобщение, синтез дина мики отдельных элементов в сложные явления в од ном обобщающем показателе (сводном индексе);
2) аналитическая задача – анализ влияния изменения отдельных факторов на изменение сложного явления.
Классификация индексов по различным при знакам:
1) по степени охвата совокупности выделяют индивидуальные индексы (элементарные) и общие индексы (сводные или сложные);
2) по форме построения выделяют агрегатные, средневзвешенные (арифметические, гармонические) индексы;
3) по применяемым весам выделяют индивидуальные индексы с постоянными и переменными весами;
4) по состоянию явления выделяют индексы переменного состава, постоянного состава, структурных сдвигов;
5) по содержанию индексируемых величин выделяют индексы цен, физического объема товарооборота, себестоимости, трудоемкости и т. д.;
6) по базе сравнения выделяют динамические (базисные, цепные) индексы, индексы выполнения плана, планового задания, территориального сравнения.
Классификация показателей при построении индексов:
1) количественные показатели, характеризующие объем того или иного явления.
К ним относятся:
а) q – физический объем товарооборота (количество проданной продукции в натуральном выражении);
б) q – физический объем продукции (количество произведенной продукции на предприятии);
в) t – число рабочих;
г) h – посевная площадь и др. Количественные показатели получают путем подсчета;
2) качественные показатели характеризуют уровень явления в расчете на ту или иную единицу совокупности.
К ним относятся:
а) р – цена единицы товара (себестоимость);
б) z – себестоимость единицы продукции (затраты на производство единицы продукции);
в) t – трудоемкость единицы продукции (затраты рабочего времени на производство единицы продукции);
г) w – производительность труда (выработка продукции в единицу времени);
д) у – урожайность;
3) суммарные (итоговые, количественно-качественные) показатели, характеризующие суммарные, общие размеры исследуемого явления.
К ним относятся:
а) S – товарооборот:
S = p ×q ;
б) Т – затраты рабочего времени (труда) на производство всей продукции:
Т = t ×q ;
в) С – затраты на производство продукции:
С = z ×q ;
г) V – валовой сбор с/х культур по видам:
V = y ×n .
13. Индивидуальные индексы
Индивидуальный индекс – это отношение величины показателя в отчетном или текущем периоде к величине того же показателя в базисном периоде:
где i – индивидуальный индекс;
х — любой индексируемый показатель (качественный, количественный, качественно-количественный);
1 – отчетный или текущий период;
х 1 – сравниваемый уровень;
0 – базисный период;
х 0 – базисный уровень.
Индивидуальные индексы строятся для соизмеримых однородных совокупностей и чаще всего выражаются в процентах.
Индивидуальный индекс характеризует изменение объема или уровня исследуемого показателя в отчетном периоде по сравнению с базисным. Если ix <100 %, то уровень индексируемого показателя снизился по сравнению с базисным периодом. Если ix > 100 %, то уровень индексируемого показателя увеличился по сравнению с базисным периодом. Если ix = 100 %, то уровень индексируемого показателя остался прежним.
Примеры индивидуальных индексов:
1) индивидуальный индекс цен:
2) индивидуальный индекс физического объема товарооборота:
3) индивидуальный индекс товарооборота:
В связи с тем, что индивидуальные индексы используются для изучения динамики индексируемого показателя за короткие и более продолжительные периоды, возникает необходимость исчисления системы последовательных индексов. Различают два метода последовательного индексирования.
1. Метод постоянной (фиксированной) базы.
Согласно данному методу один из периодов, находящихся в знаменателе, принимается в качестве базисного, а остальные, находящиеся в числителе, последовательно меняются.
Предположим, что имеются данные р0, р1, …, рn-1, pn. Тогда система индивидуальных индексов с постоянной базой может быть записана следующим образом: