Работы Бора и его коллеги Арнольда Зоммерфельда привели к созданию так называемой формальной модели атома (форммодели), которая сыграла важную роль в истории атомной физики. Смысл загадочной предсказательной силы атомной форммодели пытались прояснить многие ученики и коллеги Зоммерфельда, в числе которых были Вольфганг Паули, Джордж Уленбек и Сэмюэл Гаудсмит. Именно они придумали очень остроумную модель для наглядного объяснения целого ряда загадочных свойств форммодели атома, которую назвали спином микрочастиц. Вначале данное представление касалось только электрона, который стал напоминать микроскопический волчок, вращающийся вокруг своей оси. В общем-то, такая модель продолжала традицию развития аналогий между атомом и Солнечной системой, ведь кроме своего движения по эллиптической орбите вокруг Солнца наша планета вращается и вокруг своей оси.
Любопытно, что эту аналогию придумал раньше всех будущий нобелевский лауреат Артур Комптон (автор знаменитого «эффекта Комптона», состоящего в увеличении длины волны СВЧ-излучения при встрече с потоком электронов), но отказался от нее после резкой критики Паули. Молодой аспирант Зоммерфельда с жаром доказывал, что прямая аналогия между электроном и вращающимся микрообъектом не выдерживает критики.
С другой стороны, смысл образа квантовых волчков мог быть как-то связан с непонятным на то время принципом Паули, запрещавшим рассматривать сообщества двух «односпиновых частиц».
Кстати, именно данный принцип впервые позволил разумно объяснить физическую основу построения Периодической системы химических элементов Менделеева.
Критику Паули в свое время поддержал и Лоренц, который посчитал, что скорость вращения электрона легко может превысить скорость света, противореча принципам теории относительности.
Надо сказать, что гипотеза спина у квантовых микрообъектов до сих пор вызывает бурные дискуссии среди физиков. Впрочем, такова судьба всех достаточно глубоких представлений, затрагивающих основу Мироздания, осмысление которых каждое новое поколение ученых проводит на новом уровне.
Как бы то ни было, но форммодель атома вскоре исчерпала все свои возможности и вместе с планетарной схемой Резерфорда — Бора ушла в историю атомной физики. Тем не менее заслуги копенгагенской школы Бора в разработке новой квантовой механики просто неоценимы.
Укротив атом формальной моделью, ученые дружно принялись за поиск физического смысла загадочной волновой функции. Первого успеха здесь добились два признанных интеллектуальных лидера становления квантовой физики — Вернер Гейзенберг и Эрвин Шрёдингер. Независимо друг от друга они получили решение задачи совершенно разными методами. Гейзенберг разработал так называемую матричную форму квантовой механики, а Шрёдингер вывел свое знаменитое уравнение, описывающее поведение квантовых систем.
Уравнение Шрёдингера математически представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. В математической физике подобные уравнения описывают поведение самых разных величин, меняющихся с течением времени, таких, как координаты космического корабля, скорость и высота волны-цунами или плотность энергии луча квантового генератора — мазера и лазера.
Волны материи
Хоть мы и говорим на каком-то определенном языке и используем определенные концепции, отсюда вовсе не обязательно следует, что в реальном мире имеется что-то этим вещам соответствующее.
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
Если мы приступим к решению любого из квантовых уравнений, то в конечном виде получим зависимость искомой величины от многих других параметров, скажем зависимость скорости от времени. В математике все подобные зависимости, когда одна или несколько величин зависят определенным образом от другой величины (группы величин), носят название функции.
В уравнении Шрёдингера искомой величиной является так называемая волновая функция. Эта загадочная пси-функция (обозначаемая данной буквой греческого алфавита) прекрасно работает в технических расчетах той же квантовой оптики, но ее физический смысл до сих пор служит почвой изредка разгорающейся научной полемики. Единственное, что тут вроде бы не вызывает разногласий, — это то, что возведенная в квадрат пси-функция описывает вероятность того или иного события в квантовом мире. Иначе говоря, квадрат волновой функции дает возможность вычислить вероятность нахождения микрочастицы в определенной области пространства в заданный момент времени. Таким образом, определяется вероятность того, что произвольный квантовый объект будет находиться в определенном месте и в определенное время в результате неких процессов, с ним происходящих. Чаще всего это выглядит как решение задачи определения параметров микрообъекта после его взаимодействия с измерительным прибором. Эта вероятность формирует понятие так называемых «волн вероятности», определяющих статистическое распределение следов микрочастиц в опытах дифракции.
Попробовать решить уравнение Шрёдингера в самом общем виде — довольно трудная задача для современных теоретиков, оснащенных мощными вычислительными комплексами. Разумеется, физиков-экспериментаторов интересуют совсем иные решения, которые они и получают в рамках особых стационарных задач. В этих задачах принимается, что значения искомой ncu-функции располагаются вблизи некоторой области «средних значений», которая, в свою очередь, не зависит от времени. Конечно же, решения, полученные в стационарных задачах, трудно соотнести с периодическими колебательными процессами, меняющими все свои параметры с течением времени. Решения стационарных задач как бы составляют неизменный каркас квантовой системы, участвующей в тех или иных процессах, причем знание такой «математической архитектуры» реальных явлений микромира оказывается очень полезным, ведь трудно обрисовать течение процесса без учета конкретных условий его протекания.
Стационарные решения волнового уравнения приводят к целому ряду важных выводов. Например, один из вариантов соотношения неопределенности, выведенного выдающимся физиком-теоретиком В. Гейзенбергом, гласит: если квантовая система изменяет свою энергию за некоторый промежуток времени, то точность измерения энергии тем выше, чем больший мы берем отрезок времени.
В математической форме это представляет очень простое неравенство: произведение неопределенности энергии и неопределенности времени больше или равно постоянной Планка.
В стационарных задачах время как бы останавливается, так что энергия микрочастиц остается постоянной неопределенно долго, а это означает, что неопределенность времени стремится к бесконечности, что тут же вызывает, согласно соотношению Гейзенберга, стремление неопределенности энергии к нулю. Все это непреложно означает, что энергетические параметры микрочастиц в стационарных состояниях определяются точно так же, как и для объектов макромира — небесных тел или бильярдных шаров.
Уравнение Шрёдингера, как и всякий фундаментальный закон природы, нельзя вывести из других, более простых законов. Его можно только угадать, а затем научиться им пользоваться. Ну а для этого, естественно, надо знать, что означают все символы в уравнении и какие явления в атоме они отображают. Все последующие поколения физиков занимались этим и занимаются до настоящего времени…
В случае свободного движения частиц уравнение Шрёдингера дает нам ненулевые решения при любых значениях энергии, следовательно, в этом случае свободная частица может обладать любой скоростью движения и соответствующей энергией. А вот если предположить, что микрообъект находится в связанном состоянии, подобно шарику на пружине, то вид решений уравнения Шрёдингера меняется принципиальным образом и ненулевые значения получаются только для определенных значений энергии. Эти энергетические уровни микрочастицы носят название разрешенных дискретных энергий, а вероятность пребывания на них является существенно не нулевой.
Все это сразу же напоминает картину разрешенных уровней энергии для орбитальных электронов в модели атома Бора. Действительно, боровские электронные орбиты и являются теми разрешенными энергетическими состояниями, в которых вероятность пребывания электрона отлична от нуля. Правда, Бор просто постулировал наличие дискретных орбит для планет-электронов в своей атомной Солнечной системе, подобно тому как Планк в свое время угадал дискретную закономерность излучения энергии абсолютно черным телом. Исчерпывающее объяснение принципов построения атома Резерфорда — Бора дает именно квантовая механика, которая также объясняет квантовый характер прыжков электронов с одной на другую атомную орбиту. Для данных электронов уравнения Шрёдингера отводят определенный набор разрешенных энергетических состояний. Соответственно при квантовых переходах энергия электрона должна меняться не непрерывно, а ступенчато, причем на строго определенную величину. Эта величина и составляет разность энергий между конечной и начальной орбитой перехода, кроме того, данная энергия и есть тот самый квант действия Планка, с которого началась эра новой физики.
Получается, что в квантовой физике, усилиями многих замечательных ученых были объединены две парадоксальнейшие гипотезы начала прошлого века — Планка о квантах энергии и де Бройля о волнах материи!
Американский физик и популяризатор науки Эдвард Кондон так описывал появление новых математических образов (матриц) в аппарате квантовой механики: «Летом 25-го года, когда волновой механики еще не существовало, а матричная только-только появилась на свет, два геттингенских теоретика пошли на поклон к знаменитому Давиду Гильберту — признанному главе тамошних математиков. Бедствуя с матрицами, они захотели попросить помощи у мирового авторитета. Гильберт выслушал их и сказал в ответ нечто в высшей степени знаменательное: всякий раз, когда ему доводилось иметь дело с этими квадратными таблицами, они появлялись в расчетах „как своего рода побочный продукт“ при решении волновых уравнений.