— Придётся вклинить между запятой и единицей ещё один нуль. Вот так: 0,01. Вот какая могущественная цифра нуль! А уж число нуль и совсем особенное. Да и опасное! Нуль со знаком умножения запросто уничтожает какое угодно большое число. Ведь всякое число, помноженное на нуль, тоже превращается в нуль! Делить на нуль и того рискованней. При этом непременно придётся иметь дело с числами-великанами из бесконечности. А с бесконечностью шутки плохи! Вот почему деление на нуль строжайше запрещено. Зато сам нуль ничего не боится! Его на что ни умножай, на сколько частей ни дели — он так нулём и останется.
— Круглый он, да не дурак! — сострил Чит. — А как ведёт себя нуль при возведении в степень?
— А ты сам подумай! Чему равен нуль в первой степени?
— Если рассуждать логически, — заважничал он, — нуль в данном случае число, а всякое число в первой степени равно самому себе. Значит, нуль в первой степени тоже равен нулю.
— Верно. Подумай теперь, чему равно любое число в нулевой степени. Вот хоть 5.
— Ммм… Наверное, тоже нулю. Ведь 5 при этом надо помножить само на себя нуль раз или попросту ни разу.
— А вот тут подвела тебя логика. Каким образом? Сейчас поймёшь. Но сперва познакомься с правилами умножения и деления степеней. Реши для начала такой пример: 23 × 22.
Чит взял блокнот и написал: «23 × 22 = 8 × 4 = 32».
— Правильно, — похвалила Ари, — но можно иначе. Взгляни на результат 32. Что это такое? Это 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25. Отсюда 23 × 22 = 25. Но 5 — это же сумма показателей перемножаемых степеней: 3 + 2 = 5. Значит, для перемножения степеней с одинаковыми основаниями достаточно сложить их показатели и возвести одно из оснований во вновь полученную степень: 23 × 22 = 25 = 32.
После этого Чит сам сообразил, что при делении степеней с одинаковыми основаниями надо вычислить разность показателей: 23 : 22 = 23–2 = 21 = 2.
— Вот теперь нетрудно понять, отчего любое число в нулевой степени равно не нулю, а единице, — сказала Ари. — Чему, по-твоему, равно 53 : 53? Ясно, что единице, поскольку единице равно всякое число, делённое само на себя. Но 53 : 53 = 53–3 = 50. А две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Отсюда 50 = 1.
Вслед за этим, «рассуждая логически», Чит заключил было, что если единице равно всякое число в нулевой степени, то единице равен и нуль в нулевой степени. Но Ари снова напомнила ему, что нуль хоть и число, да не всякое: у него своя логика! И потому 00, так же как 0 : 0, равны не единице, а совсем другому числу. В математике оно называется неопределённостью, потому что у него может оказаться любое числовое значение. Да, таков уж нуль! От этого товарища всегда жди каких-нибудь фокусов. Недаром в лабиринте чисел про него поют ещё и такую песенку:
У людей говорят:
«Не шути с огнём!»
А у нас говорят:
«Не шути с нулём!»
У нуля про запас
Сотни каверз и проказ,
Нужен глаз за ним
Да глаз!
— Помнится, на балете «Знаки арифметические» ты интересовался, какие такие отрицательные числа поминал Минус, — сказала Ари. — Пора открыть тебе эту страшную тайну.
И вдруг они непонятным образом опять очутились в знакомом театре. Только на сцене шёл уже другой балет: «Отрицательные и Положительные числа». Чит увидел два бесконечных, развёрнутых по одной прямой, ряда натуральных чисел, которые на первый взгляд отличались только направлением. Один из них протянулся вправо от единицы, другой — влево от неё. Правда, все числа левого ряда были помечены наверху знаком минус. Но оказалось, что как раз из-за этого несчастного минуса натуральными их никак не назовёшь. К натуральным относятся только числа правого ряда, где минусом и не пахнет. Это числа со знаком плюс, хотя пишется он лишь тогда, когда не мешает об этом особо напомнить.
Стало быть, несмотря на обманчивое сходство, ряды разные. Хотя есть между ними и кое-что общее. Числа их одинаково величают Целыми. Только в правом ряду это Целые Положительные числа, а в левом — Целые Отрицательные.
И тут обнаружилось, что на границе двух рядов, между Положительной и Отрицательной Единицами стоит ещё одно число: Нуль! Увидав его, Чит вскрикнул от радости. И то сказать, Нуль на сцене — удача неслыханная! С таким озорником, поди, не соскучишься… К сожалению, выяснилось, что никаких проказ от Нуля на сей раз ожидать не приходится, потому что в этом балете он выступает в роли строгого пограничника, разделяющего Положительные и Отрицательные числа.
Чит спросил: а сам-то нуль к каким числам относится — к положительным или отрицательным?
— Ни к тем, ни к другим, — отвечала Ари, — хотя и к целым.
Тогда Чит разразился новым вопросом: а зачем вообще нужны отрицательные числа?
— Чтобы можно было вычесть из меньшего числа большее.
— Но какой болван станет вычитать из меньшего большее?
— Ты! — засмеялась Ари. — Допустим, уличный градусник показывает 6 градусов выше нуля. Между тем по радио сообщили, что к ночи температура воздуха понизится на 10 градусов. Какая температура будет ночью?
— Четыре градуса мороза.
— Иначе говоря, четыре градуса ниже нуля, или просто минус четыре. Вот ты и вычел из шести десять, то бишь из меньшего числа большее, и получил отрицательное число «–4», которое, как и все отрицательные числа, меньше нуля.
Чит пренебрежительно хмыкнул. Выходит, отрицательные числа только для того и придуманы, чтобы измерять температуру? Но Ари сказала, что не только. Есть в математике такие задачи, где без отрицательных чисел не обойтись, и о них Чит узнает когда следует. А пока не пора ли ему перестать болтать языком и посмотреть наконец на сцену, где как раз начинаются действия с положительными и отрицательными числами.
Вот когда Чит убедился, какие строптивые эти отрицательные числа! Пожалуй, почище нуля. Всё-то у них не так, как у положительных. Начать с того, что положительное число чем дальше от нуля, тем больше, а отрицательное чем дальше от нуля, тем меньше. И вот почему сумма положительных чисел больше каждого из слагаемых, а сумма отрицательных меньше: 2+ + 3+ = 5+; 2– + 3– = 5–. Ведь число 5 отстоит дальше от нуля, чем 2– и 3–. Значит, оно меньше их.
То же и при вычитании. Когда из положительного числа вычитается положительное, разность меньше уменьшаемого: 8+ – 3+ = 5+. Когда же из положительного числа вычитается отрицательное, разность больше уменьшаемого: 8+ – 3– = 11+. То же и при вычитании из отрицательных чисел. Когда из отрицательного числа вычитается положительное, разность меньше уменьшаемого: 8– – 3– = 5–. А когда из отрицательного числа вычитается отрицательное, разность больше уменьшаемого: 8+ – 3+ = 5+.
Ещё более странные вещи происходят при умножении и делении. Ну, в том, что при перемножении и делении двух положительных чисел произведение получается тоже положительное, ничего удивительного нет: 3+ × 5+ = 15+; 15+ : 5+ = 3+. То, что произведение и частное положительного числа и отрицательного есть число отрицательное, тоже понять можно. Потому что умножение — это ведь просто сложение одинаковых слагаемых: 3– × 5+ = 3– + 3– + 3– + 3– + 3– = 15–, а деление — действие, обратное умножению: 15+ : 5– = 3–. Но каким образом при перемножении и делении двух отрицательных чисел произведение и частное оказываются вдруг положительными: 3– × 5– = 15+; 15– : 3– = 5+? Этого Чит так и не понял! Ари, правда, сказала, что тут он не одинок, поскольку объяснить это и впрямь очень не просто. Так что пусть уж пока поверит ей на слово.
Чит так и сделал, тем более что на сцене в это время происходило нечто из ряда вон выходящее. Две Пятёрки — Положительная и Отрицательная — вышли из своих рядов и медленно двинулись навстречу друг другу под зловещий треск барабанов. Вот они уже почти у пограничной черты… Вот между ними появился знакомый толстый Плюс… Трррах! Раздался оглушительный взрыв. Зрители дружно ахнули… А когда дым от взрыва рассеялся, оказалось, что вместе с ним испарились и обе Пятёрки. Чит спросил: куда они подевались?
— Взаимно уничтожились, — вздохнула Ари. — Так всегда бывает при сложении отрицательных и положительных чисел, которые находятся на одинаковом расстоянии от нуля: 5+ + 5– = 0.
Они вышли из театра и снова очутились на площади с балаганами. Здесь было по-прежнему шумно и весело. На лотках и в киосках громоздились всевозможные лакомства. Чего тут только не было! Конфеты, пирожные, фрукты. Особенно выделялся гигантский полосатый арбуз. Чит долго смотрел на него, а потом не выдержал и спросил, нельзя ли ему получить хоть кусочек?
— Пожалуйста, — любезно ответила Ари. — Но вместо кусочка проси один процент. Так уж здесь принято.
«Процент» оказался таким солидным, что Чит ушёл в него по уши. А когда вышел обратно, лицо его было сплошь перемазано арбузным соком. Это не помешало ему попросить ещё один процентик дыни. Но странное дело: вместо большого, толстого куска ему достался тонкий, как папиросная бумага. Чит так расстроился, что и есть не стал. Как же так: процент — один, а куски почему-то разные? Ари объяснила, что процент — одна сотая доля целого, принятого за сто единиц. А целое может быть всяким. И большим, и вовсе небольшим. Арбуз — громадный, дыня — маленькая. Не удивительно, что одна сотая арбуза не чета одной сотой дыни.