— Ммм… Наверное, могу, — замялся Чит. — Если бы натуральных чисел не было, как бы мы с тобой о них говорили?
— Ну, а дробные числа? — допытывалась Ари. — Если бы не было на свете математиков, были бы дробные числа?
— Не знаю, — растерялся он.
— Так и быть, помогу тебе, — сжалилась она и написала на бумажке дробь 4/5. — Видишь ты эту дробь?
— Вижу.
— Можешь её потрогать?
— Могу.
— Значит ли это, что она существует?
— Ты что, смеёшься? Мало ли что я нарисую! Может, Бабу-Ягу или Змея Горыныча. Но разве они существуют на самом деле?
— Стало быть, если число можно изобразить, это ещё не значит, что оно существует на самом деле. Где же, в таком случае, находятся дробные числа? Может быть, только в воображении математиков, которые их придумали?
— Ты хочешь сказать, что математика имеет дело с вещами воображаемыми, а другие науки — с действительно существующими?
— Именно! В самую точку! И вот в чём состоит главная особенность математики, главное отличие её от других, естественных наук. Заметь: Реньи доказал это с помощью логических рассуждений. Рассуждение и доказательство — главное оружие логики. Но рассуждение и доказательство также главное оружие математики. Понимаешь теперь, почему математика так нуждается в логике? Впрочем, с некоторых пор и логика без математики не обходится.
— Это как же? — удивился Чит.
— Сейчас объясню. Видишь ли, среди прочих удивительных свойств есть у математики и то, что она легко переводит любые понятия на свой язык. А язык чисел — самый точный и самый краткий на свете. И вот отчего им так охотно пользуются самые разные науки. Даже такие, казалось бы, далёкие от математики, как наука о литературе — литературоведение. В наши дни математика стала международным языком, на котором изъясняются самые разные отрасли знаний, в том числе и логика.
— Хотел бы я знать, кому это пришло в голову перевести логику на язык математики? — полюбопытствовал Чит.
— Как тебе сказать… Первую попытку применить математику в логике сделал итальянский монах Лýллий в XIII веке. В XVII веке этим вопросом занимался великий немец Лéйбниц. Но окончательно это удалось англичанину Бýлю только в XIX веке. Правда, открытие его дожидалось признания около ста лет. Зато теперь булева алгебра пользуется всеобщим уважением. Достаточно сказать, что она играет не последнюю роль в устройстве так называемых думающих машин. А это, пожалуй, самые сложные машины на свете!
Теперь они очутились на цветущем солнечном лугу. Здесь мирно пощипывали сочную зелёную траву коровы и овцы, резвились длинногривые лошади и тонконогие жеребята. Чит смотрел на них, но никак не мог понять, при чём тут множества? Да и вообще, что это такое?
Как ни странно, всезнающая Ари долго думала, прежде чем ему ответить, а потом сказала, что точного определения множеству, пожалуй, не подберёшь. Впрочем, представление о множестве всё-таки дать можно, и лучше всего на примерах.
— Погляди вокруг, — предложила она. — Что ты видишь?
— Коров. Лошадей. Овец.
— Все они вместе образуют множество домашних животных на этом лугу. В то же время лошади образуют своё, самостоятельное множество: множество лошадей. Овцы также образуют множество овец, коровы — множество коров. И все эти отдельные множества входят в множество домашних животных. Стало быть, мы имеем право сказать, что каждое из этих трёх множеств есть подмножество множества домашних животных, которые пасутся на этом лугу. Теперь взгляни на лошадей. Одинаковые они или разные?
— Разные. Белые, гнедые, вороные.
— Лошади каждой масти образуют своё множество, которое тоже есть подмножество множества лошадей. А вот дерево, подле которого бродит табун, — входит оно в множество лошадей?
— Пожалуй, нет. Я думаю, дерево входит в множество деревьев.
— Верно. Но можно сказать, что дерево входит в множество всего, что находится на этом лугу. Потому что в множества объединяются не только однородные, но и самые разнородные предметы.
— Хо-хо-хо! — закатился Чит. — Тогда всё, что лежит у меня в кармане, тоже множество?
— Конечно. Хотя представляю себе, что там лежит… А теперь скажи, сколько лошадей в этом табуне… то есть в этом множестве?
Чит насчитал 25 лошадей, и Ари сказала, что, стало быть, в этом множестве 25 элементов. А вот коров — 18. Значит, множество коров состоит из восемнадцати элементов. Множества, где число элементов ограничено, называются конечными.
— А есть и бесконечные? — сейчас же прицепился Чит.
— Есть.
— Небось число элементов в них сосчитать нельзя?
— У иных нельзя, у иных можно. Вот, например, множество чётных чисел бесконечное, но всё-таки счётное.
— Сомневаюсь, — сказал Чит. — Чётным числам, как и всем другим, конца нет. Как же их сосчитать?
— На деле, разумеется, не сосчитаешь. Но умозрительно, чисто теоретически, перенумеровать их можно:
А вот множество точек на отрезке прямой или окружности перенумеровать нельзя. Даже теоретически. Это множество бесконечное и несчётное. Ведь точка в геометрии не имеет никаких размеров. Это понятие воображаемое. И даже на самом крохотном участке прямой умещается такое же множество точек, как и на прямой, соединяющей Землю, скажем, с Луной.
— И ты берёшься это доказать?!
— Берусь, но лучше эдак годика через два.
— А можно множества складывать, вычитать? И тому подобное?
— Конечно. Только здесь свои правила. Впрочем, с ними тебя познакомят в школе.
— У, какая ты неразговорчивая стала! Объясни, по крайней мере, для чего нужны множества?
— Видишь ли, не всем научным открытиям находится применение сразу. Так было с булевой алгеброй. Так было и с теорией множеств немецкого учёного Георга Кáнтора. Долгое время их считали совершенно бесполезными. Но вот возникла кибернетика, появились думающие машины. И то, что казалось бесполезным, стало жизненно необходимым. Булева алгебра и теория множеств учат машины логически мыслить, правильно отбирать нужные сведения из множества множеств, объединяющих самые разные понятия…
— Постой, Ари, — недовольно перебил Чит, — ты совсем меня запутала! Что общего между булевой алгеброй и теорией множеств?
— Очень много. Во-первых, они пользуются одними и теми же математическими приёмами и правилами. Во-вторых, ты уже знаешь, что логика и математика вообще неразлучны. Они постоянно обогащают и совершенствуют друг друга. За примером недалеко ходить: исследуя бесконечные множества, учёные до того усовершенствовали логику своих рассуждений, что это положило начало новой отрасли математики — математической логике. Между прочим, таких заслуг у теории множеств порядочно. Можно смело сказать, что из неё вытекает чуть ли не вся современная математика. Но это уж разговор не для тебя. А мы ведь ещё не исчерпали множества остановок нашего маршрута!
так называлась очередная остановка, и Ари спросила, знает ли Чит, что это этакое. Он даже обиделся: что за вопрос?! Нуль — цифра, которой обозначают пустоту. В числе 408 нуль надо было поставить в разряде десятков.
— Верно, — сказала Ари, — но нуль не только цифра. Как все цифры, он ещё и число, притом с очень занятными свойствами. Про него даже стихи сочинили:
Нуль на месте на пустом
Ставят, как известно,
Только он при всём при том
Не пустое место.
Не похож он на пятак,
Не похож на рублик,
Круглый он, да не дурак,
С дыркой, да не бублик!
Чит пришёл от стихов в восторг, и ему захотелось узнать о нуле подробнее. Оказалось, родина нуля — Индия: именно там надумали ставить кружок в пустом разряде числа. Но некоторые учёные считают, что нуль появился раньше, вместе с вавилонской позиционной системой счёта. Только сначала он был невидимкой. Желая показать, что в разряде пусто, вавилоняне делали пропуск между цифрами соседних с ним разрядов. Вот как это выглядит в вавилонском числе 3604: . Конечно, такая запись нередко приводила к путанице, и со временем пустой разряд стали обозначать разделительным значком: . Правда, в конце числа вавилоняне нуля не ставили. Это добавление возникло в Греции, а утвердилось в Индии. Но именно благодаря ему десятичная позиционная система счёта приняла такой законченный вид. Между прочим, «кружок» по-индийски — «сýнья». Арабы перевели это слово на свой язык, где «кружок» — «сифр». Но потом словом «сифр» стали называть и все остальные девять цифр. Так возникло слово «цифра».
— А когда появилось слово «нуль»? — полюбопытствовал Чит.
— Гораздо позже, — сказала Ари. — Оно происходит от латинского «nullum» — «ничто». Но, как ни странно, «ничто» — самая важная цифра нашей счётной системы! Казалось бы, пустота, воздух — а какая сила! Нуль только тогда ничего не значит, когда стоит слева от числа. Но стоит ему стать справа — и число тут же увеличивается в 10 раз. Да и слева от числа нуль ничего не значит только до тех пор, пока справа от него не поставят запятой. А чуть запятая поставлена — и число сразу уменьшилось…
— …вдесятеро? — предположил Чит.
— Как когда, — возразила Ари. — В зависимости от того, сколько в числе знаков. Нуль с запятой перед однозначным числом уменьшит его в 10 раз. Вот, например, 01 — что это такое?
— Телефон пожарной команды.
— Да нет, что это за число?
— Просто единица.
— А 0,1 это уже одна десятая, то есть дробь. Только такие дроби называются десятичными, а не простыми. Нуль с запятой перед двузначным числом 11 уменьшит его уже в 100 раз, то есть превратит в одиннадцать сотых: 0,11. А 0,111 — это уже сто одиннадцать тысячных…
— Выходит, влево от запятой каждый следующий разряд вдесятеро больше предыдущего, а вправо — вдесятеро меньше, — подытожил Чит. — Значит, если мне вздумается уменьшить единицу сразу в 100 раз, придётся…