Часть I. Математические науки
Глава I. Интуиция и логика в математике
Изучая труды великих и даже рядовых математиков, невозможно не заметить и не различить две противоположные тенденции – или скорее два рода совершенно различных умов. Одни прежде всего заняты логикой; читая их работы, хочется думать, что они шли вперед лишь шаг за шагом, по методу какого-нибудь Вобана, который предпринимает свою атаку против крепости, ничего не вверяя случаю. Другие вверяют себя интуиции и подобно смелым кавалеристам авангарда сразу делают быстрые завоевания, впрочем, иногда не совсем надежные.
Не предмет, о котором они трактуют, внушает им тот или другой метод. Если часто говорят о первых, что они аналитики, и если других называют геометрами, то это не мешает одним оставаться аналитиками даже тогда, когда они работают в геометрии, точно так же как другим быть геометрами, если даже они занимаются чистым анализом. Самая природа их ума делает из них сторонников логики или интуиции, и они не в силах отрешиться от нее, когда приступают к новому предмету.
И не воспитание развило в них одну из этих двух склонностей и заглушило другую. Математиками родятся, а не делаются, и, по-видимому, также родятся геометрами или родятся аналитиками.
Мне хотелось бы привести примеры, и в них, конечно, не будет недостатка; но, чтобы подчеркнуть контраст, я хотел бы начать с крайнего примера; пусть мне простят, если я возьму для него двух еще находящихся в живых математиков.
Так, Мере хочет доказать, что двучленное уравнение всегда имеет корень, или, говоря просто, что всегда можно разделить угол на части. Если есть истина, которую мы могли бы узнать непосредственной интуицией, то она здесь. Кто станет сомневаться, что угол всегда можно разделить на какое угодно число равных частей? Мере думает не так; в его глазах это предложение нисколько не очевидно, и чтобы доказать это, ему нужно несколько страниц.
Напротив, посмотрите на Клейна: он изучает один из самых абстрактных вопросов теории функций; требуется узнать, всегда ли существует на данной поверхности Римана функция, допускающая данные сингулярности. Что делает знаменитый немецкий геометр? Он заменяет поверхность Римана металлической поверхностью, электропроводность которой меняется по известным законам, и соединяет две точки ее с двумя полюсами элемента. Ток, говорит он, непременно пройдет, и распределение этого тока по поверхности определит функцию, особыми свойствами которой будут именно те, которые предусмотрены условием.
Без сомнения, Клейн знает, что он дал здесь лишь наглядный очерк; и все-таки он не задумался опубликовать его; вероятно, он надеялся найти здесь если не строгое доказательство, то по крайней мере как бы нравственную уверенность. Логик с ужасом отбросил бы подобную концепцию или – вернее – ему и не нужно было бы ее отбрасывать, потому что она никогда не могла бы возникнуть в его уме.
Позвольте мне еще сравнить двух людей, которые составляют гордость французской науки; они недавно умерли, но давно уже стяжали себе бессмертие. Я говорю о Бертране и Эрмите. Они воспитывались в одной школе и в одно и то же время; получили одно воспитание и подверглись одним и тем же влияниям; и однако какое различие – не только в их сочинениях, но и в их преподавании, в их манере говорить, в самой их внешности! Эти две личности запечатлелись в памяти всех их учеников неизгладимыми чертами; воспоминание о них еще свежо у всех тех, кто имел счастье слушать их лекции; нам легко восстановить его.
Когда говорил Бертран, он все время находился в движении; то он как будто боролся с каким-то внешним врагом, то движением руки чертил фигуры, которые он изучал. Очевидно, он видел их и хотел изобразить, поэтому он и прибегал к жесту. Что касается Эрмита, то это совершенная противоположность; глаза его как бы избегали соприкосновения с миром; не вне, а внутри искал он образ истины.
Между немецкими геометрами той же эпохи два имени пользуются особенной славой; это имена тех двух ученых, которые основали общую теорию функций, Вейерштрасса и Римана. Вейерштрасс все сводит к рассмотрению рядов и к их аналитическим преобразованиям; можно сказать, он превращает анализ как бы в продолжение арифметики; можно перелистать все его сочинения и не встретить в них ни одного чертежа. Напротив, Риман постоянно прибегает к помощи геометрии; каждая концепция его есть образ, который никто не может позабыть, раз его смысл понят.
Возьмем примеры более свежие. Ли был интуитивистом. При чтении его трудов могли возникнуть сомнения, но все они исчезали после беседы с ним; сейчас же было видно, что он мыслит в образах. Ковалевская была логиком.
У наших студентов мы замечаем те же самые различия; одни больше любят решать задачи «аналитически», другие – «геометрически». Первые не способны «представлять в пространстве», последние скоро утомились бы и запутались бы в длинных вычислениях. Оба рода умов одинаково необходимы для прогресса науки; как логики, так и интуитивисты создали великие вещи, которых не могли бы создать другие. Кто осмелится сказать, что, на его взгляд, было бы лучше, если бы Вейерштрасс никогда не писал, или что он предпочел бы, чтобы Римана не существовало? Итак, и анализ, и синтез играют каждый свою законную роль. Но интересно поближе рассмотреть, какое место в истории науки отводится одному и какое – другому.
Интересная вещь! Если мы перечитаем сочинения древних, у нас явится склонность причислить всех их к интуитивистам. И однако природа всегда остается одной и той же; маловероятно, что она только в нашу эпоху начала создавать расположенные к логике умы.
Если бы мы могли снова вникнуть в ход тех идей, которые господствовали в их время, мы узнали бы, что многие из древних геометров по своему направлению были аналитиками. Например, Евклид воздвиг здание науки, в котором его современники не могли найти недостатка. В этом обширном построении – каждая часть которого все же была обусловлена интуицией – мы можем еще и теперь без особого труда признать творчество логика.
Изменились не умы, а идеи; интуитивные умы остаются все теми же, но их читатели потребовали от них больше уступок.
Какова же причина этой эволюции?
Нетрудно обнаружить ее. Интуиция не может дать нам ни строгости, ни даже достоверности – это замечается все больше и больше.
Приведем несколько примеров. Мы знаем, что существуют непрерывные функции, не имеющие производных. Ничто так не подрывает доверие к интуиции, как эта внушенная нам логикой теорема. Наши отцы не преминули бы сказать: «очевидно, что любая непрерывная функция имеет производную, потому что любая кривая имеет касательную».
Почему же интуиция может обмануть нас в этом случае? А потому, что когда мы стараемся вообразить кривую, мы не можем представить себе ее без толщины; то же самое – когда мы представляем себе прямую, мы видим ее в форме прямолинейной полосы известной ширины. Мы отлично знаем, что эти линии не имеют толщины; мы силимся вообразить их все более и более тонкими и таким образом приблизиться к пределу; до некоторой степени нам это удается, но мы никогда не достигнем этого предела.
Теперь ясно, что мы всегда будем в состоянии представить себе эти две узкие полосы – одну прямолинейную, другую криволинейную – в таком положении, что они будут слегка захватывать друг друга, не пересекаясь.
Таким образом, мы поневоле придем, – если не будем предупреждены строгим анализом, – к заключению, что кривая всегда имеет касательную.
Для другого примера я возьму принцип Дирихле, на котором основано так много теорем математической физики; теперь он доказывается самыми строгими, но очень длинными рассуждениями; напротив, прежде довольствовались одним кратким пояснением. Определенный интеграл, зависящий от произвольной функции, никогда не может обращаться в нуль. Отсюда заключали, что он должен иметь минимум. Недостаток этого рассуждения непосредственно очевиден для нас, потому что мы употребляем абстрактный термин «функция» и потому что мы освоились со всеми особенностями, которые могут иметь функции, когда это слово понимается в самом общем значении.
Но этого бы не было, если бы мы пользовались конкретными образами – если бы, например, смотрели на эту функцию как на электрический потенциал; можно было бы справедливо утверждать, что электростатическое равновесие может быть достигнуто. Однако, может быть, сравнение из физики возбудило бы некоторое смутное недоверие. Но если бы постараться перевести рассуждение на язык геометрии, средний между языком анализа и физики, то этого недоверия, без сомнения, не возникало бы и, таким образом, может быть, можно было бы еще теперь обмануть многих непредубежденных читателей.
Итак, интуиция не дает нам достоверности. Вот почему должна была возникнуть эволюция; теперь посмотрим, как она возникла.
Вскоре заметили, что строгость не могла бы иметь места в рассуждениях, если не ввести ее сначала в определения.
Долгое время предметы, которыми занимаются математики, были по большей части плохо определены; думали, что знают их, потому что представляли себе их при помощи чувств или воображения; но получался только грубый образ, а не ясная идея, на которой можно было бы строить рассуждение.
Вот сюда-то прежде всего логики и должны были направить свои усилия.
Точно то же произошло и для иррационального числа.
Смутная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, касающуюся целых чисел.
Благодаря ей трудности при переходе к пределу или при рассмотрении бесконечно малых окончательно устраняются.
Теперь в анализе остаются только целые числа или конечные и бесконечные системы целых чисел, связанных между собой сетью отношений равенства или неравенства.
Математика, как говорят, арифметизировалась.
Прежде всего возникает вопрос: закончилась ли эта эволюция?
Достигли ли мы наконец абсолютной строгости? Ведь на каждой стадии эволюции наши предки также верили в то, что достигли ее. Если они ошибались, то не ошибаемся ли и мы подобно им?
Мы надеемся уже не прибегать в наших рассуждениях к интуиции; философы скажут нам, что это иллюзия. Чистая логика всегда приводила бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового; сама по себе она не может дать начало никакой науке.
Эти философы правы в одном смысле: для того чтобы создать геометрию или какую бы то ни было науку, нужно нечто другое, чем чистая логика.
Для обозначения этого другого у нас нет иного слова, кроме слова «интуиция». Но сколько различных идей скрывается под одним и тем же словом?
Сравним такие четыре аксиомы:
1) Две величины, равные третьей, равны между собой.
2) Если теорема справедлива для 1 и если доказывается, что она справедлива для n + 1, когда справедлива для n, то она будет справедлива для всех целых чисел.
3) Если точка С лежит на прямой между А и В, а точка D между A и С, то точка D будет лежать между А и В.
4) Через одну точку можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
Все четыре аксиомы должны быть приписаны интуиции, и однако же первая является выражением одного из правил формальной логики; вторая – настоящее синтетическое суждение a priori, это – основание строгой математической индукции; третья есть обращение к воображению; четвертая – скрытое определение.
Интуиция не основывается неизбежно на свидетельстве чувств; чувства скоро оказались бы бессильными; мы не можем, например, представить себе тысячеугольника и однако же интуитивно рассуждаем о многоугольниках вообще, а они включают в себя как частный случай и тысячеугольник.
Вам известно, что подразумевал Понселе под принципом непрерывности. То, что справедливо для действительной величины, говорил Понселе, должно быть справедливо и для мнимой; то, что справедливо для гиперболы, асимптоты которой действительны, должно быть поэтому справедливо и для эллипса, асимптоты которого мнимые.
Понселе был одним из самых интуитивных умов в этом веке; он был страстным интуитивистом и чуть ли не гордился этим; он видел в принципе непрерывности одну из самых смелых своих концепций, и однако этот принцип не покоился на свидетельстве чувств – уподоблять гиперболу эллипсу было скорее противоречием этому свидетельству. Здесь имело место лишь какое-то поспешное инстинктивное обобщение, что, впрочем, я не хочу отстаивать.
Итак, мы имеем несколько родов интуиции; сначала обращение к чувствам и воображению; затем обобщение посредством индукции, так сказать, срисованное с приемов экспериментальных наук; Наконец, мы имеем интуицию чистого числа, ту интуицию, из которой вышла вторая из только что приведенных мною аксиом и которая может дать начало настоящему математическому умозаключению.
Две первые не могут дать достоверности, выше я показал это на примерах; но кто станет серьезно сомневаться относительно третьей, кто станет сомневаться в арифметике?
В новейшем анализе, – если пожелаем взять на себя труд быть строгими, – находят место лишь силлогизмы и обращения к этой интуиции чистого числа, единственной интуиции, которая не может обмануть нас. Можно сказать, что ныне достигнута абсолютная строгость.
Философы приводят еще другое возражение: «То, что вы выигрываете в строгости, – говорят они, – вы теряете в объективности. Вы можете подняться к вашему логическому идеалу, только порвав те связи, которые соединяют вас с реальностью. Ваша наука непогрешима, но она может оставаться такою, только замыкаясь в свою раковину и запрещая себе всякое сношение с внешним миром. При малейшем же применении ей надо выходить оттуда».
Я хочу, например, доказать, что такое-то свойство принадлежит такому-то объекту, понятие которого кажется мне сначала неопределимым, потому что оно интуитивно. Я сначала затрудняюсь или бываю должен удовлетвориться приближенными доказательствами; наконец, я решаюсь дать моему объекту точное определение – то, которое позволяет мне установить это свойство безукоризненным образом.
«Что же после, – говорят философы, – ведь остается еще доказать, что отвечающий этому определению объект есть тот же самый, который открыт вам интуицией; или еще, что такой-то реальный и конкретный объект, сходство которого с вашей интуитивной идеей вы думаете узнать непосредственно, отвечает вашему новому определению. Только тогда вам будет можно утверждать, что он имеет данное свойство. Вы только переместили затруднение».
Это неточно; затруднение не перемещено, оно разделено. Предложение, которое нужно было обосновать, в действительности состояло из двух различных истин, которые не сразу были отличены друг от друга. Первая – математическая истина, и теперь она строго обоснована. Вторая – истина экспериментальная. Только опыт может научить нас, что такой-то реальный, конкретный объект отвечает или не отвечает такому-то абстрактному определению. Эта вторая истина не доказывается математически, но она и не может доказываться, точно так же, как не могут доказываться эмпирические законы физических и естественных наук. Было бы безрассудно требовать большего.
Но разве не большой шаг вперед – различить то, что долгое время неправильно смешивали?
Не значит ли это, что нужно совсем откинуть это возражение философов? Этого я не хочу сказать; сделавшись строгой, математическая наука получает искусственный характер, который поражает всех; она забывает свое историческое происхождение; видно, как вопросы могут разрешаться, но уже не видно больше, как и почему они ставятся.
Это указывает нам на то, что недостаточно одной логики; что наука доказывать не есть еще вся наука и что интуиция должна сохранить свою роль как дополнение – я сказал бы, как противовес или как противоядие логики.
Я уже имел случай указать то место, какое должна иметь интуиция в преподавании математических наук. Без нее молодые умы не могли бы проникнуться пониманием математики; они не научились бы любить ее и увидели бы в ней лишь пустое словопрение; без нее особенно они никогда не сделались бы способными применять ее.
Но теперь я хотел бы говорить прежде всего о роли интуиции в самой науке. Если она полезна для студента, то она еще более полезна для творческого ума ученого.
Мы ищем реальность, но что такое реальность?
Физиологи учат нас, что организмы образуются из клеточек; химики прибавляют, что сами клеточки образуются из атомов. Значит ли это, что эти атомы или клеточки составляют реальность или по крайней мере единственную реальность? Тот типичный способ, по которому упорядочиваются эти клеточки и который порождает единство индивидуума, не есть ли также реальность, гораздо более интересная, чем реальность отдельных элементов, и стал ли бы думать какой-нибудь натуралист, что он достаточно знает слона, если бы он всегда изучал это животное только под микроскопом?
Но в математике есть нечто аналогичное. Логик, так сказать, разлагает каждое доказательство на множество элементарных операций; когда рассмотрят одну за другой эти операции и констатируют, что каждая из них правильна, можно ли думать, что понят истинный смысл доказательства? Поймут ли его даже тогда, когда напряжением памяти будут в состоянии повторить это доказательство, воспроизведя все эти элементарные операции в том же порядке, в каком их разместил изобретатель?
Очевидно, нет, мы еще не овладеем всецело реальностью; то нечто, что создает единство доказательства, совсем ускользнет от нас.
Чистый анализ предоставляет в наше распоряжение много приемов, гарантируя нам их непогрешимость; он открывает нам тысячу различных путей, которым мы смело можем вверяться; мы уверены, что не встретим там препятствий; но какой из всех этих путей скорее всего приведет нас к цели? Кто скажет нам, какой следует выбрать? Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима для исследователя в выборе пути, она не менее необходима и для того, кто идет по его следам и хочет знать, почему он избрал его.
Если вы присутствуете при шахматной партии, чтобы понять ее, вам недостаточно будет знать правила ходов фигур. Это только позволило бы вам знать, что каждый ход сделан по правилам игры, а это преимущество, конечно, не имело бы большой цены. Однако в таком положении был бы читатель математической книги, если бы он был только логиком. Совсем другое дело – понимать партию; это значит знать, почему игрок выдвигает одну фигуру раньше другой, которую он мог бы подвинуть, не нарушая правил игры. Это значит подметить скрытую мысль, которая делает из этого ряда последовательных ходов нечто вроде организованного целого. Тем более эта способность необходима для самого игрока, т. е. для изобретателя.
Оставим это сравнение и вернемся к математике. Посмотрим, что произошло, например, с идеей непрерывной функции. Вначале это был только чувственный образ, например образ непрерывной черты, проведенной мелом на черной доске. Потом мало-помалу она стала очищаться: скоро воспользовались ею для построения сложной системы неравенств, которая воспроизводила, так сказать, все черты первообраза; когда это построение было окончено, тогда освободили ее от «строительных лесов», отбросив то грубое представление, которое служило ей некоторое время подпорой, а теперь стало бесполезным; не осталось больше ничего, кроме самого построения, безупречного в глазах логика. Однако же если бы первообраз совершенно исчез из нашей памяти, как бы мы угадали, по какой прихоти были построены так, одно за другим, эти неравенства?
Вы найдете, может быть, что я злоупотребляю сравнениями; однако позвольте мне сделать еще одно. Вы, конечно, видели те тонкие соединения кремнистых игл, которые образуют скелет известных губок. Когда органическая материя исчезла, остается только хрупкое, изящное кружево. Правда, тут только кремнезем, но что интересно, так это та форма, которую принял этот кремнезем, и мы не можем понять ее, если мы не знаем живой губки, которая именно и придала ему такую форму. Так, старые интуитивные понятия наших отцов даже тогда, когда мы оставили эти понятия, придают еще форму логическим построениям, которыми мы заменили их.
Этот вид целого необходим для изобретателя; он одинаково необходим и для того, кто хочет действительно понять изобретателя; может ли логика дать нам его?
Нет; названия, которое дают ей математики, было бы достаточно для того, чтобы доказать это. В математике логика называется анализом, анализ же значит разделение, рассечение. Поэтому она не может иметь никакого другого орудия, кроме скальпеля и микроскопа.
Таким образом, логика и интуиция играют каждая свою необходимую роль. Обе они неизбежны. Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства; интуиция есть орудие изобретательства.
Но едва только я сформулировал этот вывод, как меня охватывает сомнение.
Вначале я различал два рода математических умов: одни – логики и аналитики, другие – интуитивисты и геометры. Но ведь и аналитики также были изобретателями. Имена, которые я привел в начале этой главы, избавляют меня от необходимости настаивать на этом.
Здесь есть какое-то, по крайней мере кажущееся, противоречие, которое необходимо разъяснить.
Прежде всего, думаем ли мы, что эти логики всегда шли от общего к частному, как, казалось бы, побуждали их к этому законы формальной логики? Но так они не могли бы расширить границы науки; научное завоевание можно делать только с помощью обобщения.
В одной из глав «Науки и гипотезы» я имел случай исследовать природу математического умозаключения; я показал, как это умозаключение, не переставая быть безусловно строгим, могло поднимать нас от частного к общему при помощи процесса, который я назвал математической индукцией.
Благодаря этому-то процессу аналитики и двигали вперед науку и если разобраться в самых деталях их доказательств, то можно в любой момент найти его там рядом с классическим силлогизмом Аристотеля.
Итак, мы уже видим, что аналитики – не просто искусные мастера силлогизмов, вроде схоластов.
С другой стороны, можно ли поверить тому, что они всегда шли шаг за шагом, не имея пред своими взорами той цели, которой они хотели достигнуть? Им нужно было угадывать дорогу, которая привела бы их к этой цели, они нуждались в путеводителе.
Этот путеводитель – прежде всего аналогия.
Например, одно из любимых рассуждений аналитиков основано на применении возрастающих функций. Известно, что оно помогло разрешению многих проблем; тогда в чем состоит роль изобретателя, который хочет применить его к новой проблеме? Нужно прежде всего, чтобы он признал аналогию этого вопроса с теми вопросами, которые были уже разрешены с помощью этого метода; потом нужно, чтобы он заметил, чем отличается этот новый вопрос от других, и чтобы он вывел отсюда те видоизменения, которым должен подвергнуться метод.
Но как подметить эти аналогии и различия?
В только что приведенном мною примере они почти всегда очевидны, но я мог бы подыскать другие примеры, где они гораздо более скрыты, и, для того чтобы открыть их, часто требуется незаурядная проницательность.
Чтобы не упустить из виду этих скрытых аналогий, т. е. чтобы иметь возможность изобретения, аналитики должны, без помощи чувств и воображения, иметь непосредственное ощущение того, что создает единство умозаключения, что, так сказать, создает его душу и внутреннюю жизнь.
Когда беседовали с Эрмитом, он никогда не прибегал к чувственному образу, и однако вы скоро заметили бы, что самые абстрактные сущности были для него живыми существами. Он не видел их, но чувствовал, что они не представляют собой искусственного подбора, что у них есть какой-то принцип внутреннего единства.
Но, скажут, здесь опять интуиция. Станем ли мы заключать отсюда, что сделанное вначале различение было только кажущимся, что есть только один род умов и все математики – интуитивисты, по крайней мере те, которые способны изобретать?
Нет, наше различение соответствует некоторой действительности. Выше я сказал, что есть несколько видов интуиции. Я сказал, насколько интуиция чистого числа – та, из которой может вытекать строгая математическая индукция, – отличается от чувственной интуиции, для которой работает воображение в собственном смысле.
Менее ли глубока, чем кажется с первого взгляда, пропасть, которая разделяет их? Окажется ли при внимательном рассмотрении, что эта чистая интуиция сама по себе не может обойтись без помощи чувств? Это дело психолога и метафизика, и я не стану обсуждать этот вопрос. Но довольно и того, что дело подлежит сомнению, чтобы я имел право признавать и утверждать существенное различие между двумя родами интуиции; у них не один и тот же объект и они, по-видимому, пользуются двумя различными способностями нашей души; можно сказать, что это два прожектора, наведенные на два чуждые друг другу мира.
Интуиция чистого числа, интуиция чистых логических форм как раз озаряет и направляет тех, кого мы назвали аналитиками.
Она-то и позволяет им не только доказывать, но еще и изобретать. Через нее-то они и подмечают сразу общий план логического здания, и это – без всякого вмешательства со стороны чувств.
Отказываясь от помощи воображения, которое, как мы видели, не всегда бывает непогрешимо, они могут двигаться вперед, не боясь ошибиться. Счастливы же те, которые могут обойтись без этой поддержки! Мы должны удивляться им; но как они редки!
Итак, среди аналитиков есть изобретатели, но их немного.
Большинство из нас, если бы захотели смотреть вдаль с помощью одной чистой интуиции, тотчас почувствовали бы головокружение. Наша слабость нуждается в более прочной поддержке, и, несмотря на исключения, о которых мы только что говорили, тем не менее верно то, что чувственная интуиция есть самое обыкновенное орудие изобретения в математике. По поводу последних моих размышлений выдвигается вопрос, для которого у меня нет времени ни решить его, ни даже изложить с надлежащими подробностями.
Уместно ли сделать новое разделение и отличать среди аналитиков тех, которые пользуются главным образом этой чистой интуицией, и тех, для которых на первом месте стоит формальная логика?
Например, Эрмит, которого я неоднократно упоминал, не может быть причислен к геометрам, которые применяют чувственную интуицию; но он также и не логик в собственном смысле этого слова. Он не скрывает своего отвращения к чисто дедуктивным процессам, которые исходят от общего и направляются к частному.
Глава II. Измерение времени
Пока мы не выходим из области сознания, понятие времени относительно ясно. Мы не только без труда отличаем настоящее ощущение от воспоминания прошлых ощущений или предвидения будущих, но мы вполне знаем, что мы хотим сказать, когда утверждаем, что из двух явлений сознания, которые у нас сохранились в памяти, одно было раньше другого или же что из двух предвидимых явлений сознания одно будет раньше другого.
Когда мы говорим, что два факта сознания одновременны, этим мы хотим сказать, что они глубоко проникают друг друга, так что анализ не может разделить их, не искажая их.
Порядок, в котором мы размещаем явления сознания, не терпит никакого произвола. Он предписан нам, и мы ничего не можем изменить в нем.
Я должен прибавить только одно замечание. Для того чтобы какая-нибудь совокупность ощущений сделалась воспоминанием, которое могло бы быть распределено во времени, нужно, чтобы она перестала быть актуальной, чтобы она утратила для нас значение своей бесконечной сложности, иначе она оставалась бы актуальной. Нужно, чтобы она, так сказать, кристаллизовалась вокруг центра ассоциаций идей, который будет как бы меткой. Только тогда мы можем распределять во времени наши воспоминания, когда они потеряют, таким образом, всякую жизненность, – подобно тому, как ботаник распределяет в своем гербарии цветы, когда они уже высушены. Но число меток может быть только конечным. При учете этого психологическое время было бы прерывным. Откуда же возникает представление, что между двумя некоторыми мгновениями существуют еще и другие мгновения? Мы распределяем наши воспоминания во времени, но мы знаем, что продолжают пребывать и пустые промежутки. Как это могло бы быть, если бы время не было формой, ранее существовавшей в нашем сознании? Как мы узнали бы о наличии пустых промежутков, если возбуждать наше сознание они в состоянии не иначе, как только через свое содержание?
Но это не все; мы хотим вложить в эту форму не только явления нашего сознания, но и явления, ареной которых служат другие сознания. Более того, мы хотим вложить в нее физические факты, то, чем мы заселяем пространство, которое ни одно сознание не воспринимает непосредственно. Это необходимо, потому что без этого наука не могла бы существовать. Одним словом, нам дано психологическое время, и мы хотим создать научное и физическое время. Здесь-то и начинается трудность, или скорее трудности, потому что их две.
Вот перед нами два сознания, как два непроницаемые друг для друга мира. По какому праву мы хотим заключить их в одну и ту же форму, измерить их одной и той же мерой? Не похоже ли это на то, что мы хотим мерить длину с помощью грамма или взвесить с помощью метра?
И потом, почему мы говорим об измерении? Мы, может быть, знаем, что такой-то факт предшествует такому-то другому, но не знаем, насколько он предшествует.
Итак, есть две трудности:
Первая. Можем ли мы преобразовать психологическое время, которое есть время качественное, во время количественное?
Вторая. Можем ли мы измерить одной и той же мерой факты, которые совершаются в различных мирах?
Первая трудность была замечена уже давно; она была предметом долгих дискуссий, и можно сказать, что этот вопрос разрешен.
Мы не имеем непосредственной интуиции равенства двух промежутков времени. Тот, кто думает, что обладает такой интуицией, обманут иллюзией.
Когда я говорю: от двенадцати часов дня до часа проходит то же время, что и от двух до трех, какой смысл имеет это утверждение?
При малейшем размышлении обнаруживается, что оно само по себе не имеет никакого смысла. Оно получит только тот смысл, какой мне угодно будет ему придать с помощью определения, допускающего конечно, известную степень произвола.
Психологи могли бы обойтись без такого определения; физики, астрономы – не могли бы; посмотрим, как они справились с этим.
Для измерения времени они пользуются маятником и принимают по определению, что все циклы колебаний этого маятника имеют равную длительность. Но это только первое приближение; температура, сопротивление воздуха, барометрическое давление изменяют ход маятника. Если бы мы избавились от этих причин, то добились бы гораздо большего приближения, но все же это было бы только приближение. Новые причины, которыми мы до сих пор пренебрегали, – электрические, магнитные или иные – не замедлили бы внести свои малозаметные возмущения.
В самом деле, самые лучшие часы время от времени требуют поправки, и эти поправки делаются с помощью астрономических наблюдений; уславливаются, что звездные часы отмечают один и тот же час, когда одна и та же звезда проходит через меридиан. Другими словами, именно звездные сутки, т. е. время оборота Земли, и есть постоянная единица времени. По новому определению, заменяющему то, которое было взято из колебаний маятника, допускается, что два полных оборота Земли вокруг своей оси имеют одинаковую длительность.
Однако астрономы не удовлетворились и этим новым определением. Многие из них думают, что морские приливы и отливы действуют как тормоз на наш земной шар и что вращение Земли становится все более и более замедленным. Таким образом, можно было бы объяснить видимое ускорение движения Луны, движение которой оказывалось быстрее, чем это допускает теория, потому что наши часы, т. е. Земля, отставали бы.
Все это, скажут, маловажно; без сомнения, наши измерительные инструменты несовершенны, но довольно и того, что мы можем представить некий совершенный инструмент. Этого идеала невозможно достигнуть, но достаточно будет понять его и, таким образом, ввести строгость в определение единицы времени.
К сожалению, этой строгости здесь нет. Какой же постулат мы неявно допускаем, когда для измерения времени мы пользуемся маятником?
Тот, что длительность двух идентичных явлений одна и та же; или, если угодно, что одни и те же причины требуют одного и того же времени, чтобы произвести одни и те же действия.
На первый взгляд это – хорошее определение равенства двух длительностей.
Однако будем осторожны. Не может ли случиться так, что в один прекрасный день опыт опровергнет наш постулат?
Объяснюсь: я предполагаю, что в некотором пункте мира происходит явление α, приводящее в конце известного времени к следствию α’. В другом пункте мира, весьма удаленном от первого, происходит явление β, которое влечет за собой следствие β’. Явления α и β одновременны, так же как и следствия α’ и β’.
В позднейшую эпоху явление α повторяется почти в тождественных условиях, и одновременно в очень отдаленном пункте мира также повторяется почти в тех же условиях явление β.
Следствия α’ и β’ тоже повторяются. Я предполагаю, что следствие α’ будет иметь место значительно раньше следствия β’.
Если бы опыт засвидетельствовал такую картину, наш постулат оказался бы опровергнутым.
В самом деле, опыт учил бы нас, что первая длительность αα’ равна первой длительности ββ’ и что вторая длительность αα’ короче второй длительности ββ’. Напротив, наш постулат требовал бы, чтобы обе длительности αα’ были равны между собой – точно так же, как и обе длительности ββ’. Равенство и неравенство, выведенные из опыта, были бы несовместимы с двумя равенствами, которые получены из постулата.
А можем ли мы утверждать, что только что высказанные мной гипотезы абсурдны? Они ничуть не нарушают закона – противоречия. Без сомнения, они не могли бы осуществиться, не нарушив закона достаточного основания. Но, для того чтобы оправдать столь фундаментальное определение, я предпочел бы другую гарантию.
Но это не все.
В физической реальности следствие вызывает не одна причина; его возникновению способствует множество различных причин, причем нет никакого средства различить вклад каждой из них.
Физики стараются найти это различие; но они находят его лишь приближенно, и, какого бы прогресса они ни достигли, они всегда будут находить его только приближенно. Приближенно верно, что колебание маятника обусловлено единственно притяжением Земли; но, строго говоря, даже притяжение Сириуса влияет на маятник.
При этих условиях ясно, что причины, вызвавшие некоторое следствие, будут воспроизводиться всегда лишь приближенно.
А в таком случае нам следует изменить на постулат и наше определение. Вместо того чтобы говорить: «Одним и тем же причинам требуется одно и то же время, чтобы произвести одни и те же следствия», мы должны сказать: «Почти идентичным причинам требуется почти одно и то же время, чтобы произвести почти одни и те же следствия».
Итак, наше определение есть не более чем приближенное.
Кроме того, как вполне справедливо замечает Калинон в недавнем мемуаре[18]: «Одно из обстоятельств, сопровождающих любое явление, есть скорость вращения Земли; если эта скорость меняется, то при воспроизведении этого явления она составляет обстоятельство, которое уже не остается тождественным себе. Но предполагать, что эта скорость вращения постоянна, значит предполагать, что мы умеем измерять время».
Следовательно, наше определение еще не удовлетворительно; оно, конечно, не совпадает с тем, которое неявно принимают вышеупомянутые астрономы, когда они утверждают, что вращение Земли идет, все замедляясь.
Какой смысл имеет в их устах это утверждение? Мы можем понять это, только проанализировав те доводы, которые они приводят в пользу своего предложения.
Прежде всего они говорят, что приливное трение, производя теплоту, должно поглощать живую силу. Поэтому они ссылаются на принцип живых сил или принцип сохранения энергии.
Потом они говорят, что вековое ускорение Луны, вычисленное по закону Ньютона, было бы меньше, чем выведенное из наблюдений, если бы не вводили поправку на замедление вращения Земли.
Итак, они ссылаются на закон Ньютона. Другими словами, они определяют длительность следующим образом: время должно быть определено так, чтобы оправдывались закон Ньютона и закон живых сил.
Закон Ньютона есть истина экспериментальная; как таковая она только приближенна, а это указывает на то, что мы имеем пока еще только приближенное определение.
Если мы предположим теперь, что принимается другой способ измерения времени, то опыты, на которых основан закон Ньютона, тем не менее отчасти сохранят свой смысл. Только формулировка закона будет иной, потому что она будет выражена на другом языке; очевидно, она будет гораздо менее простой.
Поэтому определение, неявно принимаемое астрономами, может быть резюмировано так:
Время должно быть определено так, чтобы уравнения механики были возможно более просты.
Другими словами, нет способа измерения времени, который был бы истиннее другого; общепринятый способ измерения является только более удобным.
Мы не имеем права сказать о двух часах, что одни идут хорошо, а другие плохо; мы можем сказать только, что выгоднее положиться на показания первых.
На трудность, которую мы только что рассмотрели, как я сказал, часто указывалось; среди новейших работ, где затрагивается этот вопрос, я укажу, кроме небольшого сочинения Калинона, на курс механики Андрада.
Вторая трудность привлекала до сих пор гораздо меньше внимания; однако она вполне аналогична предыдущей; и даже с логической точки зрения я должен был бы прежде говорить о ней.
В двух различных сознаниях происходят два психологических явления; когда я говорю, что они одновременны, то что я хочу этим сказать?
Когда я говорю, что некоторое физическое явление, которое происходит вне всякого сознания, предшествует психологическому явлению или следует за ним, то что я хочу этим сказать?
В 1572 г. Тихо Браге заметил в небе новую звезду. Огромный взрыв произошел на некотором весьма отдаленном светиле; но он произошел задолго перед тем; потребовалось по меньшей мере двести лет, прежде чем свет, испущенный этой звездой, достиг нашей Земли. Стало быть, этот взрыв предшествовал открытию Америки.
Итак, когда я говорю это, когда я рассматриваю это гигантское явление, которое не имело, быть может, ни одного свидетеля, – потому что на спутниках этой звезды, может быть, не было обитателей, – когда я говорю, что это явление предшествовало образованию в сознании Христофора Колумба зрительного представления острова Эспаньолы, то что я хочу этим сказать?
Достаточно немного поразмыслить, чтобы понять, что все эти утверждения сами по себе не имеют никакого смысла.
Они получают смысл только в силу соглашения[19].
Прежде всего мы должны спросить себя, как могла явиться мысль ввести в один и тот же кадр столько непроницаемых друг для друга миров.
Мы хотим представить себе внешний мир, и только такой ценой мы надеемся узнать его.
Этим представлением мы никогда не будем обладать, мы знаем это: слишком велика наша немощь.
Мы хотим по крайней мере, чтобы можно было постигнуть тот бесконечный разум, для которого было бы возможно это представление – что-то вроде великого сознания, которое все видело бы и все распределяло бы в своем времени, подобно тому как мы распределяем в нашем времени то немногое, что мы видим.
Такая гипотеза очень груба и несовершенна, потому что этот высший разум был бы только полубогом; бесконечный в одном смысле, он был бы ограничен в другом, потому что он имел бы лишь несовершенное воспоминание о прошлом; и у него не могло бы быть другого, так как без этого все воспоминания были бы для него одинаково настоящими и для него не существовало бы времени.
Однако когда мы говорим о времени для всего, что происходит вне нас, не принимаем ли мы бессознательно эту гипотезу; не ставим ли мы себя на место этого несовершенного бога; и сами атеисты не ставят ли себя на то место, которое занимал бы бог, если бы он существовал?
То, что я сейчас говорил, может быть, показывает нам, почему мы постарались ввести в один и тот же кадр все физические явления. Но это нельзя считать определением одновременности, потому что этот гипотетический разум, если бы даже он существовал, был бы для нас непостижим.
Итак, надо искать что-то иное.
Обычные определения, которые годятся для психологического времени, нас уже не могли бы удовлетворить. Два одновременных психологических факта столь тесно связаны между собой, что анализ не может их разделить, не искажая их. То же ли самое бывает для двух физических фактов? Не ближе ли мое настоящее к моему вчерашнему прошлому, чем к настоящему Сириуса?
Говорили также, что два факта должны рассматриваться как одновременные, если порядок их последовательности может быть по желанию переставлен. Очевидно, что это определение не может быть пригодно для двух физических фактов, которые совершаются на больших расстояниях друг от друга, и, – что касается их, – непонятно даже то, что такое может представлять эта обратимость; впрочем, надо было бы определить сначала самую последовательность.
Итак, попытаемся отдать себе отчет в том, что подразумевается под одновременностью или предшествованием, а для этого разберем некоторые примеры.
Я написал письмо; потом это письмо было прочитано другом, которому я его послал. Вот два факта, имевшие ареной два различных сознания. В то время, как я писал это письмо, я обладал его зрительным образом, и в свою очередь мой друг получил тот же самый образ, читая это письмо.
Хотя оба эти фактора происходят в непроницаемых друг для друга мирах, я, не колеблясь, смотрю на первый факт как на предшествовавший второму, потому что я верю, что он является причиной последнего.
Я слышу гром и заключаю, что произошел электрический разряд; я, не колеблясь, смотрю на это физическое явление как на предшествовавшее звуковому представлению, возникшему в моем сознании, потому что я верю, что оно было причиной последнего.
Следовательно, вот правило, которому мы следуем, – единственное правило, которому мы можем следовать: когда одно явление кажется нам причиной другого, мы смотрим на него как на предшествовавшее.
Итак, через причину мы определяем время; но очень часто два факта являются связанными постоянным соотношением, и тогда как узнаем мы, какой из них – причина и какой – следствие? Мы допускаем, что предшествующий факт есть причина другого факта – последующего. Но тогда причину мы определяем через время. Как освободиться от этого petitio principii? Мы говорим то post hoc, ergo propter hoc, tо propter hoc, ergo post hoc; можно ли выйти из этого заколдованного круга?
Посмотрим же, не как достигают выхода из него, – ибо вполне достигнуть этого нельзя, – но как ищут этого выхода.
Я совершаю произвольный акт А и потом испытываю ощущение D, которое я считаю следствием акта A; с другой стороны, я заключаю на каком-нибудь основании, что это следствие не является непосредственным, но что вне моего сознания совершились два факта В и С, свидетелем которых я не был, и совершились так, что В было следствием А, С — следствием В, и D – следствием С.
Но почему так? Если я имею основание считать четыре факта A, В, С, D связанными между собой причинной связью, то почему надо располагать их в причинном порядке ABCD и в то же время в хронологическом порядке ABCD скорее, чем во всяком другом?
Ясно, что в акте А я ощущал активность, тогда как, испытывая ощущение D, я пассивен. Поэтому я считаю А начальной причиной и D – конечным следствием; поэтому я и помещаю А в начале цепи и D в конце; но почему ставить В перед С, а не С перед В?
Когда предлагается такой вопрос, обыкновенно отвечают: хорошо известно, что В есть причина С, потому что всегда видят В происходящим прежде С. Оба эти явления, когда есть свидетель, протекают в известном порядке; если аналогичные явления происходят без свидетеля, то нет основания нарушать этот порядок.
Это так; но здесь надо быть осторожным; мы никогда не знаем физических явлений В и С непосредственно; то, что мы знаем, – это отношения В’ и С’, вызванные соответственно явлениями В и С. Наше сознание непосредственно говорит нам, что В’ предшествует С’, и мы принимаем, что В и С следуют в том же порядке.
Это правило на самом деле кажется весьма естественным, и однако его приходится часто нарушать. Мы слышим раскат грома только спустя несколько секунд после электрического разряжения облака. Из двух громовых ударов – одного отдаленного, другого близкого – не может ли первый предшествовать второму, хотя раскат второго мы услышали прежде раската первого?
Новая трудность: имеем ли мы достаточное право говорить о причине явления? Если все части Вселенной в известной степени взаимосвязаны, то любое явление будет не следствием единственной причины, а результатом бесконечного множества причин; оно как часто говорят, есть следствие состояния Вселенной в предшествующий момент.
Как выразить правила, применяемые к столь сложным обстоятельствам? И однако только ценой учета этих обстоятельств правила могут стать общими и строгими.
Чтобы нам не растеряться в этой бесконечной сложности, сделаем более простое предположение; рассмотрим три светила, например Солнце, Юпитер и Сатурн, а для большей простоты будем считать их сжатыми в материальные точки и изолированными от остального мира.
Достаточно знать положения и скорости трех тел в данный момент, чтобы определить положения и скорости их в следующий момент, а следовательно, и в какой угодно момент. Положения их в момент t определяют их положения в момент t + h, а также их положения в момент t − h.
Даже более того; положение Юпитера в момент t, взятое вместе с положением Сатурна в момент t + а, определяет положение Юпитера и Сатурна в какой угодно момент. Совокупность положений, которые занимают Юпитер в момент t + ε и Сатурн в момент t + а + ε, связана с совокупностью положений, которые занимают Юпитер в момент t и Сатурн в момент t + а, законами, столь же точными, как закон Ньютона, хотя и более сложными.
Но тогда почему же считать одну из этих совокупностей причиною другой, что привело бы к заключению об одновременности момента t Юпитера и момента t + а Сатурна?
Здесь могут иметь место только соображения удобства и простоты, которые и в самом деле очень важны.
Но перейдем к примерам менее искусственным; чтобы дать отчет в определении, которое неявно допускается учеными, посмотрим на их работу и поищем, на основании каких правил они определяют одновременность.
Я возьму два простых примера: измерение скорости света и определение долгот.
Когда астроном говорит мне, что такое-то звездное явление, видимое в его телескопе в настоящий момент, произошло, однако, пятьдесят лет тому назад, я пытаюсь понять, что он хочет сказать, и прежде всего спрашиваю у него, откуда он это знает, т. е. как он измерил скорость света.
Он начал с того, что принял скорость света постоянной и, в частности, одинаковой во всех направлениях. Это и есть постулат, без которого не могло бы быть произведено никакое измерение этой скорости. Этот постулат никогда нельзя будет проверить непосредственно на опыте; последний мог бы его опровергнуть, если бы результаты различных измерений не согласовывались между собой. Мы должны считать себя счастливыми тем, что этого противоречия нет и что те небольшие расхождения, которые могут возникнуть, легко объяснимы.
Во всяком случае, этот постулат, согласующийся с законом достаточного основания, был принят всеми; для меня важно то, что он дает нам новое правило для отыскания одновременности, совершенно отличное от того, которое мы изложили выше.
Допустив этот постулат, посмотрим, как была измерена скорость света. Известно, что Рёмер пользовался затмениями спутников Юпитера и отыскивал, насколько событие опаздывало сравнительно с предсказанием.
Но как получалось это предсказание? При помощи астрономических законов, например закона Ньютона.
Нельзя ли было бы так же хорошо объяснить наблюдаемые факты, если бы приписать скорости света величину, несколько отличную от принятой, и допустить, что закон Ньютона является лишь приближенным? Пришлось бы только заменить закон Ньютона другим, более сложным.
Таким образом, для скорости света принимается такая величина, чтобы астрономические законы, совместимые с этой величиной, были по возможности наиболее простыми.
Когда моряки или географы определяют долготу, им приходится решать как раз ту проблему, которая занимает нас; они должны, не находясь в Париже, вычислять парижское время.
Как они делают это?
Или они берут выверенный в Париже хронометр. Качественная проблема одновременности сводится к количественной проблеме измерения времени. Мне не надо говорить о трудностях, присущих этой последней проблеме, потому что я достаточно настаивал на них выше.
Или же они наблюдают такое астрономическое явление, как затмение Луны, и допускают, что это явление замечается одновременно во всех точках земного шара.
Это не совсем верно, потому что распространение света не мгновенно; если бы требовалась абсолютная точность, то нужно было бы сделать поправку, применяя некоторое сложное правило.
Или же, наконец, они пользуются телеграфом. Прежде всего, ясно, что получение сигнала, например, в Берлине происходит позже отправления того же сигнала из Парижа. Это – правило причины и следствия, разобранное выше.
Но насколько позже? Обычно длительностью передачи пренебрегают и оба события считаются одновременными. Но, соблюдая строгость, следовало бы вводить еще небольшую поправку при помощи сложного вычисления; на практике она не вводится, потому что она была бы гораздо менее значительна, чем ошибки наблюдения; но этим не устраняется теоретическая необходимость ее учета с нашей точки зрения, т. е. с точки зрения строгого определения.
В конце этого исследования я хочу отметить два обстоятельства: 1) применяемые правила весьма разнообразны; 2) трудно отделить качественную проблему одновременности от количественной проблемы измерения времени; при этом безразлично, будем ли мы пользоваться хронометром или учитывать скорость передачи, например скорость света, ибо невозможно измерить скорость, не измерив времени.
Пора сделать выводы.
Мы не обладаем непосредственно ни интуицией одновременности, ни интуицией равенства двух промежутков времени.
Если мы думаем, что имеем эту интуицию, то это иллюзия.
Мы заменяем ее некоторыми правилами, которые применяем, почти никогда не отдавая себе в том отчета.
Но какова природа этих правил?
Нет правила общего, нет правила строгого; есть множество ограниченных правил, которые применяются в каждом отдельном случае.
Эти правила не предписаны нам и можно было бы позабавиться, изобретая другие; однако невозможно было бы уклониться от них, не усложнив сильно формулировку законов физики, механики и астрономии. Следовательно, мы выбираем эти правила не потому, что они истинны, а потому, что они наиболее удобны, и мы можем резюмировать их так:
«Одновременность двух событий или порядок их следования, равенство двух длительностей должны определяться так, чтобы формулировка естественных законов была по возможности наиболее простой. Другими словами, все эти правила, все эти определения – только плод неосознанного стремления к удобству».
Глава III. Понятие пространства
В моих прежних статьях, посвященных пространству, я особенно останавливался на проблемах, выдвигаемых неевклидовой геометрией, оставляя почти совсем в стороне другие, более трудные для разрешения вопросы, как, например, вопросы, касающиеся числа измерений. Все геометрии, которые я рассматривал, имели, таким образом, общее основание – континуум трех измерений, – которое было одно и то же для всех и различалось лишь вычерчиваемыми в нем фигурами или результатами предпринимаемых в нем измерений.
В этом первоначально аморфном континууме можно вообразить сеть линий и поверхностей, затем можно условиться считать клетки этой сети равными между собой, и только после такого условия этот континуум, сделавшись измеримым, становится евклидовым или неевклидовым пространством. Стало быть, из этого аморфного континуума может получиться или то, или другое из двух пространств – так же, как на белом листе бумаги можно начертить либо прямую, либо круг.
В пространстве мы знаем прямолинейные треугольники, сумма углов которых равна двум прямым; но мы знаем также криволинейные треугольники, сумма углов которых меньше двух прямых. Существование одних не более сомнительно, чем существование других. Дать сторонам первых название прямых – значит принять евклидову геометрию; дать сторонам последних название прямых – значит принять неевклидову геометрию. Поэтому вопрос, какую геометрию следует принимать, равносилен вопросу: какой линии следует дать название прямой.
Очевидно, что опыт не может разрешить подобный вопрос; ведь мы, например, не обратимся к опыту за решением вопроса, как назвать прямую: АВ или CD. С другой стороны, я не могу также сказать, чтобы я не имел права дать название прямых сторонам неевклидовых треугольников, потому что они не отвечают вечной идее прямой, которой я обладаю по интуиции.
Пусть я имею интуитивную идею стороны евклидова треугольника; но я также имею интуитивную идею стороны неевклидова треугольника. Почему я вправе прилагать название прямой к первой из этих идей, а не ко второй? В чем заключалось бы участие этих слогов в деле составления этой интуитивной идеи? Очевидно, когда мы говорим, что евклидова прямая есть истинная прямая и что неевклидова прямая не есть истинная прямая, мы просто хотим сказать, что первая интуитивная идея соответствует более замечательному объекту, чем вторая. Но как мы решаем, что этот объект является более замечательным? Это я исследовал в «Науке и гипотезе».
Мы видели там вмешательство опыта; если евклидова прямая более замечательна, чем неевклидова, то это прежде всего означает, что она мало отличается от некоторых замечательных естественных предметов, от которых сильно отличается неевклидова прямая. Но, скажут, определение неевклидовой прямой искусственно; попробуем на время принять его, мы увидим тогда, что два круга разных радиусов оба получат название неевклидовых прямых, тогда как относительно двух кругов одного и того же радиуса возможно, что один будет удовлетворять определению, а другой нет, и тогда, если мы перенесем одну из этих так называемых прямых, не деформируя ее, то она перестает быть прямой. Но по какому праву мы считаем равными две фигуры, которые евклидовы геометры называют двумя кругами одного и того же радиуса? Это мы считаем потому, что перенося одну из них без деформации, мы можем наложить ее на другую так, чтобы она совпала с последней. Но почему мы говорим, что это перенесение происходит без деформации? Этому невозможно дать достаточное обоснование. Среди всех постижимых движений есть такие, о которых евклидовы геометры говорят, что они не сопровождаются деформацией; но есть и другие, о которых неевклидовы геометры сказали бы, что они не сопровождаются деформацией. В первых, так называемых евклидовых движениях евклидовы прямые остаются евклидовыми прямыми, а неевклидовы прямые не остаются неевклидовыми прямыми; в движениях второго рода, или в движениях неевклидовых, неевклидовы прямые остаются неевклидовыми прямыми, а евклидовы прямые не остаются евклидовыми прямыми. Следовательно, не доказано, что было бы нелепо называть прямыми стороны неевклидовых треугольников; доказано только, что это было бы неосновательно, если бы продолжали называть движениями без деформации евклидовы движения; но так же можно было бы показать, что неосновательно было бы называть прямыми стороны евклидовых треугольников, если бы движениями без деформации назывались неевклидовы движения.
Теперь, что мы хотим сказать, когда говорим, что евклидовы движения суть истинные движения без деформации? Мы просто хотим сказать, что они более замечательны, чем другие; а почему они более замечательны? Потому что некоторые замечательные естественные тела – твердые тела – испытывают приблизительно такие движения.
И когда мы спрашиваем: можно ли себе представить неевклидово пространство? – то это значит: можно ли для нас представить себе мир, в котором были бы замечательные естественные предметы, представляющие приближенно форму неевклидовых прямых, и замечательные естественные тела, часто претерпевающие движения, приблизительно подобные неевклидовым движениям? Я показал в «Науке и гипотезе», что на этот вопрос надо ответить утвердительно.
Часто делалось замечание о том, что если бы все тела Вселенной начали одновременно и в одинаковой пропорции расширяться, то у нас не было бы никаких средств заметить это, потому что все наши измерительные инструменты увеличивались бы одновременно с самими предметами, для измерения которых они служат. После этого расширения мир продолжал бы свой ход и ничто не говорило бы нам, что произошло столь важное событие.
Другими словами, два мира, которые были бы подобны друг другу (понимая «подобие» в смысле третьей книги «Геометрии»), были бы совершенно неразличимы. Мало того: миры не только будут неразличимы, если они одинаковы или подобны, т. е. если можно перейти от одного к другому, меняя оси координат или меняя масштаб, служащий для измерения длин; они будут также неразличимы, если можно перейти от одного к другому путем какого бы ни было «точечного преобразования». Объяснюсь подробнее. Я предполагаю, что каждой точке одного соответствует одна и только одна точка другого и обратно; и, сверх того, пусть координаты одной точки будут непрерывными функциями, безразлично какими, координат соответствующей точки. Затем я предполагаю, что каждому предмету первого мира соответствует во втором предмет той же природы, помещающийся как раз в соответствующей точке. Я предполагаю, наконец, что это соответствие, осуществившееся в начальный момент, сохраняется на неопределенное время. Тогда у нас не было бы никакого средства отличить эти два мира один от другого. Когда говорят об относительности пространства, обычно понимают ее не в таком широком смысле, тогда как ее следовало бы понимать именно таким образом.
Если один из этих миров есть наш евклидов мир, тогда то, что обитатели его назовут прямою, будет наша евклидова прямая, а то, что обитатели второго мира назовут прямою, будет кривая, обладающая такими же свойствами, но отношению к тому миру, который они населяют, и по отношению к тем движениям, которые они назовут движениями без деформации; потому их геометрией будет евклидова геометрия, но их прямая не будет наша евклидова прямая. Это будет своя прямая, преобразованная путем того точечного преобразования, которое позволяет переходить от нашего мира к их миру; прямые этих людей не будут наши прямые, но они будут иметь между собой те же самые отношения, как наши прямые между собой; вот в каком смысле я говорю, что их геометрией будет наша геометрия. Тогда, если мы захотим решительно объявить, что они ошибаются, что их прямая не есть истинная прямая, если мы не пожелаем признать, что подобное утверждение не имеет никакого смысла, то мы по крайней мере должны будем признать, что у этих людей нет каких-либо средств заметить свою ошибку.
Все это сравнительно легко для понимания, и я уже так часто повторял это, что считаю бесполезным дальше распространяться об этом предмете. Евклидово пространство не есть форма, наложенная на нашу чувственность, потому что мы можем вообразить себе неевклидово пространство; но оба пространства – евклидово и неевклидово – имеют одно общее основание, тот аморфный континуум, о котором я говорил вначале; из этого континуума мы можем извлечь то евклидово пространство, то пространство Лобачевского – так же как, реализуя соответствующее градуирование, мы можем из неградуированного термометра сделать либо термометр Фаренгейта, либо термометр Реомюра.
Тогда возникает вопрос: не является ли этот аморфный континуум, который наш анализ оставил существующим, формой, наложенной на нашу чувственность? Мы расширили бы тюрьму, в которой заключена наша чувственность, но это все-таки была бы тюрьма.
Эта непрерывность обладает известным числом свойств, свободных от всякой идеи измерения. Исследование этих свойств составляет предмет науки, разработанной несколькими великими геометрами, в особенности Риманом и Бетти, и получившей название Analysis Situs. В этой науке отвлекаются от всякой количественной идеи; например, если констатируется, что точка В лежит на некоторой линии между точками А и С, то довольствуются этим утверждением и не трудятся узнать, прямая ли линия АВС или кривая, равна ли длина АВ длине АС или вдвое больше ее.
Поэтому теоремы Analysis Situs имеют ту особенность, что они остались бы справедливыми, если бы фигуры чертились неискусной рукой, которая грубо искажала бы все пропорции и заменяла бы прямые более или менее извилистыми линиями. Выражаясь математически, они не менялись бы от какого бы то ни было «точечного преобразования». Часто говорили, что метрическая геометрия – геометрия количественная, тогда как проективная геометрия – геометрия чисто качественная; это не совсем верно: то, что отличает прямую от других линий, это – еще свойства, остающиеся в некоторых отношениях количественными. Следовательно, настоящая качественная геометрия есть Analysis Situs.
Те же самые вопросы, которые возникали по поводу истин евклидовой геометрии, снова возникают относительно теорем Analysis Situs. Можно ли их получить путем дедуктивного рассуждения? Не являются ли они скрытыми соглашениями? Или они суть экспериментальные истины? Являются ли они свойствами формы, наложенной на нашу чувственность или на наш разум?
Я просто замечу, что два последних решения исключают друг друга; это не всегда ясно сознавали. Мы не можем допустить одновременно, что невозможно представить себе пространство четырех измерений и что опыт доказывает нам, что пространство имеет три измерения. Экспериментатор ставит природе вопрос: то или другое? И он не может ставить его, не представляя себе в то же время двух сторон альтернативы. Если бы невозможно было представить себе одну из этих сторон, то было бы бесполезно, да и невозможно обращаться к опыту. Мы не нуждаемся в наблюдении для того, чтобы знать, что часовая стрелка не стоит на 15-м делении циферблата, потому что мы заранее знаем, что делений только 12, и мы не могли бы взглянуть на 15-е деление, чтобы проверить, находится ли там стрелка, потому что такого деления нет.
Заметим также, что здесь эмпирики свободны от одного из самых сильных возражений, какое можно направить против них, – от возражения, которое заранее делает совершенно напрасными все их усилия приложить свой тезис к истинам евклидовой геометрии. Эти истины строги, а всякий опыт может быть только приближенным. В Analysis Situs бывает достаточно и приближенных опытов, чтобы дать строгую теорему; например, если мы видим, что пространство не может иметь ни двух или менее двух измерений, ни четырех или более четырех измерений, то мы уверены, что оно имеет их три, ибо не может иметь два с половиной или три с половиной.
Из всех теорем Analysis Situs самая важная – та, которая выражается словами: пространство имеет три измерения. Этой теоремой мы сейчас займемся, причем поставим вопрос в таком виде: что мы хотим сказать, когда говорим, что пространство имеет три измерения?
В «Науке и гипотезе» я выяснил, откуда у нас появляется понятие физической непрерывности и как из него могло возникнуть понятие математической непрерывности. Случается, что мы бываем способны отличать друг от друга два впечатления, не будучи в состоянии отличить каждое из них от одного и того же третьего. Так, мы легко можем отличить вес 12 граммов от веса 10 граммов, тогда как невозможно отличить вес 11 граммов ни от того, ни от другого.
Подобное утверждение символически можно представить так:
А = В, В = С, А < С.
Это была бы формула физической непрерывности, как дает ее нам непосредственный опыт. Происходящее отсюда нетерпимое противоречие устраняется введением математической непрерывности. Эта последняя представляет собой лестницу с бесконечно большим числом ступеней (числа соизмеримые или несоизмеримые), причем эти ступени занимают по отношению друг к другу внешнее положение, а не захватывают друг друга, как это имеет место, сообразно с предыдущей формулой, между элементами физической непрерывности.
Физическая непрерывность есть, так сказать, неразрешенная (не разложенная на составные элементы) туманность, и самые совершенные инструменты не могли бы разрешить ее. Конечно, если бы мы определяли вес с помощью хороших весов, а не просто рукою, то мы бы отличили вес 11 граммов от весов 10 и 12 граммов, и тогда наша формула представилась бы так:
А < B, В < С, А < С.
Но между А и В и между В и С всегда нашлись бы такие новые элементы D и F, что
А = D, D = В, А < В; В = Е, E = С, В < С;
трудность только передвинулась бы; туманность всегда оставалась бы неразрешенной; разрешить ее может только мышление – и математическая непрерывность есть именно туманность, разрешенная на отдельные звезды.
Однако до сих пор мы не вводили понятия о числе измерений. Что мы хотим сказать, когда говорим, что математическая непрерывность или физическая непрерывность имеет два или три измерения?
Нам надо прежде всего ввести понятие купюры, приспособляя это понятие сначала к исследованию физических непрерывностей. Мы видели, чем характеризуется физическая непрерывность; каждый элемент этой непрерывности состоит из совокупности впечатлений; может случиться: либо что один элемент не может быть отличен от другого элемента той же непрерывности, если этот новый элемент соответствует совокупности слишком мало разнящихся впечатлений, либо, напротив, что отличение возможно; наконец, может быть и так, что два элемента, неотличимые от одного и того же третьего, тем не менее могут быть отличены друг от друга.
После этого, если А и В суть два различимых элемента непрерывности С, то можно найти ряд элементов E1, E2, …, En, принадлежащих той же самой непрерывности С и притом таких, что каждый из них неотличим от предыдущего; таких будет элементом, неотличимым от A, а Еn – от В. Поэтому можно будет переходить от А к В непрерывным путем, в то же время не выходя из С. Если это условие выполнено для двух любых элементов А и В непрерывности С, то мы можем сказать, что эта непрерывность С односвязна.
Теперь выделим некоторые из элементов С, которые могут или все быть отличены друг от друга, или же могут сами образовать одну или несколько непрерывностей. Совокупность элементов, таким образом произвольно выбранных из всех элементов С, даст то, что я назову купюрой или купюрами.
Возьмем снова на С два любых элемента А и В. Тогда или можно будет найти еще ряд элементов E1, E2, …, En, таких, чтобы: 1) все они принадлежали С; 2) чтобы каждый из них был неотличим от следующего; E1 неотличим от A и Еn – от В; 3) кроме того, чтобы каждый из элементов Е отличался от каждого из элементов купюры. Или же, напротив, во всех рядах Е1Е2, …, Еn, удовлетворяющих первым двум условиям, будет содержаться элемент Еn, неотличимый от одного из элементов купюры. В первом случае мы можем идти от A к В непрерывным путем, не выходя из С и не встречая купюр; во втором случае это невозможно.
Итак, если для любых двух элементов A и В непрерывности С всегда находит себе место первый случай, мы скажем, что С остается односвязной, несмотря на купюры.
Следовательно, если мы известным, впрочем произвольным, образом выберем купюры, то может случиться, что непрерывность или останется, или не останется односвязной; в последнем случае мы скажем, что она разделена купюрами.
Нельзя не заметить, что все эти определения основаны единственно на том простом факте, что две совокупности впечатлений то могут, то не могут быть различаемы.
Если для разделения непрерывности достаточно бывает рассматривать в качестве купюр известное число элементов, отличимых друг от друга, то говорят, что эта непрерывность одного измерения; если же, напротив, для разделения непрерывности необходимо брать в качестве купюр систему элементов, которые сами образуют одну или несколько непрерывностей, то мы скажем, что эта непрерывность многих измерений.
Если для разделения непрерывности С достаточно купюр, образующих одну или несколько непрерывностей одного измерения, то мы скажем, что С есть непрерывность двух измерений; если достаточно купюр, образующих одну или несколько непрерывностей самое большее двух измерений, то мы скажем, что С есть непрерывность трех измерений, и т. д.
Чтобы оправдать это определение, надо посмотреть, так ли геометры вводят понятие трех измерений в начале своих работ. Что же мы видим? Чаще всего они начинают с определения поверхностей как пределов объемов или частей пространства, линий как пределов поверхностей, точек как пределов линий и утверждают, что тот же самый процесс не может идти дальше.
Здесь та же идея; чтобы разделить пространство, нужны купюры, которые называются поверхностями; чтобы разделить поверхности, нужны купюры, которые называются линиями: чтобы разделить линии, нужны купюры, которые называются точками; дальше идти нельзя, и точка не может быть разделена, точка не есть непрерывность; тогда линии, которые можно делить купюрами, не представляющими собой непрерывностей, будут непрерывностями одного измерения; поверхности, которые можно делить купюрами – непрерывностями одного измерения, – будут непрерывностями двух измерений; наконец, пространство, которое можно делить купюрами – непрерывностями двух измерений, – будет непрерывностью трех измерений.
Таким образом, определение, которое я только что дал, по существу не отличается от обычных определений; я только хотел сообщить ему форму, применимую не к математической непрерывности, а к физической, которая одна только доступна для представления, и вместе с тем хотел сохранить всю его точность.
Впрочем, видно, что это определение приложимо не только к пространству, что во всем том, что воспринимается нашими чувствами, мы встречаем характерные признаки физической непрерывности, что и допускает возможность одной и той же классификации; легко было бы найти примеры непрерывностей четырех, пяти измерений в смысле предыдущего определения; эти примеры возникают в уме сами собой.
Наконец, я мог бы изложить, если бы у меня было на это время, как наука, о которой я говорил выше и которую Риман назвал Analysis Situs, учит нас различать непрерывности одного и того же числа измерений и как классификация этих непрерывностей опирается по-прежнему на рассмотрение купюр.
Из этого понятия произошло понятие математической непрерывности многих измерений тем же способом, каким физическая непрерывность одного измерения произвела математическую непрерывность одного измерения. Формула
A > С, А = В, В = С,
которая резюмировала грубые данные опыта, содержала в себе нетерпимое противоречие. Чтобы избавиться от него, нужно было ввести новое понятие, впрочем, принимая во внимание существенные свойства физической непрерывности многих измерений. Математическая непрерывность одного измерения допускает единственную шкалу с бесконечным числом ступеней, которые соответствуют разным соизмеримым или несоизмеримым значениям одной и той же величины. Для того чтобы получить математическую непрерывность n измерений, достаточно взять n подобных шкал, ступени которых будут соответствовать различным значениям n независимых величин, называемых координатами. Таким образом, получится изображение физической непрерывности n измерений, и это изображение – насколько это возможно – будет верным, если только не желают допустить существование того противоречия, о котором я говорил выше.
Теперь, по-видимому, решен вопрос, который мы поставили себе вначале. Когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, то мы, скажут нам, подразумеваем, что совокупность точек пространства удовлетворяет определению, которое мы только что дали для физической непрерывности трех измерений. Удовлетвориться этим значило бы предположить, что мы знаем, что такое совокупность точек пространства или даже что такое одна точка пространства.
А это не так просто, как кажется. Все думают, что знают, что такое точка; и мы даже полагаем, что нет нужды в ее определении именно потому, что мы слишком хорошо знаем ее. Конечно, нельзя требовать от нас умения определить ее, потому что при переходе от определения к определению необходимо должен наступить момент, когда приходится остановиться. Но когда же следует остановиться?
Прежде всего, остановка произойдет тогда, когда дойдем до предмета, который поддается восприятию наших чувств или который можно себе представить; тогда определение станет бесполезным; ребенку ведь не определяют барана, ему говорят: вот баран.
Но тогда мы должны спросить себя, возможно ли представить себе точку пространства. Те, которые отвечают «да», не думают, что на самом деле они представляют себе белую точку, начерченную мелом на черной доске, или черную точку, сделанную пером на белой бумаге, и что они могут представить себе только предмет или – лучше – те впечатления, которые этот предмет может производить на их чувства.
Когда они стараются представить себе точку, они представляют себе те впечатления, которые возбуждаются весьма малыми предметами. Нет необходимости прибавлять, что два различных предмета, хотя бы и весьма малые, могут производить совершенно различные впечатления, но я не останавливаюсь на этой трудности, которая потребовала бы некоторого обсуждения.
Однако дело не в этом; недостаточно представлять себе какую-то точку, нужно представить себе такую-то точку и иметь средство отличать ее от другой точки. И в самом деле, для того чтобы мы могли применить к непрерывности то правило, которое я изложил выше и благодаря которому можно узнать число ее измерений, мы должны опереться на тот факт, что два элемента этой непрерывности то могут, то не могут быть различены. Следовательно, нужно, чтобы мы могли в некоторых случаях представлять себе такой-то элемент и отличать его от другого элемента.
Вопрос состоит в том, чтобы знать: одинаковы ли точка, которую я представлял себе час тому назад, и точка, которую я представляю себе теперь, или они различны. Другими словами, как нам узнать, является ли той же самой точка, занимаемая предметом А в момент α, что и точка, занимаемая предметом B в момент β, или – еще лучше – что это значит?
Я сижу в своей комнате, предмет лежит на моем столе; я не двигаюсь с места в продолжение одной секунды, никто не касается предмета; мне хочется сказать, что точка A, которую занимал этот предмет в начале этой секунды, тождественна с точкой В, которую он занимал в конце; но это совсем не так: от точки А до точки В – 30 километров, потому что предмет принимал участие в движении Земли. Будь предмет мал или велик, мы не можем узнать, не переменил ли он абсолютное положение в пространстве; и не только мы не можем утверждать этого, но самое это утверждение не имеет никакого смысла и во всяком случае не может соответствовать никакому представлению.
Но тогда мы можем спросить себя, изменилось ли относительное положение предмета по отношению к другим предметам, и прежде всего – по отношению к нашему телу; если впечатления, производимые на нас этим предметом, не изменились, то мы будем склонны думать, что это относительное положение также не изменилось; если впечатления изменились, то мы решим, что этот предмет переменил либо состояние, либо относительное положение. Остается выбрать одно из двух решений. В «Науке и гипотезе» я выяснил, как мы пришли к различению перемен положения. Впрочем, в дальнейшем я опять возвращусь к этому. Итак, мы приходим к знанию того, осталось ли относительное положение предмета по отношению к нашему телу тем же самым или нет.
Если теперь мы видим, что два предмета сохранили свое относительное положение по отношению к нашему телу, то мы заключаем, что относительное положение этих двух предметов по отношению друг к другу не изменилось; но мы приходим к такому заключению лишь путем косвенного рассуждения. Единственная вещь, которую мы знаем непосредственно, – это относительное положение предметов по отношению к нашему телу.
И тем более только в силу косвенного рассуждения мы верим (и еще сама эта вера обманчива), будто знаем, изменилось ли абсолютное положение предмета.
Словом, система координатных осей, к которым мы естественно относим все внешние предметы, – это система осей, неизменно связанная с нашим телом, которую мы и носим всюду с собой.
Невозможно представить себе абсолютное пространство; когда я хочу представить себе одновременно предметы и самого себя в движении в абсолютном пространстве, в действительности я представляю себя неподвижным наблюдателем движения вокруг меня различных предметов и человека, который находится вне меня, но которого я условно называю «я».
Будет ли трудность разрешена, если условимся все относить к этим осям, связанным с нашим телом? Знаем ли мы на этот раз, что такое точка, определенная таким образом своим относительным положением по отношению к нам? Многие ответят «да» и скажут, что они «локализуют» внешние предметы.
Что это значит? Локализовать предмет – значит просто представить себе те движения, которые нужно было бы сделать, чтобы достигнуть его; объяснюсь подробнее: дело не в том, чтобы представлять себе самые движения в пространстве, но только те мускульные ощущения, которыми сопровождаются эти движения и которые не предполагают предсуществование понятия пространства.
Если мы предположим, что два различных предмета последовательно займут одно и то же относительное положение по отношению к нам, то впечатления, которые вызовут в нас эти два предмета, будут весьма различны; мы локализуем их в одной и той же точке просто потому, что нужно сделать одни и те же движения, чтобы достигнуть их; кроме того, не видно, что еще они могли бы иметь общего.
Но при данном предмете можно вообразить многие различные виды движений, которые одинаково позволяли бы достигнуть его. Тогда, если мы представим себе точку, представляя ряд мускульных ощущений, которыми сопровождались бы движения, позволяющие достигнуть этой точки, то мы будем иметь много совершенно различных способов представлять себе одну и ту же точку. Если мы не захотим довольствоваться этим решением, если пожелаем ввести рядом с мускульными ощущениями, например, зрительные ощущения, то будем иметь еще один или два способа представлять себе ту же самую точку, и трудность только увеличится. Относительно всех способов возникает такой вопрос: почему мы думаем, что все эти столь различные между собой представления все же воспроизводят одну и ту же точку?
Другое замечание: я только что сказал, что мы естественно относим внешние предметы к нашему собственному телу; что мы, так сказать, всюду носим с собой систему осей, к которым мы относим все точки пространства, и что эта система осей как бы неизменно связана с нашим телом. Следует заметить, что строго говорить о неизменно связанных с нашим телом осях можно было бы только при условии, если бы различные части нашего тела сами были неизменно связаны друг с другом. Так как этого нет, то, прежде чем относить внешние предметы к этим фиктивным осям, мы должны предположить, что наше тело может быть снова приведено в то же самое положение.
В «Науке и гипотезе» я указал на ту первенствующую роль, которую играют движения нашего тела в генезисе понятия пространства. Для существа совершенно неподвижного не было бы ни пространства, ни геометрии; напрасно вокруг него перемещались бы внешние предметы; перемены в его впечатлениях, вызванные этими перемещениями, это существо приписывало бы не изменениям положения, а простым изменениям состояния; у такого существа не было бы никаких средств различить эти два рода изменений, и это различие, основное для нас, для него не имело бы никакого смысла.
Движения, которые мы сообщаем нашим членам, в результате вызывают перемену впечатлений, производимых внешними предметами на наши чувства; другие причины также могут вызвать эту перемену, но мы научаемся отличать изменения, производимые собственными нашими движениями, и легко распознаем их по двум причинам: 1) потому что они суть движения волевые; 2) потому что они сопровождаются мускульными ощущениями.
Таким образом, мы естественно подразделяем изменения, которым могут подвергаться наши впечатления, на две категории, которым я, быть может, дал неподходящее название: 1) изменения внутренние – волевые и сопровождающиеся мускульными ощущениями; 2) изменения внешние – противоположного характера.
Мы замечаем затем, что среди внешних изменений есть такие, которые могут быть исправлены благодаря внутреннему изменению, которым все приводится в первоначальное состояние; и есть другие, которые не могут быть исправлены таким образом (так, когда внешний предмет переместился, мы можем, перемещаясь сами, занять по отношению к этому предмету то же самое относительное положение и таким образом восстановить совокупность первоначальных впечатлений; если же этот предмет не переместился, но изменил свое состояние, то это становится невозможным). Отсюда новое различие между внешними изменениями: те, которые могут быть исправлены указанным способом, мы назовем изменениями положения, а другие – изменениями состояния.
Предположим, например, шар, одно полушарие которого будет синим, а другое – красным; сначала он обращен к нам синим полушарием; потом он повертывается к нам красным полушарием. Затем вообразим шарообразный сосуд, содержащий в себе синюю жидкость, которая вследствие химической реакции становится красной. В обоих случаях ощущение красного сменяет ощущение синего; наши чувства испытали одни и те же впечатления, последовавшие в одном и том же порядке, и однако же эти два изменения мы рассматриваем как совершенно различные; первое есть перемещение, второе – изменение состояния. Почему?
Потому что в первом случае мне достаточно обойти вокруг шара, чтобы занять место против красного полушария и таким образом восстановить первоначальное ощущение красного.
Сверх того, если бы два полушария вместо того, чтобы быть красным и синим, были желтым и зеленым, то в какой форме тогда сообщалось бы мне вращение шара? Раньше красный цвет следовал за синим, а теперь зеленый следует за желтым; а между тем я говорю, что оба шара испытывали одно и то же вращение, что и тот и другой повернулись вокруг своей оси; но ведь я не могу сказать, чтобы зеленый цвет был в том же отношении к желтому, как красный к синему; почему же тогда я пришел к заключению, что оба шара подверглись одному и тому же перемещению? Очевидно, потому, что как в том, так и в другом случае я могу восстановить первоначальное ощущение, обойдя вокруг шара и делая одни и те же движения; а что я выполнил одни и те же движения, это я знаю потому, что я испытал одни и те же мускульные ощущения; следовательно, для того чтобы знать это, мне нет нужды раньше знать геометрию и представлять себе движения моего тела в геометрическом пространстве.
Другой пример. Перед моим глазом перемещается предмет: изображение его сначала было в центре сетчатки, потом оно образуется на краю ее; прежнее ощущение передавалось мне нервным волокном, примыкающим к центру сетчатки; новое ощущение передается мне другим нервным волокном, исходящим от края сетчатки; эти два ощущения качественно различны, иначе как бы мог я различить их? Тогда почему я прихожу к тому заключению, что эти два качественно различных ощущения представляют одно и то же перемещающееся изображение? Это потому, что я могу следовать глазом за предметом, волевым и сопровождающимся мускульными ощущениями перемещением глаза отводить изображение в центр сетчатки и таким образом восстанавливать первоначальное ощущение.
Предположим, что изображение красного предмета перешло из центра сетчатки А на край ее В, затем – что изображение синего предмета также переходит из центра сетчатки А на край ее В; я буду думать, что эти два предмета подверглись одному и тому же перемещению. Почему? Потому что и в том и в другом случае я могу восстановить первоначальное ощущение, для чего я должен буду совершить одно и то же движение глаза, и я буду знать, что мой глаз совершил одно и то же движение, потому что я испытал одни и те же мускульные ощущения.
Если бы я не мог двигать глазом, то на каком основании я допускал бы, что ощущение красного в центре сетчатки так относится к ощущению красного на краю сетчатки, как ощущение синего в центре к ощущению синего на краю? Я имел бы только четыре качественно различные ощущения, и если бы спросили меня, связаны ли они отношением, которое я только что высказал, то вопрос показался бы мне смешным – все равно как если бы меня спросили, существует ли аналогичное отношение между слуховым ощущением, осязательным ощущением и обонятельным ощущением.
Теперь рассмотрим внутренние изменения, т. е. такие, которые произведены волевыми движениями нашего тела и сопровождаются мускульными изменениями; они дадут место следующим двум замечаниям, аналогичным тем, которые мы только что сделали относительно внешних изменений.
1) Я могу предположить, что мое тело перенесено из одного пункта в другой, сохраняя при этом ту же самую позу; таким образом, все части этого тела сохранили или снова приняли то же самое относительное положение, хотя абсолютное положение их в пространстве изменилось; я могу также предположить, что не только место моего тела переменилось, но что его поза стала другой, например, что мои руки, которые только что были сложены, теперь вытянуты.
Итак, я должен различать простые перемены места без изменения позы и изменения позы. И те, и другие являются мне в виде мускульных ощущений. Как же я прихожу к различению их? Благодаря тому, что первые могут служить для исправления внешнего изменения, последние же не могут; в крайнем случае они могут дать лишь несущественную поправку.
Это последнее обстоятельство я буду сейчас объяснять так, как я объяснял бы его тому, кто уже знаком с геометрией; но не следует заключать отсюда, что для того, чтобы делать это различие, надо уже знать геометрию; прежде чем я познакомлюсь с ней, я констатирую факт (так сказать, экспериментально), не будучи в состоянии объяснить его. Но чтобы различать эти два рода изменения, мне не нужно объяснять факт, мне достаточно констатировать его.
Как бы то ни было, объяснить его нетрудно.
Предположим, что внешний предмет переместился; если мы хотим, чтобы различные части нашего тела снова заняли по отношению к этому предмету свое первоначальное относительное положение, нужно, чтобы эти различные части заняли равным образом свое первоначальное относительное положение по отношению друг к другу. Только те внутренние изменения, которые удовлетворят этому последнему условию, будут в состоянии исправить внешнее изменение, произведенное перемещением этого предмета. Таким образом, если относительное положение моего глаза по отношению к моему пальцу изменилось, то я могу отвести глаз в его первоначальное относительное положение по отношению к предмету и восстановить таким образом первоначальные зрительные ощущения; но тогда изменится относительное положение пальца по отношению к предмету и осязательные ощущения не будут восстановлены.
2) Равным образом мы констатируем, что одно и то же внешнее изменение может быть исправлено двумя внутренними изменениями, соответствующими различным мускульным ощущениям. И здесь я могу констатировать это, не зная геометрии; я не нуждаюсь и ни в чем другом; но я буду объяснять факт, пользуясь геометрическим языком. Чтобы перейти из положения А в положение В, я могу воспользоваться несколькими путями. Одному из этих путей будет соответствовать один ряд мускульных ощущений S; другому будет соответствовать другой ряд мускульных ощущений S’, которые вообще будут совершенно иными, потому что в действие будут приведены другие мускулы.
Почему я должен считать эти два ряда S и S’ соответствующими одному и тому же перемещению АВ? Потому, что эти два ряда способны исправить одно и то же внешнее изменение. За исключением этого, они не имеют ничего общего.
Рассмотрим теперь два внешних изменения α и β, которые представляют, например, вращение шара, наполовину синего и наполовину красного, и вращение шара, наполовину желтого и наполовину зеленого; эти два изменения не имеют ничего общего, потому что одно воспринимается нами как переход от синего к красному, а другое – как переход от желтого к зеленому. С другой стороны, рассмотрим два ряда внутренних изменений S и S’; они также не имеют ничего общего. И однако я говорю, что α и β соответствуют одному и тому же перемещению и что S и S’ также соответствуют одному и тому же перемещению.
Почему? Очень просто – потому, что S может исправить β так же, как α, и потому, что α может быть исправлено посредством S’ так же, как посредством S. Тогда возникает вопрос: если я констатировал, что S исправляет α и β и что S’ исправляет α, то уверен ли я в том, что S’ исправляет также β? Только опыт может открыть нам, подтверждается ли этот закон. Если бы он не подтверждался по крайней мере приближенно, то не было бы геометрии, не было бы пространства, потому что нам не для чего было бы классифицировать внешние и внутренние изменения, как я это только что делал, и отличать, например, изменения состояния от изменения положения.
Интересно посмотреть, какова была во всем этом роль опыта. Опыт показал мне, что некоторый закон подтверждается приближенно. Он не открыл мне, ни как существует пространство, ни что последнее удовлетворяет условию, о котором идет речь. В самом деле, я знал до всякого опыта, что пространство или удовлетворит этому условию, или нет; я не могу также сказать, чтобы опыт научил меня, что геометрия возможна; я прекрасно вижу, что геометрия возможна, потому что она не содержит в себе противоречия; опыт научил меня только тому, что геометрия полезна.
Хотя двигательные впечатления, как я только что объяснил, имели преобладающее влияние в генезисе понятия пространства, так что это понятие никогда бы не возникло без них, но интересно исследовать также роль зрительных впечатлений и установить, сколько измерений имеет «визуальное пространство», применив с этой целью к указанным впечатлениям определение.
Первое затруднение налицо; рассмотрим ощущение красного цвета, возникающее в некоторой точке сетчатки; и, с другой стороны, – ощущение синего цвета, возникающее в той же самой точке сетчатки. Нам нужно некоторое средство, чтобы узнать, что эти два качественно различных ощущения имеют нечто общее. По соображениям, изложенным в предыдущем параграфе, мы могли узнать это только из движений глаза и из тех наблюдений, к которым они приводили. Если бы глаз был неподвижен или если бы мы не сознавали своих движений, то мы не могли бы узнать, что у этих двух качественно различных ощущений есть что-нибудь общее; мы не могли бы усмотреть в них то, что наделяет их геометрическим характером. Поэтому зрительные ощущения без мускульных ощущений не имели бы ничего геометрического, так что можно сказать, что нет чистого визуального пространства. Для того чтобы устранить это затруднение, рассмотрим только однородные ощущения, например, ощущения красного (цвета), различающиеся друг от друга только той точкой сетчатки, в которой они возникают. Ясно, что у меня нет никакого основания делать столь произвольный выбор из всех возможных зрительных ощущений, чтобы соединить в одном и том же классе все ощущения одного и того же цвета, в какой бы точке сетчатки они ни возникали. Я никогда не подумал бы об этом, если бы не был научен раньше – тем способом, который мы только что видели, – отличать перемены состояния от перемен положения, т. е. если бы мой глаз был неподвижен. Два ощущения одного и того же цвета, возникающие в двух разных частях сетчатки, представлялись бы мне качественно различными, как и два ощущения разных цветов.
Ограничиваясь ощущениями красного, я, таким образом, налагаю на себя искусственное ограничение и систематически пренебрегаю главной стороной вопроса; но благодаря только этой уловке я и могу анализировать визуальное пространство, не примешивая к нему двигательного ощущения.
Вообразим линию, проведенную на сетчатке и разделяющую поверхность ее на две части; оставим в стороне ощущения красного, возникающие в точках этой линии, или ощущения, которые слишком мало разнятся от них, чтобы можно было их отличить. Совокупность этих ощущений образует род купюры, которую я обозначу через С; ясно, что достаточно этой купюры, чтобы разделить совокупность возможных ощущений красного, и что если я возьму два ощущения красного, возникающие в двух точках, расположенных по одну и по другую сторону линии, то я не могу перейти от одного из этих ощущений к другому непрерывным путем, не переходя в известный момент через ощущение, принадлежащее данной купюре.
Поэтому, если купюра имеет n измерений, то вся совокупность моих ощущений красного, или, если угодно, полное визуальное пространство, будет иметь n + 1 измерение.
Теперь я различаю ощущения красного, возникающие в какой-нибудь точке купюры С. Совокупность этих ощущений образует новую купюру С’. Ясно, что эта купюра разделит купюру С, если понимать слово «разделит» в том же самом смысле.
Следовательно, если купюра С’ имеет n измерений, то купюра С будет иметь n + 1, а полное зрительное пространство n + 2 измерения.
Если бы все ощущения красного, возникающие в одной и той же точке сетчатки, рассматривались как тождественные, то купюра С’, сводясь к одному элементу, имела бы 0 измерений, а визуальное пространство имело бы 2 измерения.
Однако очень часто говорят, что глаз сообщает нам ощущение третьего измерения и позволяет до некоторой степени узнавать расстояние до предметов. Если пытаются проанализировать это ощущение, то констатируют, что оно сводится или к осознанию схождения глазных осей, или к осознанию того усилия при аккомодации, которое делает ресничный мускул для того, чтобы привести изображение в фокус.
Поэтому два ощущения красного цвета, возникающие в одной и той же точке сетчатки, будут рассматриваться как тождественные только в случае, если они сопровождаются тем же ощущением схождения и тем же ощущением усилия при аккомодации – или по крайней мере ощущениями схождения и аккомодации, настолько мало отличающимися, что их нельзя распознать.
Поэтому купюра С’ сама является непрерывностью, а купюра С имеет более одного измерения.
Но именно опыт учит нас, что когда два зрительных ощущения сопровождаются одним и тем же ощущением схождения, они сопровождаются также одним и тем же ощущением аккомодации.
Тогда, если мы образуем новую купюру С’’ из всех тех ощущений купюры С’, которые сопровождаются известным ощущением схождения, то по предыдущему закону они все будут неразличимы и могут рассматриваться как тождественные; поэтому С’’ не будет непрерывностью и будет иметь 0 измерений; а так как С’’ разделяет С’, то отсюда следует, что С’ имеет одно измерение, С – два и полное визуальное пространство – три измерения.
Но было бы то же самое, если бы опыт показал нам обратное и если бы известное ощущение схождения не всегда сопровождалось одним и тем же ощущением аккомодации? В таком случае два ощущения, возникающие в одной и той же точке сетчатки и сопровождающиеся одним и тем же ощущением схождения, – два ощущения, которые, следовательно, принадлежали бы оба купюре С’’, – могли бы тем не менее быть различимы, потому что сопровождались бы двумя различными ощущениями аккомодации. Поэтому С’’ было бы в свою очередь непрерывностью и имело бы (по меньшей мере) одно измерение; тогда С’ имело бы два измерения, С – три, а полное визуальное пространство имело бы четыре измерения.
Можно ли сказать, что именно опыт научает нас тому, что пространство имеет три измерения, что именно, исходя из экспериментального закона, нам пришлось приписать ему три измерения? Но мы произвели здесь только, так сказать, физиологический опыт; и если бы даже достаточно было приспособить для глаз стекла подходящей конструкции, чтобы нарушить согласие между ощущениями схождения и аккомодации, то скажем ли мы, что достаточно надеть такие очки – и пространство будет иметь четыре измерения и что оптик, который построил бы их, придал бы пространству еще одно измерение? Очевидно, нет; мы можем только сказать: опыт научил нас, что удобно приписывать пространству три измерения. Но визуальное пространство есть только часть пространства, и в самом понятии этого пространства есть нечто искусственное, как я выяснил это вначале. Истинное пространство есть пространство моторное; им-то мы и займемся в следующей главе.
Глава IV. Пространство и его три измерения
Изложим вкратце полученные результаты. Мы задались целью исследовать, какой смысл имеют слова: пространство имеет три измерения. Прежде всего мы спросили себя, что такое физическая непрерывность и когда можно сказать, что она имеет n измерений. Если мы рассматриваем различные системы впечатлений и сравниваем их между собой, то мы часто убеждаемся, что две из этих систем впечатлений не могут быть различены (что обыкновенно выражается словами, что они слишком близки одна к другой и что наши чувства слишком грубы для того, чтобы мы могли различать их), и, сверх того, мы констатируем, что две из этих систем иногда могут быть отличены одна от другой, хотя они неотличимы от одной и той же третьей. Если это так, то говорят, что совокупность этих систем впечатлений образует физическую непрерывность C. И каждая из этих систем будет называться элементом непрерывности C.
Сколько измерений имеет эта непрерывность? Возьмем сначала из C два элемента A и B и предположим, что существует ряд элементов Σ, принадлежащих непрерывности С, таких, что A и B суть два крайних члена этого ряда и что каждый член ряда неотличим от предыдущего. Если можно будет найти такой ряд Σ, то мы скажем, что A и В связаны между собой; а если в C два каких угодно элемента связаны между собой, мы скажем, что C односвязна.
Теперь выберем вполне произвольно на непрерывности C некоторое число элементов. Совокупность этих элементов будет называться купюрой. Среди рядов Σ, которые связывают A с B, мы будем различать ряды, один элемент которых будет неотличим от одного из элементов купюры (мы скажем, что это – ряды, которые пересекают купюру), и ряды, все элементы которых будут отличимы от всякого элемента купюры. Если все ряды Σ, связывающие A с B, пересекают купюру, то мы скажем, что A и В отделены друг от друга купюрой и что купюра разделяет C. Если невозможно найти на C два элемента, которые были бы отделены друг от друга купюрой, то мы скажем, что купюра не разделяет С.
Если, по установлении этих определений, непрерывность C может быть разделена купюрами, которые сами не образуют непрерывность, то эта непрерывность C имеет только одно измерение; в противном случае она имеет несколько измерений. Если для того, чтобы разделить C, достаточно купюры, образующей непрерывность одного измерения, то C будет иметь два измерения; если достаточно купюры, образующей непрерывность двух измерений, то C будет иметь три измерения, и т. д.
Благодаря этим определениям всегда можно будет узнать, сколько измерений имеет любая физическая непрерывность. Остается только найти физическую непрерывность, которая была бы, так сказать, эквивалентна пространству так, чтобы каждой точке пространства соответствовал элемент этой непрерывности и чтобы точкам пространства, очень близким друг к другу, соответствовали неразличимые элементы. Тогда пространство будет иметь столько измерений, сколько и эта непрерывность.
Переход через эту физическую непрерывность, доступную представлению, неизбежен, потому что мы не можем представить себе пространство, и это по многим основаниям. Пространство есть математическая непрерывность, оно бесконечно, а мы можем представлять себе только физические непрерывности и конечные предметы. Различные элементы пространства, которые мы называем точками, все сходны между собой, а для того чтобы применить наше определение, нам нужно уметь отличать один элемент от другого, по крайней мере если они не слишком близки. Наконец, абсолютное пространство есть бессмыслица, и нам с самого начала приходится относить его к системе осей, неизменно связанных с нашим телом (которое мы должны предполагать всегда приведенным в одно и то же положение).
Затем я постарался образовать с помощью наших зрительных ощущений эквивалентную пространству физическую непрерывность; это, без сомнения, легко, и этот пример в особенности пригоден для исследования числа измерений; это исследование дало нам возможность видеть, в какой степени можно говорить, что «визуальное пространство» имеет три измерения. Однако это решение не полно и искусственно – я уже объяснил почему, и не к визуальному, а к моторному пространству надо нам приложить свои усилия.
Потом я напомнил, каково происхождение различия, которое мы делаем между изменениями положения и изменениями состояния.
Среди изменений, происходящих в наших впечатлениях, мы различаем сначала изменения внутренние – волевые и сопровождающиеся мускульными ощущениями – и изменения внешние, характер которых противоположен.
Мы констатируем возможность того, что внешнее изменение будет исправляться внутренним изменением, которое восстанавливает начальные ощущения. Внешние изменения, которые можно исправить посредством внутреннего изменения, называются изменениями положения; внешние изменения, которые нельзя исправить таким образом, называются изменением состояния. Внутренние изменения, способные исправить внешнее изменение, называются перемещениями всего тела; прочие – изменениями позы.
Теперь пусть α и β будут два внешних изменения, α’ и β’ – два внутренних изменения. Положим, что α может быть исправлено или посредством α’, или посредством β’ и что α’ может исправить как α, так и β; тогда опыт учит нас, что и β’ может исправить β. В таком случае мы скажем, что α и β соответствуют одному и тому же перемещению, равно как α’ и β’ соответствуют одному и тому же перемещению.
Если так, то мы можем вообразить физическую непрерывность, которую мы назовем непрерывностью или группой перемещений и которую определим следующим образом. Элементами этой непрерывности будут внутренние изменения, способные исправить внешнее изменение. Два из этих внутренних изменений α’ и β’ будут рассматриваться как неразличимые; 1) если они по природе таковы, т. е. если они слишком близки друг к другу; 2) если α’ может исправить то же самое внешнее изменение, какое исправляется третьим внутренним изменением, по природе неотличимым от β’. Во втором случае они будут неразличимы, так сказать, в силу соглашения, т. е. если условимся не принимать в расчет тех обстоятельств, которые могли бы создать их различие.
Наша непрерывность теперь вполне определена, потому что мы знаем ее элементы и выяснили себе, при каких условиях они могут рассматриваться как неразличимые. Таким образом, мы имеем все, что необходимо для того, чтобы применить наше определение и определить, сколько измерений имеет эта непрерывность. Мы узнаем, что она имеет шесть измерений. Следовательно, непрерывность перемещений не эквивалентна пространству, потому что число измерений здесь другое; она только родственна пространству.
Откуда же мы знаем, что эта непрерывность перемещений имеет шесть измерений? Мы знаем это из опыта.
Легко было бы описать опыты, благодаря которым мы могли бы прийти к такому результату. Мы бы увидели, что в этой непрерывности можно брать купюры, которые, разделяя ее, оставались бы непрерывностями; что можно разделять эти купюры другими купюрами второго порядка, которые еще остаются непрерывностями, и что пришлось бы остановиться только после купюр шестого порядка, которые уже не были бы непрерывностями. Согласно нашим определениям это значило бы, что группа перемещений имеет шесть измерений.
Это было бы легко, сказал я, но это было бы довольно длинно; и не оказалось ли бы это несколько поверхностно? Эта группа перемещений, как мы видели, родственна пространству и можно было бы вывести из нее пространство, но она не эквивалентна пространству, потому что она не имеет того же числа измерений; и когда мы покажем, как может образоваться понятие этой непрерывности и как можно вывести отсюда понятие пространства, тогда можно будет всегда спросить себя, почему пространство трех измерений нам гораздо более привычно, чем эта непрерывность шести измерений, и, следовательно, усомниться в том, что именно таким окольным путем образовалось в человеческом уме понятие пространства.
Что такое точка? Как мы узнаем, тождественны ли две точки пространства или различны? Или, другими словами, что значит, когда я говорю: «предмет A находился в момент α в точке, в которой находится предмет B в момент β».
Такова проблема, которую мы поставили перед собой в предыдущей главе, параграф 4. Как я уже выяснил, речь идет не о сравнении положений предметов A и B в абсолютном пространстве; в последнем случае вопрос, очевидно, не имел бы никакого смысла; речь идет о сравнении положений этих двух предметов относительно осей, неизменно связанных с моим телом? при этом всегда предполагается, что это тело приведено в одну и ту же позу.
Я предполагаю, что между моментами α и β я не двигал ни своего тела, ни своего глаза, о чем мне дает знать мое мускульное чувство. Я не двигал также ни головой, ни рукой, ни кистью. Я устанавливаю, что в момент α впечатления, которые приписывались мною предмету A, сообщались мне: иные – одним из волокон моего зрительного нерва, иные – одним из нервов моего пальца, передающих чувство осязания; я устанавливаю, что в момент β мне сообщились другие впечатления, которые я приписываю предмету B, одни – тем же самым волокном зрительного нерва, другие – тем же самым осязательным нервом.
Здесь мне необходимо остановиться для пояснения; откуда я узнал, что впечатление, которое я приписываю A, и впечатление, которое я приписываю В, – впечатления качественно различные – передаются мне одним и тем же нервом?
Следует ли предполагать – если взять, например, зрительные ощущения, – что A производит два одновременных ощущения, одно чисто световое a и другое цветовое a’ что B производит также одновременно световое ощущение b и цветовое b’, что если эти различные ощущения передаются мне одним и тем же волокном сетчатки, то a тождественно с b, но что вообще цветовые ощущения a’ и b’, произведенные различными телами, различны? В этом случае тождество ощущения а, сопровождающего a’ с ощущением b, сопровождающим b’ именно и свидетельствовало бы о том, что все эти ощущения переданы мне одним и тем же волокном.
Какова бы ни была эта гипотеза, – и хотя я склонен предпочесть ей другие, значительно более сложные, – достоверно, что мы каким-то образом узнаем, что есть нечто общее между этими ощущениями а + а’ и b + b’, без чего у нас не было бы никаких средств узнать, что предмет B занял место предмета А.
Итак, я, не останавливаясь больше на этом, возвращаюсь к только что сделанному предположению: пусть я констатировал, что впечатления, которые я приписываю В, передаются мне в момент β теми же самыми зрительными и осязательными нервами, которыми в момент α были переданы мне впечатления, приписанные мною А. Если это так, то мы, не колеблясь, признаем, что точка нахождения B в момент β тождественна с точкой нахождения A в момент α.
Я только что высказал два условия тождественности этих точек: одно относится к зрению, другое – к осязанию. Рассмотрим их в отдельности. Первое условие необходимо, но не достаточно. Второе – сразу и необходимо и достаточно. Всякий, кто знаком с геометрией, легко истолковал бы это следующим образом. Пусть О – точка сетчатки, где в момент α образуется изображение тела A; пусть M – точка пространства, занимаемая этим телом A в момент α; пусть W – точка пространства, занимаемая телом B в момент β. Для того чтобы это тело B образовало свое изображение в О, не необходимо, чтобы точки M и М’ совпадали: так как зрение действует на расстоянии, то достаточно, чтобы три точки О, M, М’, лежали на прямой линии. Поэтому условие, чтобы два предмета давали свое изображение в О, есть необходимое, но не достаточное для того, чтобы точки M и М’ совпадали. Пусть теперь P есть точка, занимаемая моим пальцем, и пусть палец остается в ней неподвижным. Так как осязание не может действовать на расстоянии, то если тело A касается моего пальца в момент α, это значит, что M и P совпадают; если B касается моего пальца в момент β, это значит, что М’ и P совпадают. Следовательно, совпадают M и М’. Поэтому-то условие, что если A касается моего пальца в момент α, то B касается его в момент β, является одновременно необходимым и достаточным для того, чтобы M и М’ совпадали.
Но раз мы еще не знакомы с геометрией, мы не можем рассуждать так; мы можем только констатировать опытным путем, что может быть выполнено первое условие, относящееся к зрению, без выполнения второго условия, относящегося к осязанию, но что второе условие не может быть выполнено без того, чтобы не было выполнено первое.
Предположим, что опыт научил бы нас противоположному. Это возможно, и в этом предположении нет ничего нелепого. Итак, пусть мы констатировали опытным путем, что условие, относящееся к осязанию, может быть выполнено, хотя не выполнено условие зрения, и что, напротив, условие зрения не может быть выполнено без того, чтобы не было выполнено условие осязания. Ясно, что если бы это было так, то мы пришли бы к заключению, что осязание может действовать на расстоянии, а зрение на расстоянии не действует.
Но это не все; до сих пор я предполагал, что для определения места предмета я пользуюсь только глазом и одним пальцем; но совершенно так же я мог бы воспользоваться и другими средствами, например всеми другими моими пальцами.
Я предполагаю, что мой первый палец получает в момент α осязательное впечатление, которое я приписываю предмету A. Я делаю ряд движений, соответствующий ряду мускульных ощущений S. Следом за этими движениями в момент α’ мой второй палец получает осязательное впечатление, которое я приписываю также A. Потом в момент β, в то время как я остаюсь неподвижным, о чем мне дает знать мое мускульное чувство, тот же самый второй палец опять передает мне осязательное впечатление, которое я приписываю на этот раз предмету B; затем я делаю ряд движений, соответствующий ряду мускульных ощущений S’. Я знаю, что этот ряд S’ есть обратный ряду S и соответствует противоположным движениям. Я знаю это потому, что многократные прежние опыты часто показывали мне, что если я последовательно делаю два ряда движений, соответствующие S и S’, то первоначальные впечатления восстанавливаются, т. е. два ряда взаимно компенсируются. Если так, то должен ли я надеяться, что в момент β’, когда окончится второй ряд движений, мой первый палец получит осязательное впечатление, приписываемое предмету B?
Чтобы ответить на этот вопрос, тот, кто был уже знаком с геометрией, стал бы рассуждать таким образом. Есть вероятность, что предмет A не пошевелился между моментами α и α’, а также предмет B – между моментами β и β’; допустим это. В момент α предмет A занимал некоторую точку пространства M. Но в этот момент он касался моего первого пальца, и так как осязание не действует на расстоянии, то мой первый палец был также в точке М. Затем я сделал ряд движений S и в конце этого ряда в момент α’ констатировал, что предмет A касается моего второго пальца. Я заключил отсюда, что этот второй палец находился тогда в M, т. е. что движениями S второй палец был приведен на место первого. В момент β предмет B пришел в соприкосновение с моим вторым пальцем; так как я не шевелился, то этот второй палец остался в M; поэтому предмет B пришел в M; по предположению он не двигается до момента β’. Но между моментами β и β’ я сделал движения S’; так как эти движения обратны движениям S, то они должны в результате привести первый палец на место второго. В момент β’ первый палец, следовательно, будет в M; и так как предмет B также находится в M, то этот предмет B коснется моего первого пальца. Таким образом, на предложенный вопрос надо ответить утвердительно.
Мы, не знакомые еще с геометрией, не можем рассуждать таким образом, но мы констатируем, что это предположение обыкновенно осуществляется, а исключения мы всегда можем объяснить тем, что предмет A между моментами α и α’ или предмет B между моментами β и β’ пошевелился.
Но не мог ли бы опыт дать противоположный результат – и явился ли бы этот последний сам по себе нелепым? Очевидно, нет. Как бы мы поступили в том случае, если бы опыт дал этот противоположный результат? Сделалась ли бы невозможной всякая геометрия? Ничуть! Мы ограничились бы заключением, что осязание может действовать на расстоянии.
Когда я говорю, что осязание не действует на расстоянии, зрение же действует на расстоянии, то это утверждение имеет только следующий смысл. Для того чтобы узнать, занимает ли B в момент β точку, которую занимал A в момент α, я могу пользоваться множеством различных критериев; в один входит мой глаз; в другой – мой первый палец, в третий – мой второй палец и т. д. Так вот, достаточно, чтобы критерий, относящийся к одному из моих пальцев, был удовлетворен, чтобы были удовлетворены все прочие критерии; но этого не достаточно, чтобы был удовлетворен критерий, относящийся к глазу. Вот смысл моего утверждения; я ограничиваюсь утверждением экспериментального факта, который обыкновенно подтверждается.
В конце предыдущей главы мы сделали анализ визуального пространства; мы видели, что для того, чтобы создать это пространство, нужно ввести ощущения сетчатки, ощущение схождения глазных осей и ощущение аккомодации; что если бы два последних ощущения не были всегда в согласии между собой, то визуальное пространство имело бы четыре измерения вместо трех и что, с другой стороны, если бы вводились только ощущения сетчатки, то получилось бы «чистое визуальное пространство», которое обладало бы только двумя измерениями. С другой стороны, рассмотрим тактильное пространство, ограничиваясь ощущениями только одного пальца, т. е. вообще совокупностью положений, которые может занимать этот палец. Это тактильное пространство, которое мы подвергнем анализу в следующем параграфе и о котором поэтому я попрошу позволения пока не распространяться, имеет три измерения. Почему пространство в собственном смысле имеет столько же измерений, сколько тактильное пространство, и более, чем чистое визуальное пространство? Потому, что осязание не действует на расстоянии, тогда как зрение действует на расстоянии. Эти два утверждения имеют только один и тот же смысл, и мы сейчас видели, каков он.
Теперь я возвращусь к тому пункту, которого я только слегка коснулся, чтобы не прерывать исследования. Откуда мы знаем, что впечатления, произведенные A на нашу сетчатку в момент α и B – в момент β, переданы нам одним и тем же волокном сетчатки, хотя эти впечатления качественно различны? Я высказал простую гипотезу, но прибавил, что другие, значительно более сложные, кажутся мне более вероятными. Вот в чем состоят эти гипотезы, о которых я уже упоминал. Откуда мы знаем, что имеют нечто общее впечатления, произведенные красным предметом A в момент α и синим предметом B в момент β, если эти два предмета образовали свое изображение в одной и той же точке сетчатки? Можно отбросить простую гипотезу, которую я высказал выше, и допустить, что эти два качественно различных впечатления переданы мне двумя различными, хотя и смежными, нервными волокнами.
Тогда каким средством обладаю я для того чтобы знать, что эти волокна смежны? Вероятно, мы не имели бы никакого средства, если бы глаз был неподвижен. Движения глаза научили нас, что отношение между ощущением синего в точке A и ощущением синего в точке B сетчатки то же, что между ощущением красного в точке A и ощущением красного в точке В. Они действительно показали нам, что те же самые движения, соответствующие тем же самым мускульным ощущениям, осуществляют переход от первого ко второму или от третьего к четвертому. Я не останавливаюсь на этих соображениях, которые, очевидно, находятся в связи с вопросом о местных знаках, поднятым Лоце.
Итак, я умею распознавать тождественность двух точек – точки, занимаемой A в момент α, и точки, занимаемой B в момент β, но при условии, что между моментами α и β я остаюсь неподвижным. Этого недостаточно для нашей цели. Предположим же, что я совершил в промежутке между этими двумя моментами какое-нибудь движение; как я узнаю, тождественна ли точка, занимаемая A в момент α, точке, занимаемой B в момент β? Я предполагаю, что в момент α предмет A находился в соприкосновении с моим первым пальцем и что в момент β предмет B также касается этого первого пальца; но в то же время мое мускульное чувство сообщило мне, что в промежутке мое тело пошевелилось. Выше я рассмотрел два ряда мускульных ощущений S и S’ и сказал, что иногда приходится рассматривать два подобных ряда S и S’ как обратные друг другу вследствие того, что мы часто наблюдали восстановление наших первоначальных ощущений, когда эти два ряда следуют один за другим.
Пусть мое мускульное чувство сообщило мне, что между моментами α и β я пошевелился, но так, что я последовательно почувствовал два ряда мускульных ощущений S и S’, которые я считаю обратными; тогда я сделаю еще вывод – как если бы я не шевелился, – что точки, занимаемые A в момент α и В в момент β, тождественны, если я констатирую, что мой первый палец касается A в момент α и В в момент β.
Такое решение еще не вполне достаточно, как это сейчас будет видно. В самом деле, посмотрим, сколько измерений оно побуждало бы нас приписывать пространству. Я хочу сравнить две точки, занимаемые A и B в моменты α и β, или (что то же самое, потому что я предполагаю, что мой палец касается A в момент α и B – в момент β) я хочу сравнить две точки, занимаемые моим пальцем в два момента α и β. Единственное средство, которым я располагаю для этого сравнения, есть ряд мускульных ощущений Σ, которым сопровождались движения моего тела между этими двумя моментами. Различные мыслимые ряды Σ, очевидно, образуют физическую, непрерывность, число измерений которой очень велико. Условимся, как я это сделал раньше, не считать различными два ряда Σ и Σ + S + S’, когда два ряда S и S’ будут взаимно обратными в том смысле, какой я придал этому слову выше; несмотря на такое условие, совокупность различных рядов Σ образует еще физическую непрерывность, число измерений которой будет меньше, но будет еще очень велико.
Каждому из этих рядов Σ соответствует точка пространства: таким образом, двум рядам Σ и Σ’ будут соответствовать две точки M и М’. Средства, которыми мы располагаем до сих пор, позволяют нам узнать, что M и М’ неразличимы в двух случаях: 1) если Σ тождествен с Σ’; 2) если Σ’ = Σ + S + S’, причем S и S’ взаимно обратимы. Если бы во всех других случаях мы считали M и М’ различными, то совокупность точек имела бы столько измерений, сколько и совокупность различных рядов Σ, т. е. гораздо больше 3.
Для тех, кто уже знаком с геометрией, легко было бы уяснить это следующим образом. Между рядами мыслимых мускульных ощущений есть такие, которые соответствуют рядам движений, при которых палец не шевелится. Я говорю, что если не считать различными ряды Σ и Σ + σ, где ряд σ соответствует таким движениям, при которых палец не шевелится, то совокупность рядов составит непрерывность трех измерений, но если ряды Σ и Σ’ считать различными, исключая тот случай, когда Σ’ = Σ + S + S’, где S и S’ обратимы, то совокупность рядов составит непрерывность более чем трех измерений.
В самом деле, пусть мы имеем в пространстве поверхность A, на этой поверхности линию B, на этой линии точку M; пусть C0 – совокупность всех рядов Σ; пусть C1 – совокупность всех таких рядов Σ, что в конце соответствующих движений палец находится на поверхности A; пусть также C2 и C3 – совокупности таких рядов Σ, что в конце палец оказывается на B и в M. Прежде всего, ясно, что C1 составит купюру, которая разделит C0, и что C2 будет купюрой, которая разделит C1, и C3 – купюра, которая разделит C2. Отсюда следует, по нашим определениям, что если C3 есть непрерывность n измерений, то C0 будет физической непрерывностью n + 3 измерений.
Пусть же Σ и Σ’ = Σ + σ будут два ряда, входящие в состав C3; для обоих в конце движений палец находится в M; отсюда следует, что в начале и в конце ряда σ палец находится в той же точке M; следовательно, ряд σ – один из тех рядов, которые соответствуют движениям, когда палец не шевелится. Если Σ и Σ + σ не считать различными, то все ряды C3 сольются в один, поэтому C3 будет иметь 0 измерений и C0, как я хотел доказать, будет иметь 3 измерения. Если же, напротив, Σ и Σ + σ я не считаю сливающимися (исключая тот случай, когда σ = S + S’, где S и S’ обратимы), то ясно, что C3 будет содержать в себе множество рядов различных ощущений, ибо при полной неподвижности пальца тело может принимать много различных положений. Тогда C3 образует непрерывность и C0 будет иметь более трех измерений, а это я и хотел доказать.
Не будучи еще знакомы с геометрией, мы не можем рассуждать таким образом; мы можем только констатировать. Но тогда возникает вопрос, как, еще не зная геометрии, мы научились отличать от других те ряды σ, где палец остается неподвижным; ведь в самом деле, только установив это различие, мы получим возможность рассматривать Σ и Σ + σ как тождественные, а только при таком условии, как мы видели, можно прийти к пространству трех измерений.
Мы научились различать ряды σ, потому что часто бывает, что когда мы совершили движения, которые соответствуют этим рядам мускульных ощущений σ, тогда осязательные ощущения, переданные нам нервом пальца, который мы назвали первым пальцем, продолжаются, и эти движения не изменяют их. Опыт учит нас этому, и только он один мог научить нас этому.
Ряды мускульных ощущений S + S’, образованные соединением двух обратных рядов, мы отличали потому, что они сохраняли совокупность наших впечатлений; если теперь мы различаем ряды σ, так это потому, что они сохраняют некоторые из наших впечатлений. (Когда я говорю, что ряд мускульных ощущений S «сохраняет» одно из наших впечатлений A, то я хочу сказать, что мы устанавливаем, что если испытываем впечатление A, а потом мускульные ощущения S, то мы еще будем испытывать впечатление A после этих ощущений S.)
Выше я сказал – часто бывает, что ряды σ не изменяют осязательных впечатлений, испытываемых нашим первым пальцем; я сказал – часто, но не сказал – всегда; это мы выражаем на нашем обычном языке, говоря, что осязательное впечатление не изменилось бы, если бы палец не пошевелился, при условии, что предмет A, который соприкасался с этим пальцем, также не пошевелился. Ранее знакомства с геометрией мы не можем дать этого объяснения; мы, можем только констатировать, что впечатление удерживается часто, но не всегда.
Но уже достаточно того, что оно часто удерживается, чтобы ряды σ представились нам примечательными, чтобы нам пришлось причислить к одному и тому же классу ряды Σ и Σ + σ и затем не считать их различными. При этих условиях, как мы видели, они произведут физическую непрерывность трех измерений.
Вот, следовательно, пространство трех измерений, порожденное моим первым пальцем. Каждый из моих пальцев породит ему подобное. Останется исследовать, как мы пришли к тому, что рассматриваем их как тождественные визуальному пространству и тождественные геометрическому пространству.
Но прежде чем идти дальше, мы остановимся на одном размышлении; по предыдущему мы узнаем о точках пространства или – более общо – о конечном положении нашего тела только при посредстве рядов мускульных ощущений, открывающих нам те движения, которые перевели нас из некоторого начального положения в это конечное положение. Но ясно, что это конечное положение будет зависеть, с одной стороны, от этих движений, а с другой стороны, от того начального положения, из которого мы вышли. Эти движения открываются нам нашими мускульными ощущениями; но нам неоткуда узнать о начальном положении; мы ничем не можем отличить его от всех других возможных положений. Вот что ясно доказывает существенную относительность пространства.
Итак, мы пришли к сравнению двух непрерывностей C и С’, которые произведены, например, одна при посредстве моего первого пальца D, другая при посредстве моего второго пальца D’. И та и другая из этих двух непрерывностей имеют три измерения. Каждому элементу непрерывности C или, если угодно, каждой точке первого осязательного пространства соответствует ряд мускульных ощущений Σ, которые заставляют меня переходить из некоторого начального положения в некоторое конечное положение. Сверх того, одна и та же точка этого первого пространства будет соответствовать Σ и Σ + σ, если σ представляет собой ряд, о котором мы знаем, что он не вызывает движения со стороны пальца D.
Также и каждому элементу непрерывности C или каждой точке второго тактильного пространства соответствует ряд ощущений Σ’, и одна и та же точка будет соответствовать Σ’ и Σ’ + σ, если σ’ представляет собой ряд, который не вызывает движения со стороны пальца D’.
Итак, различать ряды σ и σ’ нас заставляет то обстоятельство, что первые не изменяют осязательных впечатлений, испытываемых пальцем D, а вторые сохраняют впечатления, которые испытывает палец D’.
И вот что мы констатируем: вначале мой палец D’ испытывает ощущение A’; я делаю движения, которые вызывают мускульные ощущения S; мой палец D испытывает впечатление A; я делаю движения, которые вызывают ряд ощущений σ; мой палец D продолжает испытывать впечатление A, потому что таково характерное свойство рядов σ; затем я делаю движения, которые вызывают ряд мускульных ощущений S’, обратный S в том же смысле, какой мы дали этому слову выше. Тогда я констатирую, что мой палец D’ испытывает снова впечатление A’ (разумеется, для этого нужно, чтобы S был выбран надлежащим образом).
Это значит, что ряд S + σ + S’, сохраняющий осязательные впечатления пальца D’, есть один из тех рядов, которые я обозначил через σ’. Обратно, если взять какой-нибудь ряд σ’, то S’ + σ’ + S будет одним из тех рядов, которые мы обозначаем через σ.
Итак, если S надлежаще выбран, то S + σ + S’ будет рядом σ’ и, варьируя σ всеми возможными способами, можно получить все возможные ряды σ’.
Не будучи еще знакомы с геометрией, мы ограничиваемся констатацией этого, но вот как объяснили бы факт те, кто знает геометрию.
Сначала мой палец D’ находится в точке M в соприкосновении с предметом a, который сообщает ему впечатление A’; я делаю движения, соответствующие ряду S, я сказал, что этот ряд должен быть надлежаще выбран; я должен произвести этот выбор так, чтобы эти движения приводили палец D в точку, первоначально занимаемую пальцем D’, т. е. в точку M; таким образом, этот палец D будет соприкасаться с предметом a, который сообщит ему впечатление А.
Потом я делаю движения, соответствующие ряду σ; среди этих движений, по предположению, положение пальца D не меняется, следовательно, этот палец остается в соприкосновении с предметом a и продолжает испытывать впечатление А. Наконец, я делаю движения, соответствующие ряду S’. Так как S’ обратен S, то эти движения приведут палец D’ в точку, которую раньше занимал палец D, т. е. в точку М. Если, как это можно предположить, предмет a не пошевелился, то этот палец D окажется в соприкосновении с этим предметом и снова испытает впечатление A’, что и требовалось доказать.
Посмотрим, что отсюда вытекает. Я рассматриваю ряд мускульных ощущений Σ; этому ряду будет соответствовать одна точка M первого тактильного пространства. Теперь возьмем два ряда S и S’, взаимно обратные, о которых мы только что говорили. Ряду S + Σ + S’ будет соответствовать одна точка N второго тактильного пространства, потому что какому-нибудь ряду мускульных ощущений, как мы сказали, соответствует одна точка либо в первом, либо во втором пространстве.
Я намерен рассматривать две определенные таким образом точки M и N как соответствующие друг другу. Что дает мне право на это? Для того чтобы это соответствие было допустимо, нужно, чтобы при существовании тождества двух точек M и М’, соответствующих в первом пространстве рядам Σ и Σ’, было также тождество двух соответствующих точек N и N’ второго пространства, т. е. тождество двух точек, соответствующих двум рядам S + Σ + S’ и S + Σ’ + S’. И мы сейчас увидим, что это условие выполнено.
Сделаем сначала одно замечание. Так как S и S’ взаимно обратимы, то S + S’ = 0, следовательно,
S + S’ + Σ = Σ + S + S’ = Σ,
или еще
Σ + S + S’ + Σ’ = Σ + Σ’;
но из этого не следует, чтобы S + Σ + S’ = Σ, потому что, хотя мы и воспользовались знаком сложения для того, чтобы представить последовательность наших ощущений, однако ясно, что порядок этой последовательности не безразличен; поэтому мы не можем, как в обыкновенном сложении, менять порядок членов; короче говоря, наши операции ассоциативны, но не коммутативны.
Если так, то для того, чтобы Σ и Σ’ соответствовали той же самой точке М = М’ первого пространства, необходимо и достаточно, чтобы Σ’ = Σ + σ тогда будем иметь
S + Σ’ + S’ = S + Σ + σ + S’ = S + Σ + S’ + S + σ + S’.
Но мы только что констатировали, что S + σ + S’ есть один из рядов σ’. Следовательно, получим
S + Σ’ + S’ = S + Σ + S’ + σ’,
а это значит, что ряды S + Σ’ + S’ и S + Σ + S’ соответствуют одной и той же точке N = N’ второго пространства, что и требовалось доказать.
Итак два наших пространства соответствуют друг, другу, точка – точке; они могут быть «преобразованы» одно в другое; они изоморфны; как мы пришли к заключению об их тождестве?
Рассмотрим два ряда σ и S + σ + S’ = σ’. Я сказал, что часто, но не всегда, ряд σ сохраняет осязательное впечатление A, испытываемое пальцем D; а также часто (но не всегда) бывает, что ряд σ’ сохраняет осязательное впечатление A’, испытываемое пальцем D’. И я констатирую, что очень часто (т. е. гораздо чаще, чем то, что я сейчас назвал «часто») бывает, что если ряд σ сохранил впечатление A пальца D, то ряд σ’ сохраняет в то же самое время впечатление A’ пальца D’; и обратно – что если первое впечатление изменилось, то изменилось и второе. Это бывает очень часто, но не всегда.
Мы объясняем этот экспериментальный факт, говоря, что неизвестный предмет a, который вызывает ощущение A в пальце D, тождествен с неизвестным предметом a’, который вызывает ощущение A’ в пальце D’. И в самом деле, когда первый предмет шевелится, о чем нам дает знать исчезновение впечатления A, второй также шевелится, потому что впечатление A’ также исчезает. Когда первый предмет остается неподвижным, неподвижным остается и второй предмет. Если эти два предмета тождественны, то – так как первый находится в точке M первого пространства, второй же в точке N второго пространства, – это значит, что эти две точки тождественны. Вот как мы пришли к представлению о тождества этих двух пространств; или – лучше – вот что мы хотим сказать, когда говорим, что они тождественны. Сказанное только что о тождестве двух тактильных пространств избавляет нас от исследования вопроса о тождестве тактильного пространства и пространства визуального, так как он рассматривался бы тем же самым способом.
Можно подумать, что я скоро дойду до заключений, согласных с идеями эмпириков. Действительно, я старался изложить роль опыта и проанализировать те экспериментальные факты, которые оказывают влияние на происхождение пространства трех измерений. Но какова бы ни была важность этих фактов, есть одно обстоятельство, которого нам не следует забывать и на которое, впрочем, я не один раз обращал внимание. Эти экспериментальные факты сбываются часто, но не всегда. Очевидно, это не значит, что пространство часто, но не всегда имеет три измерения.
Я хорошо знаю, что легко отделаться от этого; если факты не подтверждаются, то это легко объяснить тем, что внешние предметы не остались неподвижными. Если опыт удается, то говорят, что он дает нам сведения о пространстве; если он не удается, то сваливают вину на внешние предметы, говоря, что они не остались неподвижными; другими словами, если он не удается, то применяют искусственный прием.
Эти ухищрения законны; я вполне согласен с этим; но раз они есть, то мы знаем, что свойства пространства не суть экспериментальные истины в собственном смысле этого слова. Если бы мы захотели оправдать другие законы, то могли бы также достигнуть этого, пользуясь другими аналогичными ухищрениями. Разве мы не могли бы всегда оправдывать эти ухищрения теми же самыми доводами? В крайнем случае нам могли бы сказать: «ваши ухищрения, без сомнения, законны, но вы злоупотребляете ими; к чему так часто заставлять двигаться внешние предметы?»
Словом, опыт не доказывает нам, что пространство имеет три измерения; он доказывает, что удобно приписывать ему три измерения, потому что именно таким образом число ухищрений сводится к минимуму.
Прибавлю, что опыт всегда заставлял нас приходить в соприкосновение только с пространством представлений, которое является физической непрерывностью, а не с геометрическим пространством, которое есть непрерывность математическая. Самое большее, он мог бы научить нас, что удобно наделять геометрическое пространство тремя измерениями, чтобы оно имело столько же измерений, сколько и пространство представлений.
Эмпирический вопрос может представиться в другом виде. Можно ли воспринимать явления физические, например механические явления, иначе, чем в пространстве трех измерений? Если нет, то мы имели бы, таким образом, объективное экспериментальное доказательство, так сказать, не зависящее от нашей физиологии, от наших способов представления.
Но это не так; я не стану рассматривать здесь вопрос полностью, а ограничусь тем, что напомню разительный пример, который дает нам механика Герца.
Известно, что великий физик не верил в существование сил в собственном смысле слова; он полагал, что видимые материальные точки подчинены некоторым невидимым связям, соединяющим их с другими невидимыми точками и что именно действие этих невидимых связей мы и приписываем силам.
Но это только одна часть его идей. Вообразим систему, составленную из n материальных – видимых или невидимых – точек; это даст всего-навсего 3n координат; будем рассматривать их как координаты единственной точки в пространстве 3n измерений. Эта единственная точка была бы принуждена оставаться на поверхности (какого-нибудь числа измерений, которое меньше 3n) в силу тех связей, о которых мы только что говорили; для того чтобы передвинуться на этой поверхности с одного места на другое, точка всегда избирала бы кратчайший путь; это был бы единственный принцип, который резюмировал бы всю механику.
Что бы ни думать об этой гипотезе – прельщаться ли ее простотой, возмущаться ли ее искусственностью, – достаточно одного того факта, что Герц мог придумать ее и считать ее более удобной, чем наши обычные гипотезы, чтобы доказать, что наши обычные идеи, и в частности три измерения пространства, ничуть не необходимо навязываются механику.
Следовательно, опыт сыграл только одну роль, он послужил поводом. Но тем не менее эта роль была очень важна, и я счел необходимым отметить ее. Эта роль была бы бесполезна, если бы существовала априорная форма, налагаемая на наше чувственное восприятие в виде пространства трех измерений.
Существует ли эта форма, или, если угодно, можем ли мы представить себе пространство более чем трех измерений? И, прежде всего, что означает этот вопрос? В прямом смысле слова ясно, что мы не можем представить себе ни пространства четырех, ни пространства трех измерений; прежде всего, мы не можем представить себе их пустыми, и так же мы не можем представить себе какой-нибудь предмет ни в пространстве четырех, ни в пространстве трех измерений: 1) потому что оба эти пространства бесконечны, и мы не могли бы представить себе фигуру в пространстве, т. е. часть в целом, не представляя себе целого, а это невозможно, потому что это целое бесконечно; 2) потому что оба эти пространства суть математические непрерывности, а мы можем представить себе только физическую непрерывность; 3) потому что оба эти пространства однородны, а те кадры, в которые мы заключаем наши ощущения, будучи ограниченными, не могут быть однородными.
Итак, поставленный вопрос можно понимать только одним образом можно ли вообразить, что при различных результатах опытов, которые были изложены выше, мы должны были бы приписывать пространству более чем три измерения – вообразить, например, что ощущение аккомодации не всегда находится в согласии с чувством схождения глазных осей или же что те опыты, о которых мы говорили в параграфе 2 и результат которых мы выразили в словах «осязание не действует на расстоянии», привели бы нас к обратному заключению.
И тогда очевидно: да, это возможно; в момент, когда воображают опыт, тем самым воображают два противоположных результата, которые он может дать. Это возможно, но и трудно, потому что нам надо преодолеть множество ассоциаций идей, являющихся плодом долгого личного опыта и еще более долгого родового опыта. Не эти ли ассоциации (или по крайней мере те из них, которые мы унаследовали от предков) составляют ту априорную форму, чистую интуицию которой мы будто бы имеем? Тогда я не вижу, почему же признавать ее не подчиняющейся анализу и лишать меня права искать ее происхождение.
Когда говорят, что наши ощущения «протяженны», то можно под этим подразумевать только одну вещь – это то, что они всегда оказываются ассоциированными с идеей известных мускульных ощущений, соответствующих тем движениям, которые позволяли бы достигнуть вызывающего их предмета, другими словами, которые позволяли бы защищаться от этих предметов. И именно потому, что эта ассоциация полезна для самозащиты организма, и является она столь древней в истории вида, именно поэтому она кажется нам извечной. Тем не менее это только ассоциация – и можно вообразить, что она нарушена; так что нельзя говорить, что ощущение не может войти в сознание без того, чтобы не войти в пространство, но можно сказать, что оно в действительности не входит в сознание без того, чтобы не войти в пространство, т. е. без того, чтобы эта ассоциация не захватила его.
Я не могу также понять, когда говорят, что идея времени логически следует за пространством, потому что мы можем представить себе время только в виде прямой; это почти то же, что сказать: время логически следует за обработкой полей, потому что обычно его представляют вооруженным косой. Что нельзя представить себе одновременно различные части времени, это само собой понятно, потому что существенное свойство этих частей – именно не быть одновременными. Но это не значит, что нет интуиции времени. Если бы было так, то не было бы также и интуиции пространства, потому что ведь и его невозможно представить себе в собственном смысле слова – по причинам, которые я высказал. То, что мы представляем себе под названием прямой, есть грубый образ, который так же плохо походит на геометрическую прямую, как и на время.
Почему говорят, что всякая попытка приписать пространству четвертое измерение всегда приводит последнее к одному из трех других? Это легко понять. Рассмотрим наши мускульные ощущения и те «ряды», которые они могут образовывать. Вследствие многочисленных опытов идеи этих рядов ассоциированы между собой в очень сложную связь, наши ряды классифицированы. Пусть позволят мне для удобства речи выразить мою мысль очень грубым и даже неточным способом; а именно – я говорю, что наши ряды мускульных ощущений классифицированы в трех классах, соответствующих трем измерениям пространства. Конечно, эта классификация на самом деле гораздо сложнее, но достаточно будет и этого, чтобы сделать понятным мое рассуждение. Если я пожелаю вообразить четвертое измерение, то я предположу другой ряд мускульных ощущений, составляющий часть четвертого класса. Но так как все мои мускульные ощущения уже были причислены к одному из трех предсуществующих классов, то я могу представить себе только ряд, принадлежащий к одному из этих трех классов, так что мое четвертое измерение сводится к одному из трех других.
Что это доказывает? То, что надо было бы прежде уничтожить прежнюю классификацию и заменить ее новой, где ряды мускульных ощущений были бы разложены на четыре класса. Трудность исчезла бы.
Иногда ее представляют в более разительном виде. Предположим, что я заперт в комнате между шестью непроницаемыми перегородками, образуемыми четырьмя стенами, потолком и полом; мне невозможно будет выйти из нее и вообразить, что я выхожу из нее. – Простите, не можете ли вы вообразить, что открывается дверь или что две из этих стен раздвигаются? – Но, конечно, ответят, нужно предположить, что эти стены остаются неподвижными. – Да, но очевидно, что я-то имею право шевелиться; и тогда стены, предполагаемые нами в абсолютном покое, будут относительно меня в относительном движении. – Да, но подобное относительное движение не может быть каким угодно, когда предметы в покое, – относительное движение их относительно каких-нибудь осей есть движение неизменного твердого тела; кажущиеся же движения, которые вы воображаете, не согласуются с законами движения неизменного твердого тела. – Да, но ведь только опыт научил нас законам движения неизменного твердого тела; ничто не помешало бы вообразить, что они различны. Короче говоря, чтобы представить себе, что я выхожу из своей тюрьмы, мне надо только представить себе, что стены кажутся раздвигающимися, когда я двигаюсь.
Поэтому я думаю, что если мы под пространством разумеем математическую непрерывность трех измерений, хотя бы аморфную, так это ум создает его, но создает не из ничего, ему нужны материалы и модели. Эти материалы и модели предсуществуют в нем. Но нет такой единственной модели, которая бы предписывалась ему; за ним выбор; он может выбирать, например, между пространством четырех и пространством трех измерений. В чем же тогда роль опыта? Он дает уму указания, согласно которым последний делает свой выбор.
Другое дело: откуда является у пространства его количественный характер? Он вытекает из той роли, которую играют в его происхождении ряды мускульных ощущений. Эти ряды могут повторяться, и именно от повторения их происходит число; пространство бесконечно именно потому, что они могут повторяться бесконечно. И наконец, мы видели в конце параграфа 3, что именно поэтому пространство относительно. Итак, именно повторяемость и дала пространству его существенные свойства; но повторяемость предполагает время; этого достаточно, чтобы сказать, что время логически предшествует пространству.
Я не говорил до сих пор о роли известных органов, которым физиологи основательно приписывают выдающееся значение. Я имею в виду полукружные каналы. Многочисленные опыты достаточно показали, что эти каналы необходимы для нашего чувства ориентировки; но физиологи не вполне согласны между собой: предложены две противоположные теории, одна – теория Маха – Делажа, другая – Циона.
Цион – физиолог, прославивший свое имя важными открытиями относительно иннервации сердца; однако я не могу разделять его идеи в вопросе, который нас занимает. Не будучи физиологом, я не решаюсь критиковать опыты, которые он направил против противоположной теории Маха – Делажа; однако мне кажется, что они не убедительны, потому что в большинстве из них давление изменялось во всем канале, тогда как – физиологически – изменяется разность давлений на двух концах канала; в других опытах органы были глубоко повреждены, что должно было изменить их функции.
Впрочем, это маловажно; если бы опыты были безупречны, то они могли бы убедительно говорить против старой теории – но не в пользу новой. В самом деле, если я хорошо понял теорию, то мне будет достаточно изложить ее, чтобы стало понятно, что невозможно вообразить опыт, который подтверждал бы ее.
У трех пар каналов была бы единственная функция – извещать нас, что пространство имеет три измерения. Японские мыши имеют только две пары каналов; по-видимому, они думают, что пространство имеет только два измерения, и обнаруживают это мнение удивительнейшим образом; они строятся в круг, причем каждая из них прячет свой нос под хвост предыдущей, и, построившись таким образом, они начинают быстро кружиться. Миноги, обладая только одной парой каналов, думают, что пространство имеет только одно измерение, но их проявления менее беспорядочны
Очевидно, что подобная теория неприемлема. Назначение органов чувств – извещать нас о тех изменениях, которые происходят во внешнем мире. Было бы непонятно, для чего творец дал бы нам органы, назначение которых беспрестанно кричать нам: помни, что пространство имеет три измерения, потому что число этих трех измерений не подлежит изменению.
Следовательно, мы должны вернуться к теории Маха – Делажа. Нервы каналов могут сообщать нам о разности давления на двух концах одного и того же канала, и, следовательно:
1) о направлении вертикали по отношению к трем осям, неизменно связанным с головой;
2) о трех слагающих ускорения поступательного движения центра тяжести головы;
3) о центробежных силах, развивающихся вследствие вращения головы;
4) об ускорении вращательного движения головы. Из опытов Делажа вытекает, что это последнее показание есть и самое важное – без сомнения, потому, что нервы менее чувствительны к разности давления самой по себе, чем к резким изменениям этой разности. Таким образом, тремя первыми показаниями можно пренебречь.
Зная ускорение вращательного движения головы в каждый момент, мы бессознательным интегрированием выводим отсюда окончательную ориентацию головы, отнесенную к некоторой исходной ориентации, принятой за начало. Следовательно, полукружные каналы, подобно мускульным ощущениям, помогают нам узнавать о сделанных нами движениях. Поэтому, когда выше мы говорили о ряде S или о ряде Σ, мы должны были бы сказать, что это были не только ряды мускульных ощущений, но ряды мускульных ощущений и ощущений, происходящих от полукружных каналов. Кроме этого добавления, нам не пришлось бы ничего изменять в предыдущем.
В этих рядах S и Σ ощущения полукружных каналов, очевидно, занимают весьма важное место. Однако их одних не было бы достаточно, потому что они могут извещать нас только о движениях головы, но ничего не говорят нам об относительных движениях туловища или членов по отношению к голове. Кроме того, кажется, что они извещают нас только о поворотах головы, но не об испытываемых ею поступательных движениях.