Но и это еще не все. Волновая функция – это не просто справочное руководство, описывающее систему в какой-то данный момент времени. Физические системы изменяются со временем, и волновая функция меняется соответственно: зная волновую функцию в данный момент времени, с помощью математического аппарата квантовой теории можно вычислить волновую функцию в любой другой момент. Это очень важный аспект квантовых теорий, потому что физиков обычно интересует такая проблема: пусть у нас есть система, находящаяся в «начальном состоянии»; какова вероятность того, что она окажется в том или ином «конечном состоянии» через некоторое время?
Схема, которую я описал, с большим успехом применялась для объяснения свойств атомов и состоящих из них химических элементов. Потом появились другие квантовые теории, квантовые теории поля, которые описывали взаимодействия между элементарными частицами. Например, поведение электрона, позитрона и фотона можно описать в теории поля, называемой квантовой электродинамикой. Однако оказалось, что процесс вычислений в квантовой электродинамике чрезвычайно сложен. И тут, нежданно-негаданно, в конце 1940-х годов Ричард Фейнман сформулировал новый подход к квантовой теории. Он совершенно отличался от прежнего метода, используемого в квантовой механике.
Фейнмана не волновали волновые функции. Чтобы определить, с какой вероятностью система[14] окажется в том или ином конечном состоянии, Фейнман предложил рассматривать все возможные траектории или истории, по которым она может эволюционировать из начального в конечное состояние. Затем нужно сложить все вклады от каждой траектории (истории) по специальным правилам. Этот метод иногда называется фейнмановским суммированием по траекториям.
Для иллюстрации этой идеи предположим, что вы хотите вычислить вероятность того, что квантовая частица, начав свой путь в лаборатории в Калтехе, попадет через какое-то время в детектор, установленный в лаборатории на Луне. Согласно методу Фейнмана, нужно рассчитать все вклады от всех возможных траекторий, по которым могла бы пройти частица, направляясь из одной лаборатории в другую. По пути она могла бы, например, залететь за Юпитер и вернуться обратно или покружить несчетное число раз вокруг Земли. И даже такие траектории, которые нарушают законы физики, надо сложить: частица могла бы облететь всю Вселенную со сверхсветовой скоростью или даже очутиться в прошлом, путешествуя из начального в конечное состояние. Большинство траекторий с нашей точки зрения выглядит нереально. Фейнмановские правила однако гласят, что траектория по прямой линии вносит наибольший вклад, а «абсурдные» пути почти ничего не привносят в суммарный результат. И тем не менее, существует бесконечный набор таких путей, и от каждого из них что-то прибавится – не важно, будет это «что-то» маленьким или большим[15].
Стивен, без сомнения, восторгался элегантными идеями Фейнмана. Но он и сам был такой же «белой вороной», как Фейнман – любил будоражить окружающих своими идеями, а потом прилагать все силы, чтобы убедить их в своей правоте. Когда Фейнман впервые рассказал о своем методе на конференции в 1948 году, он встретился с таким же непониманием и сопротивлением коллег, что и Стивен, впервые заявивший о своем излучении черных дыр. Такие выдающиеся физики, как Нильс Бор, Эдвард Теллер и Поль Дирак, заявили, что метод Фейнмана – полная ерунда.
Взгляды Фейнмана, конечно, были принципиально новыми; его теория на первый взгляд могла показаться даже скандальной. Никто не хотел всерьез думать о траекториях частиц, которые совершают зигзаги по всей Вселенной. Фейнман, как и Стивен, в своих математических выкладках «срезáл углы» и пренебрегал математической строгостью. Например, при суммировании по траекториям приходилось нарушать некоторые фундаментальные математические принципы, но Фейнмана это мало волновало. Как и Стивен, Фейнман предпочитал мыслить образами, а не уравнениями, и этот не знакомый для других физиков подход прибавлял им скептицизма, подливая масла в огонь. «Это было похоже на магию», – сказал как-то физик Фримен Дайсон.
Но Дайсон с коллегами в конце концов убедились, что методу Фейнмана можно дать строгое математическое обоснование и что – несмотря на то, что его теория рисует другую картину происходящего – ее предсказания относительно результата экспериментов всегда совпадают с теми, которые следуют из прежних формулировок квантовых теорий. Фейнман не предлагал новых законов в квантовой физике. То, что он предлагал, – это новый взгляд на квантовую физику, новый способ понимания квантовой Вселенной, который привел к новым невероятным предвидениям.
В некоторых областях, таких как физика элементарных частиц, концептуальная картина Фейнмана и его методы расчета параметров исходя из теоретической модели оказались намного эффективнее старых подходов. Сегодня фейнмановский метод является стандартным инструментом теоретической физики. Стивена познакомил с этим методом сам его создатель – во время годичной стажировки Стивена в Калтехе в качестве стипендиата фонда Фэрчайлда. Десятью годами позже Стивен применил фейнмановский метод, создавая свою теорию «Вселенной без границ». Единственная разница (но очень существенная) между подходами Стивена и Фейнмана состояла в том, что у Стивена роль элементарной частицы играла вся Вселенная, потому что Стивен пытался проследить квантовую историю космоса, а не электронов и фотонов.
Как применить квантовую теорию ко всей Вселенной? При попытке это сделать возникает много вопросов. Один из них касается определения местоположения. Ведь когда теоретики приступают к анализу движения элементарной частицы с помощью фейнмановского метода суммирования по траекториям, они хотят иметь дело с наблюдаемыми параметрами – такими, как положение частицы в пространстве. Но Вселенная не имеет «положения в пространстве» – Вселенная сама есть это пространство.
Вместо того чтобы задумываться о положении в пространстве или о других переменных величинах, которые интересуют физиков элементарных частиц, теория Стивена сосредоточивается на величинах, относящихся к геометрии пространства-времени – точнее, на его кривизне, определенной в каждой точке. Что это означает? Возьмем пространство, в котором мы живем. В нем три измерения – из любой точки на поверхности Земли мы можем двигаться на север или на восток, на восток или на запад, вверх или вниз, а также по любому промежуточному пути между этими направлениями.
Математика предоставляет нам возможность описания этого трехмерного пространства и, по сути, пространства с любым количеством измерений. Она также дает определение того, что физики имеют в виду, когда говорят об искривленном пространстве в противоположность плоскому пространству.
Вообразить кривизну трехмерного пространства довольно сложно. Давайте отвлечемся от одного из направлений – например, от вертикального – и представим себе мир, в котором есть только два направления – север/юг и восток/запад. Если представить себе этот двумерный мир, расположенный на плоскости, мы получим плоское двумерное пространство. Именно этот тип пространства мы изучаем на уроках геометрии в средней школе. Здесь действуют правила, одно из которых, например, гласит, что сумма углов треугольника равна 180°.
Если теперь представить себе, что направления север/юг и восток/запад пролегают не на плоскости, а на поверхности шара, мы получим искривленное двумерное пространство – математик скажет, что у этого мира положительная кривизна. Поверхность, напоминающая по форме седло, будет представлять собой, наоборот, отрицательно искривленное пространство.
Типы пространства с положительной или отрицательной кривизной подчиняются другим геометрическим законам, чем те, которые мы изучаем в средней школе. Например, сумма углов в треугольнике, расположенном в пространстве с положительной кривизной, всегда больше 180°, а в отрицательно искривленном пространстве – меньше 180°. Такие отклонения помогают физикам определять кривизну реального трехмерного пространства, в котором мы живем.
Вообще говоря, пространство может иметь положительную кривизну в одних точках и отрицательную кривизну в других так, как будто бы крошечные кусочки сферы и седловины «сшиты» и плавно переходят друг в друга. И величина кривизны, как положительной, так и отрицательной, может тоже меняться. Пространство может быть слегка искривлено в одних точках и серьезно деформировано в других – примером может служить изрезанный земной ландшафт, на котором холмы чередуются с долинами. Это и имеется в виду, когда говорят о «кривизне, определенной в каждой точке». На этот самый ландшафт и его эволюцию со временем Стивен и обратил внимание, разрабатывая свою концепцию Вселенной без границ. В своей теории он не собирался прописывать все детали того, как ведет себя энергия и материя, входящая в состав космоса – звезды, частицы, планеты, люди. Его заботила форма самого физического пространства.
Рассчитывать форму Вселенной, которую она принимает с течением времени, – так же, как в случае с эволюцией частицы, – имеет смысл с начального состояния. Никто не знает, каково было первоначальное состояние Вселенной; здесь Стивену и Хартлу пришлось строить догадки. Они сделали предположение, что, если уйти очень далеко в прошлое, огромное давление материи и энергии, сосредоточенной в малом пространстве, фундаментально поменяет все наши понятия – время настолько исказится, что полностью преобразуется и фактически станет еще одним пространственным измерением.
Именно Стивен показал в своей диссертации, что «классическая» теория Большого взрыва, основанная на общей теории относительности, приводит к сингулярности и в некоторый момент времени различные величины – например, кривизна – становятся бесконечными. А теперь, когда Стивен с Джимом Хартлом смоделировали квантовую историю Вселенной новым образом, они обнаружили, что предсказанная Стивеном сингулярность, которая должна была бы появиться в начале времен, отсутствует.