Фундаментальная теорема: «Великая работа синтеза» (гл. XIX)
Когда я впервые читал курс математического анализа, мы целую неделю вычисляли определенные интегралы геометрическими методами, затем посвятили неделю неопределенным интегралам (то есть антипроизводным). В обоих случаях использовалось обозначение интеграла, но, насколько знали студенты, эти два отдельных способа совершенно не связаны. После всего этого скучного шоу я вскричал: «Абракадабра! В действительности они имеют отношение друг к другу!»
Я превратил фундаментальную теорему математического анализа в самый худший сюрприз ко дню рождения.
Теперь я не откладываю изучение фундаментальной теоремы ни на секунду дольше, чем мне это нужно. Это как в фильме «Когда Гарри встретил Салли»: «Когда вы понимаете, что хотите с кем-то провести остаток своих дней, вы желаете, чтобы эта часть вашей жизни началась как можно быстрее».
Численное интегрирование: «1994-й, год, когда родился математический анализ» (гл. XXII); «Сцены из невозможности» (гл. XXVIII)
Я не инженер, не исследователь диабета и не занимаюсь какими-либо другими подобными задачами, но понимаю, что численное интегрирование очень полезно в самых разных науках и, возможно, заслуживает больше внимания, чем ему уделяет стандартный курс математического анализа. Это особенно верно сейчас, когда алгебраическое программное обеспечение так хорошо вычисляет антипроизводные, тем самым освобождая нас от необходимости осваивать 1001 метод интегрирования.
Методы интегрирования: «Что происходит под знаком интеграла, остается под знаком интеграла» (гл. XX)
В этой главе я пытаюсь передать вкус и текстуру процесса интегрирования, не вычисляя каких-либо интегралов. Это глупая и, возможно, недостижимая задача, но она соответствует заявленной цели книги, поэтому мы здесь. Не то чтобы я не ценил вычисления; кстати, главная цель того, что мы называем «математический анализ», – это сделать вычисления более легкими, беглыми и как можно меньше задействовать при этом мозг. Я просто недостаточно хороший рассказчик, чтобы создать занимательную историю без тригонометрических замещений.
Постоянные интегрирования: «Отказать в существовании одним росчерком пера» (гл. XXI)
Снова вы можете увидеть мое увлечение кинематикой. Мне нравится знакомить с постоянными интегрирования на примере функции скорости, где +С имеет ясное физическое значение, как и положение при t = 0.
Тела вращения: «Сражение с богами» (гл. XXIV); «Из невидимых сфер» (гл. XXV); «Труби, Гавриил, труби!» (гл. XXVII)
Думаю, тела вращения – замечательное завершение первого курса математического анализа. Они эффектны с виду, щедро одарены геометрически, от их возможностей просто дух захватывает, а также они позволяют нам поговорить об Архимеде и архангеле Гаврииле (чей образ воплотили в кино Кристофер Уокен и Тильда Суинтон – двое самых необычных актеров в истории кинематографа. Я понимаю, что этот факт не должен находиться здесь, но я не могу найти, куда еще его вставить, и не перенесу, если он не попадет в книгу).
Библиография
Мгновения
I. Мимолетное вещество времени
● Аристотель. Физика / Пер. В. П. Карпова. – М.: Эксмо-Пресс; Харьков: Фолио, 1999.
● Борхес Х. Л. Вымышленные истории / Пер. В. С. Кулагиной-Ярцевой. – М.: Амфора, 1999. – С. 178–188.
● Evers, Liz. It’s About Time: From Calendars and Clocks to Moon Cycles and Light Years – A History. London: Michael O’Mara Books, 2013.
● Gleick, James. Time Travel: A History. New York: Vintage Books, 2017.
● Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 3rd ed. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2010.
● Mazur, Barry. “On Time (In Mathematics and Literature).” 2009. http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/time.pdf.
● Stock, St. George William Joseph. Guide to Stoicism. Tredition Classics, 2012.
● Wolfe, Thomas. Of Time and the River: A Legend of Man’s Hunger in His Youth. New York: Scribner Classics, 1999.
II. Вечно падающая Луна
Мои огромные благодарности Виктору Бласьё, чьи работы («История математики» и «Интуитивный математический анализ бесконечно малых величин» на IntellectualMathematics.com) вдохновили меня на эту главу и помогли ее сформировать. Как он указывает, тот способ, который я избрал для демонстрации доказательства Ньютона – вначале предположить, что закон обратных квадратов выполняется, а затем сделать вывод об орбитальном периоде Луны, – это что-то вроде перевернутой наоборот версии оригинала Ньютона.
«Орбитальный период, разумеется, известен, – объясняет Бласьё, – а загадкой является то расстояние, на которое Луна падает за одну секунду, – именно это нам нужно узнать с помощью косвенных рассуждений, поскольку нет никакого способа измерить его экспериментально. Это согласуется с законом обратных квадратов (который тут же независимо подтверждается предсказанием эллиптических орбит планет)».
● Connor, Steve. “The Core of Truth behind Sir Isaac Newton’s Apple.” Independent, January 18, 2010. https://www.independent.co.uk/news/science/the-core-of-truth-behind-sir-isaac-ewtons-apple-1870915.html.
● Epstein, Julia L. “Voltaire’s Myth of Newton.” Pacific Coast Philology 14 (October 1979): 27–33.
● Gleick, James. Isaac Newton. New York: Vintage Books, 2004.
● Gregory, Frederick. “Newton, the Apple, and Gravity.” Department of History, University of Florida, 1998. http://users.clas.ufl.edu/fgregory/Newton_apple.htm.
● Gregory, Frederick. “The Moon as Falling Body.” Department of History, University of Florida, 1998. http://users.clas.ufl.edu/fgregory/Newton_moon2.htm.
● Keesing, Richard. “A Brief History of Isaac Newton’s Apple Tree.” University of York, Department of Physics. https://www.york.ac.uk/physics/about/newtonsappletree/.
● Moore, Alan. “Alan Moore on William Blake’s Contempt for Newton.” Royal Academy, December 5, 2014. https://www.royalacademy.org.uk/article/william-blake-isaac-newton-shmolean-oxford.
● Voltaire. Letters on England. Translated by Henry Morley. Transcribed from the 1893 Cassell & Co. edition. https://www.gutenberg.org/files/2445/2445-h/2445-h.htm.
* Ницше Ф. Об истине и лжи во вненравственном смысле // Ницше Ф. О пользе и вреде истории для жизни. Сумерки кумиров, или Как философствовать молотом. О философах. Об истине и лжи во вненравственном смысле. – Минск: Харвест, 2003. – С. 356.
III. Радости полета бутерброда
● Berkeley, George. The Analyst, edited by David R. Wilkins, 2002. Based on the original 1734 edition. https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Berkeley/Analyst/Analyst.pdf.
● Frost, Robert. “Education by Poetry.” Amherst Graduates’ Quarterly (February 1931). http://www.en.utexas.edu/amlit/amlitprivate/scan/edbypo.html.
IV. Универсальный язык
● Atiyah, Michael. “The Discrete and the Continuous from James Clerk Maxwell to Alan Turing.” Лекции, представленные на Пятом ежегодном форуме лауреатов премии Гейдельберга 29 сентября 2017 г.
● Bardi, Jason Socrates. The Calculus Wars: Newton, Leibniz, and the Greatest Mathematical Clash of All Time. New York: Basic Books, 2007.
● Mazur, Barry. “The Language of Explanation.” Essay written for the University of Utah Symposium in Science and Literature, November 2009. http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/Utah.3.pdf.
● Wolfram, Stephen. “Dropping In on Gottfried Leibniz.” In Idea Makers: Personal Perspectives on the Lives and Ideas of Some Notable People. Champaign, IL: Wolfram Media, 2016. http://blog.stephenwolfram.com/2013/05/dropping-in-on-gottfried-leibniz/.
V. Когда Миссисипи текла на миллион миль
Мои благодарности профессору Татему за его любезный ответ на мой запрос по электронной почте, прояснивший, что экстраполяция и в самом деле была шуточной.
● Элленберг Дж. Как не ошибаться. Сила математического мышления / Пер. Яцюк Н.; науч. ред. Гельфанд М. С. – М.: Манн, Иванов и Фербер, 2017.
● Tatem, Andrew J., Carlos A. Guerra, Peter M. Atkinson, and Simon I. Hay. “Momentous Sprint at the 2156 Olympics?” Nature 431, no. 525 (September 30, 2004).
● Твен М. Собр. соч. в 12 т. Т. 4 – Жизнь на Миссисипи / Пер. Р. Райт-Ковалевой – М.: Государственное издательство художественной литературы, 1960.
VI. Шерлок Холмс и неправильный велосипед
Огромное спасибо Дэну Андерсону и приложению Desmos, которое я использовал для создания траекторий движения велосипедов.
● Bender, Edward A. “Sherlock Holmes and the Bicycle Tracks.” University of California, San Diego. http://www.math.ucsd.edu/~ebender/87/bicycle.pdf.
● Дойль, Артур Конан. Приключения Шерлока Холмса. Возвращение Шерлока Холмса / Пер. Н. Волжиной. – М.: АСТ, 2018. С. 404–441.
● Дойль, Артур Конан. Долина ужаса: Новые приключения Шерлока Холмса / Пер. А. Москвина. – М.: Кооператив АВИС: Прометей, 1990.
● Duchin, Moon. “The Sexual Politics of Genius.” University of Chicago, 2004. https://mduchin.math.tufts.edu/genius.pdf.
● O’Connor, J. J., and E. F. Robertson. “James Moriarty.” School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Moriarty.html.
● Roberts, Siobhan. Genius at Play: The Curious Life of John Horton Conway. New York: Bloomsbury, 2015.
VII. Биография массового увлечения, у которой нет автора
Выражаю благодарность Ребекке Джекман, моей школьной учительнице химии, которая не несет никакой ответственности за любые ошибки в моем рассказе об автокаталитических реакциях, но именно ей я обязан теми местами, где ошибок не сделал.
● Jones, Jamie. “Models of Human Population Growth.” Monkey’s Uncle: Notes on Human Ecology, Population, and Infectious Disease, April 7, 2011. http://monkeysuncle.stanford.edu/?=933. Джонс обеспечил математическую модель «механистическое против феноменологического».
VIII. То, что ветер оставляет после себя
● Brown, Kevin. “The Limit Paradox.” Math Pages. https://www.mathpages.com/home/kmath063.htm. Я считаю, что мнение профессора Брауна многое проясняет и передает саму суть вопроса. Мне также нравится, что нигде на сайте его имя не появляется, что создает атмосферу «голоса самой математики».
● Dunham, William. The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008. Я наткнулся на книгу Данхэма в январе 2016 г. Его мысли об истории анализа несколько лет переваривались в моей голове. Эта книга, как говорится, настоящая жемчужина.
IX. Танцы с пылью
● Blåsjö, Viktor. “Attitudes toward Intuition in Calculus Textbooks.” Paper forthcoming, 2019. В этой статье Бласьё выступает против привычного рассмотрения функции Вейрштрассе как «смерти интуиции». Стоит прочитать, если вас интересует история.
● Dunham, William. The Calculus Gallery.
● Fowler, Michael. “Brownian Motion.” University of Virginia, 2002. http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/BrownianMotion.htm.
● Poincaré, Henri. “L’Oeuvre Mathématique de Weierstrass.” Acta Mathematica 22 (1899): 1–18. https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.acta/1485882041. Я не говорю по-французски, но, к счастью, этим языком владеет Google Translate.
● Yeo, Dominic. “Remarkable Fact about Brownian Motion #1: It Exists.” Eventually Almost Everywhere. January 22, 2012. https://eventuallyalmosteverywhere.wordpress.com/2012/01/22/remarkable-fact-about-brownian-motion-1-it-exists/.
Х. Зеленоволосая девушка и многомерная улитка
● Roberts, Siobhan. King of Infinite Space: Donald Coxeter, the Man Who Saved Geometry. New York: Walker, 2006. Примечательна цитатами и проникновениями в историю геометрического мышления (и его разрушения в руках этого ослепительного чудища Бурбаки).
● St. Clair, Margaret. “Presenting the Author.” Fantastic Adventures, November 1946: 2–5.
● St. Clair, Margaret. “Aleph Sub One,” Startling Stories, January 1948: 62–69. Признаюсь, что в рассказе разложение на множители (a + b) n происходит только для n = 2, 3 и 4; идея применить эти разложения для формул производных – моя собственная бесцеремонная экстраполяция.
● Thompson, Silvanus P. Calculus Made Easy: Being a Very-Simplest Introduction to Those Beautiful Methods of Reckoning Which Are Generally Called By the Terrifying Names of the Differential Calculus and the Integral Calculus. 2nd ed. London: Macmillan, 1914. Книга, доступная бесплатно онлайн, еще прекраснее, чем ее заглавие. Обратите особое внимание на вторую главу «О различных степенях малого». https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf.
XI. Принцесса с городской окраины
● Lendering, Jona. “Carthage.” Livius.org: Articles on Ancient History. http://www.livius.orgarticles/place/carthage/.
● Lendering, Jona. “The Founding of Carthage.” Livius.org: Articles on Ancient History. http://www.livius.org/sources/content/the-founding-of-carthage/.
● Вергилий. Буколики. Георгики. Энеида / Пер. с латинского С. А. Ошерова; под ред. Ф. А. Петровского. – М.: Художественная литература, 1979. – C. 500–504.
XII. Земля, опустевшая из-за скрепок
● Bostrom, Nick. “Ethical Issues in Advanced Artificial Intelligence.” https://nickbostrom.com/ethics/ai.html.
● Chiang, Ted. “Silicon Valley Is Turning into Its Own Worst Fear.” BuzzFeed News, December 18, 2017. https://www.buzzfeednews.com/article/tedchiang/the-real-danger-to-civilization-isnt-ai-its-runaway.
● Fry, Hannah. Hello World: Being Human in the Age of Algorithms. New York: W. W. Norton, 2018.
● Уитмен У. Листья травы / Пер. К. Чуковского. – М.: Текст, 2016.
● Yudkowsky, Eliezer. “There’s No Fire Alarm for Artificial General Intelligence.” Machine Intelligence Research Institute, October 13, 2017. https://intelligence.org/2017/10/13/fire-alarm/.
● Yudkowsky, Eliezer. “Artificial Intelligence as a Positive and Negative Factor in Global Risk.” In Global Catastrophic Risks, edited by Nick Bostrom and Milan M. C´irkovic´, 308–345. New York: Oxford University Press, 2008. http://intelligence.org/files/AIPosNegFactor.pdf.
● Zunger, Yonatan. “The Parable of the Paperclip Maximizer.” Hacker Noon, July 24, 2017. https://hackernoon.com/the-parable-of-the-paperclip-maximizer-3ed4cccc669a.
XIII. Последняя усмешка кривой
● Appelbaum, Binyamin. “This Is Not Arthur Laffer’s Famous Napkin.” New York Times, October 13, 2017. https://www.nytimes.com/2017/10/13/us/politics/arthur-laffer-napkintax-curve.html.
● Bernstein, Adam. “Jude Wanniski Dies; Influential Supply-Sider.” Washington Post, August 31, 2005. http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/content/article/2005/08/30/AR2005083001880.html.
● Chait, Jonathan. “Prophet Motive.” New Republic, March 30, 1997. https://newrepublic.com/article/93919/prophet-motive.
● Chait, Jonathan. “Flight of the Wingnuts: How a Cult Hijacked American Politics.” New Republic, September 10, 2007. http://www.wright.edu/~tdung/How_supply_eco_hijacked_US_Politics.pdf.
● Gardner, Martin. “The Laffer Curve.” In Knotted Doughnuts and Other Mathematical Entertainments, 257–71. New York: W. H. Freeman, 1986.
● Laffer, Arthur. “The Laffer Curve: Past, Present, and Future.” Heritage Foundation, June 1, 2004. https://www.heritage.org/taxes/report/the-laffer-curve-past-present-and-future.
● “Laffer Curve.” Chicago Booth: IGM Forum. June 26, 2012. http://www.igmchicago.org/surveys/laffer-curve. Цитируются слова Остана Гулсби, Бенгта Холмстрома, Кеннета Джадда, Анил Кашиап и Ричарда Телера.
● «Салфетка с кривой Лаффера». Национальный музей американской истории. http://americanhistory.si.edu/collections/search/object/nmah_1439217.
● Miller, Stephen. “Jude Wanniski, 69, Provocative Crusader for Supply-Side Economics.” New York Sun, August 31, 2005. https://www.nysun.com/obituaries/jude-wanniski-69-provocative-crusader-for-supply/19386/.
● Moore, Stephen. “The Laffer Curve Turns 40: The Legacy of a Controversial Idea.” Washington Post, December 26, 2014. https://www.washingtonpost.com/opinions/the-laffercurve-at-40-still-looks-good/2014/12/26/4cded164-853d-11e4-a702-a31ff4ae98e_story.html.
● Oliver, Myrna. “Jude Wanniski, 69; Journalist and Political Consultant Pushed Supply-Side Economics.” Los Angeles Times, August 31, 2005. http://articles.latimes.com/2005/aug/31/local/me-wanniski31.
● «Сто самых великих документальных произведений столетия». National Review. 3 мая 1999 г. https://www.nationalreview.com/1999/05/non-fiction-100/.
● Shields, Mike. “The Brain behind the Brownback Tax Cuts.” Kansas Health Institute News Service, August 14, 2012. https://www.khi.org/news/article/brain-behindbrownback-tax-cuts.
● Starr, Roger. “The Way the World Works, by Jude Wanniski.” Commentary, September 1978. https://www.commentarymagazine.com/articles/the-way-the-worldworks-by-jude-wanniski/.
● Wanniski, Jude. “The Mundell-Laffer Hypothesis – a New View of the World Economy.” Public Interest 39 (1975) 31–52. https://www.nationalaffairs.com/storage/app/uploads/public/58e/1a4/be4/58e1a4be4e900066158619.pdf.
● Wanniski, Jude. “Taxes, Revenues, and the ‘Laffer Curve.’” Public Interest 50 (1978): 3–16. https://www.nationalaffairs.com/storage/app/uploads/public/58e/1a4/c54/58e1a4c549207669125935.pdf.
XIV. Это твой пес-профессор
● Моя огромная благодарность профессору Тиму Пеннингсу за то, что он уделил свое время (а также поделился газетными вырезками) – таким образом появилась эта глава. Рассказать историю Элвиса – большая честь для меня и моя почетная обязанность.
● Bolt, Michael, and Daniel C. Isaksen. “Dogs Don’t Need Calculus.” College Mathematics Journal 41, no. 10 (January 2010): 10–16. https://www.maa.org/sites/default/files/Bolt2010.pdf.
● “CNN Student News Transcript: September 26, 2008.” http://www.cnn.com/2008/LIVING/studentnews/09/25/transcript.fri/index.html.
● Dickey, Leonid. “Do Dogs Know Calculus of Variations?” College Mathematics Journal 37, no. 1 (January 2006): 20–23. https://www.maa.org/sites/default/files/Dickey-CMJ-2006.pdf.
● “Do Dogs Know Calculus? The Corgi Might.” National Purebred Dog Day, March 15, 2016. https://nationalpurebreddogday.com/dogs-know-calculus-corgi-knows/.
● Minton, Roland, and Timothy J. Pennings. “Do Dogs Know Bifurcations?” College Mathematics Journal 38, no. 5 (November 2007): 356–61. https://www.maa.org/sites/default/iles/pdf/upload_library/22/Polya/minton356.pdf.
● Pennings, Timothy J. “Do Dogs Know Calculus?” College Mathematics Journal 34, no. 3 (May 2003): 178–82. https://www.jstor.org/stable/3595798.
● Perruchet, Pierre, and Jorge Gallego, “Do Dogs Know Related Rates Rather Than Optimization?” College Mathematics Journal 37, no. 1 (January 2006): 16–18. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/cmj37-1-016-018.pdf.
● Thurber, James. Thurber’s Dogs: A Collection of the Master’s Dogs, Written and Drawn, Real and Imaginary, Living and Long Ago. New York: Simon & Schuster, 1955.
XV. Посчитаем!
● Арнольд В. И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. – М.: Наука, 1989. – (Современная математика для студентов).
● Bardi, Jason Socrates. The Calculus Wars.
● Goethe, Norma B.; Philip Beeley, and David Rabouin, eds. G. W. Leibniz, Interrelations between Mathematics and Philosophy. New York: Springer, 2015.
● Grossman, Jane, Michael Grossman, and Robert Katz. The First Systems of Weighted Differential and Integral Calculus. Rockport, MA: Archimedes Foundation, 1980. Цитата из Гаусса находится на странице 187.
● Кафка Ф. Избранное: Сборник: Пер. с нем. / Сост. Е. Кацевой; предисл. Д. Затонского. – М.: Радуга, 1989.
● Wolfram, Stephen. “Dropping In on Gottfried Leibniz.”