Занимательная игра, о которой мы сейчас будем говорить, имеет очень древнее происхождение. Она еще древнее, чем шахматы, хотя гораздо менее известна. Эта игра возникла четыре тысячи лет тому назад в Китае, где первоначально использовалась не для игры, а скорее для обучения. В несколько измененном виде она может служить занимательным развлечением.
Игра заключается в том, что складывают из определенных геометрических фигур, «танграмов», бесчисленное множество всевозможных силуэтов. «Танграмы» названы так оттого, что их придумал, по преданию, некий китаец Тан. Они вырезаются из черного картона или выпиливаются из дерева и представляют собой части квадрата, разделенного известным образом.
Вот как надо разрезать квадрат (рис. 87). Сначала соедините углы В и D, т. е. проведите диагональ BD. Затем соедините середины сторон ВС и DC, т. е. проведите линию KL. Точку А соедините с серединою KL, т. е. с точкой М, а точку М соедините с G, т. е. с серединой ЕВ. Затем К соедините с J (т. е. с серединой DE).
Рис. 87. Как разрезать квадрат на танграмы.
Рис. 88. Семь танграмов.
Теперь на квадрате есть все нужные линии, и вы можете вырезать по ним танграмы. У вас получаются следующие геометрические фигуры:
5 треугольников (2 больших, 1 средней величины и 2 маленьких); 1 квадрат и 1 параллелограмм (рис. 88). Чтобы привыкнуть к обращению с танграмами, перемешайте все семь танграмов и попытайтесь сложить из них тот квадрат, из которого они получились. Едва ли это удастся вам сразу. Но все же не сдавайтесь, а терпеливо ищите решение. Сложив квадрат, переходите к решению следующих «танграмных» задач.
Задачи эти заключаются в том, что из 7 упомянутых фигур необходимо составить определенный силуэт, причем: 1) нельзя накладывать один танграм на другой, хотя бы кончиком, 2) для каждого силуэта должны быть использованы все 7 танграмов. Вы найдете среди прилагаемых силуэтов довольно характерные и удачные изображения, несмотря на их простоту и угловатость контура. Недаром танграмными изображениями увлекались художники (Гюстав Доре), а Наполеон в своем невольном уединении на острове Святой Елены целые часы, говорят, проводил за этой «китайской головоломкой».
91. Игра на бильярде
Вы видите здесь геометрические силуэты двух игроков, склонившихся над бильярдным столом. Силуэты игроков и бильярдного стола сложены исключительно из танграмов; в состав каждого из этих трех силуэтов вошли все 7 танграмных фигур.
Можете ли вы указать, как эти фигуры сложены?
Рис. 89.
92. Оркестр
В нашем оркестре из 7 танграмов сложены рояль (1) и пианист, сидящий за роялем (2), и толстый трубач (3), и контрабас (4), и контрабасист (5), и пюпитр возле него (6), и барабанщик (7).
Как же составлены эти силуэты?
Рис. 90.
93. Восемь силуэтов
Сложите ряд танграмных фигур (рис. 91), которые изображают: девушку (1), кошку (2), женщину (3), собаку (4), корову (5), петуха (6), мышь (7), мужчину (8).
Рис. 91.
94. Еще шесть силуэтов
Попробуйте сложить из танграмов, нарисованных на рис. 92, геометрические силуэты: девушки, сидящей на траве (1), женщины, смотрящей в зеркало (2), головы в шляпе (3), Наполеона (4) и два силуэта краснокожих индейцев (5) и (6).
Рис. 92.
95. Где ошибка?
На рис. 93 собраны такие танграмные силуэты: бегущий мужчина (1), человек, заложивший руки за спину (2), бегущая женщина (3), человек с чашей (4), лошадь (5), лебедь (6), гусь (7), поросенок (8), рыба (9), галстук (10), револьвер (11), курительная трубка (12), кресло (13), курица (14), рубашка (15), могильный памятник (16), кружка (17), шапка (18), мостик (19), молоток (20), наковальня (21).
Рис. 93.
Одна из этих фигур изображена здесь неправильно: в таком виде, как она нарисована, ее невозможно сложить из танграмов. Укажите эту единственную фигуру.
96. Самая крупная фигура
Если вам удалось составить все или некоторые изображенные выше силуэты, ответьте на вопросы:
Какая из всех составленных вами фигур имеет самую большую площадь? Какая из них имеет наименьшую площадь?
97. 24 силуэта
Собранные на рис. 94 силуэты изображают: голландскую девушку (1), мужскую фигуру (2), молодую худощавую женщину (3), кланяющегося мужчину (4), горящую свечу (5), зайца (6), журавля (7), кошку (8), кенгуру (9), страуса (10), паровоз с тендером (11), женщину с сумочкой (12), парусную яхту (13), голову американца (14), автомобиль (15), мужчину на коленях (16), всадника на лошади (17), граммофон (18), женщину у зеркала (19), фигуру на коленях (20), сидячую фигуру (21), пожилую женщину (22), дом (23).
Как составлены все эти фигуры?
Рис. 94.
98. Размеры танграмов
Всмотритесь внимательно в те 7 танграмных фигур, которые помогли вам составить так много разнообразных силуэтов, и попробуйте ответить на вопрос:
Во сколько раз площадь каждой танграмной фигурки меньше площади того квадрата, из которого они были вырезаны?
99. Откуда взялась нога?
Вот два силуэта, сложенные из танграмов. Вы видите, что у одного силуэта есть нога, у другого нет. Между тем обе фигуры построены из одних и тех же семи танграмов! Откуда взялась нога у правой фигуры?
Рис. 95.
100. Два квадрата из одного
Мне привезли из Китая маленькую квадратную коробочку с танграмами, уложенными в ней вплотную двумя слоями; каждый слой представлял собой квадрат. Следовательно, из 7 танграмов можно сложить не только один квадрат, но и два одинаковых.
Как это сделать?
Решения задач 91-100
91. Вот так складывают фигуры из этой задачи.
Рис. 96.
92. Решение задачи видно из рис. 97.
Рис. 97.
93. А решение этой задачи показано на рис. 98.
Рис. 98.
94. Способ сложения силуэтов показан на рис. 97[9].
Рис. 99.
95. Все фигуры, изображенные на рис. 99[10], можно сложить из танграмов (рис. 100), за исключением одной — лебедя. На рис. 101 показано, какие очертания имеет фигура лебедя, если ее правильно составить из танграмов.
Рис. 100.
Рис. 101.
96. Все силуэты имеют одинаковую площадь, так как составлены из одних и тех же частей. Как бы ни различались между собой силуэты, все они представляют собой видоизменения первоначального квадрата и, конечно, равны ему по площади.
97. Решение задачи представлено на рис. 102.
Рис. 102.
98. Каждый из больших треугольников по площади равен 1/4 квадрата; средний треугольник вдвое меньше и, следовательно, равен 1/8 площади квадрата. Каждый маленький треугольник вдвое меньше среднего, и значит, его площадь равна 1/16 площади квадрата.
Параллелограмм и квадратик можно сложить из двух маленьких треугольников; следовательно, площадь каждой из этих фигур равна 1/8 площади исходного квадрата.
99. На рис. 103 показано, как составлены обе фигуры. Первая, безногая фигура, чуть-чуть толще второй — на узкую полоску, отрезаемую линией АВ. Зато вторая фигура имеет ногу, и площадь этой «ноги» в точности равна площади избыточной полоски.
Рис. 103.
100. Один из двух квадратов образуют два больших треугольника. Второй нетрудно сложить из остальных 5 танграмов.
Вторая сотня головоломок
Задачи из «Путешествия Гулливера»
Самые удивительные страницы в «Путешествии Гулливера по многим отдаленным странам» Джонатана Свифта, без сомнения, те, где описаны его необычайные приключения в двух странах: крошечных лилипутов и великанов «бробдингнегов». В стране лилипутов размеры — высота, ширина и толщина всех людей, животных, растений и вещей были в 12 раз меньше, чем у нас. В стране великанов наоборот, в 12 раз больше. Почему Свифт избрал именно число 12, легко понять, если вспомнить, что это как раз отношение фута к дюйму (автор «Путешествий» — англичанин). В 12 раз меньше, в 12 раз больше как будто не очень значительное уменьшение или увеличение. Однако природа и жизнь в этих фантастических странах поразительным образом отличалась от того, к чему мы привыкли. Зачастую различие это настолько озадачивает своей неожиданностью, что дает материал для головоломной задачи. Десяток подобных головоломок мы и хотим здесь предложить читателям.
101. Гулливер на довольствии у лилипутов
Лилипуты, читаем мы в «Путешествии», установили для Гулливера следующую норму отпуска продуктов:
«Ему будет ежедневно выдаваться столько съестных припасов и напитков, сколько достаточно для прокормления 1724 подданных страны лилипутов».
«Триста поваров, — рассказывает Гулливер в другом месте, — готовили для меня кушанье. Вокруг моего дома были поставлены шалаши, где происходила стряпня и жили повара со своими семьями. Когда наступал час обеда, я брал в руки 20 человек прислуги и ставил их на стол, а человек 100 прислуживало с пола: одни подавали кушанье, остальные приносили бочонки с вином и другими напитками на шестах, перекинутых с плеча на плечо. Стоявшие наверху по мере надобности поднимали все это на стол при помощи веревок и блоков».
Не объясните ли вы, из какого расчета получили лилипуты такой огромный паек? И зачем понадобился столь многочисленный штат прислуги для кормления одного человека? Ведь он всего лишь в дюжину раз выше ростом лилипутов? Соразмерны ли подобный паек и аппетит, если принять во внимание соотношение размеров Гулливера и лилипутов?
102. Бочка и ведро лилипутов
«Наевшись, — рассказывает далее Гулливер о своем пребывании в стране лилипутов, — я показал знаками, что мне хочется пить. Лилипуты с большой ловкостью подняли на веревках до уровня моего тела бочку вина самого большого размера, подкатили ее к моей руке и выбили крышку. Я выпил все одним духом. Мне подкатили другую бочку. Я осушил ее залпом, как и первую, и попросил еще, но больше у них не было».
В другом месте Гулливер говорит о ведрах лилипутов, что они были «не больше нашего большого наперстка».
Могли ли быть в стране, где все предметы меньше нормальных только в 12 раз, такие крошечные бочки и ведра?
Рис. 104. Бочки лилипутов.
103. Животные страны лилипутов
«Пятьсот самых больших лошадей было прислано, чтобы отвезти меня в столицу», — рассказывает Гулливер о стране лилипутов.
Не кажется ли вам, что 500 лошадей чересчур много для этой цели, даже принимая во внимание соотношение размеров Гулливера и лилипутских лошадей?
О коровах, быках и овцах лилипутов Гулливер рассказывает не менее удивительную вещь: уезжая, он попросту «посадил их в свой карман».
Возможно ли это?
104. Жесткая постель
О том, как лилипуты приготовили ложе своему гостю-великану, читаем в «Путешествии Гулливера» следующее: «Шестьсот тюфяков обыкновенных лилипутских размеров было доставлено на подводах в мое помещение, где портные принялись за работу. Из полутораста тюфяков, сшитых вместе, вышел один, на котором я мог свободно поместиться в длину и ширину. Четыре таких тюфяка положили один на другой, но на этой постели мне было так же жестко спать, как на каменном полу».
Почему Гулливеру было на этой постели так жестко? И правилен ли приведенный здесь расчет?
105. Триста портных
«Ко мне было прикомандировано 300 портных-лилипутов с наказом сшить мне полную пару платья по местным образцам».
Неужели нужна такая армия портных, чтобы сшить один костюм на человека, ростом всего в дюжину раз больше лилипутов?
106. Лодка Гулливера
Гулливер покинул страну лилипутов на лодке, которую случайно прибило к берегу. Лодка эта казалась лилипутам чудовищным кораблем, далеко превосходящим по размерам самые крупные суда их флота.
Рис. 105. Лодка Гулливера.
Не можете ли вы рассчитать приблизительно, сколько лилипутских тонн водоизмещения[11] имела эта лодка, если исходить из того, что она могла поднять груз в 20 пудов?
107. Исполинские яблоки и орехи
«Один раз, — читаем мы в «Путешествии Гулливера» к бробдингнегам (великанам), — с нами отправился в сад придворный карлик. Улучив удобный момент, когда я, прохаживаясь, очутился под одним деревом, он ухватился за ветку и встряхнул ее над моей головой. Град яблок, каждой величиной с хороший бочонок, шумно посыпался на землю; одно ударило меня в спину и сбило с ног…»
В другой раз «какой-то каверзный школьник запустил орехом прямо мне в голову и едва не попал, а брошен был орех с такой силой, что неминуемо размозжил бы мне череп, так как был почти как наша небольшая тыква».
Сколько примерно, по вашему мнению, могли весить яблоко и орех страны великанов?
Рис. 106. Яблоки великанов.
108. Кольцо великанов
В числе предметов, вывезенных Гулливером из страны великанов, было, по его словам, «золотое кольцо, которое королева любезно мне подарила, милостиво сняв его со своего мизинца и надев мне через голову на шею как ожерелье».
Возможно ли, чтобы колечко с мизинца, хотя бы и великанши, годилось Гулливеру как ожерелье? И сколько примерно должно весить такое кольцо?
109. Книги великанов
О книгах в стране великанов Гулливер сообщает следующие подробности:
«Мне разрешено было брать из библиотеки книги для чтения, но для того, чтобы я мог их читать, пришлось соорудить целое приспособление. Столяр сделал для меня деревянную лестницу, которую можно было переносить с места на место. Она имела 25 футов в вышину, а длина каждой ступеньки достигала 50 футов. Когда я выражал желание почитать, мою лестницу устанавливали футах в 10 от стены, повернув к ней ступеньками, а на пол ставили раскрытую книгу, прислонив ее к стене. Я взбирался на верхнюю ступеньку и начинал читать с верхней строчки, переходя слева направо и обратно шагов на 8 или на 10, смотря по длине строк. По мере того как чтение подвигалась вперед и строки приходились все ниже и ниже уровня моих глаз, я постепенно спускался на вторую ступеньку, на третью и т. д. Дочитав до конца страницы, я снова поднимался вверх и начинал новую страницу таким же манером. Листы я переворачивал обеими руками, что было нетрудно, так как бумага, на которой у них печатают книги, не толще нашего картона, а самые большие их фолианты — имеют не более 18–20 футов в длину».
Рис. 107. Книга великанов.
Соразмерно ли все это?
110. Воротники великанов
В заключение предлагаю вам задачу этого же рода, но заимствованную непосредственно из описания Гулливеровых приключений.
Рис. 108. Воротник великанов.
Вам, быть может, неизвестно, что номер воротничка есть не что иное, как число сантиметров в его окружности. Если окружность вашей шеи 36 см, то вам подойдет воротник только № 36; воротник номером меньше будет тесен, а номером больше — просторен. Окружность шеи взрослого человека в среднем около 40 см.
Если бы Гулливер захотел в Лондоне заказать партию воротников для обитателей страны великанов, то о каком номере шла бы речь?
Решения задач 101-110
101. Расчет был сделан совершенно верно, если не считать маленькой арифметической ошибки. Не надо забывать, что лилипуты представляли собой точное, хотя и уменьшенное подобие обыкновенных людей, а значит, имели нормальную пропорцию частей тела. Следовательно, они были не только в 12 раз ниже, но также в 12 раз уже и в 12 раз тоньше Гулливера. Объем их тела поэтому был меньше объема тела Гулливера не в 12 раз, а в 12 × 12 × 12, т. е. в 1728 раз. Вот почему лилипуты и решили, что Гулливеру нужен пакет, достаточный для прокормления 1728 лилипутов (у Свифта ошибочно указано число 1724).
Теперь понятно и то, для чего понадобилось так много поваров. Чтобы приготовить 1728 обедов, требуется не менее 300 поваров, при условии, что один повар-лилипут может сварить полдюжины лилипутских обедов. Соответственно большое число людей необходимо и для того, чтобы поднять такой груз на высоту Гулливерова стола, который был, как легко рассчитать, высотой в трехэтажный дом лилипутов.
102. Бочки и ведра лилипутов в 12 раз меньше наших не только по высоте, но и по ширине и толщине, а следовательно, их объем меньше в 12 × 12 × 12 = 1728 раз. В нашем ведре приблизительно 60 стаканов, и мы легко можем определить, что ведро лилипутов вмещало всего 60: 1728, или круглым числом 1/30 стакана. Это немногим больше чайной ложки и действительно не превышает вместимости крупного наперстка.
Если вместимость ведра лилипутов почти равна чайной ложке, то вместимость винного бочонка, даже если он был 10-ведерный, не превышала стакана. Не удивительно, что Гулливер не мог утолить жажду даже двумя такими бочками.
103. Мы уже подсчитали в первой задаче, что Гулливер по объему тела был больше лилипутов в 1728 раз. Разумеется, он был во столько же раз и тяжелее. Перевезти его тело на лошадях лилипутам было так же трудно, как перевезти 1728 лилипутов. Отсюда понятно, зачем в повозку с Гулливером понадобилось впрячь так много лошадей.
Животные страны лилипутов были тоже в 1728 раз меньше по объему и, значит, во столько же раз легче. Наша корова имеет высоту аршина два и весит 50 пудов. Корова лилипутов была меньше трех вершков роста и весила 50: 1728 пуда, т. е. немногим больше одного фунта. Разумеется, такую игрушечную корову можно при желании уместить в кармане.
«Самые крупные их лошади и быки, — вполне правдоподобно рассказывает Гулливер, — были не выше 4–5 дюймов, овцы около 11/2 дюйма, гуси величиной с нашего воробья и т. д. до самых мелких животных. Их мелкие животные были почти не различимы для моих глаз. Я видел, как повар ощипывал жаворонка величиной с нашу обыкновенную муху, если не меньше; в другой раз молодая девушка при мне вдевала невидимую нитку в невидимую иглу».
104. Расчет сделан вполне правильно. Если тюфяк лилипутов в 12 раз короче и в 12 раз уже тюфяка обычных размеров, то поверхность его в 12 × 12 раз меньше поверхности нашего тюфяка. Чтобы улечься, Гулливеру нужно было, следовательно, 144 (круглым счетом 150) лилипутских тюфяка. Но такой тюфяк очень тонок — в 12 раз тоньше нашего. Теперь понятно, почему даже 4 слоя подобных тюфяков не сделали ложе достаточно мягким. Тюфяк получился втрое тоньше, чем наш обыкновенный.
105. Поверхность тела Гулливера была не в 12 раз больше поверхности тела лилипутов, а в 12 × 12, т. е. в 144 раза. Это станет ясно, если мы представим себе, что каждому квадратному дюйму поверхности тела лилипута соответствует квадратный фут поверхности тела Гулливера, а в квадратном футе 144 квадратных дюймов. Раз так, то на костюм Гулливера должно было пойти в 144 раза больше сукна, чем на костюм лилипута, и, значит, соответственно больше рабочего времени. Если один портной шьет костюм за 2 дня, то, чтобы сшить за один день 144 костюма (или один костюм Гулливеру), могло понадобиться около 300 портных.
106. Лодка Гулливера могла поднять 20 пудов; следовательно, ее водоизмещение — 20:60 = 1/3 тонны. Тонна — это вес кубического метра воды; значит, лодка вытесняла 1/3 м3. Но все линейные меры лилипутов в 12 раз меньше наших, кубические же в 1728 раз. Легко сообразить, что 1/3 нашего кубометра заключала около 575 кубометров страны лилипутов, и что лодка Гулливера имела водоизмещение 575 т (или около того, так как исходное число 20 пудов мы взяли произвольно).
В наши дни, когда океаны бороздят суда в десятки тысяч тонн, корабль таких размеров никого не удивит, но нужно иметь в виду, что в те времена, когда было написано «Путешествие Гулливера» (в начале XVIII века), суда водоизмещением в 500–600 т были редкостью.
107. Легко рассчитать, что яблоко, которое весит у нас около четверти фунта, в стране великанов должно было весить, соответственно своему объему, в 1728 раз больше, т. е. 432 фунта, или почти 11 пудов! Такое яблоко, ударив человека в спину, едва ли оставит его в живых, так что Гулливер отделался невероятно легко от угрожавшей ему опасности быть раздавленным 11-пудовым грузом.
Орех страны великанов должен весить фунтов 8–9, если принять, что наш орех весит около 1/2 золотника; в поперечнике исполинский орех мог иметь дюйма 4. Восьмифунтовый твердый предмет, брошенный со скоростью орешка, человеку нормальных размеров неминуемо должен был размозжить голову. И когда в другом месте Гулливер рассказывает, как в стране великанов был сбит с ног обыкновенным градом и что градины «жестоко колотили по спине, по бокам и по всему телу, словно большие деревянные шары, какими играют в крокет», то это вполне правдоподобно, потому что каждая градина страны великанов должна весить не меньше нескольких фунтов.
108. Поперечник мизинца человека нормальных размеров около 11/2 см. Умножив на 12, получим размер кольца великанши в поперечнике: 11/2× 12 = 18 см: кольцо с таким просветом имеет окружность 18 × 31/7 = 56 см. Это вполне достаточные размеры, чтобы возможно было просунуть через него голову нормальной величины (в чем легко убедиться, измерив бечевкой окружность головы в самом широком месте).
Рис. 109. Кольцо королевы великанов вполне могло сойти за ожерелье.
Если обыкновенное колечко весит, скажем, один золотник, то кольцо такого же фасона из страны великанов должно весить 1728 золотников, т. е. немногим меньше полупуда.
109. Если исходить из размеров современной книги обычного формата (25 см длиной и 12 см шириной), то описанное Гулливером представится несколько преувеличенным. Чтобы читать книгу высотой менее 3 м и шириной менее полутора метров, можно обойтись без лестницы и нет надобности ходить вправо и влево на 8 — 10 шагов. Но во времена Свифта, в начале XVIII века, формат книг (фолиантов) был гораздо больше, чем теперь. «Арифметика» Магницкого, например, вышедшая при Петре Великом, имела около 30 см в высоту и 20 см в ширину. Увеличивая эти величины в 12 раз, получаем для книг великанов внушительные размеры: 360 см (почти 4 м) в высоту и 240 см в ширину (21/2 м). Читать четырехметровую книгу без лестницы нельзя; но и тут не пришлось бы, переходя от одной строки к другой, делать 8—10 шагов, так что последняя подробность у Свифта, безусловно, является преувеличением.
Подобный фолиант должен весить в 1728 раз больше нашей обычной книги, т. е. пудов 70–80. Считая, что в нем 500 листов, получаем, что каждый лист книги великанов весил 11–13.
Буквы в книгах великанов имели 2–3 см высоты; читать столь крупную печать с расстояния 10 футов, как это делал Гулливер, очень удобно.
110. Окружность шеи великана больше окружности шеи нормального человека во столько же раз, во сколько раз больше ее поперечник, т. е. в 12 раз. И если нормальному человеку нужен воротник № 40, то для великана понадобился бы воротник с номером 40 х 12 = 480.