Глава VI. Классическая механика
Англичане преподают механику как науку экспериментальную; на континенте же ее всегда излагают как науку более или менее дедуктивную и априорную. Бесспорно, правы англичане; но как же оказалось возможным так долго держаться другого способа изложения? Почему ученые на континенте, старавшиеся избежать привычек своих предшественников, чаще всего оказывались не в состоянии полностью от них освободиться?
С другой стороны, если принципы механики не имеют иного источника, кроме опыта, не являются ли они в силу этого только приближенными и временными? Не могут ли новые опыты когда-нибудь заставить нас видоизменить эти принципы или даже совсем отказаться от них?
Трудность решения этих естественно возникающих вопросов происходит главным образом от того, что руководства по механике не вполне ясно различают, где опыт, где математическое суждение, где условное соглашение, где гипотеза.
Это еще не все:
1) Абсолютного пространства не существует; мы познаем только относительные движения; между тем механические факты чаще всего излагают так, как если бы существовало абсолютное пространство, к которому их можно было бы отнести.
2) Не существует абсолютного времени; утверждение, что два промежутка времени равны, само по себе не имеет смысла и можно принять его только условно.
3) Мы не способны к непосредственному восприятию не только равенства двух промежутков времени, но даже простого факта одновременности двух событий, происходящих в различных местах; я разъяснил это в статье, озаглавленной «La mesure du temps»[6].
4) Наконец, наша евклидова геометрия есть лишь род условного языка; мы могли бы изложить факты механики, относя их к неевклидову пространству, которое было бы основой, менее удобной, но столь же законной, как и наше обычное пространство; изложение слишком осложнилось бы, но осталось бы возможным.
Таким образом, абсолютное пространство, абсолютное время, даже сама геометрия не имеют характера вещей, обусловливающих собой механику; они так же мало предваряют существование механики, как мало французский язык логически предваряет существование истин, выражаемых по-французски.
Можно было бы попытаться изложить основные законы механики на языке, независимом от всех этих соглашений; тогда, без сомнения, можно было бы лучше отдать себе отчет в том, что представляют эти законы сами по себе; как раз это и попытался сделать (по крайней мере отчасти) Андрад в своих «Leçons de Mécanique physique».
Формулировка этих законов оказалась бы, конечно, гораздо более сложной, потому что все указанные выше соглашения и созданы именно для того, чтобы сократить и упростить эту формулировку.
Здесь я оставляю в стороне все эти трудности, за исключением вопроса об абсолютном пространстве. Я далек от мысли пренебрегать ими; но мы достаточно разобрали их в двух первых частях.
Итак, я допущу временно абсолютное время и евклидову геометрию.
Принцип инерции. Тело, на которое не действует никакая сила, может двигаться только прямолинейно и равномерно.
Есть ли это истина, присущая a priori нашему разуму? Если бы это было так, то как же не знали ее греки? Как могли они думать, что движение прекращается, как только перестает действовать вызвавшая его причина, или что всякое тело, не встречающее никаких препятствий со стороны, принимает круговое движение, как наиболее совершенное из всех движений?
Говорят, что скорость тела не может измениться, раз нет основания для ее изменения; но не можем ли мы с таким же правом утверждать, что не может измениться положение тела или кривизна его траектории, раз внешняя причина не вызывает их изменения?
Если принцип инерции не принадлежит к числу априорных истин, то не значит ли это, что мы имеем в нем экспериментальный факт? Но разве когда-нибудь экспериментировали над телами, на которые не действовала никакая сила? И как можно было бы получить уверенность, что на эти тела не действует никакая сила? Обыкновенно ссылаются на пример бильярдного шара, очень долгое время катящегося по мраморному столу; но на каком основании мы говорим, что на него не действует никакая сила? Не на том ли, что он слишком удален от всех других тел, чтобы испытывать от них сколько-нибудь заметное действие? Однако он не дальше от земли, чем в том случае, если бы был свободно брошен в воздухе; а всякий знает, что в таком случае он подвергся бы влиянию тяжести, обусловленному земным притяжением.
Преподаватели механики обычно быстро излагают пример с шаром; но они прибавляют, что принцип инерции проверяется косвенно в своих следствиях. Это – неправильное выражение; очевидно, они хотят сказать, что можно проверить различные следствия более общего принципа, по отношению к которому принцип инерции является только частным случаем.
Этот общий принцип я предложу сформулировать так:
Ускорение тела зависит только от положения этого тела и соседних тел и от их скоростей. Математик сказал бы, что движения всех материальных частиц Вселенной определяются дифференциальными уравнениями второго порядка.
Чтобы уяснить, что здесь мы имеем дело с естественным обобщением закона инерции, я позволю себе привести один воображаемый случай. Выше я указывал, что закон инерции не присущ нам a priori; другие законы были бы столь же хорошо, как и он, совместимы с принципом достаточного основания. Когда на тело не действует никакая сила, то мы могли бы вообразить, что неизменным является не скорость его, а его положение или его ускорение.
Итак, представим себе на минуту, что один из этих двух гипотетических законов есть закон природы и заступает место нашего закона инерции. Каково было бы его естественное обобщение? Поразмыслив минуту, мы это уясним.
В первом случае пришлось бы допустить, что скорость тела зависит только от его положения и от положения соседних тел; во втором – что изменение ускорения тела зависит только от положения этого тела и соседних тел, от их скоростей и от их ускорений.
Или, говоря математическим языком, дифференциальные уравнения движения были бы в первом случае первого порядка, во втором – третьего.
Видоизменим несколько наш воображаемый пример. Представим себе мир, аналогичный нашей Солнечной системе, лишь с тем отличием, что здесь все орбиты планет благодаря чистой случайности не имеют эксцентриситетов и наклонений. Представим себе далее, что массы этих планет слишком ничтожны, чтобы их взаимные возмущения были ощутимы. Астрономы, населяющие одну из этих планет, не преминули бы заключить, что орбита светила может быть только круговой и параллельной определенной плоскости; тогда положения светила в данный момент было бы достаточно для определения его скорости и всей его траектории. Закон инерции, который они установили бы, был бы первый из двух гипотетических законов, о которых я только что говорил.
Вообразим теперь, что вдруг через эту систему проходит с огромной скоростью массивное тело, пришедшее из отдаленных созвездий. Все орбиты окажутся сильно возмущенными. Но это еще не очень смутило бы наших астрономов; они догадались бы, что это новое светило является единственным виновником всего зла. Стоит ему удалиться, – сказали бы они, – и порядок восстановится сам собой; конечно, расстояния планет от Солнца уже не станут вновь такими же, какими они были до катастрофы, но когда не будет более возмущающего светила, орбиты снова станут круговыми. И только тогда, когда возмущающее тело было бы уже далеко, а орбиты, вместо того чтобы опять стать круговыми, превратились бы в эллиптические, – только тогда эти астрономы заметили бы свою ошибку и необходимость переделать всю свою механику.
Я несколько подробнее остановился на этих гипотезах, потому что, как мне думается, уяснить себе содержание нашего обобщенного закона инерции можно, только сопоставляя его с противоположным допущением.
Мы возвращаемся теперь к этому обобщенному закону инерции. Спрашивается, проверен ли он в настоящее время на опыте, и возможно ли это вообще? Когда Ньютон писал свои «Начала»[7], он смотрел на эти истину как на выработанную и доказанную экспериментально. Таковой она была в его глазах не только благодаря антропоморфному представлению, о котором речь будет дальше, но благодаря трудам Галилея; она была таковой и в силу законов Кеплера; действительно, согласно этим законам траектория планеты полностью определяется ее начальными положением и скоростью; а это как раз то, чего требует наш обобщенный принцип инерции.
Чтобы этот принцип оказался истинным только по внешнему виду, чтобы можно было опасаться, что когда-нибудь он будет заменен одним из принципов, которые я сейчас противопоставлял ему, пришлось бы допустить, что мы введены в заблуждение какой-нибудь удивительной случайностью вроде той, которая в развитом мною выше примере ввела в заблуждение наших воображаемых астрономов.
Подобная гипотеза слишком неправдоподобна, чтобы на ней останавливаться. Никто не поверит в возможность таких случайностей. Конечно, вероятность того, чтобы два эксцентриситета были как раз равны нулю (в пределах погрешностей наблюдения), не меньше, чем вероятность того, чтобы один был равен, например, 0,1, а другой 0,2 (тоже в пределах погрешностей наблюдения). Вероятность простого события не меньше вероятности сложного; и тем не менее, когда такое простое событие наступает, мы не согласимся приписать его случайности; мы не захотим верить, что природа умышленно ввела нас в заблуждение. Устраняя гипотезу о возможности заблуждений такого рода, мы можем признать, что, поскольку дело касается астрономии, наш закон был проверен на опыте.
Но астрономия еще не составляет всей физики. Не можем ли мы опасаться, что какой-нибудь новый опыт когда-нибудь обнаружит несостоятельность закона в том или другом отделе физики? Экспериментальный закон всегда подвержен пересмотру; мы всегда должны быть готовы к тому, что он может быть заменен другим законом, более точным.
Однако никто не выражает серьезных опасений, что закон, о котором идет речь, когда-нибудь придется отклонить или исправить. Почему же? Именно потому, что его никогда нельзя будет подвергнуть решающему испытанию.
Прежде всего, для полноты такого испытания было бы необходимо, чтобы по истечении известного времени все тела Вселенной вернулись вновь к своим начальным положениям и к своим начальным скоростям. Тогда мы увидели бы, примут ли они с этого момента вновь те траектории, по которым они уже следовали один раз.
Но такое испытание невозможно: его можно осуществить только в отдельных частях и при этом всегда будут тела, которые не вернутся к своему начальному положению; таким образом, всякое нарушение этого закона легко найдет себе объяснение.
Но это не все: в астрономии мы видим тела, движения которых изучаем, и мы в большинстве случаев допускаем, что они не подвержены действию других тел, которых мы не видим. Таковы те условия, в которых проверяется наш закон.
В физике дело обстоит не совсем так: если в основе физических явлений и лежит движение, то это – движение молекул, которых мы не видим. В таком случае, если ускорение одного из видимых тел представится нам зависящим от чего-то иного, кроме положений или скоростей других видимых тел или невидимых молекул, существование которых мы должны были допустить раньше, то ничто не помешает нам допустить, что это что-то иное есть положение или скорость других молекул, присутствия коих мы до сих пор не подозревали. Закон окажется спасенным.
Я позволю себе на минуту воспользоваться математическим языком, чтобы выразить ту же мысль в иной форме. Я допускаю, что мы наблюдаем n молекул и констатируем, что их 3n координат удовлетворяют системе 3n дифференциальных уравнений четвертого порядка (не второго, как того требовал бы закон инерции). Мы знаем, что, вводя 3n вспомогательных переменных, мы можем свести систему 3n уравнений четвертого порядка к системе 6n уравнений второго порядка. Тогда стоит допустить, что эти 3n вспомогательных переменных представляют координаты n невидимых молекул, и результат снова окажется в согласии с законом инерции.
Итак, этот закон, проверенный экспериментально в некоторых частных случаях, может быть без опасения распространен на самые общие случаи, так как мы знаем, что в этих общих случаях опыт уже не может ни подтвердить его, ни быть с ним в противоречии.
Закон ускорения. Ускорение тела равно действующей на него силе, деленной на его массу.
Можно ли проверить на опыте этот закон? Для этого нужно было бы измерить три величины, входящие в его выражение: ускорение, силу и массу.
Отвлекаясь от трудности, связанной с измерением времени, допустим, что возможно измерить ускорение. Но как измерить силу или массу? Мы не знаем даже, что это такое.
Что такое масса? Это, отвечает Ньютон, произведение объема на плотность. Лучше сказать, возражают Томсон и Тэт, что плотность есть частное от деления массы на объем. Что такое сила? Это, отвечает Лагранж, причина, производящая или стремящаяся произвести движение тела. Это, скажет Кирхгоф, произведение массы на ускорение. Но тогда почему не сказать, что масса есть частное от деления силы на ускорение.
Эти трудности непреодолимы. Определяя силу как причину движения, мы становимся на почву метафизики, и если бы таким определением пришлось удовольствоваться, оно было бы абсолютно бесплодно. Чтобы определение могло быть к чему-нибудь пригодно, оно должно научить нас измерению силы; к тому же этого условия и достаточно; нет никакой необходимости, чтобы определение научило нас тому, что такое сила сама по себе, или тому, есть ли она причина или следствие движения.
Итак, прежде всего надо определить равенство двух сил. Когда говорят, что две силы равны? Тогда, отвечают нам, когда, будучи приложены к одной и той же массе, они сообщают ей одно и то же ускорение или когда, будучи прямо противоположно направлены, они взаимно уравновешиваются. Но это определение совершенно призрачно. Силу, приложенную к данному телу, нельзя отцепить от него и прицепить затем к другому телу вроде того, как отцепляют локомотив, чтобы сцепить его с другим поездом. Поэтому и нельзя знать, какое ускорение данная сила, приложенная к данному телу, сообщила бы другому телу, если бы была к нему приложена. Нельзя также знать, каково было бы действие двух сил, не прямо противоположных, в том случае, если бы они были прямо противоположны.
Это именно определение и стараются, так сказать, материализовать, когда измеряют силу динамометром или уравновешивают ее грузом. Две силы F и F’, которые я для простоты предположу вертикальными и направленными снизу вверх, приложены соответственно к двум телам С и С’; я подвешиваю одно и то же тело веса Р сначала к телу С, потом к С’; если в обоих случаях имеет место равновесие, то я заключу, что две силы F и F’, будучи обе равны весу Р, равны между собою.
Но уверен ли я, что тело Р сохранило тот же вес, когда я перенес его от первого тела ко второму? Вовсе нет, я уверен как раз в противном; я знаю, что напряжение силы тяжести меняется при переходе от одной точки к другой и что оно, например, больше на полюсе, чем на экваторе. Бесспорно, эта разница ничтожна, и на практике я не стал бы принимать ее в расчет; но правильное определение должно обладать математической точностью, а этой точности здесь нет. Сказанное относительно тяжести, очевидно, применимо и к упругой силе динамометра, которая может меняться в зависимости от температуры и от многих других обстоятельств.
Это не все: нельзя сказать, что вес тела Р приложен к телу С и прямо уравновешивает силу F. То, что приложено к телу С, есть действие А тела Р на тело С; тело Р в свою очередь находится под действием, с одной стороны, своего собственного веса, с другой – противодействия R тела С на тело Р. В результате сила F равна силе A, потому что уравновешивает ее; сила А равна R в силу принципа равенства действия противодействию; наконец, сила R равна весу Р, потому что его уравновешивает. Уже как следствие этих трех равенств мы выводим равенство F и веса Р.
Таким образом, при определении равенства двух сил нам приходится опираться на принцип равенства действия и противодействия; значит, этот последний принцип мы должны считать уже не как экспериментальный закон, а как определение.
Итак, устанавливая равенство двух сил, мы пользуемся двумя правилами: равенством двух взаимно уравновешивающихся сил и равенством действия противодействию. Но выше мы видели, что этих двух правил недостаточно; мы вынуждены прибегнуть к третьему правилу и допустить, что некоторые силы, как, например, вес тела, постоянны по величине и направлению. Но это третье правило, как я сказал, представляет собой экспериментальный закон и оно верно лишь приближенно; опирающееся на него определение – плохое определение.
Итак, нам приходится вернуться к определению Кирхгофа: сила равна массе, умноженной на ускорение. Теперь этот «закон Ньютона» выступает уже не как экспериментальный закон, а только как определение. Но это определение еще недостаточно, так как мы не знаем, что такое масса. Правда, он позволяет нам вычислить отношение двух сил, приложенных к одному и тому же телу в разные моменты, но он ничего не сообщает нам об отношении двух сил, приложенных к двум различным телам.
Для дополнения его придется снова прибегнуть к третьему закону Ньютона (равенство действия и противодействия), рассматривая последний опять-таки не как экспериментальный закон, а как определение. Два тела А и В действуют друг на друга; ускорение А, умноженное на массу А, равно действию В на А, таким же образом, произведение ускорения В на его массу равно противодействию А на В. И так как по определению действие равно противодействию, то массы А и В будут обратно пропорциональны ускорениям двух этих тел. Этим отношение наших двух масс определено, и дело опыта – проверить, что это отношение постоянно.
Все было бы хорошо, если бы два тела А и В были единственными, с которыми приходится считаться, и были изолированы от действия остального мира. Но этого нет; ускорение тела A зависит не только от действия тела В, но и от действия множества других тел: С, D и т. д. Поэтому, чтобы применить предыдущее правило, нужно было бы разложить ускорение тела A на несколько составляющих и выделить из них ту, которая обусловлена действием тела В.
Это разложение было бы еще возможно, если бы мы допустили, что действие С на А просто прикладывается к действию В на А, так что присутствие тела С не изменяет действия В на А и присутствие В не изменяет действия С на А; следовательно, если бы мы допустили, что любые два тела притягиваются, что их взаимное действие направлено по соединяющей их прямой и зависит только от их расстояния, словом – если бы мы допустили гипотезу центральных сил.
Известно, что для определения масс небесных тел пользуются совершенно иным принципом. Закон тяготения учит нас, что притяжение двух тел пропорционально их массам; если r есть расстояние между ними, m и m’ – их массы, K – некоторая постоянная, то притяжение их будет равно
То, что измеряют в этом случае, не есть масса как отношение силы к ускорению – это есть масса притягивающая; это – не инерция тела, а его притягательная способность.
Применение такого косвенного приема не является теоретически необходимым. Легко могло бы случиться, что притяжение было бы обратно пропорционально квадрату расстояния, не будучи пропорционально произведению масс; оно равнялось бы
Но равенство:
не имело бы смысла. При таких условиях все-таки было бы возможно на основании наблюдений над относительными движениями небесных тел измерять их массы.
Но имеем ли мы право допускать гипотезу центральных сил? Верна ли она в точности? Можно ли быть уверенным, что она никогда не окажется в противоречии с опытом? Кто взял бы на себя смелость утверждать это? А ведь если нам придется оставить эту гипотезу, то рушится и все здание, воздвигнутое с таким трудом. И тогда мы уже не имеем более права говорить о составляющей ускорения А, зависящей от действия В. Мы не имеем никакого средства отличить ее от той, которая обусловлена действием С или другого тела. Правило для измерения масс становится неприложимым.
Что же тогда остается от принципа равенства действия и противодействия? Если гипотеза центральных сил отброшена, то этот принцип, очевидно, должен быть сформулирован так: геометрическая равнодействующая всех сил, приложенных к различным телам системы, изолированной от всякого внешнего воздействия, равна нулю. Или, иными словами: движение центра тяжести этой системы является прямолинейным и равномерным.
Здесь-то, казалось бы, мы имеем средство определить массу: положение центра тяжести зависит, очевидно, от значений, какие мы припишем массам; надо распределить эти значения таким образом, чтобы движение центра тяжести было прямолинейно и равномерно; если третий закон Ньютона верен, это всегда возможно и может быть выполнено вообще только одним способом.
Однако дело в том, что не существует системы, которая была бы изолирована от всякого внешнего воздействия; все части Вселенной подвержены более или менее сильному воздействию со стороны всех других частей. Закон движения центра тяжести строго верен только в применении ко всей Вселенной в целом.
Но в таком случае, чтобы извлечь из него значения масс, нужно было бы наблюдать движение центра тяжести Вселенной. Нелепость этого следствия очевидна; мы знаем только относительные движения; движение центра тяжести Вселенной навсегда останется для нас неизвестным.
Итак, у нас не остается ничего, и все наши усилия были напрасны; нет иного выхода, как остановиться на следующем определении, которое является только признанием нашего бессилия: массы суть коэффициенты, которые удобно ввести в вычисления.
Мы могли бы перестроить всю механику, приписывая всем массам другие значения. Эта новая механика не была бы в противоречии ни с опытом, ни с общими принципами динамики (принципом инерции, пропорциональностью сил массам и ускорениям, равенством действия и противодействия, прямолинейным и равномерным движением центра тяжести, законом площадей). Только уравнения этой новой механики были бы менее просты. Говоря точнее, менее просты были бы только первые члены, т. е. те, которые нам уже открыл опыт. Быть может, удалось бы изменять массы в пределах малых величин так, чтобы простота полных уравнений ничего бы не теряла и не приобретала.
Герц задался вопросом, строго ли верны принципы динамики. «Многим физикам, – говорит он, – покажется немыслимым, чтобы самый отдаленный опыт мог когда-нибудь что-нибудь изменить в незыблемых принципах механики; однако же то, что исходит из опыта, всегда может быть и поправлено опытом».
После того, что мы сейчас говорили, все эти опасения являются излишними. Принципы динамики выступали перед нами сначала как опытные истины; но мы вынуждены были пользоваться ими как определениями. Только по определению сила равна произведению массы на ускорение; вот принцип, который отныне поставлен вне пределов досягаемости любого будущего опыта. Точно так же и действие равно противодействию только по определению. Но тогда, скажут, эти недоступные проверке принципы абсолютно лишены всякого значения; опыт не может им противоречить; но они не могут и научить нас ничему полезному; зачем же тогда изучать динамику?
Такой слишком поспешный приговор был бы несправедлив. Правда, в природе нет системы, совершенно изолированной, совершенно изъятой от всякого внешнего воздействия; но есть системы почти изолированные.
Наблюдая подобную систему, можно изучать не только относительное движение ее различных частей – одних по сравнению с другими, – но и движение ее центра тяжести относительно других частей Вселенной. Тогда мы убеждаемся, что движение этого центра тяжести почти прямолинейно и равномерно сообразно с третьим законом Ньютона.
Это – опытная истина; но она не может быть поколеблена опытом. В самом деле, что мог бы открыть нам более точный опыт? Он открыл бы, что закон только приближенно верен; но это мы уже знаем.
Теперь выясняется, каким образом опыт, с одной стороны, мог служить основанием для принципов механики, а с другой – никогда не будет в состоянии стать с ними в противоречие.
Антропоморфная механика. Кое-кто скажет: Кирхгоф только поддался общей склонности математиков к номинализму; талант, присущий ему как физику, не предохранил его от этого. Он сделал попытку дать определение силы и взял для этого первое попавшееся предложение; но в определении силы мы и не нуждаемся: идея силы есть понятие первичное, которое ни к чему не сводится и через что-либо не определяется, мы все знаем, что это такое, – мы имеем его в прямой интуиции. Эта прямая интуиция проистекает из понятия усилия (de la notion d’effort), хорошо знакомого нам с детства.
Но если бы даже эта прямая интуиция и открывала нам истинную природу силы самой по себе, она была бы недостаточна для обоснования механики; мало того, она была бы совсем бесполезна. Не важно знать, что такое сила, а важно знать, как ее измерить.
Все, что не научает нас измерять силу, так же бесполезно механику, как было бы, например, бесполезно субъективное понятие теплого и холодного для физика, изучающего теплоту. Это субъективное понятие не может быть переведено на язык чисел; значит, оно бесполезно: ученый, у которого кожа была бы абсолютно дурным проводником тепла и который, следовательно, никогда не испытывал бы ощущений ни холода, ни тепла, мог бы не хуже других наблюдать термометр, и этого ему было бы достаточно, чтобы построить всю теорию тепла.
Так и непосредственное понятие усилия не может служить нам для измерения силы; ясно, например, что, поднимая тяжесть в пятьдесят килограммов, я утомился бы сильнее, чем человек, привыкший таскать тяжести. Более того: это понятие усилия не открывает нам истинной природы силы; оно сводится в конце концов к воспоминанию мускульных ощущений; но никто не стал бы утверждать, что Солнце испытывает мускульное ощущение, притягивая Землю.
Все, что можно найти в нем, есть символ, менее точный и менее удобный, чем стрелки, которыми пользуются геометры, но столь же далекий от действительности.
Антропоморфизм сыграл важную историческую роль в происхождении механики; быть может, он доставит иной раз символ, который покажется некоторым умам удобным; но он не может обосновать ничего, что имело бы истинно научный или истинно философский характер.
«Школа нити». Андрад в своих «Лекциях по физической механике» возродил антропоморфную механику. Школе механиков, к которой принадлежит Кирхгоф, он противополагает ту, которую он довольно своеобразно называет школой нити.
Эта школа стремится свести все к «рассмотрению некоторых материальных систем с ничтожно малой массой, находящихся в состоянии напряжения и способных передавать значительные силы отдаленным телам, – систем, идеальным типом которых является нить».
Нить, передающая какую-нибудь силу, под действием ее слегка удлиняется; направление нити указывает нам направление силы, а величина последней измеряется удлинением нити.
Поэтому можно предпринять, например, такой опыт. Тело А прикреплено к нити; к другому ее концу прилагают силу, величину которой изменяют до тех пор, пока нить не получит удлинения α; замечают ускорение тела А; затем отвязывают А и прикрепляют тело В; снова прилагают ту же или другую силу и изменяют ее до тех пор, пока нить снова получит удлинение α; замечают ускорение тела В. Затем опыт повторяют как с телом А, так и с телом В, но уже таким образом, чтобы нить получала удлинение β. Четыре отмеченных ускорения должны быть пропорциональными. Таким образом получается опытная проверка сформулированного выше закона ускорения.
Далее подвергают тело совместному действию нескольких тождественных нитей, равно натянутых, и исследуют на опыте, как должны быть расположены все эти нити, чтобы тело оставалось в равновесии. Получается опытная проверка правила сложения сил.
Однако чего же мы достигли в конце концов? Мы определили силу, приложенную к нити, деформацией, испытываемой этою нитью, – это довольно основательно; мы допустили затем, что если тело привязано к нити, то сила, передаваемая ему этой нитью, равна действию, которое это тело оказывает на нить; в конце концов мы воспользовались принципом равенства действия противодействию, рассматривая его не как опытную истину, но как само определение силы.
Это определение совершенно так же условно, как и определение Кирхгофа, но оно гораздо менее общо. Не все силы могут быть передаваемы при помощи нитей (к тому же для возможности сравнивать их необходимо было бы, чтобы все они передавались совершенно одинаковыми нитями). Если бы даже допустить, что Земля привязана к Солнцу какой-нибудь невидимой нитью, то по меньшей мере надо согласиться с тем, что мы не имеем никакого средства измерить ее удлинение.
Следовательно, в девяти случаях из десяти наше определение было бы недостаточно; ему нельзя было бы придать никакого смысла и пришлось бы вернуться к определению Кирхгофа.
Но тогда к чему же весь этот окольный путь? Вы допускаете известное определение силы, которое имеет смысл только в некоторых частных случаях. В этих случаях вы убеждаетесь при помощи опыта, что оно приводит к закону ускорения. Опираясь на этот опыт, вы принимаете затем закон ускорения за определение силы во всех других случаях.
Не проще ли было бы смотреть на закон ускорения как на определение во всех случаях и рассматривать перечисленные опыты не как подтверждение этого закона, а как проверку принципа противодействия или как доказательство того, что деформации упругого тела зависят только от сил, действующих на это тело? Мы не говорим уже о том, что условия, в которых ваше определение могло бы быть принято, никогда не выполняются в совершенстве – что нить никогда не бывает лишена массы, что она никогда не бывает изолирована от действия других сил, кроме противодействия тел, привязанных к ее концам.
Тем не менее идеи Андрада очень интересны; хотя они не удовлетворяют нашей логической потребности, зато они позволяют лучше понять историческое происхождение основных механических понятий. Размышления, которые они вызывают у нас, показывают нам, как человеческий ум поднимался от наивного антропоморфизма к современным научным идеям.
В точке отправления мы видим опыт, имеющий весьма частное значение и вообще довольно грубый; в конечной точке имеем совершенно точный закон, достоверность коего мы принимаем за абсолютную. Этой достоверностью наделили его мы сами, – так сказать, по доброй воле, – рассматривая его как результат соглашения.
Значит, закон ускорения, правило сложения сил – только произвольные соглашения? Да, это соглашения, но не произвольные. Они были бы произвольными, если бы мы потеряли из виду те опыты, которые привели основателей науки к их принятию и которые, как бы несовершенны они ни были, достаточны для их оправдания. Хорошо, если время от времени наше внимание бывает обращено на опытное происхождение этих соглашений.
Глава VII. Движение относительное и движение абсолютное
Принцип относительного движения. Были попытки связать закон ускорения с некоторым более общим принципом. Движение всякой системы должно подчиняться одним и тем же законам независимо от того, относить ли его к неподвижным осям или к подвижным, перемещающимся прямолинейно и равномерно. Это – принцип относительного движения, который внушается нам двумя обстоятельствами: во-первых, его подтверждает самый обыденный опыт, и, во-вторых, противоположное допущение совершенно противоречило бы нашему разуму.
Итак, допустим его и рассмотрим тело, находящееся под действием силы. Относительное движение этого тела для наблюдателя, перемещающегося с постоянной скоростью, равной начальной скорости тела, должно быть таким же, каким было бы абсолютное движение этого тела, если бы оно выходило из состояния покоя. Из этого заключают, что ускорение тела не должно зависеть от его абсолютной скорости, и отсюда пытаются извлечь доказательство закона ускорения.
Долгое время следы этого доказательства сохранялись в экзаменационных программах на степень бакалавра философских наук. Но эта попытка, очевидно, безнадежна. Препятствие, мешавшее нам доказать закон ускорения, было обусловлено отсутствием определения силы, и оно нисколько не устраняется, так как приведенный принцип не дает требуемого определения.
Но принцип относительного движения от этого не делается менее интересным; он заслуживает изучения сам по себе. Постараемся прежде всего дать ему точную формулировку.
Выше мы сказали, что ускорения различных тел, входящих в состав изолированной системы, зависят только от их скоростей и положений (относительных, а не абсолютных), если только подвижные оси, к которым отнесено движение, перемещаются прямолинейно и равномерно. Или, если угодно, эти ускорения зависят только от разностей скоростей и разностей координат тел, а не от абсолютных значений этих скоростей и координат.
Если этот принцип верен для относительных ускорений (или, лучше сказать, для разностей ускорений), то, сочетая его с законом противодействия, можно вывести, что он верен также и для абсолютных ускорений.
Остается, таким образом, рассмотреть, как можно доказать, что разности ускорений зависят только от разностей скоростей и координат или, говоря математическим языком, что эти разности координат удовлетворяют дифференциальным уравнениям второго порядка.
Можно ли это доказательство вывести из опытов или же из априорных соображений?
Припоминая сказанное выше, читатель сам даст на это ответ. В самом деле, в такой формулировке принцип относительного движения очень похож на то, что выше я назвал обобщенным принципом инерции. Это не совсем то же самое, потому что здесь речь идет о разностях координат, а не о самих координатах. Следовательно, новый принцип учит нас кое-чему большему сравнительно с прежним. Однако те же рассуждения приложимы и к нему, и они привели бы к тем же заключениям; возвращаться к этому было бы бесполезно.
Аргумент Ньютона. Здесь мы сталкиваемся с вопросом, крайне важным и в какой-то степени внушающим беспокойство. Я сказал, что принцип относительного движения не только был для нас результатом опыта, но и что a priori никакая иная гипотеза не допускается нашим разумом.
Но тогда почему принцип верен только в случае прямолинейного и равномерного движения подвижных осей? Казалось бы, он должен внушаться нам с той же силой и в случае, когда это движение переменно или, по крайней мере, когда оно сводится к равномерному вращению. Однако в этих двух случаях принцип неверен.
Я не стану подробно останавливаться на том случае, когда движение осей прямолинейно, но не равномерно; парадокс устраняется сейчас же при исследовании. Я нахожусь в вагоне, и если поезд, натолкнувшись на какое-нибудь препятствие, внезапно останавливается, я буду отброшен на противоположную скамейку, хотя прямо на меня не действовала никакая сила. Здесь нет ничего загадочного: я не подвергся действию никакой внешней силы, зато поезд испытал внешний толчок. Нет ничего парадоксального в том, что относительное движение двух тел оказывается возмущенным, раз движение того или другого тела изменено внешней причиной.
Остановлюсь подробнее на случае относительных движений, относимых к равномерно вращающимся осям. Если бы небо было беспрестанно покрыто тучами, если бы мы не имели никакого средства наблюдать светила, мы все-таки могли бы заключить, что Земля вращается; мы узнали бы об этом по ее сжатию или – еще лучше – из опыта с маятником Фуко.
Однако имело ли бы смысл говорить в этом случае, что Земля вращается? Если нет абсолютного пространства, то как можно вращаться, не вращаясь по отношению к чему-либо, а с другой стороны, как могли бы мы принять заключение Ньютона и верить в абсолютное пространство?
Но недостаточно констатировать, что все возможные решения одинаково не удовлетворяют нас; надо для каждого из них проанализировать основания, по которым мы отвергаем его, чтобы сделать наш выбор сознательно. Да простятся мне поэтому последующие длинные рассуждения.
Вернемся к нашему воображаемому случаю: густые тучи скрывают звезды от людей, и те не могут наблюдать их и даже не знают об их существовании. Как эти люди узнают, что Земля вращается? Еще увереннее, чем наши предки, они будут считать Землю, которая носит их, неподвижной и непоколебимой; им придется слишком долго ждать появления Коперника. Но, наконец, этот Коперник все-таки явится. Почему же это должно случиться?
Механики воображаемого нами мира сначала не натолкнулись бы ни на какое безусловное противоречие. В теории относительного движения рассматривают, кроме реальных сил, две фиктивные силы, которые называются: одна – обыкновенной, а другая – сложной центробежной силой. Наши воображаемые ученые могли бы, следовательно, все объяснить, рассматривая эти две силы как реальные, и они не увидели бы здесь противоречия с обобщенным принципом инерции, так как эти силы зависели бы: одна, подобно действительно существующему притяжению, от относительных положений различных частей системы; другая, подобно реальному трению, от их относительных скоростей.
Тем не менее некоторые трудности не замедлили бы пробудить их внимание. Если бы им удалось осуществить изолированную систему, то движение центра тяжести этой системы по траектории, почти прямолинейной, не имело бы места. Для объяснения этого факта они могли бы сослаться на центробежные силы, которые они рассматривали бы как реальные и которые они, несомненно, приписали бы взаимным действиям тел. Но они увидели бы, что эти силы не уничтожаются на значительных расстояниях, т. е. по мере того, как изоляция становилась бы совершенной: напротив, центробежная сила бесконечно возрастает с расстоянием.
Это затруднение казалось бы им уже довольно значительным; однако оно не остановило бы их надолго. Они не замедлили бы вообразить себе какую-нибудь среду, крайне тонкую, вроде нашего эфира, в которой плавали бы все тела и которая оказывала бы на них отталкивающее действие.
Но это не все. Пространство симметрично, а между тем законы движения не представляли бы симметрии; эти законы должны были бы отличать правую сторону от левой. Увидели бы, например, что циклоны вращаются всегда в одну и ту же сторону, между тем как по симметрии можно было бы ожидать этого вращения как в ту, так и в другую сторону, безразлично в какую. Если бы ценой труда наши ученые пришли к представлению о совершенной симметрии своей Вселенной, то эта симметрия не осуществлялась бы, хотя и не было бы никакого видимого основания для преимущественного нарушения ее в одну определенную сторону.
Без сомнения, они нашлись бы и здесь: они придумали бы что-нибудь, во всяком случае не более странное, чем хрустальные сферы Птолемея, и так нагромождали бы все более сложные построения, пока долгожданный Коперник не устранил бы одним ударом все эти нагромождения, сказав: гораздо проще допустить, что Земля вращается.
И совершенно так же, как наш Коперник сказал нам: удобнее предположить, что Земля вращается, потому что тогда законы астрономии выражаются более простым языком, тот Коперник сказал бы: удобнее предположить, что Земля вращается, потому что тогда законы механики выражаются более простым языком.
Это не противоречит тому, что абсолютное пространство – та, так сказать, веха, к которой надо было бы отнести Землю, чтобы знать, действительно ли она вращается, – объективно не существует. Ведь и утверждение: «Земля вращается» не имеет никакого смысла, ибо никакой опыт не позволит проверить его; ибо такой опыт не только не мог бы быть ни осуществлен, ни вызван смелой фантазией Жюля Верна, но даже не мог бы быть понят без противоречия! Или, лучше сказать, два положения: «Земля вращается» и «удобнее предположить, что Земля вращается» имеют один и тот же смысл; в одном ничуть не больше содержания, чем в другом.
Может быть, кто-нибудь останется еще недоволен этим и найдет даже что-то неприятно поражающее в том, что среди всех гипотез или – лучше – среди всех соглашений, которые мы можем сформулировать относительно этого предмета, есть одно, которое удобнее других.
Но если мы без труда допустили это, когда речь шла о законах астрономии, почему это должно смущать, если дело касается механики?
Мы видели, что координаты тел определяются дифференциальными уравнениями второго порядка, и то же самое имеет место для разностей этих координат. Это – то, что мы назвали обобщенным принципом инерции и принципом относительного движения.
Если бы расстояния этих тел определялись также дифференциальными уравнениями второго порядка, то, кажется, ум должен бы быть вполне удовлетворен. В какой мере он получает это удовлетворение и почему он им не довольствуется?
Чтобы дать себе в этом отчет, лучше всего взять простой пример. Вообразим систему, аналогичную нашей Солнечной системе, но такую, что из нее нельзя было бы видеть неподвижных звезд, не принадлежащих к этой системе, так что астрономы могли бы наблюдать только взаимные расстояния планет и Солнца, но не абсолютные долготы планет. Если мы выведем непосредственно из закона Ньютона дифференциальные уравнения, определяющие изменение этих расстояний, то эти уравнения не будут второго порядка. Я хочу сказать, что если бы, кроме закона Ньютона, были известны начальные значения этих расстояний и их производных по времени, то этого было бы достаточно для определения значений тех же расстояний для какого-нибудь последующего момента. Недоставало бы еще одного данного, и этим данным могло бы быть, например, то, что астрономы называют константой площадей.
Но здесь можно стать на две различные точки зрения; мы можем различать два рода констант. В глазах физика мир сводится к ряду явлений, зависящих единственно, с одной стороны, от начальных явлений, с другой – от законов, связывающих последующие явления с предыдущими. Если теперь наблюдение откроет нам, что некоторая величина есть константа, то нам представится выбор между двумя точками зрения.
Или мы допустим, что существует закон, требующий неизменяемости этой величины, но дело случая, что она в начальный момент имела именно такое значение, а не иное, – значение, которое она должна была потом сохранять. Такую величину можно было бы назвать тогда случайной константой.
Или, напротив, мы допустим, что существует закон природы, сообщающий этой величине именно такое значение, а не иное. Здесь мы будем иметь то, что можно назвать существенной константой.
Например, в силу законов Ньютона время обращения Земли должно быть постоянно. Но если оно равно 366 звездным суткам с дробью, а не 300 или 400, то это – результат какой-то неизвестной мне начальной случайности. Это – случайная константа. Если, напротив, показатель степени расстояния, входящий в выражение гравитационной силы, равен 2, а не 3, то это не случайно – этого требует закон Ньютона. Это – существенная константа.
Я не знаю, будет ли законно само по себе придавать какое-то значение случайности и не является ли такое разграничение искусственным; во всяком случае, пока в природе существуют тайны, оно будет применяться с широким произволом, всегда оставаясь ненадежным.
Что касается константы площадей, то мы привыкли рассматривать ее как случайную. Так ли поступили бы наши воображаемые астрономы? Если бы они имели возможность сравнивать две различные солнечные системы, то у них появилась бы идея, что эта константа может иметь различные значения; но я как раз предположил вначале, что их система изолирована и они не могли наблюдать никакого светила, не принадлежащего к их системе. В этих условиях они могли бы знать единственную константу, которая имела бы единственное, абсолютно неизменяемое значение; без сомнения, они были бы склонны рассматривать ее как константу существенную.
Выскажу попутно несколько слов в предупреждение возражений: обитатели нашего воображаемого мира не могли бы ни наблюдать, ни определить константу площадей, как это делаем мы, потому что абсолютные долготы были бы им недоступны; но это не помешало бы им скоро подметить определенную константу, которая естественно входила бы в их уравнения и которая была бы не чем иным, как тем, что мы называем константой площадей.
Но тогда бы имело место следующее. Если рассматривать константу площадей как существенную, как обусловленную законом природы, то для вычисления расстояний планет в любой момент достаточно знать начальные значения этих расстояний и их первых производных. С этой новой точки зрения расстояния будут определяться дифференциальными уравнениями второго порядка.
Однако был ли бы ум этих астрономов вполне удовлетворен? Я не думаю; прежде всего, они скоро заметили бы, что, продифференцировав свои уравнения и таким образом повысив их порядок, они привели бы их к более простой форме. В особенности они были бы поражены трудностью, связанной с симметрией. Пришлось бы допускать различные законы, смотря по тому, представляет ли совокупность планет фигуру какого-либо определенного многогранника, в частности симметричного многогранника; этого следствия можно было бы избегнуть, только рассматривая константу площадей как случайную.
Я взял довольно частный пример, вообразив астрономов, которые совсем не занимаются земной механикой и кругозор которых ограничен Солнечной системой. Но наши заключения приложимы ко всем случаям. Наша Вселенная шире по сравнению с их миром, потому что у нас есть неподвижные звезды, но она все же ограничена, и поэтому мы могли бы так же рассуждать о нашей Вселенной, взятой в целом, как эти астрономы – о своей Солнечной системе.
В конце концов, как из всего этого видно, пришлось бы заключить, что порядок уравнений, определяющих расстояния, выше второго. Почему бы это могло смущать нас, почему мы находим вполне естественным, что ряд явлений зависит от начальных значений первых производных расстояний, и в то же время не решаемся допустить, что они могут зависеть от начальных значений вторых производных? Это может быть только следствием известных привычек, выработанных в нашем сознании постоянным изучением обобщенного принципа инерции и его следствий.
Значения расстояний во всякий момент зависят от их начальных значений, начальных значений их первых производных и еще от чего-то другого. Чем же является это другое?
Если не хотят признать в этом просто одну из вторых производных, то остается только выбор гипотез. Обыкновенно полагают, что это «другое» есть абсолютная ориентация Вселенной в пространстве или быстрота, с которой ориентация изменяется. Возможно и даже несомненно, что такая гипотеза является самой удобной для геометра; но она никак не самая удовлетворительная с точки зрения философа, потому что такой ориентации не существует.
Можно допустить, что это «другое» есть положение или скорость какого-нибудь невидимого тела: так и поступали те, которые даже дали этому телу название «альфа-тело», хотя нам и не суждено ничего знать об этом теле, кроме его названия. Это – уловка, совершенно аналогичная той, о которой я говорил в конце параграфа, посвященного моим размышлениям о принципе инерции.
Однако в конечном счете указанные трудности имеют искусственный характер. Все, что необходимо, – это то, чтобы будущие показания наших инструментов определялись только теми показаниями, которые они нам дали или могли дать прежде. Но в этом отношении мы можем быть спокойны.
Глава VIII. Энергия и термодинамика
Энергетическая система. Трудности, возникшие в классической механике, побудили некоторые умы отдать предпочтение новой системе – так называемой энергетике. Энергетическая система получила свое начало вслед за открытием принципа сохранения энергии. Окончательная форма была ей дана Гельмгольцем.
Начнем с определения двух величин, которые играют фундаментальную роль в этой теории. Это следующие величины: во-первых, кинетическая энергия, или живая сила; во-вторых, потенциальная энергия.
Все перемены, какие могут происходить с телами природы, управляются двумя экспериментальными законами:
1. Сумма кинетической энергии и потенциальной энергии не меняется. Это – принцип сохранения энергии.
2. Если система тел в момент t0 имеет конфигурацию А, а в момент t1 – конфигурацию В, то переход от первой конфигурации ко второй всегда совершается таким путем, что среднее значение разности между двумя видами энергии за промежуток времени от t0 до t1 является величиной, самой малой из всех возможных. Это – принцип Гамильтона, представляющий одну из форм принципа наименьшего действия.
Энергетическая теория сравнительно с классической имеет следующие преимущества:
1) она является более полной, т. е. принцип сохранения энергии и принцип Гамильтона сообщают нам больше, чем сообщали основные принципы классической теории; они исключают некоторые движения, которые не реализуются в природе, но совместимы с классической теорией;
2) она освобождает нас от атомистической гипотезы, которую было почти невозможно избежать в классической теории.
Но в свою очередь энергетическая система создает и новые трудности. Именно, определение двух видов энергии представляет почти столь же значительные трудности, как и определение силы и массы в первой системе. Однако избавиться от них легче, по крайней мере в наиболее простых случаях.
Представим себе изолированную систему, состоящую из некоторого числа материальных точек; пусть эти точки находятся под действием сил, зависящих только от их расстояний и относительного расположения, но не зависящих от их скоростей. В силу принципа сохранения энергии система должна иметь силовую функцию.
В этом простом случае выражение принципа сохранения энергии крайне просто. Некоторая доступная измерению величина должна оставаться постоянной. Эта величина представляет собой сумму двух членов; первый зависит только от положения материальных точек и не зависит от их скоростей; второй представляет собой линейную функцию квадратов скоростей. Такое разложение может быть сделано только одним способом. Первый член, который я обозначу через U, будет потенциальной энергией, второй, который я обозначу через T, будет кинетической энергией.
Конечно, если Т + U равняется постоянной величине, то это же самое будет иметь место для любой функции величины Т + U, т. е. для
φ(T + U).
Но эта функция φ(T + U) не будет суммой двух членов, из которых один был бы независим от скоростей, а другой зависел бы линейно от их квадратов. Между функциями, сохраняющими постоянную величину, есть только одна, обладающая таким свойством, а именно Т + U (или любая линейная функция Т + U – это не имеет значения, ибо такая линейная функция всегда может быть приведена к виду Т + U путем преобразования масштаба и перемены начала). Это выражение мы и назовем энергией; первый член будет иметь значение кинетической энергии, второй – значение потенциальной энергии. Таким образом, определение обоих видов энергии может быть доведено до конца без всякой двусмысленности. Точно так же может быть дано определение масс. Кинетическая энергия, или живая сила, весьма просто выражается через массы материальных точек и через их скорости, соотнесенные к какой-нибудь одной из них. Эти относительные скорости доступны наблюдению, и если мы будем знать выражение кинетической энергии как функции относительных скоростей, то массы представятся коэффициентами этого выражения.
Итак, в этом простом случае определение основных понятий является делом легким. Но трудности опять возникают в более сложных случаях, как, например, если силы зависят не только от расстояний, но и от скоростей. Вебер предполагает, что взаимодействие двух электрических частиц зависит не только от их расстояния, но также от их скорости и ускорения. Если бы материальные точки притягивались по тому же закону, U зависело бы от скоростей и могло бы содержать член, пропорциональный квадрату скорости. Но как в этом случае можно было бы среди членов, пропорциональных квадратам скоростей, отличить те, которые относятся к T, и те, которые относятся к U? Как, следовательно, различить два вида энергии? Даже больше того, как определить самую энергию? Ведь теперь мы не имеем уже никаких оснований предпочесть Т + U какой-либо другой функции Т + U, раз исчезло свойство, отличавшее Т + U и состоявшее в возможности разделения ее на два слагаемых специальной формы.
Однако это не все. Необходимо принять в расчет не только механическую энергию в собственном смысле, но также другие виды энергии: теплоту, химическую энергию, электрическую энергию и другие. Тогда принцип сохранения энергии примет вид
Т + U + Q = const,
где Т означает воспринимаемую кинетическую энергию, U – потенциальную энергию положения, зависящую исключительно от расположения тел, Q – внутреннюю молекулярную энергию в тепловой, химической или электрической форме.
Все шло бы хорошо, если бы эти три члена можно было резко различить: если бы Т было пропорционально квадратам скоростей, U не зависело ни от скоростей, ни от состояния тела, Q зависело не от скоростей и расположения тел, а исключительно от их внутреннего состояния. Тогда выражение энергии допускало бы только единственное разложение на три члена указанной формы. На самом деле это не так; рассмотрим наэлектризованные тела: электростатическая энергия, обусловленная их взаимодействием, будет, очевидно, зависеть от их заряда, т. е. от их состояния, но также и от их расположения. Если эти тела находятся в движении, то они будут действовать друг на друга электродинамически, и электродинамическая энергия будет зависеть не только от их состояния и их расположения, но и от их скоростей. Таким образом, у нас не оказывается никакого средства выделить три подразделения энергии, рассортировав члены так, чтобы каждый относился к T, U и Q в отдельности.
Если Т + U + Q есть постоянная величина, то постоянной будет и любая ее функция
φ(T + U + Q).
Если бы Т + U + Q имело вышеуказанную специальную форму, неопределенности не могло бы возникнуть; между всеми функциями φ(T + U + Q), сохраняющими постоянную величину, нашлась бы только одна, имеющая этот частный вид, и она была бы тем, что мы условились называть энергией. Но это, по вышесказанному, не выполняется: между функциями, сохраняющими неизменную величину, нет таких, которые бы в точности подходили под нашу специальную форму, – следовательно, как найти между ними ту, которую следует именовать энергией? У нас нет никакой путеводной нити для этих поисков.
Поэтому нам остается выразить принцип сохранения энергии только таким образом: есть нечто, сохраняющее неизменную величину. Но в такой форме он оказывается вне пределов досягаемости опыта и сводится к некоторого рода тавтологии, ибо ясно, что если мир управляется законами, то существуют некоторые величины, которые остаются постоянными. Подобно принципам Ньютона (и по тем же основаниям), принцип сохранения энергии, основанный на опыте, не может быть опровергнут этим последним.
Это исследование показывает, что с переходом от классической системы к системе энергетической осуществляется известный прогресс, но что в то же время этот прогресс недостаточен.
Еще более серьезным кажется мне другое возражение: принцип наименьшего действия приложим к обратимым процессам; но он оказывается совершенно недостаточным, коль скоро речь идет о необратимых процессах. Попытка Гельмгольца распространить его на эту область явлений не имела и не могла иметь успеха: здесь все еще принадлежит будущему.
Самая формулировка принципа наименьшего действия имеет в себе нечто, неприятно поражающее наш ум. При переходе от одной точки к другой материальная частица, не подверженная действию какой-либо силы, но подчиненная условию не сходить с некоторой поверхности, движется по геодезической линии, т. е. по кратчайшему пути. Эта частица как будто бы знает ту точку, куда ее желают привести, предвидит время, которое она затратит, следуя по тому или иному пути, и, наконец, выбирает путь наиболее подходящий. В такой формулировке принципа частица представлена нам как бы одушевленным существом, обладающим свободой воли. Ясно, что следовало бы заменить эту формулировку другой, более подходящей, в которой, выражаясь языком философа, конечные причины не становились бы явным образом на место причин действующих.
Термодинамика[8]. Значение двух основных принципов термодинамики для всех областей физики становится с каждым днем все более важным. Оставляя предложенные сорок лет назад претенциозные теории, насыщенные молекулярными гипотезами, мы пытаемся ныне воздвигнуть все здание математической физики единственно на термодинамической основе.
Способны ли два принципа – Майера и Клаузиуса – сообщить этому зданию на известное время достаточную прочность? В этом никто не сомневается; но откуда мы получаем такую уверенность?
Один выдающийся физик говорил мне однажды по поводу закона погрешностей: «Все крепко верят в него: математики считают его результатом наблюдений, а наблюдатели – математической теоремой». В течение долгого времени можно было сказать то же самое относительно принципа сохранения энергии. Но в настоящее время всем уже известно, что он представляет собою экспериментальный факт.
Но в таком случае что дает нам право приписывать самому принципу большую общность и точность сравнительно с теми опытами, которые послужили для его доказательства? Это равносильно вопросу: законны ли делаемые на каждом шагу обобщения эмпирических данных? У меня не хватает смелости разбирать этот вопрос после того, как столько философов тщетно искали его решения. Достоверно одно: если бы мы не имели способности к обобщению, наука не могла бы существовать или, по крайней мере, свелась бы к простой описи, к установлению единичных фактов, – она не имела бы для нас никакой ценности, так как не могла бы удовлетворить наше стремление к порядку и гармонии и в то же время была бы неспособна делать предсказания. Обстоятельства, предшествовавшие известному факту, по всей вероятности, никогда более не повторятся в своей совокупности; поэтому первое обобщение необходимо уже просто для того, чтобы предвидеть, повторится ли этот факт после того, как произойдет самое незначительное изменение в этих обстоятельствах.
Но всякое положение можно обобщить бесчисленным множеством способов. Между всеми возможными обобщениями нам необходимо выбрать только одно, а именно самое простое. Таким образом, мы вынуждены поступать так, как если бы простой закон при прочих равных условиях имел бо́льшую вероятность сравнительно со сложным законом.
Полвека тому назад было общераспространенным убеждение, что природа любит простоту. С тех пор мы имели от нее много опровержений. Ныне мы такой тенденции уже не приписываем природе и сохраняем от этой тенденции лишь то, что необходимо, чтобы наука не уклонялась со своего пути. Таким образом, формулируя общий, простой и точный закон на основании сравнительно малочисленных и не абсолютно точных опытов, мы лишь повинуемся необходимости, которой не может избежать человеческий ум. Но здесь имеется и кое-что большее, и это объясняет, почему я так настойчив.
Никто не сомневается в том, что принципу Майера предстоит пережить все частные законы, из которых он был извлечен, подобно тому как закон Ньютона пережил законы Кеплера, послужившие его источником и являющиеся лишь приближенными, если принять в расчет возмущения. Спрашивается, почему же этот принцип занимает привилегированное положение среди всех физических законов?
Для этого имеется ряд оснований – не очень значительных. Прежде всего, полагают, что мы не можем его отвергнуть, даже сомневаться в его абсолютной строгости, без того чтобы не допустить возможности «вечного движения»; мы, разумеется, не боимся такой перспективы, но считаем, что осторожнее признать принцип Майера, чем его отрицать. Быть может, это и не вполне точно: невозможность «вечного движения» влечет за собой сохранение энергии лишь для обратимых явлений.
Величавая простота принципа Майера также способствует укреплению нашей веры в него. В законе, выведенном непосредственно из опыта, каков, например, закон Мариотта, подобная простота внушала бы нам скорее недоверие. Но здесь это не так. Здесь мы видим, как элементы, которые на первый взгляд кажутся лишенными взаимной связи, неожиданно упорядочиваются, образуя гармоническое целое; и мы отказываемся думать, чтобы эта непредвиденная гармония была следствием простого случая. Наше приобретение как будто делается тем дороже для нас, чем больших усилий оно нам стоило; мы как будто тем сильнее убеждаемся в том, что действительно исторгли у природы ее тайну, чем ревнивее она, казалось, скрывала эту тайну от нас.
Однако все это – не слишком веские доводы; чтобы возвести закон Майера в ранг абсолютного принципа, нужно было бы представить более глубокий разбор вопроса. Но пытаясь выполнить это, мы видим, что этот абсолютный принцип нелегко даже сформулировать. В каждом частном случае мы ясно видим, что такое энергия, и можем определить ее – по крайней мере предварительно; но найти общее определение ее невозможно. Как только мы хотим выразить принцип во всей его общности и приложить его ко Вселенной, мы видим, что он, так сказать, испаряется и от него остается только следующее: существует нечто, что остается постоянным.
Но имеет ли это какой-нибудь смысл? По детерминистской гипотезе состояние Вселенной определяется чрезвычайно большим числом n параметров, которые я обозначу х1, х2, …, хn. Если известны значения параметров для одного какого-нибудь момента, а также производные этих параметров по времени, то можно высчитать значения их для всякого другого момента, предшествующего или последующего. Другими словами, наши n параметров удовлетворяют n дифференциальным уравнениям первого порядка. Эти уравнения имеют n − 1 интегралов, не содержащих времени; таким образом, существует n − 1 функций от х1, х2, …, xn, сохраняющих неизменную величину. Поэтому, говоря, что существует нечто, что остается постоянным, мы высказываем простую тавтологию. Трудно было бы даже сказать, которому из этих интегралов должно принадлежать название энергии.
Впрочем, принцип Майера понимается иначе, когда он прилагается к ограниченной системе. В этом случае принимают, что р из наших n параметров изменяются под влиянием самостоятельных причин, так что мы имеем всего n − р уравнений (вообще линейных) между нашими n параметрами и их производными.
Для большей простоты предположим, что сумма работ внешних сил равна нулю, так же как и сумма рассеянных системой количеств тепла. В таком случае принцип получит следующее выражение: существует такое сочетание этих n − р уравнений, первый член которого является точным дифференциалом; так как в силу наших n − р соотношений этот дифференциал равен нулю, то интеграл его равняется постоянной величине, и этот интеграл есть то, что называется энергией.
Но каким образом возможно, что некоторые из параметров обнаруживают изменения, независимые от остальных? Это имеет место лишь под воздействием внешних сил (хотя мы для простоты и предположили, что алгебраическая сумма работ этих сил равна нулю). В самом деле, если бы система была совершенно изолирована от всякого внешнего воздействия, то знания величин наших n параметров в данный момент было бы достаточно для определения состояния системы в любой последующий момент (предполагая, что мы по-прежнему держимся детерминистской гипотезы), т. е. мы опять встретили бы прежнюю трудность.
Если будущее состояние системы не вполне определяется ее настоящим состоянием, то это значит, что оно зависит еще от состояния тел, внешних по отношению к системе. Но в таком случае правдоподобно ли, чтобы между параметрами х, определяющими положение системы, существовали уравнения, не зависящие от состояния этих внешних тел? И если в некоторых случаях мы, по-видимому, можем их составить, то не является ли это лишь следствием нашего незнания, следствием того, что влияние этих тел слишком слабо, чтобы наш опыт мог его обнаружить?
Если система не рассматривается как вполне изолированная, то вероятно, что строго точное выражение ее внутренней энергии должно зависеть от состояния внешних тел. Кроме того, выше мы предположили, что сумма внешних работ равна нулю; если бы мы пожелали освободиться от этого несколько искусственного ограничения, формулировка принципа стала бы делом еще более трудным. Поэтому для формулировки принципа Майера в абсолютном смысле необходимо распространять его на всю Вселенную, а тогда перед нами встает та самая трудность, которой мы желали избежать. Говоря кратко и обычным языком, закон сохранения энергии может иметь только один смысл, а именно: существует некоторое свойство, присущее всем возможностям; но по детерминистской гипотезе существует лишь единственная возможность, а тогда закон теряет свой смысл.
Напротив, при допущении индетерминистской гипотезы он имел бы смысл и тогда, когда бы мы пожелали придать ему абсолютное значение: он представился бы ограничением, наложенным на свободу.
Но слово «свобода» напоминает мне, что я выхожу за пределы физико-математической области. Поэтому я останавливаюсь и от всего предыдущего обсуждения сохраняю только один вывод: закон Майера является формой достаточно гибкой, чтобы можно было вложить в нее почти все, что угодно. Я не хочу этим сказать ни то, что он не соответствует никакой объективной реальности, ни то, что он сводится к простой тавтологии, так как в каждом частном случае он имеет совершенно ясный смысл, если только не пытаются возвести его до степени абсолютного принципа.
Самая гибкость его дает основание верить в его высокую жизнеспособность; а так как, с другой стороны, он не может исчезнуть иначе, как растворившись в гармонии высшего порядка, то мы с доверием можем опираться на него в наших работах, наперед зная, что наш труд не пропадет даром.
Почти все сказанное выше применимо к принципу Клаузиуса. Различие в том, что последнее выражается неравенством. Кто-нибудь мог бы сказать, что это – свойство всех физических законов, так как точность их всегда ограничена погрешностями наблюдения. Но законы эти имеют притязание быть по меньшей мере первым приближением, и есть надежда на постепенное замещение их другими, все более точными. Напротив, если принцип Клаузиуса сводится к неравенству, то причина этого лежит не в несовершенстве наших средств наблюдения, а в самой природе вопроса.
Общие выводы из третьей части
Итак, принципы механики представляются нам в двух различных аспектах. С одной стороны, это – истины, обоснованные опытом, подтверждающиеся весьма приближенно для систем почти изолированных. С другой стороны, это – постулаты, которые прилагаются ко всей Вселенной и считаются строго достоверными.
Если эти постулаты обладают общностью и достоверностью, каких недостает экспериментальным истинам, из которых они извлекаются, то это оттого, что они в результате проведенного анализа сводятся к простому соглашению, которое мы имеем право сформулировать, будучи заранее уверены, что никакой опыт не станет с ним в противоречие. Однако это соглашение не абсолютно произвольно; оно не вытекает из нашей прихоти; мы принимаем его, потому что известные опыты доказали нам его удобство. Так объясняется и то, почему опыт был в состоянии создать принципы механики, и то, почему он не сможет их ниспровергнуть.
Проведем сравнение с геометрией. Основные положения геометрии, как, например, постулат Евклида, суть также не что иное, как соглашения, и было бы настолько же неразумно доискиваться, истинны ли они или ложны, как задавать вопрос, истинна или ложна метрическая система. Эти соглашения только удобны, и в этом нас убеждают известные опыты.
На первый взгляд аналогия является полной: роль опыта представляется в обоих случаях одной и той же. Кто-нибудь мог бы сказать: либо механика должна быть признаваема за науку экспериментальную, и тогда то же самое следует сказать про геометрию; либо, наоборот, геометрия является наукой дедуктивной, и тогда механика должна быть такой же.
Но подобное заключение было бы незаконно. Опыты, которые привели нас к принятию основных соглашений геометрии в качестве наиболее удобных, относятся к вещам, которые не имеют ничего общего с объектами изучения геометрии, они относятся к свойствам твердых тел, к прямолинейному распространению света. Это – опыты механические и оптические; их отнюдь нельзя рассматривать как опыты геометрические. А главное основание, по которому наша геометрия представляется нам удобной, – это то, что различные части нашего тела, наш глаз, наши члены обладают в точности свойствами твердых тел. В этом смысле нашими основоположными опытами являются прежде всего физиологические опыты, которые относятся не к пространству, составляющему предмет изучения для геометра, но к нашему собственному телу, т. е. к орудию, которым мы должны пользоваться при этом изучении.
Напротив, основные соглашения механики и те опыты, которыми доказывается их удобство, относятся к одним и тем же или к аналогичным предметам. Эти условные и общие принципы являются естественным и прямым обобщением принципов экспериментальных и частных.
Пусть не говорят, что здесь я провожу искусственные границы между науками; что если я отделяю геометрию в собственном смысле от изучения твердых тел, то я мог бы точно так же воздвигнуть стену между экспериментальной механикой и конвенциональной механикой общих принципов. В самом деле, кто не заметит, что, разделяя эти две науки, я исказил бы и ту и другую, что изолированная конвенциональная механика представляла бы собой нечто малозначащее, никак не могущее сравниться с величественным зданием геометрической науки?
Понятно теперь, почему преподавание механики должно оставаться экспериментальным. Только при таком методе оно может сделать понятным генезис науки, а это необходимо для полного понимания самой науки. Кроме того, механику изучают, чтобы ее применять; это возможно только при условии, что она остается объективной. Но, как мы видели, принципы механики, выигрывая в общности и достоверности, теряют в своей объективности. При первом ознакомлении с принципами особенно уместно подходить к ним с их объективной стороны; это можно сделать, только двигаясь от частного к общему, но не наоборот.
Принципы – это соглашения и скрытые определения. Тем не менее они извлечены из экспериментальных законов; эти последние были, так сказать, возведены в ранг принципов, которым наш ум приписывает абсолютное значение.
Некоторые философы довели процесс обобщения до крайностей; по их мнению, принципы составляют всю науку, которая, таким образом, вся принимает характер условного знания. Это парадоксальное учение, называемое номинализмом, не выдерживает критики.
Каким образом закон может стать принципом? Он выражал соотношение между двумя реальными членами А и В, но он не был строго верным, а лишь приближенным. Мы произвольно вводим промежуточный, более или менее фиктивный член С, и С в силу определения связано с А точным отношением, которое выражено в законе. Таким образом, наш закон разложился на абсолютный, строгий принцип, выражающий соотношение А и С, и на приближенный, подлежащий пересмотру экспериментальный закон, который выражает соотношение между С и В. Ясно, что как бы далеко ни простиралось это расчленение, такие законы всегда будут иметь место.
Мы вступаем теперь в область законов в собственном смысле.