Ещё на картине была башня, на которой висели песочные часы, весы, какие-то колокольчики и шахматная доска. Ари, впрочем, сказала, что это не шахматы, а совсем другая игра, числовая. Таких игр вообще-то немало, но эта — одна из самых древних и занятных: магический квадрат. Тогда только Чит заметил, что на доске не 64, а всего 16 клеток, и в каждой клетке какое-нибудь число, от 1 до 16. Числа эти по условию надо расположить так, чтобы сумма их была одинакова всюду: в каждом ряду, в каждом столбце и по диагоналям.
Нечего и говорить, что Чит мигом забыл о картине и захотел поиграть в магический квадрат. Ари не возражала, но дала ему доску не с шестнадцатью, а с девятью клетками: не то, сказала она, сидеть им здесь до следующего утра. При доске было девять фишек с числами от 1 до 9, и Чит, который всё начинал с натурального ряда, расставил фишки по порядку номеров.
Увы! Сумма чисел в первом ряду равнялась шести, а в первом столбце — двенадцати. Дальше и считать не стоило, и Чит перепробовал ещё несколько расстановок — всё с тем же плачевным результатом.
Тогда Ари сказала, что у него нет никакой системы и что, прежде чем расставлять фишки, не худо бы подумать, чему должна быть равна сумма чисел в каждом ряду. Для этого надо прежде всего подсчитать сумму их во всех трёх рядах, то есть попросту сумму всех чисел на фишках, а это 45: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Отсюда следует, что сумма в одном ряду (а значит, и в каждом столбце, и по каждой диагонали) должна быть равна пятнадцати (45 : 3 = 15). Вот теперь можно заняться расстановками, но… хватит ли у них времени? И не лучше ли отложить решение до «Щ»?
Чит согласился на это с радостью. Он тотчас забыл об игре и тут же снова вспомнил о картине. Оказалось, называется она «Меланхолия», и слово это можно толковать по-разному: мечтательность, раздумье, размышление. Последнее, пожалуй, лучше всего. Ведь во времена Альбрехта Дюрера (так звали создателя картины, великого немецкого художника XV–XVI столетий) склонность к размышлению считалась признаком гения, то есть высшей одарённости. А гениев, между прочим, всегда рисовали с крыльями — с лёгкой руки древних римлян, которые полагали, что у каждого человека есть свой гений, свой дух-покровитель. Чит подумал: может, гений — что-то вроде древнегреческой музы? Но Ари сказала, что муз всего девять, а гениев столько, сколько человеческих свойств и склонностей, стало быть, очень много.
— Отчего же изо всех многочисленных гениев Дюрер выбрал именно гения размышления? — поинтересовался Чит.
— Наверное, любил размышлять сам. Недаром он был не только замечательным художником, но и математиком, и механиком…
— Значит, у него был не один гений, а несколько сразу?
— Как видишь. К счастью, бывает и так.
Ари сообщила, что именно так называется следующая остановка, и Чит всю дорогу гадал, куда попадёт на сей раз? Может, в ботанический сад? Ведь корни бывают у растений! Зато степени — наверняка что-то научное. Папа, например, недавно защитил диссертацию на степень кандидата технических наук. Только вот как увязать это с зелёными насаждениями?
К счастью, ничего увязывать не пришлось. Потому что вместо ботанического сада Ари привела его на спортивную площадку, где стояла шведская стенка, да такая высокая, что верхушка её терялась в облаках! Чит бросился к ней с победным воплем и с ходу полез наверх. Но Ари сказала, что стенка от него никуда не денется и не угодно ли ему на минутку вернуться обратно? Да не только на землю, но и на прежнюю остановку! И тут в руках у неё появилась знакомая доска с девятью клетками.
— Что это такое? — спросила она.
Чит, понятно, ответил, что это магический квадрат. Но она заявила, что магическим он был на остановке «Игры числовые», а здесь превратился в обыкновенный, то есть просто в прямоугольник, где все стороны совершенно одинаковы. Конечно, каждую сторону квадрата можно разделить на сколько угодно равных частей. В этом квадрате все стороны разделены на три равные части. И если каждую часть принять за единицу, то можно сказать, что сторона квадрата равна трём единицам. Для того же, чтобы узнать, сколько всего клеток в этом квадрате, надо перемножить две его стороны, что равно девяти: 3 × 3 = 9.
— Вот мы и возвели число 3, как говорится, в квадрат — иными словами, во вторую степень, — заключила Ари. — Отсюда нетрудно понять, что возведение в степень — не только тройки, но и любого числа вообще — это попросту перемножение одинаковых множителей. Перемножение двух одинаковых множителей — вторая степень, или, квадрат числа, трёх множителей — третья степень, или, как говорят иначе, куб числа, четырёх — четвёртая степень, и так до бесконечности…
— Любопытно! — скривил губы Чит. — Выходит, чтобы возвести 3 в сотую степень, надо написать 100 троек и 99 знаков умножения?
— Глупости! — фыркнула Ари. — Довольно будет справа и чуть повыше тройки поставить маленькое 100. Вот так: 3100. Здесь — 3 основание степени, а 100 — показатель её.
— Основание, показатель… Где же сама-то степень?
— Разумеется, число, которое получится в результате перемножения. В данном случае — совсем пустяковое число, знаков эдак из пятидесяти, — невозмутимо пояснила Ари и без всякого перехода скомандовала: — Вот теперь лезь на стенку!
Чит только того и дожидался, но оказалось, что лезть надо не просто, а с умом. Все перекладины были перенумерованы от единицы до… Впрочем, стенка уходила за облака, так что последнего числа видно не было. Игра состояла в том, что Чит изображал основание степени. Ари называла показатель, после чего надо было возвестись в степень собственными ногами. Правда, основание не превышало четырёх, а показатель — трёх. Тем не менее попотеть Читу пришлось изрядно.
Сперва он был тройкой и возводился в первую степень, то есть просто поднялся на третью перекладину. Потому что всякое число в первой степени равно самому себе, а значит и 31 = 3. Затем Ари велела тройке возвестись в третью степень. Здесь пришлось вскарабкаться уже на двадцать седьмую перекладину: ведь 33 = 3 × 3 × 3 = 27. Потом Чит стал четвёркой и возводился в квадрат, для чего преодолел 16 перекладин. Но в третью степень он возводиться наотрез отказался. Не лезть же ему, в самом деле, на шестьдесят четвёртый этаж!
— Так и быть, — сжалилась Ари. — Возьмём игру полегче. Давай извлекать корни.
— Из земли?
— Нет, из чисел. Ты где сейчас? На шестнадцатой перекладине? Отлично. Извлечём из шестнадцати корень квадратный, то бишь корень второй степени.
Чит спросил, как это делается. Оказалось, очень просто. Надо с шестнадцатой перекладины спуститься на четвёртую, то есть найти число, которое при возведении в квадрат даёт 16.
— Значит, извлечение корня — действие обратное возведению в степень, — смекнул Чит.
И тут он сразу догадался, что корень третьей степени из двадцати семи равен трём. Но как это записать? Добрая Ари охотно нацарапала веточкой на земле «», попутно объяснив, что — знак извлечения корня, маленькое 3 над ним — показатель корня, а 27 — подкоренное число. Чит напомнил ей, что она забыла про тройку в ответе, но Ари сказала, что тройка и есть сам корень!
После этого Чит захотел поупражняться в записях. Он взял веточку, лихо нацарапал «» и, надо сказать, попал в цель сразу, хотя и не без маленькой ошибки. Как выяснилось, показатель корня 2 никогда не пишется. Почему? Да так уж условились. А потому писать следует просто .
Тут Ари предложила Читу возвести в пятую степень число 4 и извлечь корень третьей степени из числа 125. Решение, правда, было отложено до «Щ», и они пошли на следующую остановку.
Нельзя сказать, что Чит не слышал этого слова прежде: дома его упоминали постоянно! Мама, например, когда сердится на Чита, говорит, что у него странная логика. Папа, сердясь на маму, всегда повторяет, что логика у неё женская. А бабушка при этом поджимает губы и ворчит себе под нос, что у папы зато логика железная.
Неудивительно, что Чит поинтересовался, о какой логике пойдёт речь: о странной, женской или железной? Оказалось, ни об одной из трёх, а вовсе о четвёртой. О логике — науке правильно рассуждать.
— Да разве такая существует? — изумился он.
— Ещё бы! — воскликнула Ари. — Правильно рассуждать необходимо всем. И едва ли не более всего — математикам.
Чит спросил, с какой стати такое предпочтение математике? Разве она не такая же наука, как все?
— В том-то и дело, что не такая же, — сказала Ари. — Это остроумно доказывает венгерский математик Рéньи в книге, написанной в духе древнегреческих диалогов, то есть бесед. Греки — великие мастера по части рассуждений и доказательств, и, следуя им, Реньи выявляет особенности математики при помощи искусно поставленных вопросов. Познакомлю тебя с ними вкратце. Как ты думаешь, что такое медицина?
— Наука о болезнях, — ответил Чит.
— Сойдёт. А астрономия?
— Наука о звёздах, о планетах…
— Сойдёт и это. А как ты назовёшь человека, который ищет месторождения нефти, угля, руды?
— Геологом.
— Верно. Теперь скажи: если бы не было врачей, были бы болезни?
— Что за вопрос! Даже, наверно, ещё больше.
— А звёзды? Были бы звёзды, если бы не было астрономов?
— Ясное дело, были бы.
— А нефть, уголь, руда, были бы они, если бы не было геологов?
— Конечно. Как лежали в земле, так бы там и остались.
— Отлично! — Ари даже руки потёрла от удовольствия. — Можем мы теперь сказать, что и болезни, и звёзды, и природные ископаемые существуют на самом деле?
— Тут и спрашивать нечего.
— Выходит, учёные, которые ими занимаются, имеют дело с вещами действительно существующими. А с чем имеют дело математики?
— С числами.
— Но можешь ты сказать, что числа — ну, хотя бы натуральные — существуют на самом деле? Так же, как звёзды, болезни, ископаемые?