— А нельзя ли мне всё-таки получить кусок дыни побольше? — спросил Чит неприятным голосом.
— Можно. Но проси тогда, по крайней мере, 25 процентов. То есть четверть дыни.
— Отчего же так прямо и не попросить одну четверть?
— Твоя воля. Но вообще-то проценты иной раз удобнее, чем простые дроби. Вот, например, в одном классе успевающих учеников 3/4, а в другом 8/10. В каком классе успеваемость больше? Не знаешь? Конечно. Ведь знаменатели-то у них разные! А в процентах знаменатель всегда общий: 100. И сразу видно, что в одном классе успеваемость 75 процентов, а в другом — 80. Но оставим в покое успеваемость, — сказала Ари, указывая на лоток с пирожками. — Тут есть кое-что поинтересней.
Пирожки были и впрямь до того симпатичные, что Чит сразу слопал четыре и потянулся за пятым. Но Ари сказала, что он уже съел 20 процентов всех пирожков, и пятый достанется ему не прежде, чем он ответит, сколько пирожков осталось после его набега. Чит начал было пересчитывать их пальцем, но Ари повернула его спиной к лотку и потребовала, чтобы он решал задачу в уме. Тогда он стал «рассуждать логически» и пришёл к выводу, что если 20 процентов — это 4 пирожка, то 100 процентов в 5 раз больше. Иначе говоря, сперва на лотке было 20 пирожков: 4 × 5 = 20.
— И значит, теперь их осталось 16, — закончила Ари.
— Нет, пятнадцать, — засмеялся Чит и сунул в рот пятый пирожок.
Покончив с ним, он облизнулся и сказал, что проценты вообще-то штука вкусная, но название у них всё-таки непонятное. Пришлось Ари объяснить, что слово «процент» происходит от латинского «про центо» — «от ста». Слова эти вначале писали полностью: «pro cento». Потом их стали писать сокращённо: «procto». Затем «pro» отпало, но и «cto» писцы второпях писали так небрежно, что оно в конце концов превратилось в два кружка, разделённых косой палочкой. То есть в тот самый знак, которым обозначают проценты по сию пору: %.
— Подкрепился — пора и за работу! — сказала Ари и достала из кармана кубик. — Что это такое?
Чит снисходительно пояснил, что из таких кубиков он строил крепости в те давние времена, когда был маленьким.
— Надо понимать, теперь ты уже взрослый, — усмехнулась она. — Но коли так, пора тебе усвоить, что куб — геометрическое тело, все грани которого — квадраты. Не мешает также запомнить, что в кубе 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин, а объём куба равен кубу его ребра.
— Могу и запомнить. Но зачем?
— Чтобы построить куб вдвое большего объёма.
Чит деловито поискал глазами: из чего строить-то? Из фанеры? Или из картона? Но Ари посоветовала ему, перед тем как приступать к строительству, хорошенько подумать, каковы должны быть размеры нового куба.
— Что ж тут думать? — легкомысленно отмахнулся он. — Взять да удвоить ребро прежнего. Вот тебе и удвоение!
— Ты полагаешь? Что ж, проверим, — покорно вздохнула она. — Если принять ребро нашего куба за единицу, то объём его также равен единице. Потому что 13 = 1 × 1 × 1 = 1. Стало быть, объём нового куба должен быть равен двум. Но если удвоить ребро куба, как ты предлагаешь, то объём его будет равен двум в кубе. А 23 — это, к сожалению, 8, а не 2. 23 = 2 × 2 × 2 = 8.
Чит недовольно поморгал белёсыми ресницами. Как ни странно, он очень не любил попадать впросак. Но тут ему пришло в голову, что если объём нового куба должен быть равен двум, то найти длину его ребра сущие пустяки: стоит лишь извлечь корень третьей степени или, как говорят, корень кубический из двух!
— Совсем другое дело, — расцвела Ари. — Но…
— Какие могут быть «но»? — зарычал он.
— Но в том-то и беда, что извлечь нельзя. То есть можно, конечно, но никакого точного числа при этом не получится.
— Выходит, удвоить объём куба вообще невозможно?
— Разумеется! — засмеялась она. — Это знали ещё древние греки.
— Что ж ты сразу не сказала! — окончательно рассвирепел Чит.
— Чтобы ты убедился в этом на собственном опыте, а заодно познакомился с совсем особыми числами. С такими, значение которых нельзя выразить никаким целым и никаким дробным числом. Эти числа представляют длины таких отрезков, которые несоизмеримы ни с одной единицей измерения. К ним относятся известные уже тебе , и , и , и … Впрочем, таких чисел бесконечное множество, и называются они иррациональными, то есть несоизмеримыми — в отличие от соизмеримых, рациональных.
Последнее слово привело Чита в восторг: он узнал любимое выражение своего папы. Только и слышишь от него: «Воспитывать ребёнка надо рационально!.. Когда мы научимся рационально использовать время?.. В нашем доме понятия не имеют о рациональном питании…» Вот только при чём тут соизмеримость? Но Ари сказала, что ни при чём. Слово «рациональный» происходит от латинского «рацио» — «разум». Но одно и то же слово нередко имеет несколько значений. Вот и слово «рациональный» в обычном смысле означает «разумный», а в математическом — «соизмеримый»…
«Любопытно, знает ли об этом папа? — призадумался Чит. — Обязательно спрошу у него при случае».
На эту остановку они попали совсем не так, как на другие. Долго петляли по коридорам, пока не подошли к стене, густо увитой диким виноградом. Ари достала из кармана ключ, нащупала под листьями замочную скважину… Прозвенела нежная, короткая песенка замка… Потом потайная дверца в стене отворилась и впустила их в сад. Но какой! Такие бывают только во сне. Чит даже ущипнул себя, чтобы проверить, не спит ли он на самом деле.
— Что значит эта таинственность? — полюбопытствовал он.
— Только то, что мы попали к самым загадочным числам на свете, — ответила Ари. — К совершенным.
— Так вот почему здесь так красиво! — сообразил он. — Но чем эти числа отличаются от других?
— Тем, что равны сумме своих младших делителей. Вот хоть самое маленькое совершенное число 6. Какие у него делители?
— Один, два, три и шесть.
— Верно. Впрочем, 6 здесь не младший делитель. Младшие — те, что меньше самогó числа. Сложи их — и получишь сумму, равную шести, иначе говоря, самомý числу: 1 + 2 + 3 = 6.
— Как просто! — удивился Чит. — Не понимаю, отчего ты называешь совершенные числа загадочными?
— Где совершенство, там и загадки. Отыскать совершенное число — настоящий подвиг! К IV веку до нашей эры их знали два: 6 и 28. Следующие два — 496 и 8128 — обнаружил Эвклид. Этот выдающийся древнегреческий учёный очень интересовался совершенными числами и даже указал, каким способом их отыскивать. Но сам при этом вычислил всего два. Следующее, пятое совершенное число — восьмизначное — нашлось только через восемнадцать столетий после Эвклида, в XV веке нашей эры; шестое и седьмое — в XVII… При этом с каждым вновь найденным числом значность их поднималась как на дрожжах. Восемнадцатое совершенное число содержит уже около двух тысяч знаков! Между прочим, число это получено в 1957 году с помощью электронно-вычислительной машины. И даже ей потребовалось для этого пять часов. А ведь такие машины считают молниеносно. Иная тратит полтора десятка секунд на то, что опытный математик вычисляет за год.
— Ого! — изумился Чит. — Теперь небось совершенных чисел пруд пруди, раз их отыскивают машины?
— Всего-навсего 24,— сокрушённо вздохнула Ари. — И это при том, что возможности вычислительных машин постоянно растут.
— В чём же дело?
— Ты забываешь, что попутно с возможностями машин возрастает и значность совершенных чисел, а следовательно, и сложность их проверки. Последнее из найденных, двадцать четвёртое совершенное число содержит свыше двенадцати тысяч знаков.
Ух ты! Чит прямо за голову схватился. Можно себе представить, сколько знаков окажется в двадцать пятом! Но Ари сказала, что как раз это представить себе нельзя. Да и только ли это? Кто, например, скажет, конечно или бесконечно множество совершенных чисел? И есть ли на свете нечётные совершенные числа? И каково, в свою очередь, их множество: конечно оно или бесконечно? Этого не знает никто.
— Даже ты? — не поверил Чит.
— Даже я, — спокойно призналась она. — Поистине, совершенные числа — самые загадочные, самые неуловимые. Наверное, потому их так чтили в старину. В Древней Греции самый уважаемый гость на пиру непременно находился на шестом месте от хозяина. Особый, божественный смысл придавали шестёрке пифагорейцы. Много размышлял о ней древнегреческий философ Платóн. Таинственный смысл придавали древние и числу 28. Не случайно в академии поздних пифагорейцев было 28 членов. И заседали они в большом зале, окружённом двадцатью восемью отдельными комнатами… Как видишь, совершенные числа повлияли и на обычаи, и на верования, и на философию, и на архитектуру. А знаменитый средневековый учёный Алкуин связывал с ними даже судьбы человечества. На земле, говорил он, потому так много горя и зла, что после всемирного потопа род людской пошёл заново от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а число 8, увы, к совершенным не относится. Чрезвычайно уважали совершенные числа и служители христианской церкви. Долгое время считалось, что для спасения души достаточно изучать совершенные числа. А счастливцу, который найдёт новое совершенное число, обеспечено вечное блаженство на небесах…
— Ну, это уж чепуха на постном масле! — не выдержал Чит.
— Вот и я так полагаю, — согласилась Ари.
— А зачем же рассказываешь?
— Затем, что так думали люди прошлого. А не зная прошлого, не построишь и будущего. И ещё затем, чтобы ты понял, как много значат числа в жизни людей. Хотя в разные времена это и проявляется по-разному.
Что было! Чит попал на хоккей.
Играли команды с непонятными названиями: «Паскáлики» и «Фермáтики». Ребята отличные! Но правила у них все-таки чудные. В обычном хоккее как? Там есть постоянные тройки нападающих, и меняются они по указанию тренера. Не то в команде «Паскаликов»! Здесь почему-то тройка каждый раз выбирается заново из восьми нападающих под номерами 1,2,3,4,5,6,7,8.