Время переменных. Математический анализ в безумном мире — страница 2 из 6

XVIВ литературных кругах

Коктейльная вечеринка. Напиток в руке, светский разговор, можно разглядывать красивых девушек. Все это довольно приятно, пока кто-нибудь не спросит, чем я занимаюсь. Если смотреть на то, как меняются лица собеседников во время моего ответа, можно подумать, что я говорю: «Я член мафии», или «Я коррумпированный судья», или «Я путешественник во времени, которого послали предотвратить апокалипсис, для чего надо убить всех присутствующих на этой вечеринке».

В действительности я отвечаю: «Я учитель математики».

Понятно, мы с коллегами не всегда воздаем должное красоте нашего предмета. Я говорю слово «круг», и немногие студенты вспоминают стихи Джона Донна: «Но если ты всегда тверда / Там, в центре, то должна вернуть / Меня с моих кругов туда, / Откуда я пустился в путь»[29] – или представление Паскаля об устройстве Вселенной: «Вселенная – это не имеющая границ сфера, центр ее всюду, окружность – нигде»[30]. Нет, в голову приходят наполовину заученные формулы. Задачи из учебника. Бесконечные цифры после запятой в числе π.

Я чувствую себя обязанным защитить честь своего предмета, доказать, что он принадлежит к перекрывающим друг друга кругам Эйлера. Поэтому я делаю то, что сделал бы любой на моем месте: со скоростью голодного зверя хватаю порцию еды со стола с закусками.

– Какова площадь этого куска огурца? – требую я ответа.

Тот, кто бросил мне вызов, хмурится:

– Это странный вопрос.

– Вы правы! – кричу я. – Это странный вопрос, потому что площадь определяется с помощью крошечных квадратиков – квадратных дюймов, или квадратных сантиметров, или даже квадратных миллиметров, – а этот круглый ломтик огурца не может быть разделен на квадратики. Из-за закругленных краев его площадь трудно измерить. Поэтому… что же нам делать?

В этот момент я вооружаюсь ножом. Возможно, мой собеседник пугается, но, если мне повезет, он увидит, что я имею в виду.

– А! – восклицает он. – Мы можем порезать его на кусочки!

И мы режем несчастный огурец, как крошечный пирог, так, чтобы получилось восемь маленьких ломтиков. Расположив их иначе, мы получаем фигуру другой формы, но имеющую ту же площадь, что и первоначальный кусок огурца.

– Это почти прямоугольник, – отмечает мой оппонент. – А площадь прямоугольника найти просто. Нужно только умножить его высоту на ширину.

– Так какой же будет высота и ширина? – спрашиваю я.

– Ну, ширина – это, должно быть, половина длины окружности огурца. А высота, наверное, радиус огурца.

– Так задача решена?

– Не-а, – отвечает он. – На самом деле это не прямоугольник. Он неровный. Искаженный.

– Специальный термин, – объясняю я, – это «колеблющийся». Так что же нам делать?

Размышляя в этом направлении, мы берем еще один кусок огурца и рассекаем его на 24 еще более тонких ломтика. После их тщательного раскладывания получается фигура подобной формы, только слегка менее колеблющаяся, чуть менее шатающаяся. Другие гости смотрят на нас с благоговейным страхом и восхищением или, возможно, с жалостью и отвращением – я никогда не мог определить разницу.

– Теперь он более прямоугольный! – говорит мой собеседник. – Но еще не совсем.

Так что мы берем еще один ломтик огурца и нарезаем его еще тоньше.

– Теперь это прямоугольник? – спрашиваю я.

Вздох:

– Нет. Он все еще колеблется по высоте и шатается по ширине. Все эти загибы здесь, пусть даже они стали микроскопическими.

– Специальный термин, – объясняю я, – это «малипусенький».

– Надо нарезать огурец на неисчислимые ломтики, каждый из которых бесконечно мал, – говорят мне. – Это единственный способ создать прямоугольник. Но… это невозможно.

Мой оппонент колеблется:

– Не так ли?

Возможно это или нет, но математик по имени Евдокс сделал это еще 24 века назад, на территории, где в наши дни находится Турция. Мы называем такой подход «методом исчерпывания» не потому, что он что-то исчерпывает, а потому, что определенное расхождение постепенно исчезает, или «исчерпывается». Это расхождение между приближением (колеблющимся прямоугольником) и тем, к чему он стремится (идеальным, свободным от колебаний прямоугольником). Проследуем по этому логическому пути до конца, и мы увидим, что площадь круга – это то же самое, что площадь прямоугольника: произведение радиуса и половины длины окружности.

Или, если вы предпочитаете уравнения:

На столовой салфетке мы набросали интеграл в зачаточном виде. Рассечь проблемный объект на неисчислимые части, каждая из которых бесконечно мала; переместить их, сложить более простую совокупность и из этого перемещения сделать выводы о первоначальном объекте – эти шаги формируют шаблон, наметки интегрального исчисления.

Возможно, к этому моменту у моего собеседника кончилось вино. Вполне справедливо. Мы обмениваемся кивками и визитными карточками, чтобы больше никогда не встречаться. Предполагаю, именно для этого визитные карточки и служат – всеобщий знак, заменяющий слова «прощайте навсегда!».

Или, возможно, любопытство моего оппонента только усилилось. Он снова наполняет мой бокал, я набиваю карманы сыром, и, глубоко вдохнув, мы снова погружаемся в математику.

– Крутая формула! – говорит он. – Но это не совсем то, что я учил в школе.

– Это потому, что мы определили площадь через длину окружности, – говорю я. – А мы еще не нашли, чему равна длина окружности.

– Так как же мы это сделаем?

Вначале мы совершим небольшой экскурс в историю. Основополагающий древнекитайский трактат по математике называется «Математика в девяти книгах». Я считаю, что давать ему такое прозаическое название было просто стыдно. Другие древнекитайские математические тексты называются как-то вроде «Эссе о бассейне мечты» или «Яшмовое зеркало четырех первоэлементов». Составлявшиеся в течение нескольких веков «Девять книг» содержат в себе всё – от арифметики до геометрии и операций с матрицами, это математическая библия, обладающая неизмеримой глубиной и полнотой.

Есть только одна проблема: в ней напрочь отсутствуют объяснения. Это просто набор процедур без малейшего намека на конкретные случаи или разработку. На мой взгляд, самый худший вид учебника.

Тут на сцену выходит математик III в. Лю Хуэй. Он не был автором «Математики в девяти книгах»; он написал к ним комментарии, совсем как принц-полукровка в романе Джоан Роулинг; он был вдумчивым читателем, снабдившим примечаниями старый пыльный текст и таким образом вдохнувшим в него новую жизнь.

Оригинальная книга обходила стороной вопрос о длине окружности. Лю Хуэй был не таким человеком, чтобы не обращать на него внимания. Идя по его стопам, я набираю горсть зубочисток из фруктовой нарезки и располагаю их в виде треугольника на огуречном кружке.

– Вот! – заявляю я. – Длина окружности!

Мой собеседник поднимает бровь.

– Каждая сторона треугольника, – объясняю я, – это длины диаметра. Таким образом, весь периметр – это или приблизительно 2,6.

– Но это периметр треугольника, – отвечает он. – Не окружности.

– Естественно, – отвечаю я. – Кто может измерить кривую? Мы только можем приблизить ее к прямым линиям.

– Ну, если таков ваш подход, – говорит он с усмешкой, – вам лучше закончить чем-то подобным.

Быстрая перестановка удваивает количество сторон в моей фигуре с трех до шести.

– Шестиугольник, – заявляю я. – Да. Теперь периметр этой фигуры равен трем диаметрам. И это действительно длина окружности, не так ли?

Едва ли. Мы только воссоздали предположение из оригинальной «Математики в девяти главах». Тем не менее, если еще немного поделить и разложить, мы последуем за Лю Хуэем и получим фигуру с 12 сторонами.

Немного тригонометрических вычислений на коленке, и мы узнаем, что периметр 12-угольника равен 3√^– 6 − 3√^– 2, или приблизительно 3,11.

Уже лучше. Но все еще не длина окружности. Не точно.

«Делите снова и снова, пока не настанет момент, когда дальше делить будет невозможно, – писал Лю Хуэй. – В результате мы получим правильный многоугольник, вписанный в окружность, и не останется никаких пустых участков». На самом деле этот процесс никогда не завершится, но он приближает к истине. Зубочистки ломаются на все меньшие и меньшие кусочки, где-то в конце вечности процесс достигнет апогея, и у нас будет неисчислимое множество кусков, каждый из которых является бесконечно малым. Все вместе они составят длину окружности.

Лю Хуэй дошел до многоугольника со 192 сторонами. В V в. его последователь Цзу Чунчжи сделал даже больше – 3072 стороны, и это позволило ему добиться такой точности, которую в течение следующего тысячелетия не смог превзойти никто. Длина окружности, по оценке Цзу, составляла 3,1415926 диаметра.

Знакомые цифры?

Сегодняшние поклонники числа π, бурно отмечающие его день и страницами заучивающие знаки после запятой, не первые в своем страстном увлечении. В XV в. индийские и персидские исследователи заложили зачатки математического анализа, определив число π с точностью до 15-го знака после запятой. В 1800-х гг. упрямец Уильям Шэнкс потратил десять лет своей жизни на то, чтобы вычислить 707 знаков, причем первые 527 из них действительно оказались правильными. Сегодняшние суперкомпьютеры могут рассчитать число π с точностью до миллиардного знака; если все эти цифры распечатать, а страницы с ними переплести, то получится библиотека, по размеру сопоставимая с гарвардской и такая же скучная.

Если учесть, что ряд чисел бесконечен, мы нисколько не приближаемся к концу. И все эти знаки совершенно бесполезны, нам никогда не понадобится ни один из тех, что находятся дальше первых нескольких десятков. Так почему же число π так нас завораживает?

Причина, думаю, очень проста. Люди что-то видят, и людям нужно это измерить. Круг – это неотъемлемая и неподатливая часть нашей реальности, как масса Земли, расстояние до Луны или количество звезд в Галактике. Даже более неподатливая, чем другие, потому что число π не меняется со временем. Оно остается константой логического мироздания. Поэт и лауреат Нобелевской премии Вислава Шимборская посвятила числу π гимн. Она писала: «ибо небо и земля прейдут, / но не Пи, только не оно, / оно продолжается пять, / уходит восемь, / не останавливаясь семь, / стремя, о, стремя беспечную вечность / все дальше»[31].

Математики Античности рассекали окружность на неисчислимые куски, каждый из которых был бесконечно малым. Они делали это, чтобы лучше познать целое – площадь из клочков, длину окружности из обломков. Оглядываясь назад, мы можем распознать в этих попытках древних математиков то, чем они и являлись, – начало интегрального исчисления.

Я назвал часть своей книги, посвященную интегральному исчислению, «Вечности» в основном потому, что таким образом получается поэтическая пара названию «Мгновения». Кто-то другой мог бы назвать эти истории об интегралах «Эпопеи», «Совокупности», «Океаны» или…

Где-то в этот момент мой собеседник опускает глаза. Я следую за ним взглядом и вижу, что ковер засыпан обломками зубочисток и кусочками огурцов.

– Наверное, мы должны все это убрать, – говорю я.

Но к тому времени, когда я заканчиваю предложение, мой соратник уже исчезает, оставив после себя один-единственный след: прямоугольник, скользнувший в мою руку так незаметно, что я даже до сих пор его не замечал, – визитную карточку.

XVIIВойна, мир и интегралы

«Война и мир» Льва Толстого – произведение настолько великое, настолько масштабное и настолько изнурительно длинное, что даже спустя 150 лет после его выхода в свет первые читатели только подбираются к концу этого эпохального романа. Кажется, они под впечатлением. «Если бы сам мир мог писать, – отмечал Исаак Бабель, – он бы писал, как Толстой». Среди шести квинтиллионов страниц романа скрыты мысли Толстого о самом его творении, о том, что это значит – писать историю целой цивилизации. И его выбор метафоры – скажем так – может удивить обыкновенного читателя:

Для изучения законов истории мы должны изменить совершенно предмет наблюдения, оставить в покое царей, министров и генералов, а изучать однородные, бесконечно малые элементы, которые руководят массами[32].

Эта своеобразная математическая фраза – «бесконечно малые элементы» в нескончаемом ряду – не случайная оговорка, сорвавшаяся с языка. Толстой говорит об интегралах.

Представьте себе битву. Встречаются две армии, одну из них ждет победа. «Военная наука, – говорит Толстой, – принимает силу войск тождественною с их числительностью»[33]. Армия из 10 000 человек в два раза сильнее, чем армия из 5000, в десять раз сильнее войска из 1000 человек и в 1000 раз сильнее, чем десяток попавшихся на вступительные ритуалы братства новобранцев только что из колледжа. Так что число о чем-то говорит.

Но Толстой усмехается. Он проводит аналогию с физикой. Какое пушечное ядро взрывается с большей силой: то, которое имеет массу десять килограммов, или то, которое весит пять килограммов? Понятно, что это зависит от того, с какой скоростью они движутся. Если я запущу легкое ядро и прокачу по ковру более тяжелое, то разница в массе не будет иметь значения. Более легкий объект окажется более мощным, а более тяжелый – безвредным.

То, что оказывается верным насчет пушечных ядер, можно применить и к тем парням, которые ими палят: сила – это нечто большее, чем просто размер. «В военном деле, – пишет Толстой, – сила войска есть также произведение из массы на что-то такое, на какое-то неизвестное х»[34].

Так что же представляет собой этот х? По мнению Толстого, это «дух войска, большее или меньшее желание драться и подвергать себя опасностям»[35]. Когда пять сотен трусливых и не преданных какой-либо идее солдат выходят против четырех сотен разозленных и воодушевленных воинов, вы знаете, кто победит. В сущности, Толстой просит нас представить каждую армию как прямоугольник. Вместо ширины на длину мы умножаем массу на силу духа. Где произведение будет больше, то есть какой прямоугольник имеет бо́льшую площадь, та армия и сильнее.

Но не все солдаты одинаковы. Некоторые добиваются успеха в бою, другие дрожат, а третьи немедленно попадают в плен, поэтому для них требуются дорогостоящие спасательные миссии (гм, Мэтт Дэймон[36]). Как наша математика отражает эту разницу? Нам нужно отказаться от упрощенной геометрии одного прямоугольника в пользу более сложной конструкции.

Мы все сделали? Едва ли. Толстой посетовал бы, что я использую дискретные величины, размышляя о непрерывном мире. И так делаю не только я – это ленивая и гнусная привычка всех историков, чья работа – дробить реальность на части. Этот лидер против того последователя, этот результат против той причины, этот удар против того сломанного носа. Все это только причудливые срезы в непрерывном течении исторического процесса. С таким же успехом мы можем навешивать бирки на части океана или отхватывать по кусочку ветер.

Сила войска – это не сотня мелких составляющих, не тысяча еще более мелких и не миллион совсем крошечных. С точки зрения Толстого, вам нужна «бесконечно малая единица для наблюдения – дифференциал истории»[37].

Сила войска – это интеграл.

Эта теория выходит за пределы результатов определенных битв; книга называется не «Схватка и мир». Интеграл Толстого сосредотачивает в себе жизнь и смерть, добро и зло, шоколад и ваниль, рождение и гибель любой нации, когда-либо являвшейся на мировую арену. Понять историю – это произвести грандиозный акт математического анализа, стать не Геродотом, а Ньютоном.

Если это выглядит как радикальная, амбициозная теория истории, которую слишком трудно применить, то дзынь-дзынь-дзынь! Вот три аргумента для скептиков. Внесу ясность: Толстой не заявлял, что у него есть все ответы. Он просто ощущал, что история в ее нынешнем состоянии – это дымящаяся груда бессмыслицы.

Западная историография, можно сказать, начинается с V в. до н. э. – «Историей» Геродота. В вычурном абзаце, открывающем ее, Геродот определяет правила игры: создать запись событий, свершенных великими людьми, объясняющую «причину того, почему они ведут войны», и удостовериться в том, что «великие и удивления достойные деяния… не остались в безвестности». Толстой, вступая в диалог два тысячелетия спустя, объявляет весь этот проект напрасной тратой времени.

История – это не что иное, как собрание басен и бесполезных мелочей, пересыпанных массой ненужных цифр и собственных имен. Смерть Игоря, змея, ужалившая Олега, что же это, как не сказки?[38]

По мысли Толстого, Геродот и его последователи совершили состоящую из трех частей ошибку. Можете запасаться попкорном, потому что сердитый, надменный Толстой чрезвычайно забавен.

Во-первых, недомыслие с событиями. Историкам свойственно выдергивать ряд явлений – коронация, битва, бал, соглашение – и изучать их так, как будто они рассказывают всю историю. Толстой считает: «Нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого»[39].

Во-вторых, что даже более оскорбительно, историки подробно останавливаются на действиях «великих людей». Как будто гений Наполеона или осторожность Александра могут объяснить движения масс. Толстой находит это поразительно наивным; это почти недостойно язвительного опровержения.

Например, посмотрите внимательно на такое явление, как война. Люди оставляют свои дома и семьи. Они совершают марш-броски на сотни километров и убивают иноземцев или сами умирают от их рук. Они проливают кровь. Их кровь проливают. Но зачем? Не лучше ли им было остаться дома и играть в карты? Какая сила заставляет их присоединиться к этому абсурдному спектаклю, этому преступлению против разума? Война – для чего она хороша?

Для Толстого объяснения историков о «великих людях» не заслуживают уважения, они находятся всего лишь в половине шага от того, чтобы взывать к Санта-Клаусу или Зубной фее. Точно так же вы можете связать эрозию гор с каким-нибудь парнем с лопатой. «Великие люди» в истории, как говорит Толстой, – это не причины, а результаты. Они летят на гребне волны, заставляя самих себя (и историков) поверить, что каким-то образом ею управляют.

«Царь, – говорит Толстой, – есть раб истории». А историки, которые говорят о влиянии короля, – «как глухой человек, отвечающий на незаданный вопрос».

В-третьих, это неправильное понимание причины. Вся история направлена на то, чтобы определить особые причины происшедших событий. Для Толстого это тупик, гиблое дело. Не имеет значения, какие именно причины вы выбираете: короли и генералы, журналисты крупных изданий, вредители из Кремниевой долины. Огромное количество вероятных причин показывает недостаточность любой отдельно взятой.

Чем больше мы углубляемся в изыскание причин, тем больше нам их открывается, и всякая отдельно взятая причина или целый ряд причин представляются нам одинаково справедливыми сами по себе, и одинаково ложными по своей ничтожности в сравнении с громадностью события, и одинаково ложными по недействительности своей (без участия всех других совпавших причин) произвести совершившееся событие…[40]

Безучастные историки ищут одномерные объяснения результатов, которые имеют эффект в бесконечных измерениях. Это провал при попытке понять разнообразие, полноту истории. Это словно считать несколько песчинок причиной дюны.

Короче говоря, Толстой считает историков обманывающими себя сочинителями сказок, чьи заключения «без малейшего усилия со стороны критики распадаются, как прах, ничего не оставляя за собой»[41].

Я лично восхищаюсь лютой жестокостью, с которой Толстой нападает на историю. В эпоху, когда еще не было рэп-баттлов и баталий в Twitter, это стало бы, без сомнений, самой интересной передачей на телевидении. Но бросаться обвинениями легко. Что же Толстой предлагает конструктивного?

Толстой знал, где должна начинаться история: с крошечных, мимолетных мгновений человеческого опыта. Всплеск храбрости, вспышка сомнений, неожиданное желание съесть начос – такие внутренние порывы есть то единственное, что имеет значение. Более того, Толстой знал, где история должна закончиться: огромными, всеохватывающими законами, объяснениями столь же грандиозными, как то, что они пытаются прояснить.

Остается только один вопрос: а что же должно быть посередине? Как перейти от бесконечно малого к непредставимо огромному? От крошечных проявлений свободной воли к неумолимому движению истории?

Хотя сам он и не мог заполнить провалы, Толстой ощущал, что должно быть на их месте. Нечто научное и предсказуемое, нечто определенное и неоспоримое; то, что собирает в одно целое, объединяет, связывает крошечные частицы воедино; что-то, похожее на закон притяжения Ньютона; что-то современное и поддающееся количественному определению… такое, как… о, ну я не знаю…

Как интеграл.

Рассмотрим, к примеру, математический факт того, что ни одна отдельно взятая точка не влияет на результат интегрирования.

Какое еще понятие лучше иллюстрирует решительное утверждение Толстого о том, что великие люди не имеют значения? Какой способ может лучше показать, что, если изъять из потока истории любого человека – не важно, маленького или большого, – этот поток никак не изменится?

Толстой восхищался тем, что математический анализ сделал для изучения механики. «Для человеческого ума, – писал он, – непонятна абсолютная непрерывность движения»[42], именно поэтому мы и попадаемся на парадоксы Зенона. Матан, «допуская бесконечно малые величины… тем самым исправляет ту неизбежную ошибку, которую ум человеческий не может не делать»[43]. По аналогии можно сказать, что историки – нахальные маленькие Зеноны, дробящие поток времени на необоснованные, не связанные друг с другом события. Математический анализ, как считал Толстой, может исправить несовершенство нашего мыслительного процесса, восстановив единство и непрерывность истории.

Я могу представить счастливый финал этой сказки. «Война и мир» опубликована. Глупые старые историки читают эту жгучую прозу, пронзительно вопят и рассыпаются в прах. Новые историки, искушенные в математическом анализе, занимают кресла своих предшественников. Эти правильно рассуждающие свежие головы измеряют «дифференциал истории» и разрабатывают окончательную теорию исторического изменения. Ура! Абсолютные законы найдены и подтверждены! «Великие люди» в истории читают эти законы, пронзительно вопят и рассыпаются в прах. Крестьяне заявляют права на их кресла. Нобелевские премии раздаются в огромных количествах, и все мы живем долго и счастливо.

Как ни грустно, 150 лет назад все произошло совсем по-другому.

В те дни никто на самом деле не ожидал открытия детерминированных законов истории. Вместо этого науки представлялись как расположенные в неоднородной последовательности от точных (таких как математика и физика) до гуманитарных (скажем, психологии и социологии).

В своем самом невыносимом настроении точные науки любят хвастаться и злорадствовать, как будто точные означает сложные, а гуманитарные – простые. Дело, конечно, обстоит совсем наоборот. Чем «легче» наука, тем более сложным являются описываемые ею явления.

Физики могут предсказать поведение атомов. Но соберите достаточное количество атомов, и расчеты станут слишком громоздкими и тяжеловесными. Нам нужны другие, новые законы – химические. Затем соберите достаточное количество химических элементов, и сложность снова захлестнет нас. Чтобы перейти к новым теориям и правилам, нам понадобится биология, и так далее по этой прямой. В каждый переломный момент роль математики меняется: из доподлинной она превращается в ориентировочную, из детерминистической – в статистическую, из обобщенной – в противоречивую. Простые явления (такие как кварки) следуют математическим законам с рабской покорностью. Сложные феномены (например, маленькие дети) подчиняются им в гораздо меньшей степени.

О чем же просит Толстой? Ему не так уж много и надо: только того, чтобы самые сложные явления подпадали под действие самых строгих математических законов. Только чтобы люди вели себя, как планеты. Надо ли говорить, что мы все еще ждем появления этой теории.

В Толстом наблюдается противоречие: с одной стороны, он чуток к мелочам и обладает даром улавливать искрометные мгновения повседневной жизни. С другой стороны, его снедает желание получить ответы на глобальные вопросы: что движет людьми? Почему случаются войны? Отчего воцаряется мир? Интеграл – это мостик между даром Толстого и его мечтой. Предполагается, что он может соединить мир, который писатель знает (мешанину частных явлений деталей), и мир, которого он страстно желает (идеально управляемое королевство), чтобы сплавить бесконечное разнообразие с идеальным единообразием.

Интеграл Толстого не имел успеха как наука, но, думаю, был прекрасен как метафора. В такой схеме мира люди так малы, что их можно считать бесконечно малыми, и так многочисленны, что им практически нет числа. И тем не менее добавьте каждого из этих отдельных людей, и вы получите человеческую природу. Если следовать такой логике, история не принадлежит какой-либо группе или подгруппе – ни королям, ни президентам, ни богине воинов по имени Бейонсе, ни какой-то отдельно взятой леди, – но всем отдельно взятым леди.

История – это сумма всех людей, проживших ее.

Она не поддается ни научным прогнозам, ни математическим законам. Скорее, это поэтическая правда, художественная правда – но в сумме всех бесконечно малых частей она значит ничуть не меньше, чем другие.

XVIIIЛиния городского горизонта Римана

Если бы я вдруг стал профессиональным художником (что очень маловероятно), я бы нарисовал математический анализ в образе суммы Римана.

Роскошно, да, но перед нами не просто смазливая мордашка. Сумма Римана воплощает в себе сущность интеграла. Она носит имя Бернхарда Римана, застенчивого жителя Германии, одаренного богатым воображением. Он прожил всего 39 лет, но оставил свой след (и свои граффити-теги) во всех областях математики: Риманова поверхность, геометрия Римана, гипотеза Римана. В «Википедии» даже имеется страница под названием «Список объектов, названных в честь Бернхарда Римана». Там перечислены 70 пунктов, среди которых есть даже астероид и лунный кратер. «С каждым простым актом мышления, – писал Риман, – в нашу душу входит что-то постоянное и существенное».

Сумма Римана предлагает окончательное решение важной проблемы: что же представляет собой интеграл?

Один простой ответ на этот вопрос – «площадь, находящаяся под кривой». Достаточно справедливо. Но ты видишь где-то поблизости кривые, парень? Функции – это густонаселенные джунгли. Все треугольники, круги и трапеции, которые вы изучали в школе, были домашними мышками и кошками по сравнению со свирепыми зверями, которых вы найдете в непроходимых дебрях математики, с монстрами, которых никакая формула не может заключить в клетку.

Сумма Римана – это нечто вроде универсальной формулы, дротика с транквилизатором, который может успокоить любую функцию. Хотя действует она очень коварно, сама по себе идея чрезвычайно проста: добавляйте все больше, больше и больше прямоугольников.

Мы можем начать с четырех. Они стоят бок о бок, создавая линию горизонта из высотных зданий, их этажи направлены вниз к оси х, а крыши создают саму функцию. Если мы нарисуем график так, чтобы они находились внутри, то результат можно назвать «нижней суммой» – заниженной оценкой площади фигуры.

Теперь мы повторяем это упражнение, но на этот раз «потолки» прямоугольников не подпирают график функции, а лежат на нем, протыкая границы фигуры. Теперь мы немного переоцениваем реальную площадь, находя «верхнюю сумму».

Это хорошая практика для любого действия по оценке, начиная с бюджета проекта и заканчивая угадыванием количества мармеладного драже в банке. До того как дать один ответ, вначале переоцените количество и недооцените его, сузив разброс возможностей между этими двумя пределами.

В любом случае в четырех прямоугольниках ничего особенного нет. Мы можем взять их 20 штук.

И тут «ловушка Римана» начинает удерживать зверя. Видите, как сокращается разрыв? Видите, как растет нижний потолок и падает верхний? Две суммы приближаются к единственной истине, и чем больше прямоугольников мы используем, тем ближе они сойдутся. Что насчет сотни прямоугольников, тысячи или миллиона? Что насчет миллиарда прямоугольников, квадриллиона или гугола? Что насчет бесконечного числа прямоугольников?

Теперь «ловушка Римана» захлопнулась. Мы отправляемся в воображаемое путешествие за грань возможного, где две оценки встретятся посередине, придя к одному значению – настоящая площадь, интеграл во всей красе.

Эта история объясняет смысл интеграла. Мы покрываем какую-то область бесчисленными крошечными прямоугольниками, каждый из которых имеет высоту y и ширину dx, то есть площадь y × dx. Последний штрих – это размашистый S-образный символ Лейбница, сжатая эмблема непрерывности и полноты, которая обозначает «сумму этого бесконечного множества вещей». (Забавный факт: в английском языке «интегральное исчисление» (integral calculus) – это анаграмма выражения «галантные завитки» (gallant curlicues).)

Хорошо, вот это и есть концепция интеграла Римана. «Но что насчет семиотики?» – спросите вы.

Хотя, возможно, вы не спросите. Возможно, никто никогда не спросит. Тем не менее разве сумма Римана не напоминает линию горизонта небоскребов Нью-Йорка? «Квадраты света следуют один за другим, уходят ввысь и теряются в ней», – писал о вечернем Нью-Йорке поэт Эзра Паунд. «Город взлетающей в высоту геометрии, – говорил эссеист Роланд Барт, – окаменевшая пустыня ячеек и решеток». Как и контур зданий на фоне неба, сумма Римана – это ансамбль, построенный из вертикальных линий.

Специалист по городскому дизайну Кристоф Линднер заметил, что «сопряженная геометрия этих форм… практически эксклюзивно выстраивает и определяет город с помощью вертикалей». (Тем временем писатель Генри Джеймс называл город «головокружительным» – словом, с которым вы могли бы смириться, если бы были Генри Джеймсом.) То же самое можно сказать и о сумме Римана: когда количество прямоугольников увеличивается, их ширина уменьшается, и мы имеем дело с объектом, направленным исключительно по вертикали.

Некоторые считают, что линия горизонта в городе подражает природе и даже в чем-то превосходит ее. В романе «Источник»[44] Айн Рэнд писала: «Я бы отдала самый прекрасный закат в мире за один взгляд на силуэты нью-йоркских небоскребов на фоне неба». «Этот архитектурный облик, – подхватывает литературный критик Морин Корриган, – мне милее, чем самый безмятежный закат или покрытые снегом вершины гор». Сумма Римана, как и контуры зданий, живет в таинственной долине. Ее упрощенная геометрия приближенно выражает перетекающую кривую, точно так же как силуэты зданий подражают природному пейзажу.

Риман преподнес свою теорию миру в 1854 г. А полвека спустя Анри Лебег разработал другую, и она оказалась лучше.

Чем же именно? Я просто ощущаю, как гневные плевки поклонников Римана и/или жителей Нью-Йорка летят в меня со всех сторон. Если оставаться справедливым, для большинства практических целей оба определения вполне эквивалентны. То, которое предложил Риман, спотыкается только в верхних слоях математического анализа, где атмосфера становится разреженной и абстрактной.

Возьмем печально известную функцию Дирихле. Вы вводите число. Если оно рациональное на выходе получается единица; если число иррациональное (как √^– 2 или π), на выходе – ноль.

Теперь раскрою вам грязный секрет числовой оси – подавляющее большинство чисел являются иррациональными. Рациональные создают только тонкий слой пыли на том, что в своей основе есть иррациональный мир. (Возможно, это напомнит вам планету, на которой вы живете.) Таким образом, в правильном математическом смысле, интеграл этой функции, то есть площадь под этими частицами рациональной пыли, должен быть равен нулю. И именно об этом нам говорит интеграл Лебега.

Но интеграл Римана не может это обработать. Пыль загрязняет механизм, поэтому нижняя сумма всегда равна нулю, а верхняя сумма всегда остается единицей. Не важно, сколько прямоугольников вы используете, – эти две суммы никогда не сойдутся.

Мои скромные возможности не позволяют объяснить метод Лебега во всех подробностях, но я буду рад поделиться аналогией, которую он использовал. В письме к другу Лебег сравнивает свой интеграл и интеграл Римана с помощью образа человека, считающего свои деньги:

Я должен заплатить определенную сумму, которая лежит в моем кармане. Я достаю из него купюры и монеты и отдаю их кредитору в том порядке, в каком нахожу, пока не наберу всю сумму. Так действует интеграл Римана. Но я могу поступить по-другому. Достав из кармана все деньги, я раскладываю все купюры и монеты в соответствии с их стоимостью, а потом передаю одну за другой несколько кучек кредитору. Так работает мой интеграл.

Короче говоря, Риман пересчитывает купюры и монеты в том порядке, в котором они поступают.

Лебег, напротив, перераспределяет их, собирая пенни с пенни, никели с никелями, даймы с даймами[45].

Если вы находите, что интеграл – еще более неуловимое и расплывчатое понятие, чем производная, то не беспокойтесь. Так кажется не только вам. Производная получается с помощью бесконечного приближения, но интеграл на самом деле не связан с отдалением. Скорее он разрезает объект на бесконечное множество кусочков, перераспределяет их и вновь складывает, чтобы узнать что-то новое о целом.

А что же тогда с нашей метафорой о городских небоскребах? Если интеграл Римана – это линия горизонта с силуэтами домов, то чем же, черт побери, является интеграл Лебега?

Я считаю, что это город, такой, каким мы знаем его сегодня. В XXI в. мы обнаружили, что связаны не по географическому принципу (восток или запад) – подход Римана, но по более абстрактному критерию – метод Лебега. Цифровая эпоха реорганизовала нас: Facebook соединяет с друзьями, LinkedIn – с коллегами и работодателями, Tinder делит по сексуальной привлекательности, а Twitter – на знаменитостей голубых кровей и немытых плебеев. Лебег жил в головокружительном городе Римана, а мы с вами живем в странных многоярусных ландшафтах, которым Лебег нашел новое определение.

XIXВеликая работа синтеза

В основе каждого раздела математики лежит правило, настолько глубокое, что оно становится известно как фундаментальная теорема. Оливер Нил, математик-исследователь, когда-то выявил более 150 таких кратких основных законов в различных областях, начиная с геометрии – a² + b² = c² – и заканчивая арифметикой – каждое число можно разложить на простые множители (и «Бойцовским клубом»: «первое правило “Бойцовского клуба” – не упоминать о “Бойцовском клубе”». Я шучу: Нил, конечно же, выполнил это правило, не включив его в свой список). В любом случае во всей этой тверди оснований самая великая теорема из всех относится, как вы уже догадались, к тригонометрии.

Да нет, я снова пошутил. Математический анализ здесь на голову выше всех остальных. И первым математиком, который подарил нам фундаментальную теорему матана, была Мария Гаэтана Аньези[46].

Мария родилась в 1718 г., и к 1727 г. она бегло говорила на французском, греческом, латинском и иврите, не считая родного тосканского диалекта. Также она по праву прославилась своей речью, которую хотя и не написала, но перевела на латынь, запомнила и рассказала. Речь была посвящена защите прав женщин на образование, и ее главным аргументом, как я подозреваю, была сама личность оратора.

Отец Марии наслаждался ее успехом. Он был разбогатевшим купцом и видел в способностях дочери потенциальную возможность повысить социальный статус всей семьи.

Вскоре Аньези – старший ребенок в семье, где у нее было 20 братьев и сестер, – стала достопримечательностью обеденных мероприятий, которые называли conversazioni. Буквально это слово переводится как «разговоры», но более точное его значение – «вечеринки умников». Между музыкальными интерлюдиями гостей приглашали обсудить со вступившей в подростковый возраст Марией вопросы науки и философии. Она выступала с импровизированными речами об оптике Ньютона или движении приливов, затем вела беседу, отвечая на вопросы собравшихся о метафизике или математических кривых. После, в конце вечера, всех обносили шербетом! Даже не знаю, что это было: тоска типа урока латыни или же веселуха типа тусовки с мороженым на уроке латыни.

Очевидно, сама Аньези пребывала в смешанных чувствах. Учиться, спорить и болтать о науке? Она была руками и ногами за. Привлекать к себе внимание, соревноваться и выбивать для себя социальный статус? Этого не так уж сильно и хотелось. К 20 годам Мария выторговала у отца освобождение от conversazioni. Вместо этого она проводила время, работая в больницах, обучая неграмотных женщин чтению и помогая бедным и больным. Ну, знаете, все эти занятия бунтующей против родителей дочери.

В 30 лет Аньези опубликовала свою первую и единственную книгу «Основы анализа для итальянской молодежи» (Instituzioni Analitichead Uso della Gioventù Italiana). Первоначально книга задумывалась как способ обучить математике младших братьев Марии, но потом превратилась в нечто большее – способ обучить математике младших братьев кого угодно. «Она пришла к мысли, – говорит историк Массимо Маззотти, – что может работать над более амбициозным проектом – введением в математический анализ, который проведет новичка от начал алгебры к новым дифференциальным и интегральным методам. Это стало бы великолепной работой по обобщению…»

В самом деле, труд должен был стать самой полной, доступной и хорошо организованной книгой, когда-либо написанной по математическому анализу, а также первой работой, объединяющей интеграл и производную под одной обложкой. Такой всеобъемлющий охват позволил Аньези подчеркнуть маленький и давно известный факт. То, что даже можно назвать фундаментальным фактом.

Итак, перейдем к фундаментальной теореме матана.

Для математиков обратные процессы – это действия, которые отменяют друг друга, уравновешивая противоположности. Представьте, что вы прибавляете 5, а затем отнимаете 5. Первое действие приведет вас от А к В, а второе – от В к А.

То же самое происходит с умножением и делением на 3. Возьмите любое число, умножьте на 3, а потом разделите на 3. Дайте я угадаю: вы получили то самое число, которое было вначале! Мне стоило бы податься в экстрасенсы, правда?

В математике очень много подобных противопоставленных пар. Возведение тройки в квадрат дает 9, квадратный корень из 9 возвращает тройку. Геометрическая прогрессия превращает 2 в 100, логарифм делает из 100 снова 2. Год занятий наполняет невежественный разум знаниями, лето возвращает его к первоначальному состоянию.

Фундаментальная теорема математического анализа – это простой и потрясающий факт: производная и интеграл противоположны друг другу. Я не вкладываю в эти слова обычного, фигурального смысла. Это не то же самое, что сказать «Гермиона и Рон – полные противоположности друг другу», потому что она рассудительна, а у него горячая голова, она девушка, а он парень, она умна, а он… ну, в общем, Рон. Нет, я говорю о противоположности в точном математическом смысле.

Я объясняю это студентам на примере из физики. Скажем, у нас есть функция положения: мы точно знаем, где находилась наша машина в каждый момент времени в течение двух последних часов.

Можем ли мы исходя из этой информации определить скорость машины? Конечно! Просто посмотрите на угол наклона графика. Это называется дифференциацией или взятием производной.

Теперь сотрите все с вашей воображаемой доски. Представьте, что мы начали с функции скорости: мы точно знаем, как быстро ехала наша машина в каждый момент времени в течение последних двух часов.

Можем ли мы из этой информации определить, как менялось положение машины, то есть как быстро она двигалась? Разумеется! Пройденное расстояние – это просто область под кривой. Этот процесс называется интегрированием или взятием интеграла.

Таким образом, производная и интеграл – поиск угла наклона кривой и поиск области под ней – противоположны друг другу. Первая извлекает одно мгновение из потока времени, второй восстанавливает поток, собирая его по капле.

Но это мое объяснение, а не то, которое дала Аньези. Молодая женщина из XVIII в. не ездила на автомобилях. На самом деле в своей книге она вообще отказалась от каких-либо физических объяснений.

Не то чтобы Мария была безразличной или небрежной учительницей. Однажды, когда отец заставил ее во время послеобеденных посиделок читать наводящую ужас научную лекцию, она извинилась перед гостями, сказав, что «не любит публично говорить о таких вещах, когда на одного увлеченного человека приходится двадцать умирающих от скуки». Нельзя сказать и что она не любила физику саму по себе, – черт возьми, в ней она была местным знатоком. Так почему же она отказалась от примеров из физики, которые помогают сделать математический анализ конкретным и наполнить его смыслом? Неужели братья никогда не спрашивали ее о том, как «это можно приложить к реальному миру» и не задавали вопрос: «А как нам это использовать?»

Может, они это и делали, но для Аньези математика не была связана с практикой. Это был священный путь к Богу. Чистое логическое мышление давало человечеству опыт познания божественного, приближения к вечной истине. Для такого набожного человека, как Аньези, только это имело значение. Зачем же марать небесное земным, геометрию физикой?

Рафинированный подход Аньези дал жизнь бессмертному творению. «Терминология и условные обозначения настолько хорошо подобраны и современны, – пишет историк математики Хоакин Наварро, – что не надо добавлять ни одной запятой, чтобы они стали понятны современному читателю». Чтобы оценить точку зрения Аньези на фундаментальную теорему математического анализа, рассмотрим интеграл как сумму бесчисленных крошечных прямоугольников, размещенных под кривой графика.

Производная измеряет изменение всей этой области, другими словами, размер последнего прямоугольника, который присоединился к линии горизонта.

Но учитывая бесконечно малое dx, размер этого прямоугольника всего лишь высота кривой.

Это значит, что если вы (1) начнете с кривой, (2) интегрируете ее и (3) дифференцируете, то вернетесь к тому, с чего начали. Хотя это кажется непохожим на наш разговор об автомобиле выше – эти два примера иногда рассматривают как «первую фундаментальную теорему» и «вторую фундаментальную теорему», – обе дороги ведут в одном направлении. Опять же, производные и интегралы действуют, как яд и антидот или карандаш и ластик.

Согласно фундаментальной теореме, весь математический анализ – это один гигантский символ инь-ян.

Аньези понимала единство противоположностей лучше, чем кто-либо другой. Только посмотрите, какие тождественные сущности она воплотила: математику и мистику, католическую традицию и зачатки феминизма, изучение науки и религии. Она даже соединила самых ярых противников – Ньютона и Лейбница, чья вражда все еще горела ярким пламенем, когда Мария приступала к своей книге. Как никто другой, Аньези сумела объединить флюксии англичанина с дифференцированием немца, добившись такого идеального слияния, что один из кембриджских профессоров математики срочно выучил итальянский, чтобы перевести ее шедевр на английский.

Мария не воспринимала ничего из вышеперечисленного как противоречие. Маззотти пишет, что «само по себе отнесение науки и религии к противоборствующим силам для Аньези не имело смысла». Это наша эпоха разделила разум и веру. Аньези думала по-другому.

В 1801 г., когда нетерпеливый профессор из Кембриджа переводил ее книгу, он ошибочно принял слово versiera (термин, который моряки используют для обозначения паруса) за его омоним, сокращение от avversiera (ведьма). Таким образом, математический график определенного вида стал известен англоговорящим читателям как «ведьма Аньези». Это навеки сохранилось как свидетельство гениальности Марии и недостатков любительского перевода.

Сегодня фундаментальная теорема математического анализа, возможно, самое сильное и широко распространенное упрощение в математике. С ним интеграл – эта утонченная сумма бесконечного количества стремящихся к нулю частей – становится просто антипроизводной. Мы можем забыть замысловатые линии крыш Римана, искусные преобразования Лебега, геометрические маневры Евдокса и Лю Хуэя. Это просто обратная сторона производной. Мы словно много лет регулярно взламывали дверь, чтобы попасть в дом, и, наконец, узнали о существовании ключей.

Но не этим прославилась Аньези. «Для нее математический анализ был способом отточить разум так, чтобы он мог по достоинству оценить Господа, – пишет Маззотти. – Она верила в рассудочную духовность, а не в нелепую набожность или порожденное воображением суеверие». Через этот трезвомыслящий взгляд мы получаем лучшее представление о математическом анализе – дисциплине одновременно практической и по своей природе прекрасной.

В этом смысле нас всех можно отнести к итальянской молодежи.

XХЧто происходит под знаком интеграла, остается под знаком интеграла

Ричард Фейнман ненавидел уроки математики. Вся проблема была в том, что перед тем, как дать ученику решить задачу, учитель всегда представляет метод, которым ее следует решать. Где здесь приключение? Любой дерзкий проект становится вялым и безжизненным – государство тупиц, созданное тупицами и для тупиц.

С другой стороны, математический клуб он обожал. Это была игровая площадка, школа колдовства обманщиков и волшебства импровизации. Для решения задач требовалась только алгебра (никакого математического анализа), но для каждой был окольный путь. Если ученик пытался применить стандартный метод, ему не хватало времени. Вместо этого нужно было найти короткую дорогу, упрощающую решение. Например…

Конечно, вы можете продираться через арифметику. Но значительно быстрее изменить точку зрения и сделать течение реки системой координат. Стать шляпой.

Производные немного похожи на уроки математики у Фейнмана. В любом учебнике, стоящем той бумаги, на которой его напечатали, и даже в некоторых, которые и того не стоят, вы найдете четкий и определенный список формул дифференцирования. Применяйте эти законы, и вы не сможете ошибиться.

А что же насчет интегралов? По фундаментальной теореме математического анализа они являются антипроизводными, или производными наоборот. Производная х² равна 2х, интеграл 2х равен х². Но, как вы знаете, если когда-нибудь пытались провернуть обратно фарш, склеить разбитую вазу или – что в самом деле невозможно – отменить подписку на журнал, вряд ли это получится. Интегрирование, по тому же принципу, наполнено множеством интересных исключений. В матане его можно считать аналогом математического клуба Фейнмана.

«Не важно, насколько обширна таблица интегралов, довольно редко удается найти в ней тот самый интеграл, который нужен» – так говорится в необычайно самокритичных «Стандартных математических таблицах». Например, проверьте вот эти два: Не беспокойтесь о частных случаях, просто посмотрите: эти вопросы похожи, и, таким образом, ответы на них должны быть похожи. По крайней мере, ответы должны быть одного уровня сложности. Поэтому если первый из них arctg (x), то второй должен быть…

Хм…

Проверяю свои заметки…

Хорошо, проверяю интернет…

Ну ладно, я должен был догадаться…

Это

Надо же, как все обернулось!

Если дифференцирование – это правительственное здание с сияющими окнами и снабженными аккуратными табличками конференц-залами, то интегрирование – заколдованный дом с привидениями, полный странных зеркал, скрытых лестниц и неожиданных потайных ходов. Не существует никаких безошибочных правил, чтобы безопасно пройти через него, есть только беспорядочное собрание разнообразных инструментов.

Математик Огастес де Морган поэтично подвел итог подобным соображениям таким образом:

Общее интегрирование – только память о дифференцировании. Различные ухищрения, через которые проявляет себя интегрирование, – это не изменения неизвестного в известное, а переход от форм, в которых память не сможет служить нам, в те, с помощью которых она выполнит свою работу.

На первый взгляд новичку непонятно, что же делать с Но используйте замену переменной – обыденный метод интегрирования, – и эта досадная загадка станет достаточно безобидной которую можно найти в любой таблице общеизвестных интегралов. На самом деле ничего не изменилось, кроме используемого языка, имени переменной.

Решение в том, чтобы изменить систему координат. Стать шляпой.

Самостоятельно изучая интегрирование в дальнем углу кабинета физики в своей школе, Фейнман так и не научился некоторым стандартным методам. Вместо этого он собрал инструменты, позволяющие уйти с проторенной дорожки, – такие изящные, но малоизученные маневры, как «дифференцирование под знаком интеграла».

«Я использовал эту чертову штуку снова и снова», – писал Фейнман позднее, после получения Нобелевской премии по физике.

В Массачусетском технологическом институте и Принстоне однокашники Фейнмана обращались к нему с интегралами, которые они не могли взять. Фейнман решал их, часто прибегая к этому мощному трюку. «С интегралами я заработал себе великолепную репутацию, – писал он, – и все потому, что мой набор инструментов отличался от того, что было у всех остальных». С производными все танцуют один и тот же танец, но интегралы дают каждому проявить свой собственный стиль.

Во время Второй мировой войны Фейнман присоединился к группе ученых, работавших в Национальной лаборатории в Лос-Аламосе[47]. Он переходил из подразделения в подразделение, осваивал азы и везде чувствовал себя бесполезным. Однажды один из исследователей показал ему интеграл, который загнал всю команду в тупик на целых три месяца. «Но почему вы не решите его, использовав дифференцирование под знаком интеграла?» – спросил Фейнман. На всю задачу ушло полчаса.

Я сам никогда не изучал этот метод, поэтому обратился к Google. Мои изыскания привели к Math 55 в Гарварде – «возможно, самому сложному математическому курсу для студентов-бакалавров в стране», если верить «Википедии». Среди преподавателей курса есть лауреаты Филдсовской премии (например, Манджул Бхаргава), преподаватели Гарварда (например, Лиза Рэндалл) и Билл Гейтс (ну, то есть Билл Гейтс). «Это определенно своего рода культ, – сообщил студенческой газете Harvard Crimson Раймонд Пьерхамберт, когда-то изучавший курс, а теперь ставший преподавателем Оксфорда. – Я воспринимал его скорее как суровое испытание, а не уроки математики». Инна Захаревич, теперь преподаватель Корнеллского университета, сохранила более приятные воспоминания. «Там меня заставляли заниматься моим любимым видом размышлений, – говорит она. – Брать базовую вещь, которая, как я считаю, мне известна, и действительно очень, очень, очень серьезно над ней размышлять».

В 2002 г. 18-летняя Захаревич прочитала воспоминания Фейнмана. «Я не знала, что такое дифференцирование под знаком интеграла. Я спросила отца, и мы обсудили подход в целом». Затем в один прекрасный день в октябре преподаватель курса Math 55 Ноам Элкис показал студентам формулу:

В математике символ! не выражает энтузиазма. Он говорит об операции «факториал», которая означает «перемножьте все натуральные числа от 1 до этого числа».

Очень круто. Очень мило выглядит. Но это определение чрезвычайно ограниченно: оно имеет смысл только для целых чисел.

В начале XVIII в. Леонард Эйлер нашел новый способ определить факториал – тот самый интеграл, который Элкис показал студентам Math 55. Это обещало распространить понятие на все числа и позволить вам вычислить π! или 1,8732! или √^– 2! – в общем, все, что вашей душеньке угодно.

Есть только одна проблема: можем ли мы быть уверены, что новое определение полностью соответствует старому? Как мы узнаем, что они равны для таких чисел, как 3 и 11?

Захаревич смотрела, как Элкис развертывает стандартное доказательство равенства на примере: повторяющееся, утомительное применение интегрирования по частям. Это широко распространенный и в данном случае достаточно тяжеловесный метод. «Я была подавлена, – вспоминает Захаревич, – потому что доказательство было таким безобразным».

Она была ответственной ученицей и повторила все грубые алгебраические рассуждения на проведенной в тот же день контрольной. Но на обороте Инна написала альтернативное доказательство, применив любимый метод Фейнмана. «Я действительно хотела, чтобы Элкис знал это на будущее», – объяснила она. В доказательстве, которое я воспроизвожу ниже, скорее для красоты, чем с какой-либо еще целью, Захаревич вводит новый параметр, берет производную относительно него, а затем позволяет ей снова раствориться в тени. Эта производная – как совершенно незнакомый человек на дороге, который меняет вашу лысую покрышку, а затем уезжает, а вы так и не успели сказать ему спасибо.

Элкису это понравилось. Пылая учительской гордостью, он опубликовал доказательство в интернете, где спустя 16 лет на него наткнулся я.

«Применять это, – признает Захаревич, – действительно скорее искусство, чем наука».

Уверен, Фейнман одобрил бы подобное доказательство. Это полная дискредитация уроков математики и триумф математического клуба, более хитрого подхода, который определял все в жизни ученого. Возьмите его более позднюю работу в школьных советах. Как вспоминал биограф Джеймс Глик:

Он предложил первоклассникам учиться сложению и вычитанию примерно так же, как он вычислял сложные интегралы, – то есть выбрав любой метод, подходивший для решения этой задачи. В то время принято было считать, что «ответ не имеет значения, пока используется правильный метод». В понимании Фейнмана ничего хуже невозможно было придумать. «Ответ – это все, что имеет значение», – говорил он. Целая куча методов всегда лучше, чем один общепринятый.

Фейнман любил демонстрировать свой набор трюков. Однажды он предложил коллегам по Лос-Аламосу сформулировать любую задачу за десять секунд, пообещав вычислить решение меньше чем за минуту с точностью до 10 %. Его друг Пол Олам задел гордость Ричарда, спросив о тангенсе 10¹⁰⁰ (гугола), что потребовало бы вычислить 1/π с точностью до сотни цифр после запятой: слишком много даже для будущего нобелевского лауреата.

В другой раз Фейнман похвастался, что всё, что другие могут решить традиционным методом интегрирования по контуру, он сможет решить другими способами. Он выдержал несколько трудных задач и спасовал, только когда Олам – эта великолепная Немезида – дал «этот чертов огромный интеграл… Он развернул его так, что решить можно было только с помощью интегрирования по контуру! – вспоминает Фейнман. – Он всегда побеждал меня таким образом!». В этом вся радость и разочарование интегралов: никто – возможно, за исключением Пола Олама, – не может знать все трюки.

XXIОтказать в существовании одним росчерком пера

К 1917 г. Альберт Эйнштейн уже сделал себе имя. Если говорить конкретно, он был «тем самым Эйнштейном». Он вычислил размер атомов, заявил об эквивалентности материи и энергии, заложил начала квантовой физики и ввел в моду прическу, которую с полным правом можно назвать «взрыв сверхновой». Впечатляющее резюме, но больше всего Альберт гордился своей общей теорией относительности. Ее основное уравнение обладало неповторимой элегантностью. Оно обещало потрясающее путешествие в космос. Оно было ударом ногой с разворота прямо в лицо ньютоновской механике. Эта реальность была такой странной, что в газете The New York Times беспокоились, не поставит ли она под сомнение «даже таблицу умножения». И вся теория строилась на простом прозрении: Вселенная не является коробочкой, в которую сложены звезды и планеты. Она изгибается, она искривляется при наличии материи.

Настало время для мысленного эксперимента. Представьте себе, что я сижу на пенечке и наблюдаю, как мимо проносится луч света с неизменной скоростью 300 млн м/с. Тем временем вы гонитесь за лучом, пролетая мимо меня с огромной скоростью, скажем 200 млн м/с.

От кого луч удаляется быстрее – от меня или от вас?

Сложный вопрос! Скорость света – универсальная постоянная. Она всегда составляет 300 млн м/с и не изменяется никогда, ни для кого – даже для суперскоростного вас. Что меняется, так это кое-что менее прочное и более податливое: ткань пространства и времени. С моего места на пенечке свету требуется три секунды, чтобы покрыть 300 млн м до вас. С вашего места на звездолете «Энтерпрайз» для этого потребуется одна-единственная секунда. Таким образом, мои карманные часы идут в три раза быстрее, чем ваши.

Движение изменяет форму времени.

Вам уже кажется, что у вас начались галлюцинации? Тогда вы готовы к следующему шагу: материя изменяет и форму пространства. Солнце, например, не стоит на месте, как мяч для боулинга, лежащий в коробке. Оно, словно мяч для боулинга на надувном матрасе, прыгает по материи, искривляя окружающее пространство-время. Таким образом, когда планета обращается вокруг Солнца или яблоко падает на землю, они не во власти некоего необъяснимого ньютоновского притяжения. Они просто следуют по пути наименьшего сопротивления через изгибающийся четырехмерный ландшафт.

«Материя говорит пространству-времени, как ему изгибаться, – сказал физик Джон Уилер, – а изогнутое пространство говорит материи, как ей двигаться».

Все это воплотилось в определенную форму в ноябре 1915 г. в уравнении поля Эйнштейна. «Это уравнение умещается на половине строки, – пишет физик Карло Ровелли. – Однако в этом уравнении – целая Вселенная»[48]. Оно предсказало, что свет изгибается около тяжелых предметов, что временной поток расширяется по пути из долины к вершине горы, что гравитационные волны могут распространяться через всю Вселенную, что большие звезды могут схлопываться, образуя сингулярности (которые позже получили название «черные дыры»). «Невероятное богатство теории раскрывается в фантасмагорической цепи предсказаний, которые напоминают исступленный бред безумца, – говорит Ровелли, – но все до единого подтвердились»[49].

Тем не менее, хотя новые предсказания вылетали из этого уравнения, как патронусы из волшебной палочки, Эйнштейн остался недовольным. Конечно, общая теория относительности могла описать орбитальное движение планет и изгибы потоков фотонов. Но все это были ограниченные, конечные системы. Всего лишь частицы космоса. «Остается животрепещущий вопрос, – писал Эйнштейн коллеге, – распространяется ли понятие относительности до самого конца или может привести к противоречиям». Теперь ученый стремился завоевать главный приз – получить самого большого плюшевого медведя на этом карнавале.

Может ли теория относительности создать модель всей Вселенной?

Это был вопрос в духе интегрирования, переход от «множества маленьких сущностей» к «единому большому всему». На самом деле здесь буквально использовалось интегрирование: хотя в своей знаменитой статье 1917 г. Эйнштейн применяет другой подход, к 1918 г. он обнаружил, что, по существу, берет интеграл. Он предпочел именно такую подачу информации. «У новой формулировки есть одно крупное преимущество, – писал ученый, – в том, что количество… появляется в фундаментальном уравнении как постоянная интегрирования».

Какое количество? Мы до этого еще доберемся. Во-первых, что такое постоянная интегрирования?

Если вы спросите любого студента, изучающего математический анализ, то это раздражающее + С в конце каждого неопределенного интеграла. Эта закорючка используется для удобства обозначений, она не имеет отношения к тому интегралу, который вы вычисляете, но по какому-то непонятному правилу вы никогда не должны о ней забывать во избежание мелочной бюрократии при начислении баллов со стороны преподавателя.

Откуда взялась эта постоянная? Как мы уже обсуждали, интегрирование и дифференцирование – обратные процессы. Чтобы взять интеграл, мы смотрим на функцию и спрашиваем: от чего эта производная?

Представьте себе бегуна, который двигается с постоянной скоростью 7 км/ч. График его скорости будет выглядеть подобным образом:

А что насчет интеграла – это будет график местоположения? Вот одна из возможностей:

Но это позволяет предположить, что в полдень бегун стартовал из дома. В действительности мы не знаем, где именно началась его пробежка. Возможно, в километре от дома, или в двух, или в семи. Или в трех с половиной, но в противоположной стороне от дома, так что мимо него наш любитель спорта пробежал в половине первого.

Существует бесконечное количество возможных функций положения, которые отличаются только тем, что какое-либо фиксированное расстояние добавляется или убирается. Это может быть 7х, 7х + 1, 7х + 2, 7х + 3…

Вместо того чтобы составлять список бесконечных возможностей, из-за которых мы можем опоздать на обед, мы объединяем все семейство функций под простой формулой 7х + С. С – это постоянная интегрирования, сокращение от «любое число, которое придет в голову». Одним махом она трансформирует один-единственный график в бесконечную семью. Из-за ее краткости и лаконичности эту постоянную так легко забыть, но именно «семья» является источником ее силы и глубины.

Нет, Альберт Эйнштейн не забыл о постоянной. Я имею в виду, конечно же, не забыл – мы ведь говорим об одном из величайших ученых, когда-либо отказывавшихся от расчески.

Нет, он допустил гораздо более продуманную ошибку. И она оказалась куда более зрелищной.

«Я должен провести читателя по тому пути, которым прошел сам, – пишет Эйнштейн в статье 1917 г., – по этой достаточно неровной и извилистой дороге». В самом деле, он проводит нас через что-то вроде лабиринта улиц, ведущих только в одном направлении, с препятствиями на каждом математическом повороте. Первая попытка ученого описать всю Вселенную противоречила известным фактам. Вторая потребовала определить особую «правильную» систему координат, что шло вразрез с духом «относительности». А третий путь, предложенный одним из его коллег, «не только не оставлял надежды решить задачу, но, напротив, означал отказ от нее». Его знаменитое уравнение просто не давало Эйнштейну достаточной гибкости.

В конце концов, ученый сумел создать свою модель, только введя постоянную интегрирования Λ. Это греческая буква лямбда; на самом деле Эйнштейн использовал строчную букву λ, что, возможно, указывает на то, что он не относился к ней с уважением. Как бы то ни было, лямбда – это космологическая постоянная.

Это было чрезвычайно обоснованным, просто необходимым математическим шагом: без λ вся модель приходила в негодность. Постоянная предсказывала и сжимающуюся Вселенную (где много материи вокруг), и расширяющуюся Вселенную (если материи вокруг немного), и Вселенную, где материи вообще нет (и тогда не происходит ни сжатия, ни расширения, но Вселенная представляет собой пустое и грустное место). Только особое, тщательно подогнанное значение λ позволило Эйнштейну описать ту Вселенную, которую он знал: ту, в которой есть материя и которая не меняет размера.

Тем не менее ученый испытывал смешанные чувства. Вся статья в какой-то мере читается как некое извинение за лямбду. Он считал ее изъяном своей теории, неэлегантным усложнением. Необходимость этой буквы раздражала Эйнштейна, как мог бы раздражать двигатель автомобиля, заводящийся только в том случае, если эмблема производителя на капоте повернута определенным образом.

Так дела обстояли в течение десяти или чуть больше лет. Затем, в 1929 г., от астронома Эдвина Хаббла поступила грандиозная новость. На самом деле, если измерять ее в кубических метрах, то это была самая большая новость за всю историю человечества.

То, что все называли Вселенной, ею не являлось. Это была всего лишь наша Галактика, Млечный Путь. Размытые спиральные туманности в ночном небе оказались другими галактиками, по размеру такими же, как наша, но находящимися в миллионах световых лет. Причем большинство из них еще и отдалялись от нас. Таким образом, наша Вселенная не только гораздо больше, чем мы представляли ее раньше, но и каждую секунду расширяется. Галактики отдаляются друг от друга, как изюминки в поднимающемся пироге.

Расширяющаяся Вселенная означает, кроме того, что λ была совсем не обязательна, что теперь ее можно приравнять к нулю. Эйнштейну этого было достаточно. Ни секунды не колеблясь и не испытывая никаких сентиментальных чувств, он избавился от лямбды, объявив ее «теоретически неудовлетворительной» и равной нулю. (Возможно, так все и было: Эйнштейн действительно увлекался романтическими финалами.) «Если бы расширение Вселенной Хаббла было бы открыто в то время, когда создавалась общая теория относительности, – позднее писал ученый, – космологическая постоянная никогда бы не появилась». По словам его друга Георгия Гамова, Эйнштейн сообщил по секрету, «что введение космологической постоянной было самой грубой ошибкой, которую он когда-либо совершал в своей жизни».

Некоторые утверждали, что он возложил на λ вину за то, что не смог предсказать расширение Вселенной, которое стало бы жемчужиной в короне общей теории относительности. Но мало что говорит в пользу таких чувств у Эйнштейна. Он отважился зайти на территорию космологии с конкретной целью: теория относительности должна была создать непротиворечивую модель, причем ученый никогда не сокрушался об этом «неудавшемся предсказании». Скорее его недовольство лямбдой, вытекало из того, что с точки зрения эстетики постоянная интегрирования должна равняться нулю, совсем как у тех людей, которые настаивают, что детей должно быть не видно и не слышно.

Что бы ни вызвало эти слова о «самой грубой ошибке», настоящий промах говорил сам за себя.

В 1998 г. выяснилось, что Вселенная не просто расширяется. Расширение ускоряется. Одним махом пришлось вернуть к жизни космологическую постоянную из забвения, где она пребывала более 50 лет. Она даже возвратилась как заглавная буква. Ведь оказалось, что Λ все-таки не равна нулю: она передает существование «темной энергии» – диковинного явления, заполняющего пустое космическое пространство и оказывающего воздействие, противоположное воздействию силы притяжения. По современным представлениям, темная энергия занимает около 68 % космического пространства.

Постоянная интегрирования Эйнштейна не была просто глупой ошибкой, от которой можно отмахнуться. Все-таки речь идет о двух третях Вселенной!

Никто никогда не называл Альберта Эйнштейна безупречным математиком, и сам великий ученый никогда этого не делал. «Не беспокойся о своих проблемах с математикой, – писал он своему 12-летнему другу по переписке. – Я могу тебя заверить, что мои ошибки куда крупнее». Книга под названием «Ошибки Эйнштейна» (Einstein’s Mistakes) – ради бога, не пишите книгу «Ошибки Орлина»! – утверждает, что в 20 % его статей имеются значительные недочеты. Мистер Взрыв Сверхновой, вопреки всем ожиданиям, относился к этому с полным спокойствием. «Не ошибается тот, – колко заметил он, – кто не делает ничего нового».

Вот так все и происходит с постоянными интегрирования. Ими так легко пренебречь, их трудно интерпретировать, и иногда они действительно равны нулю. В других случаях за ними скрывается важнейшая информация. Начинающий математик может забыть постоянную интегрирования; специалист, напротив, помнит о ней, потом возвращается к ней и ее стирает, настаивая на том, что она все время равнялась нулю.

Не знаю, как насчет вас, но меня история об Эйнштейне заставляет испытывать благодарность за это психоделическое путешествие по расширяющейся Вселенной, где даже постоянные рассказывают об изменениях.

XХII1994-й, год, когда родился математический анализ

В феврале 1994 г. медицинский журнал Diabetes Care опубликовал статью исследовательницы Мэри Тай под названием «Математическая модель для определения общей площади под кривой толерантности к глюкозе и другими метаболическими кривыми».

Да, я знаю, что это заголовок-приманка для журналистов, падких на сенсации, но давайте отнесемся к нему с пониманием.

Что бы вы ни ели, в кровоток попадает сахар. Тело может получить глюкозу из чего угодно, даже из шпината и стейка, именно поэтому «Диета Бена Орлина» не прибегает к полумерам, а включает в себя только рогалики с корицей. Какой бы ни была пища, уровень сахара в крови повышается, а затем, со временем, возвращается к норме. Главные вопросы, связанные со здоровьем: насколько он повышается? Как быстро снижается? И, самое главное, какой траектории следует его график?

Гликемическая реакция – это не просто пик кривой или значение длительности; это целая история, совокупность бесчисленного количества крошечных моментов. Что врачам нужно знать, так это площадь области под кривой.

Увы, они не могут просто применить фундаментальную теорему математического анализа. Она для кривых, которые определяются аккуратными формулами, а не для тех, которые появились в результате игры «соедини точки» и основаны на эмпирических данных. Для таких неаккуратных реальностей нужны методы аппроксимации.

Именно этому посвящена статья Тай. «В модели автора, – объясняется в ней, – общая площадь под кривой вычисляется с помощью разделения этой области на маленькие сегменты (прямоугольники и треугольники), площадь которых можно точно вычислить с помощью соответствующих геометрических формул».

Тай пишет, что «при использовании других формул часто происходит существенная недооценка или переоценка общей площади области под метаболической кривой». Ее метод, напротив, вычисляет площадь с точностью до 0,4 %. Это умный геометрический трюк, если только не считать одного крошечного недочета.

Это Матан 101[50].

Многие века математики знали, что, когда дело доходит до практической аппроксимации, есть методы намного лучше, чем Римановы контуры зданий-прямоугольников. В частности, вы можете определить ряд точек на вашей кривой, а затем соединить их прямыми. Таким образом получится вереница длинных, тонких трапеций.

Забудьте 1994 г. Этот метод не был нов ни в 1694 г., ни в 94 г. до нашей эры. Древние вавилоняне использовали его, чтобы вычислить расстояние, которое проходит по небу планета Юпитер. Тай написала, рецензент одобрил, а Diabetes Care опубликовал работу тысячелетней давности, то, что трудолюбивый студент первого курса может сделать, выполняя домашнее задание. И все это подано так, будто является новым.

Математикам выпал день, богатый на возможности повеселиться.

Результат № 1. Несогласие и неодобрение. «Тай предложила простую, хорошо известную формулу, подчеркнув, что это ее собственная математическая модель – так было написано в одном из критических писем, полученных Diabetes Care, – и при этом допустила ошибку».

Результат № 2. Насмешки. «Потрясающее игнорирование математики!» – отметил один комментатор в интернете. «Это смешно!» – написали несколько других.

Результат № 3. Примирение. «Главный урок, который мы должны извлечь из этого, состоит в том, что рассчитать площадь областей под кривой достаточно трудно», – написал исследователь диабета, чью более раннюю работу раскритиковала Тай (как выяснилось, эта критика была основана на неправильном понимании). Письмо заканчивалось в примирительном тоне: «Боюсь, я тоже должен разделить ответственность за свой вклад в эту путаницу».

Результат № 4. Возможности для обучения. Два математика выразили несогласие с тем, на чем Тай пыталась настаивать. Она пыталась доказать, что ее формула связана не с трапециями, а с треугольниками и прямоугольниками. Они же нарисовали для нее картинку: «Как становится очевидно, если посмотреть на изображенную ниже фигуру… маленький треугольник и вытянутый прямоугольник составляют трапецию».

Результат № 5. Самокритика. «Как самоуверенный физик, – написал один комментатор в ответ на забавный пост в блоге, – я нахожу это смешным, но не могу перестать думать о том, что из-за этого поста мы выглядим даже хуже, чем они… Уверен, вы найдете множество физиков, которые говорят исключительно невежественные вещи о медицине или экономике».

К тому же исследователи-математики также известны тем, что заново изобретают колесо. Во время учебы в аспирантуре легендарный Александр Гротендик самостоятельно воссоздал интеграл Лебега, не понимая, что повторяет старую работу.

Как утверждает Тай, она не пыталась прославить свой метод. «Я никогда не думала о том, чтобы опубликовать модель как великое открытие или достижение», – писала она. Но коллеги «начали использовать ее и… поскольку исследователи не могут ссылаться на неопубликованную работу, я пошла на то, чтобы напечатать ее по их просьбе». Она просто пыталась поделиться своими мыслями, способствовать дальнейшему изучению.

Увы, в научном сообществе публикация статьи не означает, что вы лишь хотите поделиться с кем-то информацией. Это больше чем просто сказать: «Вот штука, которую я знаю!» Это нечто вроде демонстрационного щита, заявления: «Эй, вот штука, которую я знаю, потому что открыл ее, поэтому, пожалуйста, поставьте мне высокую оценку. Спасибо вам и доброй ночи».

У системы публикаций есть свои пороки. «Мы можем участвовать в научном дискурсе единственным способом, – пишет математик Изабелла Лаба, – публикуя исследовательские статьи. То есть фактически нам нужно получить новые, интересные и значительные результаты, и только тогда нам будет позволено внести свой вклад в науку».

Лаба сравнивает такую ситуацию с экономикой, где самой маленькой купюрой является 20-долларовая. Как кто-то в таком мире может получить сдачу в булочной? Вам придется или уговаривать клиентов покупать маффины сразу на двадцать баксов, или раздавать выпечку бесплатно. Тай предпочла заработать двадцатку, но ни один из этих вариантов не хорош. «Нам нужно ввести в оборот банкноты меньшего достоинства, – пишет Лаба. – Должна быть возможность сделать менее значительный вклад, скажем, в виде полезного комментария в блоге».

Интегралы нужны не только математикам. Гидрологи используют их, чтобы оценить поток загрязняющих веществ, проходящих через грунтовые воды; биоинженеры – чтобы проверить теории легочной механики; экономисты – чтобы проанализировать распределение доходов среди населения, его отклонение от состояния идеального равенства. Интегралы применяют исследователи диабета, механики, немного одержимые русские классики, да и все люди, которые ищут площадь области под кривой, бесконечную сумму стремящихся к нулю частей. Интеграл – это молоток в мире, полном гвоздей, и он не принадлежит только тем, кто его сделал.

Но преподаватели математического анализа, такие как ваш опечаленный и полный раскаяния автор, могут оступиться. Мы подчеркиваем первообразные – подход, который работает только в теоретических выкладках, когда мы явно задаем формулу для кривой. Это ставит философию над практикой, абстракцию над эмпирическим опытом.

Такой подход устарел. «Методы численного анализа выросли в одну из самых крупных отраслей математики, – пишет профессор Ллойд Н. Трефетен. – Большинство алгоритмов, которые делают их возможными, были изобретены после 1950 г.». Правило трапеций, увы, не находится среди них. Но математический анализ остается развивающейся областью науки, даже в годы после 1994-го.

XXIIIЕсли страдание должно прийти

«Природа подчинила человечество, – писал Иеремия Бентам[51] в 1780 г., – двум верховным властителям». Отказавшись от очевидных кандидатов (ореховый пирог и послеобеденный сон), он назвал этих властителей страданием и удовольствием. Полагаю, в этом есть смысл. Ведь теперь остается сделать всего лишь один маленький шаг до того, чтобы охотно принять вывод Бентама: мы должны свести страдание к минимуму и поднять удовольствие до максимума.

Так родился утилитаризм – философское течение, которое, как и всякая другая философия, приносит сейчас гораздо больше головной боли, чем во времена своего появления.

Утилитаризм предлагает нам искать все самое хорошее в наибольших количествах. Лучше, чтобы тебе потерли спинку 11 раз, чем 10. Лучше получить ноль пощечин, чем одну. Достаточно просто. Но что, если удовольствие и страдание противопоставлены? Приведем вполне приемлемый пример – представьте себе, что мы каким-то образом можем спасать жизни, пиная людей по голеням. Как мы должны воспринимать получающееся в итоге соотношение? Разумеется, спасение одной жизни стоит 50 пинков по голени. И даже 500. Но что насчет 50 000 или 5 млн? Что, если для того, чтобы спасти одну-единственную жизнь, нам придется пнуть все голени на Земле? Если боль в голени длится минуту, то это почти двести отпущенных человеку жизненных сроков, наполненных болью, – и все ради спасения одной жизни. Не лучше ли тогда пожертвовать одним и пощадить многих?

Должен ли один человек умереть ради спасения голеней всего человечества?

Утилитаризм низвел этику до уровня математики, до того, что философы называют «исчислением счастья». Чтобы составить мнение о предстоящем действии, нам нужно определить, сколько удовольствия и страдания оно нам принесет, и прикинуть, чего будет больше. Бентам любезно наметил в общих чертах соответствующие критерии:

Он даже срифмовал небольшое мнемоническое стихотворение, чтобы законодателям легче было держать в памяти эти критерии во время обсуждения законов:

Intense, long, certain, speedy, fruitful, pure –

Such marks in pleasures and in pains endure.

Such pleasures seek if private be thy end:

If it be public, wide let them extend

Such pains avoid, whichever be thy view:

If pains must come, let them extend to few[52].

Эй, мне нравятся хорошие стихи! Мне даже нравятся плохие стихи. Но какая-то моя часть хотела бы, чтобы Бентам написал еще кое-что в этом стиле, я имею в виду – никогда не думал, что это скажу, – в стиле учебника алгебры. «Поступай с душой, – однажды сказала Эмили Дикинсон, – как с алгеброй!»

Бентам согласился, хотя и отказался вести себя как правильный учитель алгебры. Где бесчисленные упражнения, примеры работ, аккуратные теоремы в рамочках? Прошло целых 100 лет, прежде чем экономист по имени Уильям Стэнли Джевонс предпринял попытку разработать метод исчисления счастья вне существовавшего на тот момент математического анализа.

В качестве первого шага он объявил, что ось y будет отражать интенсивность эмоции.

Ось х тем временем будет передавать протяженность эмоции.

Скажем, вы слушаете композицию «So Fresh, So Clean» дуэта Outkast – композицию, которая продолжается точно четыре минуты и доставляет постоянное наслаждение уровня «ужасно круто!». Вычисление радости, которую приносит этот опыт, – это, таким образом, простое умножение, как поиск площади прямоугольника.

«Но если интенсивность… – пишет Джевонс, – меняется, как какая-то функция, с течением времени» (что часто происходит с группами, которые не столь идеальны, как Outkast), тогда «количество эмоции измеряется сложением бесконечно малых или интегрированием.

По модели Джевонса выдающееся двухминутное поглаживание спины может каким-то образом оказаться «равным» достаточно хорошему пятиминутному поглаживанию. Два часа, в течение которых вам вроде надо сходить по-маленькому, могут в каком-то смысле быть «равны» 30 минутам, когда нестерпимо хочется сходить по-большому.

Роберт Фрост в заглавии одного стихотворения написал: «Чем счастье короче, тем ярче». Джевонс выразил это соотношение более определенно, математически.

Также Джевонс заявил, что страдание и удовольствие взаимно отменяют друг друга. Хотя некоторые другие последователи утилитаризма с ним не согласны – они доказывают, что «гедоны» (единицы удовольствия) и «долоры» (единицы страдания) так же несопоставимы, как яблочный сок и свитер апельсинового цвета, – Джевонс заявляет, что удовольствие и страдание просто «противоположны как положительные и отрицательные значения».

Если Бентам свел мораль к математике, то Джевонс поставил себе целью сделать следующий шаг, упростив ее до измерений. Этика стала упражнением в сборе данных. Если схемы Джевонса работают, тогда делать правильные вещи так же легко, как взвесить посылку или вычислить сумму чека в продуктовом магазине. Он обещает расположить по-новому бесконечное количество чрезвычайно кратких моментов нашей жизни так, чтобы получился единый интеграл, четкая моральная структура – и это с полным правом можно будет назвать величайшим прорывом в истории человеческой нравственности.

Проще простого, да только, как я полагаю, все это не сработает.

Через столетие после Джевонса команда психологов во главе с Даниэлем Канеманом[53] начала исследование непосредственного опыта людей при страдании: испытуемых заставляли опускать кисти рук в ледяную воду. (Психология – это социология для социопатов.) Одну руку погружали в воду температурой около 14° С на одну минуту. В другой раз вторую руку подвергали такому же испытанию, добавив дополнительные 30 секунд пребывания в воде, причем за это время температура постепенно повышалась до 15° С.

Позднее испытуемых спрашивали, какой опыт они повторили бы с большей готовностью.

По теории Джевонса никто не должен выбирать последний путь. В нем есть вся леденящая боль первого опыта плюс еще немного. Если только вы не арктический тюлень и не мазохист (или все вместе), дополнительное время пребывания в ледяной воде вам не понравится.

И тем не менее большинство испытуемых выбрали именно это. Оглядываясь назад на пройденные испытания, люди склонны не обращать внимания на то, как долго они длились. Вместо этого они сосредотачиваются на критических точках и окончании – на максимуме боли и на уровне боли в конце. Поскольку во втором опыте критическая точка была той же самой, а окончился он на несколько менее болезненной ноте, испытуемые вспоминали его более доброжелательно.

Эмоции в том виде, в каком они хранятся в человеческой памяти, не похожи на интеграл Джевонса. Перевешивают всегда последние из них. Вспоминаю одно высказывание Рэя Брэдбери: «Яркий фильм с посредственным финалом – это посредственный фильм. Напротив, средний фильм с великолепной концовкой – это отличный фильм». Что делает историю счастливой или грустной, циничной или дарящей надежду, трагической или комической? Это окончание, и больше ничего. Именно поэтому мы торопимся к постели умирающего и долго думаем о его последних словах. Именно поэтому последние минуты жизни могут перевесить все предшествующие восемь десятков лет.

Основа, на которой строится утилитаризм, – это субъективный опыт. Человеческие эмоции. Временами это основание кажется не слишком прочным и скорее напоминает поток раскаленной магмы. Это серьезный вызов мечте превратить нравственность в математику.

Но даже если и так, утилитаризм остается мощным и нужным голосом в моральной сфере. Конечно, мы можем спорить о том, что считать «величайшим добром» («Лучше быть недовольным Сократом, чем всем довольным дураком», – сказал экономист XIX в. Джон Стюарт Милль), или кто входит в число «величайших людей» («Большинство человеческих существ – сторонники видовой дискриминации», – предупреждал философ Питер Сингер), или как собрать миллиард субъективных знаний в единое множество (может быть, Лев Толстой сможет помочь?). И пусть мы отвергаем исчисление счастья по Джевонсу, но всякий раз, придумывая свои способы подсчитать то же самое – новые варианты, больше учитывающие сложную эмоциональную составляющую, – мы идем по его стопам. Явно или нет, последовательно или не очень, мы проживаем свои жизни, так или иначе исчисляя счастье.

XХIVСражение с богами

Вы слышали о римлянах: упрямые, несговорчивые, начисто лишенные чувства юмора, да вдобавок это «наши-мраморные-обломки-будут-лежать-здесь-еще-тысячу-лет». В 212 г. до н. э. их армия подошла к побережью Сицилии, чтобы захватить непокорный маленький город Сиракузы. Историк Полибий отмечает, что они прибыли вооруженные до зубов, на 60 кораблях, «наполненных лучниками, пращниками и копьеметателями», захватив с собой четыре огромные осадные лестницы.

Но Сиракузы знали старую поговорку: «Попав в руки римлян, поступай, как римлянин». То есть сражайся, как с чертями в аду. Из маленьких и больших катапульт жители Сиракуз обрушили на римлян «град камней» и дождь железных дротиков. Затем из стен города появились огромные механические когти, хватавшие римские корабли и «бросавшие их на острые скалы или на дно моря». Историк Плутарх рассказывает: «Бо́льшая часть Архимедовых машин была скрыта за стенами, и римлянам казалось, что они борются с богами – столько бед обрушивалось на них неведомо откуда»[54].

Но дело обстояло намного хуже. Они сражались с Архимедом.

В обойме величайших математиков всех времен и народов Архимед единодушно признается ученым «первого ряда». Галилей называл его «суперчеловеком». Лейбниц твердил, что этот грек изменил само представление о гениальности, выставив более поздних мыслителей скучными и обыденными по сравнению с ним. «В голове Архимеда было больше воображения, – писал Вольтер, – чем у Гомера». Впрочем, Архимед, разумеется, никогда не получал Филдсовскую медаль – самую почетную в математике, но в его защиту можно сказать, что лицо мыслителя изображено на этой медали.

Хотите получить представление о его уме? Возьмите куб и разрежьте его на три равные части.

Три получившиеся фигуры – это идентичные пирамиды, каждая из которых имеет квадратное основание и острую вершину над одним из углов основания. Таким образом, каждая из них должна занимать 1/3 объема первоначального куба.

Пока все идет замечательно, но мы только начали.

Возьмите одну из этих пирамид и нарежьте ее на бесконечное количество чрезвычайно тонких ломтиков. Если я сделаю это правильно – а, принимая во внимание мою неуклюжесть в обращении с обычными кухонными ножами, вы, возможно, захотите лишний раз проверить мою работу с этим бесконечным концептуальным ножом, – каждое поперечное сечение должно быть идеальным квадратом.

Самый нижний квадрат представляет собой основание куба. Самый верхний выходит таким крошечным, что является одной-единственной точкой. Между этими двумя крайними случаями есть множество других квадратов промежуточного размера.

Теперь перейдем к дальнейшим действиям. Представьте себе эти квадраты как стопку бесконечного количества карт, каждая из которых толщиной с волос. Если перекладывать их с места на место, то объем не изменится, так что поехали! В данный момент у всех наших квадратов есть общий угол. Но почему бы не переместить их так, чтобы у них был общий центр? Это превратит нашу асимметричную пирамиду странного вида в классическую, в египетском стиле.

Самое замечательное – это то, что объем не изменяется. Он так и остается 1/3 от объема куба.

Теперь мы подошли к настолько гениальному и удобному шагу, что, когда математик Бонавентура Кавальери переоткрыл его в начале XIX в., его назвали «принципом Кавальери». На самом деле этот принцип придумал Антифон (V в. до н. э.), развил Евдокс (IV в. до н. э. – в действительности он впервые привел аргумент, о котором я говорю сейчас) и усовершенствовал Архимед (III в. до н. э. – вскоре мы доберемся до его уникального дополнения). Я собираюсь назвать его в честь охватившей ряды римлян паники «принципом бесчисленных бед».

Идея проста. Если вы имеете дело с трехмерными фигурами, то объем не меняется, когда вы заменяете одни поперечные сечения другими той же площади. Например, мы можем поменять наши квадраты на прямоугольники. Объем полученной теперь продолговатой пирамиды по-прежнему составляет 1/3 призмы, ранее известной как куб.

Или – эндшпиль великого гроссмейстера – мы можем превратить наши квадраты в круги. Неважно, что в действительности это делается с помощью карандаша и бумаги, называется квадратурой круга и по-настоящему невозможно. На практике – это для гимнастов, мы же с вами скользим по облакам чистой геометрии. Поэтому просто представьте, как каждый квадрат медленно превращается в круг, а площадь его не меняется.

Наша пирамида становится конусом. Наш куб становится цилиндром. И, таким образом, конус составляет 1/3 цилиндра, который содержит его.

Довольно круто, правда? Во II в. Плутарх писал:

…во всей геометрии не найти более трудных и сложных задач, объясненных посредством более простых и прозрачных основных положений… Собственными силами вряд ли кто найдет предлагаемое Архимедом доказательство, но стоит углубиться в него – и появляется уверенность, что ты и сам мог бы его открыть: таким легким и быстрым путем ведет к цели Архимед.

Тем не менее эти экскурсы в геометрию не описывают «военного гения». Читатель должен поинтересоваться: откуда взялись военные машины, сразившие римлян?

«Сам Архимед считал сооружение машин занятием, не заслуживающим ни трудов, ни внимания, – отмечал Плутарх, – большинство их появилось на свет как бы попутно, в виде забав геометрии». Как бы странно это ни звучало, такое часто происходит в истории математики. Бесцельная игра фантазии каким-то образом ведет к технологическому прорыву.

Хотя римляне не особенно оценили чисто математические достижения, они явно отдали должное смертельным когтям, крушившим их суда. Распознав в себе грабителей из древнего приквела к «Один дома», генерал Марцелл и его армия отступили.

В один прекрасный день несколько месяцев спустя Архимед рисовал фигуры на песке. Мне нравится представлять, что он вспоминал свое любимое доказательство – теорему, которую он велел друзьям и родным написать на его могиле.

Она начинается со сферы.

Мы заключаем ее в цилиндр, идеально подогнанный, как упаковка – к теннисному мячу.

Вопрос Архимеда заключался в следующем: какую часть цилиндра заполняет сфера?

(В действительности вопрос был более элементарным: насколько велика сфера? Но любое описание размера требует ссылки на что-то, что нам уже известно: к примеру, мой рост – это приблизительно 5 2/3[55] тех давно существующих единиц, которые называются футами. И тут-то в дело как раз и вступает цилиндр.)

Для начала разрежем всю фигуру пополам. Вместо теннисного мяча в контейнере мы получим полусферу в хоккейной шайбе.

Теперь, вместо того чтобы беспокоиться об объеме внутри полусферы, мы можем сосредоточиться на объеме вне ее. В духе «бесчисленных бед» мы можем считать эту область пачкой обручей или шайб, каждая из которых является окружностью с круглой дырой в середине.

Внизу этой стопки находится чрезвычайно тонкая шайба. Ее дыра занимает весь круг, оставляя только напоминающее струну кольцо. Наверху тем временем пребывает очень толстая шайба. Это почти целый круг с отверстием размером с булавочный прокол. Между ними находится целое семейство шайб.

Каковы площади этих фигур? После интерлюдии с хитрой алгеброй мы приходим к выводу, что площадь каждой равна πh², где h – расстояние от поверхности.

Это означает, что, применяя Принцип бесчисленных бед, каждую из них можно заменить кругом радиусом h.

Видите! У нас получился не странный кратер в форме полусферы, а простой конус, перевернутый острием вниз.

Как мы уже установили, конус заполняет 1/3 цилиндра. Таким образом, пустое пространство – то есть то, что было полусферой – заполняет 2/3.

Вывод: сфера заполняет 2/3 цилиндра.

Над этими чертежами на сицилийском песке Архимед мечтал об интегралах за тысячелетие до их изобретения. Площади и объемы, бесконечное количество ломтиков, перестановки, которые решают проблему непрерывности и кривизны, – все это химические ингредиенты, «первичный бульон», из которого позднее развились интегралы. Почему же тогда миру так долго пришлось ждать рождения математического анализа?

В тот день римляне взяли город. В течение нескольких часов Сиракузы были сожжены, а солдаты впали в состояние неистовства, грабя и убивая. «Множество жестокостей было совершено сгоряча и из жажды наживы», – писал историк Ливий. Тем не менее римский военачальник Марцелл настаивал на том, чтобы сохранить жизнь великому геометру, «находя в том, чтобы спасти Архимеда, столько же славы, сколько и в разрушении Сиракуз» (по словам другого историка).

Архимед даже не заметил падения города. Что значит какой-то грабеж и разрушения по сравнению с всепоглощающей красотой фигуры на песке?

Историки расходятся во мнении по поводу того, что сказал Архимед, когда к нему приблизился римский солдат. Возможно, он взмолился: «Пожалуйста, не стирайте мои круги!» Может быть, он разбушевался: «Не трогай моих чертежей, парень!» Весьма вероятно, что он прикрыл рисунки ладонями, как будто идеи значили намного больше, чем его собственная жизнь: «Лучше ударьте меня по голове, только не стирайте линии!» В любом случае все источники сходятся в одном: солдат убил Архимеда. Кровь заполнила прочерченные в песке дорожки, оставленные его пальцами. Марцелл настоял на подобающем погребении и осыпал родственников ученого подарками и милостями. Но виновник «бесчисленных бед» был мертв.

Сегодня величайшим наследием Архимеда считаются не катапульты и когти, а геометрия. Его понятные аргументы, его восприятие бесконечности, то, как близко он подошел к математическому анализу. Мог ли один легкий дополнительный толчок привести к нему? Мог ли матанализ возникнуть на Земле на тысячу лет раньше, чем это произошло в реальности?

Обдумайте высказывание математика Альфреда Норта Уайтхеда:

Гибель Архимеда от рук римского солдата – символ перемен первой величины в масштабе всего мира. Греки с их любовью к абстрактной науке уступили лидерство в европейском мире практичным римлянам.

В практичности в целом ничего плохого нет. Или все-таки есть. Премьер-министр Великобритании XIX в. Бенджамин Дизраэли определял практичного человека как «практикующего ошибки своих предков». Согласно Уайтхеду, именно это и делали римляне. Нигде в победившей стране вы не смогли бы найти искру воображения, которая была у побежденных.

Все их усовершенствования состояли в мелких технических деталях. Они не были мечтателями в достаточной степени… Ни один римлянин не поплатился жизнью за то, что был поглощен созерцанием математического чертежа.

Столетия спустя, когда жители Сиракуз забыли о наследии Архимеда, писатель Цицерон предпринял попытки отыскать его могилу. Он нашел ее, «скрытую кустами ежевики и терновника»: «маленькую колонну, едва видневшуюся над зарослями». Цицерон узнал могилу по тому, что было вырезано на ней, как и просил Архимед: сфера и цилиндр. Могила давно исчезла, но она запечатлелась в нашем коллективном воображении, которое может пережить пыль, кровь и все каменные строения, созданные руками римлян.

XXVИз невидимых сфер

Мир «Флатландии» – романа о многих измерениях[56] – понятен из его названия. Место действия этого произведения, написанного в 1884 г., является абсолютно плоским: оно более плоское, чем блин, чем лист бумаги, чем женские характеры в фильмах Майкла Бэя. Это мир двух измерений, где имеются длина и ширина, но нет высоты. Тем не менее его обитатели – треугольники, квадраты, пятиугольники и так далее – не ощущают отсутствие одного измерения. На самом деле они, как канзасцы в Канзасе и техасцы в Техасе, не могут представить существование вне своего мира.

Пока в один прекрасный день не появляется очень странный визитер.

Вначале сфера выглядит всего лишь как точка, появившаяся из ниоткуда. Затем, по мере ее прохождения через Флатландию, рассказчик (по имени Квадрат) видит окружность, постепенно растущую в размерах.

В самом деле необычайно! Представьте себе, что бы вы чувствовали, если бы какой-то парень прошел через дверь и в этот момент увеличился в росте от 1,2 м до 1,8 м. (Возможно, вы бы ощутили себя, как я каждый раз, когда веду уроки у девятиклассников.) Квадрат задался вопросом, что же за чертовщина здесь происходит, но получил только зашифрованные ответы наподобие этого:

Вы называете меня Окружностью, но в действительности я не Окружность, а бесчисленное множество Окружностей различных размеров, от Точки до Окружности, достигающей тринадцати дюймов в диаметре, как бы сложенных вместе. Пересекаясь с вашей Плоскостью, я образую в сечении Фигуру, которую вы с полным основанием называете Окружностью. Ибо даже Сфера (так называют меня обитатели страны, в которой я живу), если у нее возникает необходимость предстать перед обитателями Флатландии, вынуждена принимать форму Окружности[57].

С помощью этих странных разглагольствований сфера находит способ рассказать о своей природе. Сфера – это стопка бесконечного множества дисков, отличающихся радиусом и чрезвычайно тонких. Понять сферу означает совместить – суммировать – все эти маленькие круги в единое целое.

Сфера – это интеграл окружностей.

Если вы посещали курс математического анализа на первом году обучения, то ранее уже встречались с этим понятием. Это завершающая тема, где лихо закручивается идея трехмерности.

(Предупреждение: если вы чувствительны к укачиванию и плохим каламбурам, обратите внимание на слово «закручивается».)

Для начала возьмите плоскую двухмерную область. Затем раскрутите ее вокруг оси, как жесткий флажок вокруг палки. Пространство, через которое она проходит, оформится в виде трехмерного объекта, называющегося «тело вращения».

Это вращение, как на гончарном круге, превращает двухмерные области в трехмерные объекты, Флатландию – в Трехмерие. Если вы хотите узнать объем созданного нами тела, подход будет очень простым: проанализируйте его как стопку бесконечного количества плоских дисков и объедините их.

Чтобы высчитать объем сферического «злоумышленника», вначале мы должны выбрать подходящую двухмерную область. Какая форма при вращении вокруг своей оси, как цыпленок на вертеле, создаст сферу с диаметром 13 см?

Подключите свой внутренний 3D-принтер, и, думаю, вы обнаружите, что этот фокус проделывает полукруг.

Забавный факт про полуокружности: они полны радиусов. Забавный факт про радиусы: каждый из них является гипотенузой прямоугольного треугольника. Это означает, что координаты каждой точки полуокружности подчиняются теореме Пифагора.

После небольших алгебраических манипуляций, которые я, как и любой рачительный хозяин, замел под ковер, чтобы спрятать из виду, мы получаем соответствующий интеграл. Это будет бесконечное количество бесконечно тонких дисков. Они начинаются с нулевого радиуса, возрастают до радиуса 6,5, а затем снова уменьшаются до нуля. Совсем как сфера, проходящая через Флатландию.

Я снова скрою от вас алгебраические детали и дам вам непосредственно конечный результат. Объем таинственной сферы равен или приблизительно 1150 кубических единиц.

В двух идущих друг за другом главах мы рассчитывали объем сферы. Возможно, вы заметили общие моменты. Оба метода начинают с того, что задача делится на две части, оба предполагают бесконечное рассечение, в обоих есть забавные картинки. И тем не менее они оставляют совершенно разное послевкусие, не так ли? Я лично предпочитаю доказательство Архимеда. Оно быстрое. Оно здравое. Детали в нем хорошо подогнаны друг к другу. Это работа мастера, это искусность и даже искусство.

Что же касается подхода с «телом вращения» – я не могу сказать, что он тешит душу. После многообещающего эстетического начала (вращение! бесконечные слои!) он заканчивается несколькими строчками грубой алгебры. Это словно прогулка пешком, которая каким-то образом ведет с живописной вершины холма в терминал аэропорта. Элегантная загадка, таким образом, сводится к упражнению.

И в этом-то все дело!

Мы все не можем быть Архимедами. На самом деле статистика доказывает, что никто из нас им не является. Если мы будем полагаться на космические озарения, чтобы решить стоящие перед нами задачи, нам придется ждать тысячелетия. Чтобы что-нибудь сделать, нам нужно превратить мистику в механику, текучее в статичное, невыразимое в нечто, что можно описать.

Тела вращения полностью выражают эту мысль. Любой из нас может спокойно пройти по пути, который раньше мог проделать только Архимед. В этом вся суть математического анализа: дать системный подход к решению задач, пугающих своей сложностью. Сделать каждого из нас Архимедом на автопилоте. Огромное семейство фигур – от кубов и конусов до пирамид и фигурок Микки-Мауса – можно рассечь и изучить с помощью тел вращения.

Как бы все это могло выглядеть для нашего героя из Флатландии, неустрашимого, но несколько обескураженного Квадрата? Вспомните, в начале истории он не мог видеть третье измерение. И даже не мог представить его. Чтобы понять его рассказ о том, что представляет собой жизнь во Флатландии,

положите на какой-нибудь стол в своем Пространстве монету достоинством в один пенни и, наклонившись над столом, посмотрите на него сверху. Монета покажется вам кругом.

Приняв затем вертикальное положение, начните медленно приседать таким образом, чтобы луч вашего зрения постепенно приближался к поверхности стола (а вы сами все более и более приближались бы к состоянию обитателей Флатландии). Вы увидите, что монета перестанет казаться вам кругом и примет овальную форму. Когда же, наконец, луч вашего зрения совместится с поверхностью стола (а вы как бы станете флатландцем), то монета вообще перестанет быть овалом и покажется вам, как вы сможете убедиться, отрезком прямой.

Как трехмерные создания мы можем видеть в двух измерениях, наше поле зрения словно холст художника или экран кинотеатра. По тому же самому принципу двумерные обитатели Флатландии могут видеть в 1D. Их поле зрения – это линия горизонта, выше и ниже которой ничего нет.

Так как же тогда вы объясните третье измерение этому бедолаге? В романе все попытки Сферы кончаются ничем.

Я: Не могли бы вы, ваша милость, указать или объяснить мне, в каком направлении простирается неизвестное мне третье измерение?

Незнакомец: Я прибыл к вам из третьего измерения. Оно простирается вверх и вниз.

Я: Ваша светлость, по-видимому, хотела сказать к северу и к югу?

Незнакомец: Ничего подобного! Говоря о третьем измерении, я имел в виду направление, в котором вы не можете взглянуть, потому что у вас нет глаз сбоку.

Я: Прошу прощения, ваша светлость, но достаточно даже беглого взгляда, чтобы ваша милость могла убедиться: там, где сходятся две мои стороны, у меня расположено великолепное око.

Незнакомец: Не спорю, но для того, чтобы вы могли заглянуть в Пространство, вам необходимо иметь глаз, расположенный не на периметре, а на боку: на том месте, которое вы скорее всего назвали бы своей внутренностью. Мы в Трехмерии называем ее нашей стороной.

Я: Иметь глаз в своей внутренности! Глаз в собственном желудке! Ваша милость шутит[58].

Когда язык и интуиция подводят, остается только одно спасительное средство. Нет-нет, не горсти галлюциногенов. Я имею в виду математический анализ. Даже если Квадрат не может увидеть форму неожиданного визитера, он тем не менее может рассчитать объем незнакомца. Расчет интеграла не требует всеобъемлющей визуализации или непосредственного опыта. Нужна просто определенная квалификация.

Если есть сомнения, математика поможет.

В колледже друг рассказал мне о «Флатландии» как о книге, с помощью которой «ты ближе всего подойдешь к тому, чтобы действительно увидеть четвертое измерение». Этот переломный момент наступает в конце романа, когда Квадрат просит Сферу показать ему не только три измерения, но и четыре:

Подобно тому как вы превосходите все Фигуры, населяющие Флатландию, объединяя множество Окружностей в единое целое, должно существовать Нечто, объединяющее в себе множество Сфер в одну высшую сущность, превосходящую по своему совершенству все Тела, обитающие в Трехмерии. Мы, находясь сейчас в Пространстве, взираем на Флатландию сверху и свободно заглядываем внутрь всех предметов. Точно так же должна существовать некая более возвышенная, более чистая область…

Но Сфера отказалась принимать свое собственное лекарство.

– Что за чепуха! – закричала она. – Оставим глупые шутки!

Я должен признать, что симпатизирую Сфере. Если существует четвертое пространственное измерение, то наша трехмерная реальность составит бесконечно тонкий его ломтик. Визитер из четырехмерного мира появится из ниоткуда посередине комнаты и будет меняться в размерах, потому что мы сможем видеть только одно его поперечное сечение за раз – не само существо, а его бесконечно малый слой.

Я могу все это описать словами. Но не могу вообразить и изобразить.

Тем не менее иногда там, где не может помочь размышление, на помощь приходит математический анализ. Чтобы вычислить объем четырехмерной сферы, мне просто надо собрать бесконечную коллекцию трехмерных.

На это мне потребовалась целая страница формул и несколько твитов, которые можно назвать помощью от моих добрых интернет-приятелей. Но я сделал это.

Мои действия похожи на рассказ математика Стивена Строгаца о его собственных школьных днях:

Я был трудягой. Стиль у меня был жесткий. Я искал метод, чтобы разгрызть задачу. Если это было отвратительно, трудоемко или требовало многих часов алгебраических вычислений, я не возражал, потому что в результате честного изнурительного труда гарантированно появлялся правильный ответ. На самом деле я любил именно эту сторону математики. В ней была справедливость. Если ты правильно начал, усердно трудишься и все делаешь правильно, то может быть тяжело и утомительно, но логика убеждает тебя, что в конце ты победишь. Решение будет тебе наградой.

Для меня огромным наслаждением было видеть, как рассеивается алгебраический дым.

Именно это нам дарит математический анализ. Он подтверждает нашу веру в космическую справедливость, в то, что тяжкий труд будет вознагражден, а долгие часы утомительной работы в конце концов принесут победу. В этом случае, когда дым рассеется и вы увидите объем четырехмерной гиперсферы, это будет

Пожалуйста, обратите внимание, что единицами измерения являются метры в четвертой степени. Что это означает, я не знаю, но, зуб даю, Архимед не знал тоже. И это утешает меня.

XХVIПахлава исполинских размеров

Это глава о двухстраничном примечании, опубликованном в 1996 г. Возможно, звучит не очень понятно, так что позвольте разрешить все сомнения: это действительно загадочная история. Даже фантастическая. Примечание, о котором идет речь, затрагивает колючие, как кактус, темы из различных скучных областей – от «пустыни» введения в математический анализ до невероятных оранжерей экспериментальной литературы. Книгу «Бесконечная шутка» Дэвида Фостера Уоллеса[59], в которой появилось это самое примечание, называют «шедевром», «запретной и эзотерической», «романом о жизни Центральной Америки в последние 30 лет» и «огромным, энциклопедическим собранием всего того, что, по всей видимости, приходило в голову Уоллесу».

Мой вопрос состоит в следующем: зачем Уоллесу понадобилось насиловать свою душу и наполнять литературное произведение таким странным содержанием? Зачем посвящать две мертвые страницы среднему значению теоремы интегралов, когда в мире есть столько других интересных вещей?

Что для него значит теорема о среднем значении и чем он является для теоремы?

Несмотря на величественное название, теорема о среднем значении довольно проста. Представьте себе, что у вас есть некие количественные изменения в определенный период времени – рост, падение, падение, рост. Теорема о среднем значении утверждает, что где-то среди постоянного изменения и движения есть магическое мгновение – момент, когда значение функции равно общему среднему значению.

Возьмем, например, путешествие на автомобиле. Вы проезжаете 200 км за четыре часа, ваша скорость все время меняется. Если вы возьмете на себя труд ее посчитать, то средняя скорость получается 50 км/ч.

Теорема о среднем значении утверждает, что, по крайней мере, в одно прекрасное мгновение во время вашего путешествия вы ехали точно со скоростью 50 км/ч.

Это действительно очень простая логика. Ехали ли вы со скоростью выше 50 км/ч все четыре часа? Нет, тогда бы вы проехали больше 200 км. Ехали ли вы со скоростью ниже 50 км/ч? Снова нет, тогда бы вы проехали меньше 200 км. Была ли ваша скорость все время ниже или выше 50 км/ч и никогда не достигала этой отметки? Нет, если только вы не сидите за рулем тюнингованного DeLorean. Таким образом, мы приходим к выводу, что, по крайней мере, в один момент вы двигались точно со скоростью 50 км/ч.

Еще один пример – скажем, температура воздуха меняется в течение дня. Она повышается. Она понижается. Она возвращается к прежней отметке. Вы даже можете немного поговорить об этом, поскольку «обсуждение погоды» входит в список задач по умолчанию вашего социального программирования.

А теперь как же мы определим общее среднее значение температуры?

Чтобы найти среднее нескольких чисел, мы их складываем, а потом делим на количество данных. Если в результате трех последних тестов вы получили 70, 81 и 89[60], то ваше среднее – это их сумма (240), деленная на количество данных (3). Это дает вам 80. Но в случае с температурой мы имеем бесконечное множество данных в каждый конкретный момент дня. Чтобы суммировать их все, нам понадобится интеграл.

Заметьте, что на чертеже внизу интеграл меньше, чем прямоугольник слева, и больше, чем прямоугольник справа, точно так же как средняя температура ниже максимума, но больше минимума.

О чем говорит нам теорема о среднем значении? Просто о том, что в какой-то момент дня температура равнялась среднему значению.

Ну хватит про теорему о среднем значении. Теперь обратимся к самому Дэвиду Фостеру Уоллесу, чтобы посмотреть, что он сделал с этой маленькой простой теоремой. На одной из страниц «Бесконечной шутки» мы находим «сложную детскую игру» под названием «Эсхатон». Для нее требуется «400 теннисных мячей, таких побитых и лысых, что их больше нельзя использовать для подач». Каждый из них символизирует собой ядерную боеголовку. Игроки делятся на команды (представляющие мировых политиков), а затем получают причитающееся количество боеголовок, высчитанное с помощью теоремы о среднем значении для интегралов.

То самое примечание находится в конце книги. Именно из него мы узнаем, что для каждой нации соответствующий выборочный показатель для определения ядерного арсенала высчитывается по формуле Чем больше это число, тем выше ядерная мощь. Но вместо того, чтобы распределять теннисные мячи, обозначающие боеголовки, в соответствии с текущим значением, «Эсхатон» использует скользящий средний показатель за последние несколько лет, расчеты которого (согласно рассказчику в романе Уоллеса) требуют использования теоремы о среднем значении.

Если все вышеизложенное не имеет для вас никакого смысла, не волнуйтесь. Дело в том, что ничего из этого не имеет никакого смысла ни для кого.

Теорема о среднем значении относится к «теоремам существования». Она говорит нам о том, что в какой-то момент температура должна достичь среднего дневного показателя. Она не говорит и не может говорить о том, где или когда наступит этот момент. Теорема только указывает на «стог» времени и уверяет нас, что наша иголка находится где-то среди этого бесконечного множества мгновений.

Я несколько раз перечитал примечание Уоллеса, чтобы удостовериться, что он действительно использует теорему о среднем значении для вычислений и что это и вправду не срабатывает. Я даже не пытался обсуждать плохо выбранные статистические данные (а зачем наказывать страны за военные расходы не на ядерное оружие?) или недостоверное объяснение теоремы о среднем значении (автор настаивает, что для вычисления среднего нужны только минимум и максимум). Весь этот абзац напоминает погоню за эффектом на уровне Джуда Ванниски.

Это только усилило мое стремление найти ответ на вопрос: «Зачем, Дэвид Форест Уоллес, зачем?!»

Согласно тому, что писал сам Уоллес, математика – это нить, которая соединяет всю историю его жизни. «В детстве я выдумывал вещи, которые походят на упрощенные версии дихотомий Зенона, – однажды признался он, – и размышлял о них, пока не почувствовал себя буквально больным». Даже его способности к теннису сводились в конечном счете к математике. «Меня награждали как человека с незаурядными способностями к физической культуре, – писал Уоллес, – как чудо-мальчика, повелевающего ветром и жарой… отбивающего “атакующие свечи” с причудливыми и изысканными закрутами». Уоллес вспоминал свой родной город на Среднем Западе (Эрбана, штат Иллинойс) как гигантскую координатную плоскость:

Я вырос среди векторов, прямых и прямых, перпендикулярных прямым, сеток координат и – в масштабе горизонтов – широких кривых линий географической силы… Я мог на глаз вычертить диаграмму областей над и под этими широкими кривыми в том месте, где сходятся земля и небо, задолго до того, как дошел до чего-то формального вроде интегралов или скорости изменения. Математический анализ был буквально детской игрой.

Но, будучи студентом Амхерстского колледжа, он наткнулся на свое первое препятствие в области математики. «Однажды я чуть не провалил основной курс матана, – писал Уоллес, – и с тех пор преисполнился отвращения к традиционному высшему математическому образованию». Об этом он подробно рассказывал следующим образом:

Проблема с уроками математики в колледже, которые… практически полностью состоят из размеренного поглощения и переваривания абстрактной информации… в том, что их лежащая на поверхности неподдельная трудность может одурачить нас и заставить думать, что мы действительно что-то знаем, тогда как все, что мы «знаем» в реальности, – это абстрактные формулы и правила их использования. Во время лекций по математике очень редко говорят, имеет ли данная формула вообще какое-то значение, откуда она взялась или какова цена вопроса.

Я встречал студентов, которые разделяют это раздражение, что заставляет большинство из них искать конкретные примеры. Дэвид Фостер Уоллес остается Дэвидом Фостером Уоллесом, он бросился в противоположном направлении, к самым одурманивающим и абстрактным закоулкам этой науки. «В таких дисциплинах, как математика и метафизика, – разглагольствовал Уоллес, – есть то, что мы считаем одной из самых странных черт сознания среднего человека. Это способность постигать вещи, которые мы, строго говоря, не можем постичь». Как отметил математик Джордан Элленберг, «он влюбился в технику и аналитику».

Став профессиональным писателем, Уоллес продолжал возвращаться к обсуждению вопросов математики. В одном интервью он объяснил, что «Бесконечная шутка» повторяет структуру пользующегося дурной славой фрактала под названием «салфетка Серпинского».

Любовь Дэвида Фостера Уоллеса к математике достигает кульминации в эссе «Нечто и еще больше: компактная история бесконечности» (Everything and More: A Compact History of Infinity). Это насыщенный формулами и графиками труд в его любимой отрасли современной математики – теории бесконечности Кантора.

Если вы не поняли этого из заголовка романа «Бесконечная шутка», то Уоллес восхищался бесконечностью:

Это нечто вроде предела в попытках избежать подлинных ощущений. Возьмите одну-единственную самую распространенную и угнетающую черту этого конкретного мира – а именно, то, что все кончается, уходит и является ограниченным, – а затем абстрактно представьте нечто, не обладающее этой характеристикой.

Я читал «Нечто и еще больше…» сразу после книги Юджинии Чанг «За рамками вечности» (Beyond Infinity), и это привело к забавному наложению. Чанг – математик-исследователь – написала легкую, не отягощенную техническими подробностями научно-популярную книгу, наполненную аналогиями, в дружественной манере. Уоллес – романист – предпочел насадить непроходимые заросли сносок. И воспринимается это намного хуже. «Люди спрашивают, о ком именно думал Уоллес, когда писал, – размышлял философ Давид Папино в обзоре для The New York Times. – Если бы он убрал некоторые детали, пусть бы даже при этом пришлось рассказать меньше, чем он знает, то привлек бы гораздо больше читателей».

В этом как раз фишка Дэвида Фостера Уоллеса: он никогда, абсолютно никогда не рассказывает меньше, чем знает.

Кажется, по большей части Дэвида Фостера Уоллеса привлекали в математике именно те качества, которые отталкивают от нее других, причем, возможно, именно потому, что у других они вызывают неприязнь. «Современная математика, как пирамида, – писал он, – и ее широкое основание часто не вызывает веселья… Возможно, математика – типичный пример того, к чему сперва надо привыкнуть».

Возьмем, скажем, старшую двоюродную сестру теоремы о среднем значении: теорему о промежуточном значении. Мои студенты стараются рассматривать ее как сияющую очевидность, облаченную в одежды математического пустословия. В нормальных выражениях она говорит о том, что если в прошлом году ваш рост был 150 см, а в этом – 156 см, то где-то посередине был момент, когда ваш рост составлял 153 см.

Здесь ничего новенького.

В учебниках эта теорема представлена следующим образом: если функция f является непрерывной для всех значений х, причем а ≤ х ≤ b, а f (a) ≤ k ≤ f (b) или f (b) ≤ k ≤ f (a), то где-то существует некое значение с, такое, что a ≤ c ≤ b, а f (c) = k.

Почему целое цунами символов выражает такую несомненную вещь?

Надо сказать, что в XIX в. – том периоде, который Дэвид Фостер Уоллес рассматривал в «Нечто и еще больше…», – математиков начали занимать новые вопросы, связанные с бесконечностью. Какие суммы стремятся к разумному объяснению? А какие нет? Что мы действительно знаем и как мы это узнали? С педантичной осторожностью сообщество математиков пыталось найти пути перестройки математического анализа, обосновав его не геометрией или интуицией, а арифметическими неравенствами и точными алгебраическими положениями. Именно тогда теоремы о промежуточном значении и среднем значении вошли в моду. Если вы хотите шаг за шагом доказать каждый факт в математическом анализе, то эти теоремы необходимы.

Но неужели это единственно правильная «математика»? Неужели все более ранние поколения ученых от Архимеда и Лю Хуэя до Аньези спотыкаясь двигались к «правильным» представлениям, обладающим аналитической строгостью, как древние язычники в чистилище Данте ждали своего часа до рождения Христа?

Когда Дэвид Фостер Уоллес прославлял математику, он имел в виду один определенный раздел этой науки, появившийся на свет в XIX в. и более близкий к философии (которую Уоллес изучал в колледже), чем к геометрии, комбинаторике и т. д. Этот раздел он называл «пахлавой абстракций исполинских размеров», имея в виду сладкий вкус дерзновенных устремлений, а не его устрашающую бессмысленность для студентов, многих из которых начинает тошнить от одних только ключевых понятий. Но Уоллес щеголяет ими на протяжении всего романа, и единственная возможная цель этого – сбить с толку и произвести впечатление. Мне этот раздел тоже нравился в колледже, но с тех пор я отошел от него, ощущая, что не стал от этого беднее, ведь изысканная эстетика не все, чем может восхищаться математик.

Математика – узор, сотканный из множества нитей: формальных и интуитивных, простых и значительных, мгновенных и вечных. Люби́те ту нить, которая вам нравится. Но не принимайте ее за весь гобелен.

XXVIIТруби, Гавриил, труби!

В старой шутке спрашивается, способен ли Господь, будучи всемогущим, создать такой тяжелый камень, который он сам не сможет поднять. В вопросе содержится теологическая ловушка. Ответите «нет», и вы недооцените способность Господа творить; скажете «да», и вы неуважительно выскажетесь о его физической силе. Это называется «парадокс» – рана, которую логика наносит сама себе. Это довод, в котором кажущиеся правильными предположения приводят с помощью такой же с виду правильной логики к совершенно идиотическим заключениям.

И если вы думаете, что теология кишит парадоксами, то подождите, пока встретитесь с математикой.

«Труба Гавриила» (или «рог Гавриила»), мой любимый парадокс в математическом анализе, получил свое название в честь архангела Гавриила. Его труба, которая передает на землю послания с небес, чудесна и ужасна, конечна и бесконечна; это связующее звено между смертным и небесным. Такое название очень подходит объекту, обладающему внутренним противоречием.

Чтобы создать трубу, вначале начертите кривую, соответствующую уравнению y =1/x. Когда расстояние по оси х растет, высота по y падает. Когда x = 2, y = ½. К тому времени, когда х добирается до 5, y падает до 1/5. И так это и продолжается вдоль всей оси.

Вскоре x становится достаточно большим, а y – совсем крошечным. Когда х равен миллиону – что соответствует примерно 10 км пройденного пути, – у падает до толщины клеточной мембраны.

К тому времени, когда х добирается до миллиарда – то есть если вы читаете эту книгу в Лос-Анджелесе, то он находится где-то около Москвы, – y составляет По моим расчетам, это половина ширины атома гелия.

Тем не менее кривая движется, так и не пересекая ось, к неисчислимому горизонту, который мы называем «бесконечность».

Теперь мы должны закрутить эту кривую вокруг оси х, чтобы, рисуя тело вращения, получить трехмерную фигуру. Эта имеющая веретенообразную форму красота – собрание неисчислимого множества дисков, каждый из которых бесконечно тонок, – и есть труба Гавриила.

Как и любой трехмерный объект, «труба» позволяет провести два вида измерений. Во-первых, мы можем измерить ее объем – то есть какое количество кубических единиц воды требуется, чтобы ее наполнить. Во-вторых, мы можем измерить площадь ее поверхности – иначе говоря, сколько рулонов оберточной бумаги потребуется, чтобы ее завернуть.

Итак, сперва объем. В физической реальности бесконечный объект не может иметь конечный объем; нам нужна труба, которая становится тоньше атома, так что даже самые лучшие моторные навыки не позволят ее удержать. Но математика располагает другим видом реальности, где такое проявление ловкости – дело обычное. Поэтому, используя стандартные методы, мы получаем интеграл который равен π. Таким образом, объем трубы Гавриила составляет 3,14 кубических единицы с поправкой в ту или иную сторону.

Теперь площадь поверхности. Интеграл получается несколько более ужасающим: Но он только немного больше, чем куда менее пугающий интеграл Оказывается, все это равно… ну, какого-то определенного числа нет. Он неограниченно растет. И поскольку площадь поверхности немного больше этого интеграла, то мы можем заключить, что площадь трубы Гавриила равна ∞.

Вот мы и оказались на пороге противоречия. У трубы Гавриила есть конечный объем, то есть вы вольны заполнить ее краской, вы это можете. Тем не менее у нее нет конечной площади поверхности: при всем желании у вас не получится ее покрасить.

Но… если вы наполните ее краской, не будет ли это значить, что каждая точка поверхности окрашена?

Как и то и другое одновременно может быть правильным?

Первым, кто исследовал эту парадоксальную фигуру, был итальянский математик XVII в. Эванджелиста Торричелли. Вместе со своими приятелями Галилеем и Кавальери он прокладывал «королевскую дорогу через математические чащи», используя новомодную на тот момент математику бесконечно малых величин. «Очевидно, – писал Кавальери, – что плоские фигуры должны пониматься как куски, сплетенные из параллельных линий, а объемные тела – как книги, состоящие из параллельных страниц».

Эти ученые были поглощены бесконечными суммами, бесконечно тонкими элементами и странными объектами, такими как труба Гавриила, которая также известна как «труба Торричелли».

Это был математический анализ, выбирающийся из своей колыбели.

В то время орден иезуитов создал достойную восхищения систему университетов по всей Европе. Это были не просто хорошие учебные заведения, это были католические школы. «Для нас, – сказал один из лидеров ордена, – уроки и научные занятия – это нечто вроде крюка, на который мы будем ловить души». В этой учебной программе математика играла главную роль. «Без сомнений, – заявил один из иезуитов по имени Клавий[61], – математические дисциплины занимают среди всех остальных первое место».

Но не просто любая математика: она должна была быть евклидовой. Евклидова геометрия развилась с помощью четкой логики от самоочевидных предположений до нерушимых заключений без единого сбоя или парадокса. «Теоремы Евклида, – говорил Клавий, – сохраняют… свою истинную чистоту и неоспоримую несомненность». Иезуиты видели у Евклида модель самого общества, где власть папы является неопровержимой аксиомой.

Что касается работы Торричелли, иезуиты не относились к числу его фанатов. Историк Амир Александер в своей книге «Бесконечно малые: как опасная математическая теория сформировала мир» (Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the World) объясняет: «Тогда как евклидова геометрия являлась строгой, чистой и неопровержимо верной, новые методы были наполнены парадоксами и противоречиями и с равной вероятностью вели как к ошибке, так и к истине». Иезуиты считали трубу Гавриила анархистской пропагандой, угрозой порядку. «У них была тоталитарная мечта о неопровержимой истине и цели, которая не оставляла места сомнениям и спорам», – говорит Александер. Как подытожил Игнатий[62], еще один иезуит того времени: «То, что кажется нам белым, черно, если так говорит Церковь».

Таким образом, папа запретил бесконечно малые. Торричелли стал математическим преступником, а труба Гавриила – интеллектуальной контрабандой.

Ирония в том, что этот парадокс не так уж трудно разрешить. Как труба Гавриила может иметь внутреннюю часть, которую можно наполнить краской, и внешнюю часть, которую нельзя покрасить? Все это зависит от того, как мы думаем об этом процессе.

Как объясняет математик Роберт Гетнер, парадокс строится на предположении о том, что «площадь поверхности» соответствует тому, что нужно покрасить. Но окрашивание не является двумерным. «Если мы планируем покрасить комнату, – пишет он, – мы не будем просить 1000 квадратных метров краски». Как и бумага, окраска трехмерна. У слоя краски есть толщина, пусть и очень маленькая.

Поэтому первый подход: позволить толщине слоя краски постепенно исчезать, становиться все тоньше и тоньше вместе с трубой Гавриила. Пользуясь этим предположением, возможно покрыть поверхность конечным количеством краски. Парадокс разрешен.

Или, если хотите, вы можете выбрать другой подход. Предположим, что для слоя краски нужна некоторая минимальная толщина. (Это больше похоже на окрашивание в физическом мире; например, краска не может лечь слоем толщиной в от размера атома.) Таким образом, двигаясь вниз по оси, труба истончается до субатомных масштабов, но со слоем краски этого не происходит. В конце концов он станет в миллиарды раз толще окрашиваемого предмета. Это возвращает нас к нашему первоначальному выводу, что трубу невозможно покрасить. Только теперь еще и невозможно наполнить ее краской, потому что в определенный момент она становится тоньше, чем самая маленькая частица краски.

Если следовать этому предположению, то трубу невозможно ни окрасить, ни наполнить краской. И снова парадокс разрешен.

Я не могу однозначно сказать, совершили ли иезуиты начала XVII в. религиозную ошибку. Но я полагаю, что с математикой они ошиблись. Парадокс – это не то, чего следует бояться, и не то, что нужно истреблять. Это повод поразмыслить, приглашение к изучению.

Парадоксы произрастают не только в отдающих плесенью закоулках теологии и математики, но также, по словам профессора в области предпринимательства Марианны Льюис, и в корпоративной обстановке. Элементы, которые «кажутся вполне логичным, если рассматривать их отдельно» – краткосрочные цели, долгосрочный прогноз, стратегический приоритет, – становятся «иррациональными, противоречивыми и даже абсурдными, если совместить их». Это не обязательно плохо. «Парадоксы дают пищу способности к творчеству, – пишет Льюис. – Понимание парадокса может содержать ключ к тому, как справиться со стратегическими затруднениями и даже стать лучше, столкнувшись с ними». Парадокс – это песчинка, которая помогает создать жемчужину теории.

Дуглас Хофштадтер, автор книги «Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда»[63], пошел дальше. «В стремлении уничтожить парадоксы любой ценой, – пишет он, – слишком много внимания уделяют плоской последовательности и логичности и слишком мало тому причудливому и замысловатому, что придает вкус жизни и математике». Парадоксы прекрасны сами по себе, а работы Эшера хороши и без краски. Или, в данном случае, с бесконечным окрашиванием.

XХVIIIСцены из невозможности

Мое первое прикосновение к Неберущемуся Интегралу состоялось весной, когда я учился в десятом классе.

Группа выпускников собралась в коридоре. Они были вооружены ручками и покрывали плакат закорючками, подписями и выдернутыми из контекста цитатами высказываний нашего учителя физики мистера Риахи. Это был обширный коллаж, полный шуток, которых я не понимал, шуток, которые я понимал наполовину, и шуток, которые мне очень хотелось понять.

Среди всего этого хаоса я заметил необычную мешанину символов:

Я указал на нее:

– Что это?

– Это интеграл e в степени – х в квадрате, – объяснил Дэвид, не прояснив ничего.

– Так в чем же шутка? – спросил я.

– ШУТКА В ТОМ, ЧТО ОН НЕБЕРУЩИЙСЯ, – ответила Эбби, которая всегда разговаривала, словно писала большими буквами.

– А-а-а-а-а… его проверяли? Никто не смог его решить?

Они захихикали.

– АХ, НЕДОУЧКА БЕН, ТРЕТИЙ ИЗ ТРЕХ, – обратилась ко мне Эбби (так оно и было: Бен Копанс и Бен Миллер стояли передо мной в алфавитном списке). – КАКОЙ ТЫ НЕВИННЫЙ И ТРОГАТЕЛЬНЫЙ!

– Как бы то ни было, если под проверкой ты имеешь в виду «когда-либо во Вселенной», – задумчиво сказал Барт, – то да. Его проверяли. И никто не смог его решить.

– То есть это как… делить на ноль? – спросил я.

– Скорее как делать из круга квадрат, – ответил Дэвид.

– ЭТО КАК ДОЖДЬ В ДЕНЬ ТВОЕЙ СВАДЬБЫ! – уточнила Эбби. – КАК ДЕСЯТЬ ТЫСЯЧ ЛОЖЕК, КОГДА ВСЕ, ЧТО ТЕБЕ НУЖНО, – ЭТО НОЖ!

Эбби была права. Если вернуться в детство математического анализа, Иоганн Бернулли писал об угрозе неберущихся интегралов. «Иногда мы не в состоянии сказать с полной уверенностью, можем ли найти интеграл заданной величины». В XIX в. математик Жозеф Лиувилль сказал об этом с определенностью: некоторые интегралы взять нельзя. Например, или ∫ ln (lnx) dx, или У этих интегралов нет чистых решений, точнее говоря, они «неразрешимы в элементарных функциях». Соберите все синусы, все косинусы, все логарифмы и кубические корни, какие вам захочется, но ни одна из стандартных алгебраических «отмычек» никогда не подойдет к формуле. Это замок без ключа, загадка без ответа, жесткий стейк в мире 10 000 ложек.

Я смотрел на символы. Большая загогулина не значила для меня ничего, пока еще нет. «Мы начнем матан через девять месяцев, – заметил ранее мой друг Роз, – и ты знаешь, что это означает: кто-то залетел от моего графического калькулятора». Шутку Роза я понял, но шутка выпускников ускользнула от моего ума.

Перенесемся на восемь лет вперед.

Моя первая работа в качестве преподавателя заставила меня задуматься о торговле подержанными автомобилями на окраине китайского квартала Окленда. Однажды на третий год преподавания я показал своим ученикам продвинутого курса математического анализа неберущийся интеграл: ∫ e^−x2 dx. В витиеватых и напыщенных выражениях я разъяснил его нерешаемость.

– Спойлер! – выкрикнула Адриана.

Несколько студентов покачали головами.

Но Бетсайда задала мне провокационный вопрос:

– Так у него нет области под кривой?

Ага, хорошая задачка! Думаю, никто не удивился, что я был небрежен и понятия не имел, как ответить на этот вопрос. Выяснилось, что у функции e^−x2 есть чрезвычайно красивый график.

Если вы возьмете конкретную ограниченную область – скажем, от 0 до 1, или от 0,9 до 1,3, или от –1,5 до 0,5, то в самом деле найдете ответ.

Тогда почему интеграл «неберущийся»? Потому что нет хорошей формулы для определения этой площади. Наша волшебная палочка – фундаментальная теорема математического анализа, которая вычисляет интегралы, беря антипроизводные, – здесь оказывается просто бесполезным прутиком. Машите ею хоть сотню лет: никакого магического ответа так и не появится.

– Мой графический калькулятор может это сделать, – сказал Ю Ханг. – То есть, если судить по вашим словам, он умнее всех математиков в мире.

– Ну… – я закашлялся. – Он определенно быстрее аппроксимирует интегралы через суммы Римана.

Самое лучшее, что мы можем сделать с такими функциями, – это аппроксимация. Мой тон выдавал мои предрассудки. Аппроксимация – это не настоящее решение. Она приблизительная. Второразрядная. Не считается.

– А вы уверены? – подзуживал Ю Ханг. – Этот калькулятор, кажется, умнее меня.

Когда урок закончился, я выскользнул из класса через заднюю дверь, которая в стиле Нарнии вела в кабинет статистики. Ее я преподавал первый год и все время спотыкался. Все мои инстинкты были чисто математическими, все доказательства и абстракции для статистики не подходили. Я чувствовал себя так, как будто перепутал виды спорта, словно учу детей сбивать подпрыгивающим теннисным мячиком кегли.

– Средний рост взрослого мужчины в США составляет 178 см, – начал я, – а стандартное отклонение – 9 см. Как много мужчин по нашим ожиданиям могут при этом иметь рост, по крайней мере, 2,14 м?

Как и очень многое в статистике, эта задача основывается на пологом уклоне кривой нормального распределения, также известной как колоколообразная кривая[64]. Ее широко распространенная форма описывает ошибки в измерениях, диффузные частицы, показатели IQ, количество осадков, результаты большого количества подбрасываний монеты, а также, с некоторыми оговорками, рост человека. Итак, начинаем.

Шаг 1: 2,14 м – это 214 см.

Шаг 2: Это на 36 см больше среднего значения.

Шаг 3: Это четыре стандартных отклонения от среднего роста.

Шаг 4: Мы обращаемся к таблице в конце учебника и узнаем, что четыре стандартных отклонения соответствуют процентилю… Хм, в действительности таблица обрывается на 3,5 стандартных отклонениях. Упс!

Шаг 5: Извинившись, я вытаскиваю ноутбук и запускаю Excel, который может провести нас за край таблицы. Наш ответ – 0,999968. Другими словами, люди ростом 2,14 м встречаются в США с 99,9968 процентиля – приблизительно 1 на 30 000 человек.

Мы анализировали этот результат – иначе говоря, спорили об относительных преимуществах Шакила О'Нила[65] по сравнению с Яо Мином[66], – когда меня вдруг осенило, что без всякого плана или предварительного намерения я провел два следующих друг за другом и очень разных урока по одной и той же теме.

Видите ли, кривая нормального распределения, которую мы используем, выглядит так:

Это просто сглаженная версия графика функции: она сдвинута и приплюснута, но в душе остается той же самой функцией. Что означает: у нее нет интеграла. И тем не менее мы тут сидим и ее интегрируем. Каждый день. Постоянно.

Не обращая никакого внимания на невозможность, вся статистика основывается на интегрировании того, что не может быть проинтегрировано. Каждой части населения (например, тем, чей рост находится в промежутке между 178 см и 188 см) соответствует область под кривой.

Природу не волнуют формульные антипроизводные. Таблицы в учебниках, заложенные в Excel формулы, графический калькулятор в рюкзаке Ю Ханга – все эти инструменты позволяют делать хорошие численные приближения. По большей части, это все, что вам нужно. Как подытожил Альберт Эйнштейн, «наши математические затруднения Бога не беспокоят. Он интегрирует эмпирически».

Я стоял у белой доски с маркером в руке. За молнией прозрения, как всегда, последовал медленный, раскатистый гром сожаления. Я хотел распахнуть дверь, которая отделяла кабинет математического анализа от кабинета статистики. Я хотел объяснить, каким дураком я был, покаяться в своем математическом шовинизме. «Абстрактные формулы, – хотел прокричать я, – не обязательно лучше конкретной аппроксимации! Бог интегрирует эмпирически, и эта правда делает нас свободными!»

Что удержало меня, кроме того, что этим я поставлю под вопрос свое психическое здоровье или (что примерно то же самое) прерву урок химии мистера Флеминга, это мысль об ухмылке Ю Ханга. «Я же вам говорил! – съязвил бы он. – Калькуляторы умнее математиков!» Не могу сказать за всех представителей моей профессии, но в моем случае я знал, что он был прав.

И снова переместимся во времени, теперь уже в сегодняшний день.

Я сижу в моем любимом кафе, потягиваю кофе сильной обжарки и занимаюсь «сбором информации» для книги, которую вы держите в руках (то есть отлыниваю от ее написания), и тут натыкаюсь на интеграл, названный в честь Карла Гаусса, как и многие другие вещи, которых он не открывал:

Кажется, из неберущегося интеграла есть исключение. Если заданная область включает в себя всю цифровую прямую от самого дальнего конца слева до самого дальнего справа, от одного неизмеримого горизонта до его недостижимого зеркального отражения, тогда ответ найти возможно.

Это, как ни странно, квадратный корень из π.

Скопление причудливых символов (е, π, ∞) немного напоминает мне о тождестве Эйлера e^πi + 1 = 0. Таким помешанным на математике ребятам, как я, хочется расцеловать это уравнение от восхищения. Констанс Рид[67] называла его «самой знаменитой формулой в математике»; Тед Чанг[68] описывает «чувство благоговейного восхищения в тот момент, когда прикасаешься к абсолютной истине»; Кит Девлин[69] даже сравнивает уравнение с «сонетом Шекспира, который каким-то образом ухватывает саму сущность любви».

Ничего не могу поделать с собой и задаюсь вопросом: где же восторженные рукоплескания в адрес решения интеграла Гаусса? Я пишу в Twitter:

Мне нравится тождество Эйлера так же, как музыка Beatles – с робким чувством того, что, возможно, они привлекают слишком много внимания.

Но интеграл Гаусса! Посмотрите на эту красоту, ребята! Это Moody Blues[70] всех уравнений с е и π!

Это только одна проблема. На самом деле я не знаю, почему эта формула верна.

Мне нравится считать себя любопытным исследователем. Также мне доводится жить с профессиональным математиком, в чьем разуме по полочкам разложено множество знаний, которыми я не обладаю. Но – и в этом парадокс моей семейной жизни – эти точки не соединяются. Я почти никогда не прошу жену чему-то меня научить.

Возможно, у меня просто нет такой привычки. Возможно, асимметрия обучения не согласуется с динамикой брака. Возможно, я менее любопытен, чем мне кажется, или во мне больше глупой гордости. Или, может быть, за время, прошедшее с 2003 г., я перестал быть ребенком, который всегда старается понять смысл любой шутки, и стал взрослым, который притворяется, что и так все понял.

В любом случае, сегодня я спрашиваю.

Тарин улыбается, берет купон со скидкой на крем-сыр и на обратной стороне показывает мне, как решается интеграл Гаусса. Возведите все в квадрат, примените теорему Фубини; переведите в полярные координаты, и – вуаля – результат налицо. Квадратный корень из π.

– Так интеграл неберущийся, – говорю я, – за исключением одного случая, когда он таким не является.

Где-то среди 10 000 ложек затесался один нож.

– О, – выдыхает Тарин, переворачивая купон, – нам не нужен был крем-сыр?

Я встаю, чтобы проверить содержимое холодильника, и это мгновение исчезает в вечности.

Заметки из класса