Говорит и движется материя
Маршрут:Десятирукий Агент. – Наследник Пифагора. – Почти произвольные правила. – Десять голосов материи. – Двадцать оттенков кривизны. – Уравнения Эйнштейна. – Конструктор вселенных. – Совсем не наши вселенные. – Наконец-то обмануть систему? – Пустая кривизна. – Два тела, поле и волны.
Главный герой:уравнения Эйнштейна
Десятирукий Агент. Движением пробных тел распоряжаются геодезические. Геодезическими распоряжаются уравнения, в формулировке которых использованы правила параллельного переноса. Эти правила во многом определяют искривленное пространство-время, но они – еще не тот Агент, существование которого Ньютон в большой степени подозревал, но степень «материальности» которого не могла быть ему ясна (см. главу «прогулка 1»). Современное название для всех таких агентов – поле: это явление, существующее в пространстве в некотором «распределенном» виде, изменяющееся с течением времени и проявляющее себя в воздействии на другие элементы реальности. Для этого ему (полю) необходимо самому обладать энергией, что и означает его материальность. И еще оно должно каким-то образом создаваться, в зависимости от окружающей реальности. Для гравитации, которая «стала геометрией», нужен Агент, который умеет все это, но одновременно с этим описывает геометрию: как минимум требуется, чтобы он понимал, что такое параллельный перенос.
Воздействие любого поля на другие элементы мира (электрон, кирпич, Луну, свет – что угодно) выражается в каких-то изменениях их состояния, очень часто – движения. Воздействия измеряются числами, поэтому и говорят, что поле – это сколько-то чисел в каждой точке пространства, которые могут меняться с течением времени. Во всяком случае, я часто так говорил, пока мне эта фраза не разонравилась; не из-за того, что она неверная, а из-за того, что она неполная. К сказанному надо как минимум добавить, каким же образом из чисел, задающих поле, получаются изменения в состоянии каких-то пробных объектов. И правила, по которым поле создается, тоже не будут лишними. Две главные новости про Агента – отвечающее за гравитацию поле, существование которого смутно предугадывал Ньютон, – таковы:
1. У него десять (!) компонент, т. е. десять чисел в каждой точке пространства-времени. Ньютон был бы, вероятно, удивлен таким изобилием; но двести лет после публикации «Начал» определенно не были потрачены впустую, и подобные «многосоставные» сущности стали появляться естественным образом при изучении природы.
2. Столько чисел требуется как раз для того, чтобы Агент имел все полномочия, которые требуются, чтобы полностью отвечать за геометрию четырехмерного пространства-времени.
Агент замыкает взаимоотношения пространства-времени и материи в единое целое. Он сам определяет параллельный перенос в пространстве-времени; при этом он достаточно внимателен, чтобы ни в чем не противоречить тому, что способны сделать наши старые знакомые локальные наблюдатели (а их главное достижение – лестница Шильда). Организовав параллельный перенос, а значит, и уравнения для геодезических, Агент определяет, как полетят разбросанные по космосу гайки: именно через него теперь «пространство-время говорит материи, как ей двигаться». Одновременно он вступает в отношения с материей: когда она «говорит пространству-времени, как ему искривляться», Агенту приходится внимательно ее, материю, слушать (эти отношения – самая сложная часть истории, которая разворачивается на этой прогулке). Агент обслуживает обе части канонического тезиса в главе «прогулка 6».
Я хочу представить этого «десятирукого» персонажа, но сделать это, с одной стороны, необременительно, а с другой стороны, так, чтобы была видна его связь с пространством-временем. Приоритет я отдаю второму, из-за чего Агент может показаться несколько назойливым. Как бы то ни было, все десять его компонент перечисляются не как «первая», «вторая», …, «десятая», а в виде треугольника
где в качестве различных компонент я расставил первые десять букв русского алфавита[125]. У такой треугольной таблицы как раз десять «слотов». Но таблица с пустотами – хрупкая, ажурная конструкция, да и за расстановкой пустых мест надо отдельно следить. Удобный способ действий состоит в том, чтобы вместо треугольника всегда пользоваться квадратом
в котором ровно столько же различных букв, потому что он получен из треугольника отражением. Дополнительно квадрат обычно укрепляют скобками. В таком виде мы и желаем видеть нашего Агента. Получившаяся квадратная таблица имеет размер 4 × 4 в точности по той причине, что наше пространство-время четырехмерно. Как и во всякой таблице, в этой есть столбцы и строки; каждая строка соответствует одному из измерений пространства-времени, и каждый столбец – тоже. Я буду придерживаться старомодного соответствия: последняя строка и последний столбец отвечают времени. Это, значит, буквы г, ж, и, к. Вообще буквы в этой и других похожих ситуациях – это обозначения для чисел, причем для чисел, которые могут быть различными в различных точках пространства и в различные моменты времени. И все вместе буквы абвгдежзик должны каким-то образом сообщать все необходимое про геометрию.
Самая простая геометрия – у плоского пространства-времени, того самого, которое появилось у нас на прогулке 5. Ему отвечают конкретные значения всех букв абвгдежзик, причем постоянные значения, т. е., в отличие от общего случая, не зависящие от точки в пространстве и не меняющиеся со временем (что едва ли удивительно: плоское пространство-время везде и всегда одинаково). И значения эти очень незамысловатые: буквы а, б, в равны единице, г – минус единице, а остальные шесть букв – нулю. Заменяя в таблице букву а на единицу и так далее, получаем таблицу вполне определенного вида
Три единицы отвечают трем направлениям в плоском пространстве, а присоединившаяся к ним минус единица – времени. Когда «десятикомпонентное гравитационное поле» имеет такой вид, никакой гравитации нет: пространство-время совершенно плоское. Немного странно, пожалуй, что отсутствие гравитации – это не все нули, ведь отсутствие большинства вещей – в широком диапазоне от денег до числа людей в комнате – обычно выражается числом нуль. Но здесь не так. Записанная таблица с тремя единицами и одной минус единицей – это самая простая, самая элементарная форма, какую только могут принимать абвгдежзик-таблицы в интересующем нас контексте Агента гравитационного взаимодействия.
Но что Агент в таком виде делает в плоском пространстве-времени?
Наследник Пифагора. Четыре ненулевых обитателя приведенной выше таблицы напоминают, как пользоваться теоремой Пифагорa[126]. Разумеется, все знают как и в напоминаниях не нуждаются, но в математике иногда требуется, чтобы и самые очевидные вещи были высказаны явно. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Посмотрим на первые две единицы из левого верхнего угла в приведенной таблице:
Первая единица здесь говорит: «Возьмите квадрат первого катета и умножьте его на меня» – т. е. на единицу. Вторая единица говорит: «Возьмите квадрат второго катета и умножьте его на меня» – снова, получается, на единицу. Вульгарным языком то же самое выражается как «пифагоровы штаны на все стороны равны»; равны друг другу эти две единицы – но это только пока мы в плоском пространстве, о чем автор прибаутки, возможно, не подозревал. После взятия квадратов катетов никто специально не говорит «Сложите то, что получится», но это и так все знают:
1 · (первый катет)2 + 1 · (второй катет)2 = (гипотенуза)2.
Пифагор: квадрат каждого катета умножаем на единицу
Рис. 7.1.Слева: квадрат расстояния на плоскости равен a2 + b2. Справа: квадрат расстояния в пространстве равен a2 + b2 + c2. (Здесь c не обозначает скорость света)
Единицы, взятые из таблицы, напоминают, что квадраты катетов надо брать с коэффициентами не полтора, три или две трети, а именно единица[127]. Тогда мы в точности находим гипотенузу, а это – расстояние между точками, как видно на рис. 7.1 слева. Если – скажем, в городе с прямоугольной сеткой улиц – у вас нет возможности пройти по прямой, чтобы измерить расстояние между двумя точками, но вы в состоянии измерить отрезки a и b, а угол между ними 90°, то ответ для расстояния – в теореме Пифагора.(рис. 7.1 слева). Все то же самое происходит и в трехмерном пространстве: длина отрезка на рис. 7.1 справа известна, как только известны длины a, b и c вдоль трех осей: нужно просто сложить их квадраты, т. е. вычислить a2 + b2 + c2, что окажется равным квадрату искомой длины. Здесь тоже скрытым образом присутствуют три единицы – те самые, которые мы видим в левой верхней части приведенной выше таблицы:
Но далее к компании из трех единиц присоединилась минус единица. Она стоит на том месте (пересечение четвертой строки и четвертого столбца), которое отвечает времени. Если не останавливаться, а продолжать действовать по той же схеме «умножить на меня», а потом все полученное сложить, то из квадрата расстояния в пространстве придется вычесть квадрат промежутка времени:
Что это получилось?
Квадрат времени умножаем на минус единицу
Не прибавляя, а вычитая квадрат буквы u (промежутка времени между событиями)[128], мы получаем единственное и уникальное «расстояние», но уже не между точками в пространстве, а между событиями в (плоском) пространстве-времени. Я некоторое время подержу слово «расстояние» в кавычках, когда оно употребляется в этом значении. В плоском пространстве-времени имеется единственное настоящее «расстояние», т. е. такое, которое всегда одинаково для всех наблюдателей. Мы видели на прогулке 5, насколько могут различаться картины мира наблюдателей в зависимости от их скорости: различными могут быть их представления о длинах и промежутках времени, об одновременности, прошлом и будущем; но имеется и нечто абсолютно одинаковое для всех: «расстояние» в пространстве-времени между двумя событиями, которое определяется по правилу «теорема Пифагора с минусом для времени». Каждый наблюдатель измеряет, насколько два события разнесены «в ширину» (вдоль какого-то выбранного направления), насколько «в глубину» (вдоль направления под прямым углом к первому) и насколько «в высоту» (под прямым углом к двум предыдущим), а кроме того, измеряет промежуток времени между событиями. У разных наблюдателей все эти отдельные данные – три пространственных отрезка и один временной отрезок – окажутся различными. Но далее случается чудо: каждый из них смотрит на таблицу как на руководство к действию и возводит все результаты своих измерений в квадрат, а потом складывает три первых квадрата и вычитает четвертый. У всех получится в точности одно и то же.
Будучи студентом инженерного факультета, Дирак (один из основоположников квантовой теории, с которым мы еще встретимся) впервые увидел формулу, содержащую три единицы и одну минус единицу, на лекции по философии, о чем вспоминает так:
Знак минус произвел на меня огромное впечатление. Я сразу понял, что в этой формуле есть что-то новое. Причина столь сильного эффекта, может быть, крылась в том, что в школе меня очень интересовала связь пространства и времени. Немало поразмышляв над этим, я понял, что время очень похоже на любое другое измерение, и тогда мне пришло в голову, что между пространством и временем может существовать какая-то связь и что эти объекты следует рассматривать в общем четырехмерном виде.
Однако единственной известной мне тогда геометрией была геометрия Евклида, и если между пространством и временем и существовало какое-нибудь соотношение, то обе эти величины должны были входить в него со знаком плюс. Нетрудно понять, что такой подход неправилен.
…
Теперь, приобретя новый взгляд на мир, возникший из формулы, которую написал на доске Броуд, я вскоре смог сам выводить основные уравнения специальной теории относительности[129].
Минус единица – число, более всех, конечно, «похожее» на единицу, но все же не единица – еще раз напоминает нам, что, несмотря на определенную демократию в пространстве-времени, между временным направлением и пространственными направлениями имеются неустранимые различия. Этот минус, в частности, – точная математическая причина отличия гиперболических поворотов в пространстве-времени от обычных поворотов в пространстве. Гиперболические повороты тихо преследуют нас начиная с главы 5. Причина, по которой они вообще возникают, связана именно с правилами для исчисления расстояний. При обычных поворотах сохраняются все расстояния, как мы уже упоминали, используя памятник Пушкину в качестве примера (в главе «прогулка 5»). Это обычные расстояния – те, которые вычисляются по самому обычному Пифагору, где одни только плюс единицы. Гиперболические же повороты сохраняют «расстояния» в пространстве-времени, которые вычисляются по «Пифагору с одним минусом». Тот факт, что, согласно рецепту с одним минусом, получается величина, не зависящая от относительного движения наблюдателей, – следствие двух основных постулатов: абсолютности скорости света и принципа относительности. И почему только я не сказал об этом на прогулке 5?
Почти произвольные правила. В плоском пространстве-времени Агент находится в скучнейшем состоянии и «ничего не делает» – изображает из себя, можно сказать, «спящего агента». Но вот в неплоском (искривленном) ему есть чем заняться. Его первейшая задача – сообщать, каким окажется «расстояние» между событиями в пространстве-времени, если известны длины отрезков вдоль всех координат и времени. Двумерным примером может служить карта типа изображенной на рис. 6.5: расстояния, измеряемые на ней вдоль параллелей, надо умножать на поправочный коэффициент, чтобы получить истинное расстояние вдоль параллели на глобусе, причем этот коэффициент меняется при перемещении по карте. Близкий к этому пример показывает, что и теорему Пифагора тоже надо подправлять: в треугольнике на рис. 6.4 все стороны равны, поэтому квадрат одной уж точно не равен сумме квадратов двух других. Гравитация, наличие которой есть то же самое, что отличие пространства-времени от плоского, прячется в предписаниях по вычислению «расстояний» в пространстве-времени.
Агент заведует расстояниями
Вблизи планеты Земля пространство-время не плоское – из-за чего здесь так удачно удерживаются атмосфера, Луна и многое другое, включая нас самих. Это значит, что «расстояния» вычисляются несколько иначе, чем в плоском пространстве-времени, и абвгдежзик-таблица не может иметь в точности «плоский» вид из нулей, трех единиц и одной минус единицы. Она и не имеет. Спящий Агент начинает просыпаться: он сообщает, что квадрат длины вдоль радиуса войдет в ответ с коэффициентом не совсем единица, а 1,00000000139; а квадрат промежутка времени – с коэффициентом не совсем минус единица, а –0,99999999861. Отличия от единицы и минус единицы исчисляются миллиардными долями. Вся гравитация планеты, требующая для своего преодоления ракету высотой в сотню метров, доверху залитую топливом, «умещается» в них[130]. Эти числа – не сантиметры, не килограммы и не секунды; это даже не доли от скорости света. Это «голые» числа, такие же, как пять, минус корень из двух или пи пополам, – не обремененные никакими единицами измерения физических величин. (Заодно это способ сообщить инопланетянам, насколько сильная гравитация у нас на планете; ускорение свободного падения 9,8 м/с2 для этой цели не годится из-за полной неясности по поводу метра и секунды.)
В окрестности черной дыры Агент позволяет себе намного больше. Он использует все буквы из таблицы, чтобы диктовать, как исчислять «расстояния» в пространстве-времени, если известны промежутки по каждой из выбранных координат; например, промежуток времени (пр. вр.) вносит в это «расстояние» вклад г · (пр. вр.)2, где буква г совсем уже не равна минус единице (а, например, имеет значение –2/3 на радиусе БУКО и –1/2 на половине этого радиуса – там, где проходит неустойчивая круговая орбита света). А когда под горизонтом черной дыры «меняются местами пространство и время», это только то и означает, что минус перебрался оттуда, где время, туда, где радиус, – Агент практически взбесился. А ведь он еще и не ограничивается расстановкой коэффициентов перед квадратами. Например, буква к располагается в его «кодовой таблице» в первой строке и четвертом столбце:
Четвертый столбец отвечает времени, а первая строка – выбранному «первому» направлению в пространстве. Берем промежуток времени между событиями, умножаем его на отрезок вдоль первого направления (условно – «ширину») и добавляем результат ко всему остальному с нужным коэффициентом: 2к · (ширина) · (пр. вр.); двойка здесь появляется потому, что буква к, как видно, присутствует в таблице два раза. Из-за буквы к, таким образом, «смешиваются» длина и промежуток времени. Аналогично и с другими буквами; к сильному удивлению Пифагора, квадрат «расстояния» в пространстве-времени включает смешанные произведения временного отрезка на пространственные. Финальный же шок для Пифагора – что из-за букв д, е, з смешивание возникает и в пространстве. Скажем, буква д смешивает первое и второе направления в пространстве: «ширину» надо умножить на «глубину», а потом умножить еще на 2д и прибавить ко всему остальному. Так в дело идут все буквы, какие есть у Агента.
Агента, который такое себе позволяет, вполне могли называть не-пифагоровым, но по историческим причинам называют не-эвклидовым, для простоты написания – неевклидовым[131].
Агент гравитации – метрика пространства-времени
Десять букв абвгдежзик (десять чисел, заданных в каждой точке пространства-времени) собирательно называются метрикой, для особой торжественности – метрикой пространства-времени. А чтобы не путать «расстояние» между событиями в пространстве-времени с обычным расстоянием (между точками в пространстве), ему дали отдельное имя: интервал. Метрика (эти самые абвгдежзик) задает правило, по которому вычисляется интервал в пространстве-времени. Агент, таким образом, показал свое настоящее лицо: это метрика пространства-времени. Гравитационное поле, другими словами, – это метрика пространства-времени. В плоском пространстве-времени метрика имеет предельно скучный вид из трех единиц, одной минус единицы и нулей (и называется плоской), из-за чего интервал и определяется «по Пифагору с одним минусом» (и никакой гравитации в действительности нет). В искривленном же пространстве-времени все десять букв абвгдежзик из метрики могут меняться от точки к точке в пространстве и от одного момента времени к другому, поэтому рецепт для вычисления интервала при заданной метрике пригоден не для любых двух событий в пространстве-времени, а для очень близких. Настолько близких, что при путешествии между ними не успевает сколько-нибудь серьезно измениться значение ни одной из букв абвгдежзик (этому «не успевает» можно придать строгий математический смысл).
На предыдущей прогулке, однако, мы обращались с искривленным пространством-временем, широко пользуясь параллельным переносом. Агент, желающий распоряжаться всем самостоятельно, должен уметь строить этот параллельный перенос. Тут-то и оказывается, что определить параллельный перенос ничего не стоит тому, кто знает все расстояния (к которым мы сейчас отнесем и интервал, чтобы каждый раз не добавлять «и интервал»)[132]. Дело в том, что если известны все расстояния, то известны и все углы, просто потому, что из знания всех сторон в треугольнике следует знание всех его углов. (Это работает, с минимальными поправками, и в том случае, когда вместо расстояния в пространстве фигурирует интервал в пространстве-времени.) Поэтому указания Агента по поводу параллельного переноса звучат обманчиво просто: переносите вдоль каждой кривой в пространстве-времени так, чтобы сохранялись все длины и все углы. Этим полностью определяются правила параллельного переноса вдоль любой кривой.
Но в требовании «чтобы сохранялись» есть скрытое лукавство: сами буквы абвгдежзик, которые используются при вычислении длин и углов, меняются от точки к точке! Стрелке, которую переносят туда, где, скажем, поменялось значение буквы ж, приходится как-то это «учитывать», чтобы все длины и углы остались теми же. Очень неформально говоря, при параллельном переносе стрелок вдоль кривой нечто должно происходить с самими стрелками – нечто такое, что в точности компенсирует изменение букв абвгдежзик. (В плоском пространстве или пространстве-времени ни одна из абвгдежзик не меняется, и стрелкам не нужно никак стараться, они остаются при параллельном переносе «такими же».)
Агент, представляющий собой метрику, оттеснил на второй план услужливых локальных наблюдателей, всегда готовых строить лестницы Шильда. Он обходится без посторонней помощи. Его инструмент – это правило для вычисления интервала в каждой точке пространства-времени, но это правило позволяет определить и параллельный перенос, и поэтому от него зависит, какой получится геометрия пространства-времени. Но это если метрика задана. А что же определяет саму метрику? Что, другими словами, создает гравитационное поле? Материя.
Десять голосов материи. Материю узнают по ее свойствам. Самое неотъемлемое из них – энергия; существовать – значит обладать энергией. Движение привносит разнообразие в свойства материи, добавляя к ним количество движения. В трехмерном пространстве количество движения – это три числа, потому что иначе не определить направление движения, а оно существенно для всего, что с движущейся материей может произойти. Энергия и количество движения тоже хотят собраться в таблицу; а я хочу обойтись на этот раз без русских букв (оставим их для геометрии). Энергия E и три компоненты количества движения P, Q, R желают вступить в союз и проживать совместно в такой табличной конфигурации:
Из-за места, где располагается энергия, угадываются ее специальные отношения с временем, но нам сейчас не до этого: в схеме имеются незаселенные позиции. Минуту, и все исправим.
«Толкаться» не обязательно означает «в результате начать двигаться». В элементе «скрам» в регби (рис. 7.2) давления больше, чем движения. Поскольку давление можно прикладывать в любом направлении, у него тоже три компоненты, хотя само по себе давление и не есть движение. Для трех компонент давления p, q, r в выбранных трех направлениях естественным образом нашлись места в таблице:
Рис. 7.2. Давление
И наконец, кроме как давить, можно еще и «тянуть в стороны»: при контакте шершавых поверхностей тянуть за одну из них вдоль – не то же самое, что давить, прижимая одну к другой. В зависимости от ориентации здесь шесть базовых возможностей (тянуть вдоль направления север – юг в конфигурации, когда прижимать надо было бы вниз – вверх; и т. д.). Шесть чисел, которые такое описывают, называются касательными натяжениями; в действительности они попарно совпадают, и мы дозаселяем таблицу тремя базисными касательными натяжениями s, t, u:
Получилась таблица с именем, которое отвечает на вопрос «таблица чего?»: таблица энергии-движения-сил[133]. Энергии – потому что энергия E присутствует здесь самым непосредственным образом; движения – потому что сюда входит количество движения (P, Q, R); а сил – потому что давления и касательные натяжения представляют собой силы, только отнесенные к единице площади. Кстати, материю мы мыслим как-то распределенной в пространстве, поэтому энергию и количество движения надо тоже отнести к единице объема – другими словами, под буквами P, Q, R и E надо понимать плотности количества движения и энергии (и еще один технический момент состоит в том, что плотность количества движения надо дополнительно умножить на скорость света c, чтобы можно было оперировать ею наравне с энергией).
Таблица энергии-движения-сил имеет формат 4 × 4, как и метрика пространства-времени (не случайно, но на соблазн обсудить еще и это я не поддамся). И действующих лиц там тоже десять. Они – энергия, количество движения и силы – и создают кривизну. Уилеру, который все эти подробности опустил, а сказал просто «материя», вполне можно извинить эту художественную вольность; фраза с подробностями едва ли прозвучала бы так же эффектно.
Закон природы, к которому мы приближаемся и который хотим сформулировать наконец без слова «говорит», имеет структуру
надо только разобраться с тем, каких представителей отправят сюда обе стороны. Когда разберемся, окажется, что мы записали уравнения Эйнштейна. Они выражают важный факт: материя и геометрия пространства-времени взаимозависимы. Вообще-то мы представляем себе материю как нечто отдельное от пространства, нечто такое, что находится в нем и может там двигаться. Но закон природы, к которому мы приближаемся, говорит, что материя существует и движется не на неизменном «фоне», а сама влияет на пространство и время, в котором живет. Пространство-время, другими словами, – не статичная арена, на которой происходят различные представления. Нет, труппа перестраивает под себя не только декорации, но и саму архитектурную основу, которая в результате становится частью шоу.
Материя формирует пространство-время, в котором существует
Чтобы договариваться с пространством-временем, материя делегирует лучшее, что у нее есть, – таблицу энергии-движения-сил, и в уравнении появляется вполне конкретная правая часть:
и это уже не лозунг, а заготовка для фундаментального закона природы. Слегка забегая вперед, я сразу записал в правой части именно такой коэффициент, который требуется в окончательной формулировке; буква G здесь – это в точности G из закона тяготения Ньютона (1.1), и называется она гравитационной постоянной, или ньютоновой постоянной, или ньютоновой гравитационной постоянной. Про представителя материи больше добавить нечего. Но как быть пространству-времени? Если материя в правой части равенства ведет разговор на языке таблиц 4 × 4, то и в левой части должна быть таблица такого же формата, только сделанная из «геометрии». Кандидат есть: абвгдежзик-таблица, она же метрика, как раз 4 × 4.
Но этот кандидат решительно не подходит.
Рис. 7.3.Слева: квадрат расстояния на плоскости равен a2 + b2, если сетка равномерная и прямоугольная. Расстояние c можно тогда узнать, считая длины a и b по клеткам, в данном случае В центре: из-за того, что сетка скошена, квадрат расстояния равен a2 + b2 – 0,96ab. Справа: в криволинейной сетке само определение треугольников и параллелограммов требует уточнения
Двадцать оттенков кривизны. Может так случиться – и случается, – что Агент лишь имитирует непифагоровость/неевклидовость за счет путаного определения «направлений» в пространстве или пространстве-времени. Даже плоскость можно разграфить не в прямоугольную клетку, а косо, как на рис. 7.3 в центре, где квадрат расстояния вычисляется исходя из длин двух отрезков вдоль координатных осей не по Пифагору, а как c2 = a2 + b2 – 0,96ab (т. е. число д из абвгдежзик-таблицы в данном случае равно –0,48). А если буквы абвгдежзик меняются от точки к точке, то картина выглядит не просто скошенно, а буквально криво, как на рис. 7.3 справа, и рецепт вычисления расстояний становится особенно сложным. Спрашивается, в каких случаях все-таки можно выпрямить сетку координатных линий, чтобы вернуть расстоянию его пифагоров вид? Это получится не для всех поверхностей, изображенных на рис. 7.4; а вообще можно ли, разглядывая абвгдежзик-таблицы, узнать, к какой из этих поверхностей они относятся? На рис. 7.4 по необходимости изображены двумерные поверхности, а в четырехмерии возможностей «скривиться» неизмеримо больше, и разобраться в них наивными средствами совсем не просто. Пытаться в лоб найти простое описание вместо сложного – не всегда хороший план: что, спрашивается, мы должны будем заключить, если после двух недель поисков мы так ничего и не найдем? Желаемое выпрямление существует, но сложно устроено или его вовсе нет? По счастью, имеется метод прямой обработки данных из абвгдежзик-таблиц, позволяющий сразу увидеть, есть ли неустранимая причина, по которой квадраты расстояний вычисляются не по Пифагору, или же все усложнения только кажущиеся из-за искусственного выбора скособоченной сетки. Этот метод состоит просто-напросто в построении кривизны. Отлично работает и в пространстве, и в пространстве-времени.
Рис. 7.4. Искривленные и неискривленные поверхности (слева направо и сверху вниз): гиперболоид, цилиндр, тор, сфера. Цилиндр не имеет кривизны; тор выглядит искривленным при изображении в трехмерном пространстве, но математически, «сам по себе», он также имеет нулевую кривизну. Сфера и гиперболоид – искривленные поверхности. Цилиндр и гиперболоид – «открытые» (незамкнутые) поверхности, а сфера и тор – замкнутые
Кривизна дает критерий, чтобы решить, плоское пространство-время или нет. Если кривизна не равна нулю, то, значит, нельзя выбрать «прямую» координатную сетку и буквы абвгдежзик везде сделать нулями и (минус) единицами, как в плоском пространстве-времени. А если равна нулю, то можно, как бы Агент ни пытался нас запутать. Вычисление кривизны – вполне «машинная» обработка абвгдежзик-таблиц, которую и в самом деле можно поручить компьютеру, обученному символьным вычислениям. Сначала по имеющейся метрике строятся правила параллельного переноса, а из них, как мы видели на прогулке 6, определяется кривизна. В итоге получается математическое выражение для кривизны в зависимости от букв абвгдежзик, но не просто от их значений в данной точке пространства-времени, а еще и от того, как быстро эти значения меняются при переходе к соседним точкам[134], и от того, как быстро меняются сами эти темпы изменения. Это слегка пугающее изобилие, и оно организуется в таблицу формата 4 × 4 × 4 × 4, с которой мы уже встречались в главе «прогулка 6». Однако независимых данных в ней существенно меньше, чем 4 · 4 · 4 · 4 = 256, потому что таблица кривизны, построенная из метрики, – это еще и «калейдоскоп».
Рис. 7.5. Кривизна – таблица 4 × 4, составленная из таблиц 4 × 4. Двадцать компонент кривизны обозначены заглавными буквами русского алфавита; они распределяются по 144 ячейкам, не содержащим заведомых нулей. Каждая из этих букв – сложное выражение из букв абвгдежзик
Вообще, калейдоскоп – это устройство для создания узоров путем кратного отражения сравнительно небольшого числа элементов. Отражения уже появились в структуре абвгдежзик-таблицы; в кривизне же отражения поинтереснее, потому что 256 имеющихся ячеек содержат лишь 20 различных элементов, которые вынуждены повторяться, иногда с небольшими вариациями. Работает это так: 112 ячеек всегда заняты нулями (ну и тем лучше!), а по оставшимся 144 ячейкам эти 20 элементов распределены или буквально в виде повторов, или в виде повторов со знаком минус, или в виде разности двух элементов. Это и проиллюстрировано на рис. 7.5. Таблица 4 × 4 × 4 × 4 записана там приемлемым для печати способом в формате «большая таблица 4 × 4, состоящая из таблиц 4 × 4». Следуя порочной практике этой прогулки, я обозначил 20 независимых компонент кривизны заглавными буквами из начала – и по необходимости середины – русского алфавита, пропустив только «О», чтобы она не путалась с нулем. Правила, по которым одни и те же элементы повторяются или сами по себе, или со знаком минус, были бы более наглядными, если всю таблицу разглядывать не как таблицу таблиц, а как четырехмерный куб, но это, увы, не в наших силах. Каждая буква А, Б, В, … – это замысловатое выражение, составленное из букв а, б, в, …, из темпов их изменения по разным направлениям и из темпов изменения темпов изменения. Вникать в это мы не собираемся, цель рисунка – проиллюстрировать, что в четырехмерном пространстве-времени у кривизны 20 независимых компонент: 20 независимых способов организовать сжатия, растяжения и скручивания, которые в принципе могут выпасть на долю каких-либо планет, космических кораблей или муравьев.
А кроме того, кривизна – это еще и мостик, помогающий сопоставить различные картины мира, измеряя их сложность более объективно, чем это получается непосредственно из вида метрики. Когда мы говорим о том, как замедляется время вблизи черной дыры, или замечаем, что под горизонтом пространство и время поменялись местами, – мы смотрим на то, как устроены метрики (абвгдежзик-таблицы). Но разные наблюдатели могут записать их многими разными способами для одной и той же черной дыры: согласно таблицам, которыми оперируют болельщики, бросившие путешественника в черную дыру, он навсегда зависает над горизонтом, однако его собственная картина мира выражена в таких 4 × 4-таблицах, согласно которым время жизни получается не очень долгим. Если бы мы внезапно стали обладателями двух этих картин мира, представленных соответствующими абвгдежзик-таблицами, то догадаться о том, что они описывают одно и то же с двух сильно различных точек зрения, было бы крайне непросто (из-за этого, кстати, понимание сущности происходящего на горизонте черной дыры сформировалось далеко не сразу). Здесь-то и выручает кривизна: «остановка времени» на горизонте, с точки зрения болельщика, – это просто результат плохого поведения буквы г в его абвгдежзик-таблице; но построенная из всех этих букв кривизна ведет себя на горизонте хорошо, а это означает, что можно найти такие координаты – такую «точку зрения», – в терминах которых прохождение через горизонт происходит с «ровным» течением времени (это и ощущает свободно падающий путешественник).
И конечно, кривизна позволяет контролировать Агента, что бывает очень нелишним: если даже буквы а, б, в, … выглядят устрашающе, но машина по производству кривизны говорит, что все буквы А, Б, В, … равны нулю, то, значит, кто-то плохо выбрал координаты в пространстве-времени, и только из-за этого и возникли какие-то нестандартные абвгдежзик. На самом же деле пространство-время плоское, нет никаких препятствий, чтобы выбрать координаты, в которых все абвгдежзик имеют «плоский» вид из нулей, единиц и минус единицы, а путаное выражение для интервала – просто глупость Агента. Но если хоть одна из букв А, Б, В, … ненулевая, то препятствия ко всему этому есть; и есть гравитация.
После всего хорошего, сказанного про кривизну, мы можем вернуться к вопросу о том, к кому же обращается материя, когда говорит пространству-времени, как ему искривляться: она обращается к кривизне.
Закон природы, который мы вот-вот сможем сформулировать, максимально близок к высказыванию, что в каждой точке пространства и в каждый момент времени таблица кривизны должна быть равна имеющейся там таблице энергии-движения-сил (умноженной на коэффициент, который я уже выписал выше, слегка опережая события). К сожалению, буквально такого быть не может, потому что таблица кривизны имеет формат 4 × 4 × 4 × 4 («таблица таблиц»), а таблица энергии-движения-сил – формат 4 × 4 («просто таблица»). Но из таблицы таблиц и метрики можно сделать просто-таблицу, примерно как «более грубый калейдоскоп» из «менее грубого» – соединяя по несколько кусков орнамента в один по определенным правилам[135]. Двадцать компонент кривизны А, Б, В, … после этого размещаются, в разных комбинациях, в таблице нужного нам формата 4 × 4. В результате получаются уравнения, связывающие материю и геометрию, – уравнения Эйнштейна.
Уравнения Эйнштейна. Путь Эйнштейна к уравнениям, связывающим материю и гравитацию, был долгим, сложным и извилистым, если не сказать путаным. В течение нескольких лет Эйнштейн блуждал вокруг окончательного ответа, несколькими способами (итерационно, как сказали бы сейчас) пытаясь воплотить физическую интуицию в математике искривленного пространства-времени – с ее изобилием возможностей, среди которых непросто найти дорогу к «правильному», пока само это «правильное» неизвестно. Изящество возникших в конце концов уравнений таково, что напрашивается сравнение с известным руководством по созданию гениальной скульптуры: отсечь от глыбы мрамора все лишнее. «Скульптура» стала приобретать почти окончательные очертания осенью 1915 г.
В октябре Эйнштейн думал, что закон природы, обобщающий закон всеобщего тяготения, состоит в том, что 4 × 4-таблица кривизны, полученная «огрублением» исходной 4 × 4 × 4 × 4-таблицы, должна равняться таблице энергии-движения-сил, взятой с подходящим коэффициентом. Записав это равенство и относясь к нему как к уравнениям для метрики, Эйнштейн проверил, как они работают, найдя их приближенное решение для задачи Кеплера – для одной планеты, обращающейся вокруг центра притяжения, в данном случае не слишком близко и по не слишком сильно вытянутому эллипсу. Эллипс получился медленно поворачивающимся, а подстановка в ответ для скорости поворота численных данных для Меркурия дала в точности те самые, никак иначе не объяснимые, 43 угловые секунды в столетие. «Несколько дней вне себя от восторга» не помешали, однако, Эйнштейну вскоре заметить явление, которое не сказывалось на использованном приближенном решении, но составляло проблему в общем случае: уравнения «мешали» законам сохранения. Законы сохранения (скажем, энергии и количества движения) имеют свое выражение в виде математических условий, которым должна подчиняться таблица энергии-движения-сил, но эти условия входили в конфликт с требованием, чтобы она же была пропорциональна 4 × 4-таблице кривизны. Это, впрочем, были последние трудности на пути построения теории гравитации, и их удалось быстро (к 25 ноября) преодолеть за счет небольшого улучшения левой части уравнений – практически косметической дорасфасовки компонент кривизны в таблице 4 × 4. В результате получается несколько другая – «Специальная» – упаковка всех двадцати компонент кривизны в таблицу 4 × 4. Никаких конфликтов больше не возникает, если потребовать, чтобы она, эта Специальная упаковка кривизны, совпадала с таблицей энергии-движения-сил с точностью до коэффициента:
Правая часть здесь в точности та же, что и ранее, просто таблица энергии-движения-сил не выписана полностью. Уравнение такого вида означает, что каждый элемент таблицы в левой части должен совпадать с тем элементом из правой части, который стоит в той же строке и том же столбце; поэтому уравнений не одно, а несколько – десять. Они и называются уравнениями Эйнштейна[136]. Обе части, конечно, зависят от точки в пространстве-времени; как мы говорили на прогулке 1, уравнения в таком случае оказываются уравнениями на функции – на возможную зависимость входящих сюда букв (в первую очередь абвгдежзик) от точки в пространстве и от момента времени.
Если – для краткости и буквально на секунду – разрешить себе называть все, что располагается в правой части уравнений Эйнштейна, просто энергией, а все, что в левой части, – все-таки гравитацией (не отказываясь, разумеется, от того, что это кривизна, т. е. геометрия пространства-времени), то можно сказать, что гравитация – это отклик пространства-времени на содержащуюся в нем энергию. А как это связано с тем, что было известно про гравитацию Ньютону? Подробнее об этом говорится в добавлениях к этой прогулке, а в кратчайшем изложении связь такова. Самый незамысловатый способ присутствия энергии – масса (рискуя быть надоедливым: умноженная на c2). Поэтому, согласно уравнениям Эйнштейна, геометрия пространства-времени откликается на присутствие массы. Пока получающаяся кривизна невелика, а все изменения достаточно медленные, геодезические оказываются такими, что тела в пространстве ведут себя так, как если бы в них вцепилась ньютонова гравитация в полном соответствии с (1.1). По мере увеличения кривизны и скоростей это описание делается все более неточным, даже если таблица энергии-движения-сил представлена только массой; в точное описание, кроме того, вносят вклад и остальные обитатели этой таблицы.
Связь материи и геометрии, выражаемая уравнениями Эйнштейна, открывает огромное поле возможностей для управления мирами. Можно взять какое-то распределение материи и посмотреть, какое пространство-время оно для себя создаст. Делают это буквально так: выбирают таблицу энергии-движения-сил, руководствуясь соображениями о той или иной системе (например, Вселенной) – о том, как в ней распределены энергия, количество движения, давления и натяжения. После этого предлагается решить уравнения Эйнштейна – т. е. найти такие абвгдежзик, что построенная из них кривизна, уложенная в Специальную упаковку, обеспечит выполнение всех десяти уравнений. Это не очень просто, потому что кривизна сложно выражается через абвгдежзик. Часто, руководствуясь соображениями о «примерно возможной» реальности, мы придумываем некоторый общий вид распределения материи с определенными свойствами, оставляя какие-то подробности этого распределения нефиксированными, чтобы их доопределить из уравнений. Хорошие уравнения при этом подталкивают в сторону правильного нового знания, и с уравнениями Эйнштейна именно так и случилось. Они открыли нам расширяющуюся Вселенную, черные дыры и гравитационные волны.
Конструктор вселенных. Пыль, распределенная в пространстве с некоторой плотностью, имеет вполне конкретную таблицу энергии-движения-сил. Оказалось особенно интересно узнать, какой может быть геометрия пространства-времени, если в нем содержится только пыль.
Рис. 7.6. Этапы столкновения и смешивания Млечного Пути и Андромеды: ожидаемый вид ночного неба с Земли
Пыль?
Обыденные слова, сделавшиеся научными терминами, начинают в новом качестве выражать нечто вполне определенное, но часто далекое от первоначального житейского смысла. Пыль в данном случае включает в себя межзвездный газ, собственно межзвездную пыль, а также (!) звезды и галактики заодно с темной материей. Слово «пыль» используется просто потому, что все это вещество крайне слабо сопротивляется своему сжатию на «самых космических» масштабах: сближающимся галактикам не становится тесно настолько, чтобы они начали расталкиваться; наоборот, они порой «смешиваются» (рис. 7.6). Технически пыль – это распределение материи, не создающее давления (кстати, если бы бытовая пыль сопротивлялась уже небольшому сжатию, конструкция пылесосов определенно была бы иной); всю «пыль» во Вселенной называют еще холодной материей, что включает и холодную темную материю[137].
В уравнения Эйнштейна надо внедрить информацию о том, как вся эта пыль наполняет Вселенную – какая у нее таблица энергии-движения-сил во всех точках пространства. Главный предмет нашего интереса тогда – что происходит с пространством и не чужой нам пылью с течением времени. Глядя в телескоп, мы вообще-то видим, что вещество в космосе собрано в комки. За пределами нашей планеты – относительная пустота; в Солнечной системе много пустоты, но есть и разные другие комки (начиная с самого Солнца); по пути к ближайшим звездам – еще больше пустоты; преодолевая ее и добираясь до все более далеких звезд, мы обнаруживаем скопление вещества размером около 100 000 световых лет в поперечнике – галактику Млечный Путь, вокруг которой – еще больше пустоты (вещества между галактиками в общей сложности много, но это потому, что расстояния большие; плотность же его крайне мала). Еще дальше обнаруживается Местная группа галактик с характерным размером 3 000 000 световых лет, и скопление Девы (30 000 000 световых лет), и еще скопления размерами до 300 000 000 световых лет, и еще пустоты. Но это все сейчас неважно, потому что на еще больших масштабах, где галактики выглядят как мельчайшие частицы этой пыли, Вселенная заполнена веществом примерно равномерно, а кроме того, одинакова по всем направлениям[138]. В результате в таблице энергии-движения-сил остается только одно число – средняя плотность вещества ρ, она же, с точностью до умножения на c2, – энергия на единицу объема На месте давления и касательных натяжений стоят нули именно потому, что «пыль»; на месте количества движения тоже нули, потому что в наблюдаемой Вселенной нет сколько-нибудь больших частей, движущихся относительно других ее частей со скоростями, сравнимыми со скоростью света.
Правая часть уравнений Эйнштейна, представляющая материю, получилась совсем простая: там одно число на все, что есть во Вселенной. Теперь уравнения должны сказать, в какой геометрии (в каком пространстве-времени) эта материя способна жить. Уравнения Эйнштейна оказываются средством необычайной силы, потому что, пользуясь ими, мы всерьез намерены узнать про что-то вроде «формы Вселенной», а также про то, что со Вселенной было раньше и что будет в будущем. Проблема с тем, что при этом получится, есть, потому что пыль сама себя притягивает. Возникает очень насущный вопрос: почему же она не обрушивается сама на себя? Почему под действием собственного притяжения она не собирается в один комок?
Предполагаемая «одинаковость» пыли по всей Вселенной требует, чтобы и пространство было одинаковым во всех точках и по всем направлениям. Для выражения этого нужно специальным образом настроить Агента: из всех букв абвгдежзик «живой» остается только одна, и метрика пространства-времени для Вселенной в целом принимает вид За все происходящее с пространством-временем здесь отвечает одна-единственная буква a, про которую требуется выяснить, как она зависит от времени[139].
Эйнштейн задался проблемой «построения Вселенной» вскоре после создания своих уравнений – после того, как объяснил с их помощью поворот орбиты Меркурия, но до того, как «проснулся знаменитым» после измерения угла отклонения света Солнцем. Научные представления о Вселенной в тот момент включали в себя идею, что на большом масштабе она не только одинакова в пространстве, но и неизменна во времени. Однако только что придуманные им уравнения не хотели возвращать такого решения, тем самым вроде бы противореча реальности, и их автор оказался перед сложным выбором. Желая получить из своих уравнений неизменную Вселенную, Эйнштейн (вот уж действительно на правах автора) воспользовался тем, что его уравнения допускают одну модификацию: в левую, геометрическую часть можно добавить еще одно слагаемое, причем не сложно устроенное, как те, что там уже есть, а просто метрику, умноженную на произвольное число Λ (лямбда; в русском алфавите эта же буква стала называться «эль», но, глядя на лямбду, об этом никогда не вспоминают). Слово «можно» здесь – это практически научный термин: оно означает, что добавление слагаемого с лямбдой не нарушает главные принципы, на основе которых гравитация описывается как геометрия; это дополнительное слагаемое ничем не запрещено, но его «вес» в уравнениях – значение буквы Λ – ничем не фиксируется.
Другие уравнения – другие решения. В начале 1917 г. Эйнштейн нашел желаемое решение модифицированных уравнений, говорящее, что «пылевая» Вселенная неизменна во времени. Успех? А как с поворотом орбиты Меркурия – не нарушится ли тут блестящее согласие теории и эксперимента? Оказалось, что если Λ достаточно мала, то влияние ее на Меркурий практически незаметно – а для поддержания неизменности Вселенной и такой будет достаточно. Придется тогда признать, что в списке констант, который прилагается к нашей Вселенной, значится и еще одна, Λ (кстати, имеющая смысл энергии на единицу объема). Что есть, то есть, родную вселенную не выбирают. (Возникнув в таких рассуждениях, эта константа получила название космологической постоянной.)
Стремление Эйнштейна убедиться, что его уравнения согласуются с имеющейся на данный момент научной картиной мира, более чем законно: не это ли называется проверкой теории наблюдениями? Но в действительности статические (не меняющиеся со временем) решения искать было незачем; и модифицировать уравнения тоже было не обязательно. Уравнения «знали больше, чем их создатель»: они были готовы описывать Вселенную, которая меняется со временем, и она такой и оказалась. Теоретически возможность существования нестатичных «пылевых» вселенных из уравнений Эйнштейна извлек Фридман в 1922 г. Экспериментальный факт, что Вселенная не статична, вошел в науку в связи с наблюдениями и выводами из них, которые в 1929 г. сделал Хаббл: галактики удаляются от нас с тем большими скоростями, чем дальше они находятся (несколько ранее, в 1927-м, к сходным заключениям пришел Леметр: он вывел заново решения Фридмана, видимо, ему неизвестные, причем с целью именно объяснить скорости удаления галактик). А в 1930 г. Эддингтон установил, что статическое решение, полученное Эйнштейном с применением буквы лямбда, неустойчиво: материя там или схлопнется в точку, или разлетится неопределенно далеко в результате малейшего возмущения в ее распределении. Уравнения, одним словом, совсем не хотели неизменную во времени Вселенную.
Фридман исходил из тех же предположений, что Вселенная одинакова везде и по всем направлениям, но, в отличие от Эйнштейна, не был связан желанием получить решение определенного типа. В 1922 г. он нашел решение, которое Эйнштейн пропустил (не заметил!) – вероятно, из-за своей нацеленности на получение неизменной Вселенной. Согласно решению Фридмана, в заполненном пылью пространстве «все движется», но не совсем привычным образом: с течением времени все удаляется от всего или все приближается ко всему просто из-за того, что во времени изменяется метрика – та самая буква a, которая только и осталась от всей абвгдежзик-таблицы. Роль ее (этой a) в том, что все пространственные расстояния на нее умножаются; когда она растет со временем, все расстояния увеличиваются с течением времени, а когда убывает – уменьшаются. Возрастает же она или убывает и в каком темпе, как раз и определяется уравнениями, которые получил Фридман.
Уравнения Фридмана – следствия из уравнений Эйнштейна для вселенных, устроенных описанным простейшим образом, т. е. одинаковых в разных своих частях и по разным направлениям. И эти уравнения – «передаточный механизм» между тем, сколь плотно заполнена та или иная вселенная, и, если она расширяется, судьбой ее расширения. Конструирование вселенных в действии: судьба миров определяется плотностью вместившейся в них пыли. Сейчас мы знаем из наблюдений, что живем в расширяющейся Вселенной: это значит, что из возможных решений уравнений Фридмана реализуется то, где a возрастает с течением времени. Однако на вопрос: «С какой скоростью расширяется наша Вселенная?» – ответить нельзя, потому что у такого вида «движения», как расширение Вселенной, нет скорости типа «километров в секунду», а есть только темп. Я больше не буду брать это движение в кавычки, потому что видим мы его как самое настоящее движение: для каждой конкретной галактики можно даже измерить скорость ее удаления от нас. Тем не менее наблюдаемая картина не лишена и некоторого элемента иллюзии: каждому наблюдателю кажется, что все удаляется именно от него, как будто он находится в центре, хотя никакого центра нет. Неплохой способ представить себе, как это получается, – посмотреть на лист бумаги в клетку; лучше всего подойдет крупная, сантиметровая клетка. Выберем какой-то узел сетки и поставим в нем точку А. Сейчас принято, чтобы там жила Алиса, но пусть живет Аня. В другом узле, на сантиметр в сторону, поселился Боря, а еще через сантиметр в ту же сторону – Вера. Наша вселенная на листе бумаги – в отличие от настоящей Вселенной – густо населена: далее вдоль того же направления живут, понятно, Гриша, Даша, Егор и другие персонажи; пожалуй, нам будет достаточно перечислить их до Эдуарда, Юлии и Якова:
Мы хотим, чтобы у них было все как у нас, только оживленнее и нагляднее. Пусть буква a в их метрике меняется со временем так, что за год каждое расстояние в 1 см увеличивается на 1 мм. Ключевое слово – «каждое». Это значит, что через год Боря окажется от Ани на расстоянии 1,1 см, но то же самое верно для расстояния от Бори до Веры: оно тоже станет равным 1,1 см:
Это, конечно, означает, что от Ани до Веры теперь 2,2 см. А от Ани до Гриши – 3,3 см. Как мы видим, никакой единой скорости нет: Боря в среднем в течение года удалялся от Ани со скоростью 0,1 см/год, но Вера удалялась от Ани со скоростью 0,2 см/год. А Эдик, Юля и Яша уже буквально бежали от Ани со скоростями около 3 см/год. Темп расширения тем не менее для всех один: 1 мм в год на сантиметр, т. е. где можно, конечно, сократить сантиметры, получив Еще через год, если темп расширения останется примерно тем же, расстояния между соседями станут равными 1,21 см:
Не без доли высокомерия я позволяю себе смотреть на эту игрушечную вселенную со стороны – просто потому, что я ее нарисовал. Но моя настоящая Вселенная ни на чем не «нарисована» и не имеет никакой «стороны», откуда на нее можно было бы смотреть. Единственный возможный взгляд – это взгляд наблюдателя изнутри. А что видят наши персонажи? Каждый видит одно и то же: все убегают от него. Например, по наблюдениям Пети, в одну сторону от него удаляется Оля, а в противоположную – Рита. И те, кто расположен подальше от Пети, отдаляются от него быстрее. Точно таким же образом Коля наблюдает, что все разбегаются именно от него: Ира в одну сторону, а Люда в другую, а если смотреть мимо Люды, то будет виден Миша, который удаляется в два раза быстрее, и т. д. И, конечно, увеличение расстояний происходит не только вдоль выбранной линии, на которой поселились наши персонажи. Bill и Caren удаляются от Ани точно в том же темпе,
и вообще все расстояния вдоль всех направлений увеличиваются в одинаковом темпе, так что если мы начали с листа тетради в клетку, то форма клеток в этой двумерной клеточной вселенной не изменяется, только их размер увеличивается. При этом – вот ведь фокус! – вся клеточная вселенная остается «внутри себя»: ей не нужно никакого места вовне, чтобы растянуться. Точно так же, взяв все (для простоты – целые) числа (…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …), мы можем умножать их все по своему желанию на два, на три, на десять или на сто, и полученные числа все равно останутся среди тех же исходно взятых целых чисел. Таким же образом наша реальная физическая Вселенная расширяется, «не высовываясь сама из себя», вообще без всякого «снаружи», а каждый наблюдатель в ней видит, что все убегают от него, причем все более далекие объекты убегают все быстрее.
Вселенная расширяется, оставаясь внутри себя
Большой взрыв – это момент времени
Темп расширения – те самые для наших персонажей – называется постоянной Хаббла. В реальной Вселенной постоянная Хаббла имеет величину около 70 (км/с)/Мпк. Это читается как «70 километров в секунду на мегапарсек» и означает, что объекты, разделенные расстоянием в один мегапарсек, удаляются друг от друга со скоростью 70 км/с. Мегапарсек – это расстояние, которое любят астрономы; если избавиться от него, то постоянную Хаббла можно выразить как [140]Обратная величина – единица-деленная-на-постоянную-Хаббла – измеряется в годах и дает примерную оценку возраста Вселенной. Если бы темп расширения не менялся с самого начала, то это «начало» должно было случиться именно столько времени назад: около 10 лет назад для нашей тетради в клетку и без малого 14 млрд лет назад для нашей Вселенной. (В действительности уравнения Фридмана сообщают, что сам темп расширения несколько изменяется с течением времени, и оценку возраста Вселенной надо поэтому уточнить.) В момент этого «начала» (определенный, конечно, лишь с известной точностью) вся наблюдаемая ныне Вселенная умещалась в объеме величиной примерно с яблоко, была заполнена горячим плотным веществом и уже находилась в состоянии разбегания всех от всех (буква a увеличивалась). Этот момент не очень удачно назвали Большим взрывом, хотя это не взрыв где-то в пространстве, а момент или короткая стадия определенного состояния пространства и материи[141]. Про него неинтересно спрашивать «где?» (потому что ответ – «везде»), но интересно спрашивать «когда?». Потренируемся еще раз на наших клеточных персонажах, сконцентрировавшись на Пете. По одну сторону от него Оля, а много дальше Аня; по другую – Рита, и где-то вдали Яков. Большой взрыв – это момент времени, когда все «насечки» А|Б|…|П|…|Ю|Я| умещались на длине меньше микрона[142]. Эта «микронная» область и расширилась до современной вселенной от А до Я, которую наблюдает сейчас Петя. Здесь, правда, хочется спросить, а что же слева от Ани и справа от Якова? Это у меня буквы кончились, а на самом-то деле?
С момента Большого взрыва происходит расширение во всех точках
Здесь два обстоятельства. Во-первых, этот «микрон», который был очень плотно забит веществом (так, что его потом хватило на наблюдаемую вселенную от А до Я), соседствовал с другими такими же «микронами», столь же плотно забитыми веществом; вселенная была однородной и одинаково плотной, по крайней мере в пределах некоторого масштаба, заметно превосходящего эти «микроны». Все они стали расширяться в равной мере. Но, во-вторых, скорость, с которой разбегаются друг от друга два достаточно удаленных персонажа в нашей клеточной расширяющейся вселенной – скажем, Петя и Яков, – может превысить (тамошнюю, «клеточную») скорость света. Ведь чем дальше друг от друга две точки, тем больше скорость, с которой растет расстояние между ними. В нашей реальной расширяющейся Вселенной такое тоже происходит, только мы никогда не узнаем, зовут ли кого-нибудь из «них» Яковом, потому что из-за быстрого удаления разрываются причинные связи между достаточно далекими областями пространства: обмен сигналами между ними оказывается невозможным. Может показаться, что я оперирую двойными стандартами: периодически вспоминаю, что максимальная скорость распространения любого сигнала – скорость света, но при этом спокойно заявляю, что П и Я разлетаются друг от друга быстрее, чем со скоростью света. Но в действительности никакие принципы не нарушаются: удаление друг от друга любых двух областей во Вселенной со сверхсветовой скоростью не является сигналом, и запретов на это нет. А вот из-за запрета на сверхсветовые сигналы наблюдаемая вселенная оказывается конечной. Петя не знает и принципиально не может знать, что находится «там далеко». Я назначил им неизменный темп расширения и подобрал такую скорость света, что все, в принципе доступное ему для наблюдений, – это вселенная от А до Я. Убедившись в расширении своей вселенной, Петя решил уравнения Фридмана и сделал вывод, что определенное время назад вся его вселенная от А до Я имела размер «микрона»; следуя не очень удачному совету, он стал называть этот момент Большим взрывом. И у нас Большой взрыв – момент времени, когда весь наблюдаемый сейчас мир был величиной с «яблоко»[143]. Что было и что стало с «чужими яблоками» – соседними областями размером с яблоко, которые тоже были плотными и горячими в момент Большого взрыва и тоже принялись расширяться, – мы не знаем, и шансов выяснить это из наблюдений нет, именно потому, что мы не можем получить никакой информации из-за пределов нашей наблюдаемой Вселенной.
Материя во Вселенной не собирается вместе, потому что продолжает разлетаться
Вооруженные знанием о расширении Вселенной и о законе этого расширения, мы теперь не удивляемся, почему вещество во Вселенной не стягивается в один комок: потому что с момента Большого взрыва оно находится в состоянии разбегания всех от всех. Правда, с важным уточнением: удаляется ли Солнце от центра Галактики? Земля от Солнца? Увеличивается ли радиус Земли? Увеличивается ли в объеме человек или камень? Нет, нет, нет и нет. В галактиках собраны звезды и газ, совместное притяжение которых уже одержало верх над разбеганием. Это же верно для скоплений галактик; галактике Андромеда ничто не запрещает лететь в сторону галактики Млечный Путь и со временем с ней столкнуться; тем более ничто не мешает системам, связанным химически, оставаться связанными. Разбегаются друг от друга части, не связанные гравитационно (а таких в наблюдаемой Вселенной имеется в избытке).
Правомерен и другой вопрос: к чему «в конце концов» приведет это разбегание? Сама возможность всерьез задаваться таким вопросом про Вселенную – впечатляющий показатель прогресса в понимании мира и законов движения в нем. За два столетия до уравнений Эйнштейна не меньше должны были впечатлять ответы на вопросы про поведение тел в Солнечной системе, начиная с триумфального предсказания Галлея о возвращении кометы. От кометы до Вселенной за двести лет развития картины мира![144] В каждом случае основное средство – это уравнения, которым подчиняется поведение, и «начальные условия», т. е. данные о состоянии в какой-либо момент времени, например «сейчас». Притягивающее вещество с неизбежностью замедляет расширение; вопрос в том, какая тенденция победит: случившееся разлетание или «съедающее» его замедление. Стянется ли все в один комок? Останется ли мир расширяющимся и поэтому практически пустым?
Уравнения Фридмана определяют темп расширения исходя из имеющихся энергии-движения-сил, распределенных по пространству: благодаря этим уравнениям характер и судьба расширения Вселенной связаны со средней плотностью энергии в ней. Если средняя плотность энергии больше некоторой определенной, то расширение со временем сменится сжатием. Итог – все-таки «один комок» (который получится безумно горячим). Такие модели мира называют замкнутыми; описываемый ими мир пространственно искривлен и интуитивно является «выпуклым»: сумма углов больших треугольников превышает 180°, как, например, это имеет место на глобусе. Если, наоборот, плотность энергии мала, то расширение никогда не прекратится; такие модели называют открытыми; сумма углов треугольника меньше 180°. В случае открытых моделей, правда, нельзя с уверенностью сказать, какую «форму» имеет «все» трехмерное пространство и бесконечно ли оно: это «всё» должно по необходимости распространяться за пределы наблюдаемой Вселенной, и поэтому утверждения о его глобальной структуре невозможно сопоставить с наблюдениями. Темп расширения такой вселенной в будущем будет убывать, приближаясь к некоторому постоянному значению. Промежуточная возможность – тоже «открытая» Вселенная, но при этом с плоским – т. е. неискривленным – пространством (но с искривленным пространством-временем!), где сумма углов каждого треугольника есть точно 180°, а ее дальнейшее расширение, хоть и никогда не остановится, будет происходить в темпе, постепенно приближающемся к нулю. Напрашивается грубая, но не полностью бессмысленная аналогия с одним из первых упражнений по исследованию движения тел в условиях гравитации – задачей Кеплера: при не слишком большой энергии движения в сравнении с энергией притяжения тело движется по замкнутым эллипсам, а при больших значениях энергии движения – по незамкнутым гиперболам, когда тело уходит прочь, постепенно замедляясь до некоторой ненулевой скорости; в граничном случае параболы движение все-таки незамкнутое, но «замирает» по мере удаления от притягивающего центра.
Решение, описывающее открытую вселенную, Фридман нашел в 1924 г., примерно за год до своей смерти (от тифа из-за немытой груши, купленной на железнодорожной станции при возвращении в Петроград из свадебного путешествия по Крыму). Уравнения Фридмана остаются в точности теми же, какими они были получены почти сто лет назад, а вот наблюдательные возможности с тех пор расширились необычайно. Решения уравнений Фридмана для расширяющейся вселенной определенно говорят, что имеющаяся в ней энергия/материя, уж сколько есть, замедляет расширение своим притяжением. А с использованием нескольких остроумных идей (включающих наше понимание механизма сверхновых типа Ia) для этого факта была придумана наблюдательная проверка: ставилась задача узнать, насколько велико замедление. Результат, полученный двумя группами астрономов в самом конце XX в., не попал ни в один из обсуждавшихся трех сценариев расширения. Темп расширения Вселенной, по-видимому, увеличивается последние несколько миллиардов лет. Аналог этой ситуации в задаче про тело в поле притяжения – ускорение по мере удаления, т. е. отталкивание. Что же во Вселенной мы проглядели, что способно к расталкиванию далеких друг от друга космических объектов? Какая вообще материя способна расталкивать видимые нами объекты? Вроде бы никакая, потому что всякая масса/энергия порождает кривизну так, что участники движения ощущают притяжение.
Однако мы недаром упражнялись на этой прогулке в записи таблиц. Материя может говорить с пространством-временем десятью разными голосами: таблица энергии-движения-сил, появившаяся ранее, содержит не только энергию E и не только три компоненты количества движения P, Q, R, но еще и давления p, q, r; и, для полноты, еще касательные натяжения. И мы просто не успели остановиться и, выдохнув и вдохнув, еще раз сказать себе: кривизну создают все десять явлений. Уравнения Эйнштейна – это действительно штука с глубоким внутренним устройством; кроме энергии и количества движения, в них участвуют еще шесть величин, и сейчас самое время о них вспомнить. Касательные натяжения нам едва ли подходят, потому что мы продолжаем описывать мир, одинаковый по всем направлениям, а вот с давлением перспективы есть.
Энергия искривляет пространство-время. Количество движения искривляет пространство-время. Давление и натяжение искривляют пространство-время
Когда мы выбрали пыль в качестве наполнителя вселенных, мы тем самым нарочно забыли о давлении, т. е. положили его равным нулю перед тем, как решать уравнения Эйнштейна (в том конкретном виде для рассматриваемых вселенных, который называется уравнениями Фридмана). Попробуем теперь то же самое, но с давлением. Вселенная по-прежнему «вся одинаковая», поэтому все три буквы для давления p, q, r равны одна другой. А всего параметров у вселенной получается два: плотность и давление, причем давление участвует в производстве кривизны независимо от плотности. Если оно положительно, то эффект добавляется к тому притяжению, которое создает плотность энергии. Но если давление отрицательно, то его вклад создает расталкивание. Баланс между плотностью и давлением среды может оказаться таким, что на больших расстояниях побеждает расталкивание. Похоже, что у нас нет выбора, кроме как признать, что в космосе имеется нечто, производящее отрицательное давление.
Среда с отрицательным давлением сопротивляется не ее сжатию за счет каких-то внешних усилий (как обычные газы с положительным давлением: накачайте-ка велосипедные шины ручным насосом!), а ее расширению за счет внешних усилий. Необычно? Возможно, но не запрещено никакими известными законами и, более того, не приводит к серии парадоксов. Такая среда с отрицательным давлением, распределенная по космосу, называется (снова не очень удачно) темной энергией. Это, в общем, и все, что про нее известно. Строго говоря, неизвестно даже, существует ли она как «среда», т. е. как некоторое физическое поле, или же это свойство, без которого пространство-время в нашей Вселенной «не продается», – неотъемлемое свойство самого вакуума. В одном из вариантов «штука с отрицательным давлением» в уравнениях Эйнштейна становится неотличимой от того самого космологического слагаемого (метрика) · Λ, которое в 1917 г. добавил в уравнения Эйнштейн, руководствуясь совсем другими (и не особенно верными) идеями.
История не лишена иронии: Эйнштейн изменил свои первоначальные уравнения, добавив в них космологическую постоянную, в ходе малоудачной попытки организовать вселенную, неизменную во времени; затем он постепенно отказался от идеи статической (неизменной) вселенной, но в период концентрации на ней пропустил решение, описывающее расширяющуюся вселенную и найденное затем Фридманом. Расширение нашей Вселенной было открыто экспериментально Хабблом, и про космологическую постоянную забыли, пока на рубеже XXI в. она не потребовалась снова для математической поддержки нового наблюдательного результата – что Вселенная не просто расширяется, но темп этого расширения растет[145]. Мы совсем не знаем, чем в действительности является темная энергия, как в точности связаны ее (отрицательное) давление и (положительная) плотность энергии, но в обозначениях почти стандартно фигурирует буква Λ как напоминание об эффектах того рода, на возможность которых впервые обратил внимание Эйнштейн, использовав именно эту букву.
Совсем не наши вселенные. Наполненность вселенной пылью не обязательно означает расширяющийся (или, быть может, сжимающийся) мир типа нашего. Гёдель – человек, внесший фундаментальный вклад в математическую логику и основания математики[146], – в 1949 г. на симпозиуме, посвященном дню рождения Эйнштейна, представил «вращающееся» решение уравнений Эйнштейна. Справедливости ради стоит оговориться, что это решение уравнений с космологической постоянной и в некотором роде даже статическое решение. Не очень естественным это решение делает не само по себе наличие космологической постоянной, а тот факт, что ее значение точно совпадает со средней плотностью энергии, распределенной в пыли. Тем не менее Гёдель считал, что его решение сообщает нечто новое о времени; сейчас оно поучительно в педагогически-тренировочных целях (и сообщает кое-что новое о времени).
Пыль распределена во вселенной Гёделя равномерно по всему пространству, а сама вселенная устроена одинаково в каждой своей точке, как и наша, но, в отличие от нашей, не одинакова по всем направлениям: вселенная Гёделя имеет одно выделенное направление. Его удобно называть вертикальным, хотя это чистая условность. Геометрия вдоль вертикального направления ничем не примечательна, а вот поперек этого направления – в «горизонтальной» плоскости – мир необычен. Каждый наблюдатель видит мир вокруг себя не разлетающимся прочь, как у нас, а вращающимся или, лучше сказать, скручивающимся: траектории любых двух частиц, которые свободно летят рядом вдоль вертикального направления, обвиваются одна вокруг другой. При этом с точки зрения каждого наблюдателя именно он находится на оси вращения мира, хотя никакой единой оси в действительности нет (подобно тому, как во вселенной Фридмана каждый наблюдатель видит себя в центре расширения, хотя никакого центра нет). Сама материя – пыль – «ничего для этого не делает». Просто таковы свойства метрики, найденной как решение уравнений Эйнштейна. Из-за этого «закручивания» свет, посланный наблюдателем в горизонтальной плоскости, не собирается уходить слишком далеко; по мере удаления от источника свет все более заворачивает в сторону, определяемую закручиванием, потом разворачивается и возвращается. На расстоянии, называемом гёделевским радиусом, свет поворачивает обратно к источнику. Таковы световые геодезические. На расстоянии, называемом гёделевским радиусом, свет поворачивает обратно, как показано на рис. 7.7. Свет же, который испущен не строго в горизонтальной плоскости, а под некоторым углом к ней, поворачивает еще раньше; а поскольку он одновременно распространяется без всяких приключений вдоль вертикального направления, в результате получается спираль. Спираль эта тем ýже, чем выше мы направим прожектор.
Рис. 7.7. Распространение света во вселенной Гёделя. Темной линией, выходящей из начала координат, показана траектория света, распространяю- щегося в горизонтальной плоскости, серая линия – траектория света, направленного под углом к этой плоскости. Показан также радиус Гёделя (более темная окружность).
Слева: картина в пространстве. Справа: вид сверху
Из-за такого поведения света каждый наблюдатель окружен оптическим горизонтом на расстоянии гёделевского радиуса от себя. Свет не может выйти за его пределы, а также не может прийти к наблюдателю извне, откуда-то снаружи этого радиуса. Зато каждый объект в пределах радиуса Гёделя виден с двух сторон: именно потому, что лучи света заворачивают, приблизившись к этому радиусу, он играет роль зеркала (довольно кривого в этом мире кривых лучей). Свет, излучаемый или отражаемый от разных сторон объекта, приходит к наблюдателю как «сразу», по относительно прямым траекториям, так и по сильно изогнутым траекториям, уходящим сначала в сторону оптического горизонта, а потом поворачивающим снова к наблюдателю. В результате с разной степенью искажения одновременно видны и обращенная к наблюдателю сторона объекта, и дальняя (рис. 7.8). По мере приближения объекта к гёделевскому радиусу два изображения все сильнее искажаются и затем сливаются. А если объект сдвинут вверх или вниз из горизонтальной плоскости, то, кроме «основного» изображения, появляются и те, которые произведены лучами, распространявшимися по спиралям, как показано на рис. 7.9.
Рис. 7.8. Два изображения одного и того же объекта, видимого с разных сторон. Для узнаваемости в качестве объекта выбран глобус, обращенный к наблюдателю Европой и Африкой. Он располагается в горизонтальной плоскости на расстоянии 0,8 (сверху) и 0,9 (снизу) гёделевского радиуса; сам глобус довольно большой: 0,1 гёделевского радиуса
Рис. 7.9. Ситуация как на рис. 7.8, но глобус удален от наблюдателя на 0,74 гёделевского радиуса и приподнят на чуть большее расстояние (0,8 гёделевского радиуса) над горизонтальной плоскостью. «Главное» изображение представляет собой искаженные и слившиеся изображения двух сторон глобуса, а повторные изображения возникают благодаря свету, прошедшему 1, 2, 3 и т. д. витка спирали. Они искажены сильнее, и их передний и задний виды не соединены
Дальше – только хуже (видимо, к восторгу Гёделя). За пределами радиуса Гёделя происходит путаница посерьезнее, чем под горизонтом черной дыры. Если там зажечь лампу, то часть света, излучаемого ею во все стороны, распространяется не вперед, а назад по времени: в прошлое по часам наблюдателя, от местоположения которого отмеряется расстояние в один радиус Гёделя. Но и это не все. Вот настоящий предмет зависти многих фантастов: ракета в гёделевской вселенной является машиной времени. Вылетев на ракете в горизонтальной плоскости за радиус Гёделя, сделав разворот в сторону, противоположную той, в которую заворачивают траектории света, и вернувшись в исходную точку, путешественник окажется в собственном прошлом. (Все это достаточно делать, не выходя из горизонтальной плоскости.) Гёделя занимала эта идея; по словам Уилера, он разглядывал фотографии галактик, интересуясь тем, не в одну ли сторону все они вращаются – в таком случае оставался бы шанс, что мы живем внутри гёделевой вселенной. Но мы живем внутри фридмановой (фридмановой-с-лямбдой, судя по современным данным).
Наконец-то обмануть систему? Уравнения Эйнштейна все чаще используют «в обратную сторону» – способом, противоположным собственно эйнштейновскому и фридмановскому. Работает это так. Если вам нравится какое-то «готовое» пространство-время, спросите себя, не найдется ли материи, которая именно его и порождает. Полюбившееся вам пространство-время описывается, конечно, метрикой абвгдежзик определенного вида, исходя из которой вы вычисляете кривизну, переупаковываете ее в Специальную упаковку 4 × 4 и получаете таким образом левую (геометрическую) часть уравнений Эйнштейна. Правая часть должна быть точно такой же с точностью до множителя, но ее надо собрать из материи – что означает подобрать материю и характер ее распределения по пространству таким образом, чтобы получилась требуемая таблица энергии-движения-сил. С некоторой оглядкой это можно назвать обратным проектированием – восстановлением чертежей по образцу. Оригинальный термин reverse engineering имеет оттенок «кражи технологий», что в данном случае даже на руку, потому что не прекращаются попытки «украсть» таким способом у Вселенной нечто желанное и более никак не доступное – сверхсветовое перемещение. Далекие галактики ведь удаляются от нас со скоростью, превышающей скорость света, и при этом ничего не нарушают и никак специально для этого не стараются. Можно ли организовать нечто подобное для одного отдельно взятого космического корабля?
Сначала кажется, что законы и принципы, на которые мы здесь опираемся, этого не позволяют. Ведь для каждого локального наблюдателя (все-таки понадобились!) скорость пролетающего рядом с ним света всегда одна и та же, и, разумеется, действует запрет на ее преодоление. Другое дело, когда наблюдатель выглядывает за пределы своей небольшой лаборатории: вблизи черной дыры, например, измерение скорости распространения света на удалении от наблюдателя дает самые разнообразные значения, и даже скорость в одной и той же точке может зависеть от направления (скорости вдоль радиуса и перпендикулярно к нему могут различаться в полтора раза). Точку, где пролетает свет, в этих случаях отделяет от наблюдателя некоторая область с кривизной. Кривизна вызывает необходимость перевода между разными картинами мира. Идея сверхсветового транспортного средства как раз и основана на использовании «несоответствий в законодательстве», возникающих при таком переводе. Мы посадим путешественника внутрь «пузыря», на границах которого резко меняется кривизна; сами на всякий случай останемся на космодроме. Вокруг нас пространство-время практически плоское, и в большей части пузыря – тоже, но на стенках кривизна резко меняется от нулевой к ненулевой и снова к нулевой (мы помним, что кривизна – это 20 независимых компонент, поэтому вариантов изменения немало). Как всегда, это кривизна какой-то метрики; оказалось не очень сложным записать такие абвгдежзик, чтобы в одном направлении от пузыря пространство сжималось, а в противоположном, наоборот, раздувалось. (Можно только гадать, в какой мере идея была мотивирована происходящим в керлинге; рис. 7.10.)
Рис. 7.10. Керлинг: свойства «пространства» перед движущимся предметом меняются, что влияет на его движение
Наблюдатель в центре пузыря остается на геодезической в куске плоского пространства вокруг себя, но со стороны видно, что весь пузырь перемещается за счет того, что пространство перед ним стягивается, а позади расширяется. При этом нет никаких ограничений на скорость такого перемещения: сидя внутри, путешественник мог бы курсировать по Вселенной со сверхсветовой скоростью. Необычно, что даже никакого замедления времени здесь не случается: время путешественника течет так же, как время на космодроме, откуда он вылетает. И вообще, находясь на геодезической, путешественник не ощущает и никакого ускорения – он просто свободно падает.
Но все это – если (бы) нам принесли готовое изделие. А сейчас у нас на очереди обратное проектирование – требуется подобрать материю «по образцу». Тут-то и выясняется, что важную часть технологии «недоукрали»: забыли поинтересоваться источником нужной материи. Из уравнений Эйнштейна следует, что – независимо от деталей устройства – стенки пузыря должны нести отрицательную плотность энергии. Стенки, оказывается, должны быть сделаны из экзотической материи. Так в целом называют материю с никогда не наблюдавшимися свойствами – от довольно необычных до очень странных, но, однако же, не запрещенных напрямую известными законами природы. На рис. 7.11 слева условно показано, где эта экзотическая материя должна располагаться, чтобы аппарат работал: «канава», если смотреть сверху, или «сталактиты», если смотреть снизу, – это не изображение какой-то геометрии, а выражение количества отрицательной энергии, разложенной в горизонтальной плоскости вокруг корабля (а раскладывать – скорее даже развешивать – ее надо вдоль кольца, ось которого совпадает с направлением движения). Столь же условно на рис. 7.11 справа показано, какая степень сжатия пространства (профиль вниз) и степень растяжения (профиль вверх) в передней и задней частях пузыря получается из такого распределения экзотической материи.
Рис. 7.11.Слева: плотность отрицательной энергии в одной плоскости вокруг корабля, который должен располагаться на горизонтальной плоскости в центре. Изогнутая поверхность – это профиль энергии, измеряемой в одной плоскости вокруг корабля. Справа: сжатие и растяжение пространства вокруг корабля. Поверхность показывает степень сжатия (условно вниз) или степень растяжения (условно вверх), измеряемую в одной плоскости вокруг корабля
Нам неизвестно, существует ли такая материя. Речь идет совсем не об антиматерии, которая отличается от «нашей» материи всем, кроме массы/энергии, но эти-то у нее как раз точно такие же; и даже не о темной энергии, плотность энергии которой положительна, а отрицательно только давление. Экзотическая материя нарушает некоторые свойства положительности типа положительности массы/энергии. Несколько таких свойств разной степени «строгости» выполнены для всех известных нам видов материи, но не вполне ясно, могут ли они (и какие именно из них) претендовать на роль незыблемых принципов. Современная ситуация, пожалуй, такова: примеры экзотической материи существуют на бумаге – возникают в теоретических моделях наряду с обычными видами материи, не нарушая при этом известных фундаментальных принципов.
Как бы то ни было, можно оценить количество отрицательной энергии, содержащейся в стенках пузыря: оно зависит от полезного объема пузыря и очень критически – от толщины стенок. До какой степени можно распоряжаться толщиной стенок, понятно не вполне; если они «квантовые» – т. е. если экзотическая материя существует только на очень малых масштабах, а потому стенки чрезвычайно тонкие, – то требуемое количество энергии превышает всю массу наблюдаемой Вселенной, причем на порядки. Такая оценка содержалась уже в оригинальной работе Алькубьерре – изобретателя метрики, на которой должен быть основан этот способ сверхсветового передвижения; в ней же было дано название «ворп-драйв» (warp drive), с явным указанием на сериал «Звездный путь» как на источник (не метрики, которая появилась именно в работе Алькубьерре, а названия). Предпринимались попытки уменьшить требуемое количество отрицательной энергии: обосновать возможность более толстых стенок и несколько изменить метрику, описывающую пузырь. Оптимистичные оценки – несколько масс Солнца. Но только не будем забывать, что речь идет об энергии, которая получается умножением массы Солнца на квадрат скорости света, а это много; и требуется, чтобы вся она была со знаком минус. Масштаб этой энергии, но со знаком плюс, виден на примере «менее продвинутого» транспортного средства – доброй старой фотонно-аннигиляционной ракеты (прогулка 5). В предположении, что набрать одно Солнце антивещества все-таки проще, чем эквивалентное количество экзотической материи[147], мы могли бы не дожидаться завершения работ по созданию ворп-драйва, а отправиться в путь на фотонной ракете, взяв с собой в дорогу анти-Солнце из «просто антиматерии» и еще одно просто-Солнце в виде примерно Солнца в качестве топлива для фотонно-аннигиляционного двигателя. Тогда мы шутя летали бы почти куда угодно: из таблицы 5.3 можно заключить, что даже с двигателем, коэффициент полезного действия которого составляет 1 % (что выглядит как намного более реалистичная оценка, чем 100 %), мы привезли бы в галактику Андромеды (!) пару триллионов тонн полезного груза (которые наверняка были бы крайне необходимы для обустройства там). И это – всего за двадцать лет в дороге и без экзотических форм материи, а только с использованием антивещества. Правда, из-за количества лет, прошедших на Земле, возвращаться большого смысла не имеет, даже если где-то в районе Андромеды найдется готовая новая ракета для обратного пути; чем несомненно хорош ворп-драйв, так это отсутствием замедления времени. Оправдывает ли это расходы на добывание экзотических форм материи, я оставляю на усмотрение читателей.
Да, и даже при бесперебойном обеспечении экзотической материей остается небольшая проблема управления ворп-драйвом: экипажу в какой-то момент захочется остановиться, а для этого понадобится как-то перераспределить ту самую экзотическую материю. Потребуется послать к ней какой-то сигнал; но экипаж обнаружит, что до передней части стенки пузыря сигналы не доходят. Даже свет, который они туда направят, «застрянет», остановившись где-то внутри стенки, но определенно не выйдя наружу: экипаж увидит там горизонт. Управление путешествием заметно усложняется: или им придется использовать маленькие алькубьерровские пузырьки для передачи сигналов внутри своего большого пузыря, или, скорее, всю экзотическую материю потребуется заранее распределить вдоль пути требуемым образом. Для чего сначала надо там побывать, а затем обеспечить надзор за состоянием и сохранностью этого недешевого ресурса.
Пустая кривизна. Эйнштейн представил окончательный, логически безупречный вид своих уравнений (без лямбды, разумеется) 25 ноября 1915 г., а меньше месяца спустя у него в руках уже было их точное решение – пришедшее письмом с Восточного фронта и описывающее, как устроена метрика вокруг притягивающего центра. Без сомнения, радовала возможность точно (а не приближенно, как делал сам Эйнштейн, вычисляя перед тем поворот орбиты Меркурия) решить сложные уравнения. Основная трудность с ними в том, что «кривизна не складывается»: если два тела создают кривизну, то нельзя найти сначала кривизну, создаваемую одним телом, потом другим, а потом их сложить. В теории Ньютона было не так: отдельно посчитанные силы притяжения со стороны Солнца и со стороны Луны просто складывались. У Ньютона, как мы помним, проблемы с точным решением, описывающим движение тел под действием взаимного притяжения, начинались с трех тел; точное решение можно записать только для задачи двух тел. В случае уравнений Эйнштейна точно решается только задача одного тела. Мы просто не знаем, как формулами описать метрику пространства-времени, например, при наличии двух близких друг к другу черных дыр. А вот черная дыра в полном одиночестве – точное решение задачи одного тела – и появилась впервые в письме, полученном Эйнштейном 22 декабря 1915 г. от Карла Шварцшильда.
Незадолго перед тем, в ноябре, во время своего отпуска с фронта Шварцшильд присутствовал на лекции Эйнштейна и затем за пару недель «создал» черную дыру[148]. Впрочем, звучное название «черная дыра» придумал Уилер только полстолетия спустя, а в конце 1910-х и в последующие годы решение Шварцшильда привлекало к себе сдержанное внимание, и не все его свойства были поняты сразу. Прежде всего бросались в глаза особенности приближения к горизонту, как они виделись со стороны далекого внешнего наблюдателя («болельщиков»); понимание, что падающий наблюдатель не обнаружит на горизонте ничего специального – собственно говоря, вообще ничего – и бодро пролетит через него, пришло сильно не сразу. Эйнштейну вообще определенно не нравилась идея черных дыр в качестве астрофизических объектов. Закон природы, выраженный в уравнениях Эйнштейна, и найденное математически проявление этого закона – решение Шварцшильда – опережали наблюдения. Тем не менее неочевидные в исходной формулировке свойства этого решения постепенно прояснялись, включая и тот факт, что у черной дыры есть внутренность, откуда нельзя выбраться, но нет ничего похожего на твердую границу или «стенку». Все, что мы говорили про невращающуюся черную дыру на предыдущей прогулке, относилось к черной дыре Шварцшильда. Вращающуюся черную дыру как другое (и заметно более сложное) точное решение уравнений Эйнштейна много позже, в 1963 г., нашел Керр.
Черная дыра – не тело. Это область в пространстве
Несколько парадоксально при этом, что черные дыры как решения уравнений Эйнштейна – это решения без материи: таблица энергии-движения-сил в правой части состоит из одних нулей: пустота, нет ничего. Мы помним, что кривизна – это 20 компонент, которые в уравнениях Эйнштейна собраны по нескольку вместе в Специальной упаковке 4 × 4; там, значит, различные компоненты должны сокращать друг друга, чтобы в левой части уравнений Эйнштейна получились одни нули, как того требует правая часть. Из-за чего же возникают ненулевые компоненты кривизны? Почему пространство-время оказывается неплоским, хотя материи как будто бы нет? Фокус в том, что решение Шварцшильда – это точное решение уравнений Эйнштейна везде, кроме центра черной дыры, где оно теряет применимость. Эту потерю применимости мы выражаем словом «сингулярность». Математически решение не определено в одной-единственной точке, и соблазнительно думать, что вся масса там и прячется, но строгого смысла этому высказыванию придать нельзя; никакое количество массы не может поместиться в точке. Фактически же мы думаем, что в очень малой окрестности центра сверхбольшая плотность материи и сверхвысокая кривизна стирают грань между материей и пространством-временем: они перестают существовать по отдельности, а превращаются в неизвестную нам форму трудно-даже-сказать-чего[149].
Черная дыра не состоит из атомов или элементарных частиц
Но как вообще определяется масса черной дыры? Ее ведь нельзя взвесить; правда, равным образом нельзя взвесить Юпитер или Солнце: вывод о массе Солнца мы делаем, изучая движение вокруг него, т. е. решая задачу, обратную задаче «зная силы, найти движение». Наблюдая за движением по кеплеровым эллипсам вокруг Солнца, мы определяем силу, необходимую для его поддержания, а далее из закона тяготения Ньютона находим массу центрального тела. Для Солнца или Юпитера, правда, есть в принципе и альтернативный способ: можно задаться вопросом, сколько же в них каких атомов или элементарных частиц и какова поэтому их полная масса. Но наши представления о черных дырах говорят, что там, где элементарные частицы в принципе еще могли бы существовать, пусто. Для массы черной дыры остается только определение через движение пробных тел. Их можно даже запускать вдали от самой черной дыры, где у руля снова сэр Исаак Ньютон: чем дальше от центра, тем решение Шварцшильда лучше описывается ньютоновым законом тяготения. Запуская гайку, мы узнаем, какая же масса должна быть сосредоточена в центре, чтобы гайка двигалась именно так. Эту массу мы и называем массой черной дыры. В случае вращающейся черной дыры похожим образом определяются ее масса и количество вращения – с учетом эффекта вовлечения.
Масса и количество вращения, определенные по движению пробных тел для черной дыры, которая есть не тело, а пустота, расширяют, пожалуй, наши представления об этих атрибутах материи. Впрочем, их косвенные определения оказываются согласованными с нашей картиной мира: если в черную дыру некоторой массы падает кирпич, то масса черной дыры увеличивается на массу этого кирпича, и аналогично с количеством вращения. Характерная разница между тем, как черная дыра распоряжается массой, а как – количеством движения, состоит в том, что (не привлекая квантовых эффектов) у одной невращающейся черной дыры нельзя отобрать ни грамма массы. С количеством вращения иначе: его можно отобрать и передать каким-то удаленным от черной дыры объектам, пригодным, например, для полезного использования. Отобрать количество вращения у раскрученного маховика можно через приводной ремень или как-то иначе организованное трение, но черную дыру не за что «потянуть», а «вращающейся вещи» внутри нее нет. Тем не менее возможен своеобразный (пожалуй, и правда экстремальный) вариант гравитационного маневра для извлечения энергии вращения «без приводного ремня». Для этого нужно смело нырнуть внутрь эргосферы (см. рис. 6.29): там, как мы говорили, нельзя не вращаться, но оттуда можно вернуться, потому что эргосфера проходит на некотором расстоянии от внешнего горизонта (подлетать лучше всего в экваториальной плоскости, там зазор между эргосферой и горизонтом максимальный). Фокусы со временем внутри эргосферы приводят к тому, что энергия находящихся там тел может принимать отрицательные значения (не обязана, но может – в зависимости от скорости движения, причем главное – направление скорости)[150]. Эту особенность и можно эксплуатировать. Для этого прыгнувший в эргосферу должен использовать там наипростейший вариант реактивного двигателя. Требуется не создавать равномерную струю газа или света, а единовременно выбросить достаточно большой кусок вещества – скажем, всю ступень ракеты с двигателем (двигатель, использование которого сводится к акту его выбрасывания, – по-настоящему одноразовый). Успех трюка критически зависит от прицеливания: эту ступень следует направить так, чтобы именно ее энергия стала отрицательной (это возможно!). Однако энергия выброшенной ступени в сумме с энергией оставшегося командного отсека сохраняется, как и полагается энергии; и если энергия ступени стала отрицательной, то появляется компенсирующая положительная прибавка к энергии движения командного отсека. (Энергия, взятая из каких-то запасов на борту для отбрасывания нижней ступени, может быть при этом очень мала, и ее можно вообще не учитывать.) В результате командный отсек успешно (по геодезической! никаких двигателей ведь не осталось) вылетает из эргосферы, сохраняя часть полученной прибавки к своей энергии. Черная дыра оставила себе отрицательный вклад в энергию, который она списывает на уменьшение количества вращения и массы. Если корабли целого флота космических тунеядцев прыгают внутрь эргосферы один за одним, то притормозить вращение черной дыры они смогут до полной ее остановки, что означает превращение ее в невращающуюся (как мы теперь можем говорить – шварцшильдову) черную дыру[151].
Едва ли Шварцшильд мог предвидеть, сколь уверенно в космосе «пропишутся» необычные объекты из открытого им класса. В 2020 г. половина Нобелевской премии по физике была присуждена «за открытие сверхмассивного компактного объекта в центре нашей Галактики». Нобелевский комитет проявил осторожность в формулировке и не употребил словосочетание «черная дыра», видимо, потому, что, строго говоря, не доказано, каким именно решением уравнений Эйнштейна описывается этот объект, но, по всеобщему убеждению, это сверхмассивная черная дыра. Она носит красивое имя Стрелец A* (а-со-звездочкой) и имеет массу в четыре с лишним миллиона масс Солнца. Для невращающейся черной дыры это означало бы радиус горизонта около 12 700 000 км (менее одной десятой расстояния от Земли до Солнца), что не так уж много в мире сверхмассивных черных дыр, живущих в центрах галактик: для M87* – центральной черной дыры в галактике M87 (см. рис. 3.13) – это 19 000 000 000 км (более ста расстояний от Земли до Солнца)[152]. Знания о «нашей» черной дыре почерпнуты в первую очередь из движения – разумеется, не самой невидимой черной дыры, а звезд вокруг нее. За несколько десятилетий наблюдений удалось проследить за звездами, которые обращаются «вокруг пустоты» (см. рис. 7.12). Из анализа их орбит и найдена масса центрального объекта. С момента предсказания существования Нептуна по движению Урана прошло полтора с лишним столетия, и методы как наблюдений, так и предсказаний на основе наблюдений не стояли на месте; но, в противоположность случаю Нептуна, оценкам на этот раз подлежат свойства центрального объекта! Из измерения расстояний и скоростей звезд получается надежная оценка для его массы. Одна из звезд, получившая название S0-2, в точке своего максимального приближения к центру находится от него на расстоянии всего в 17 световых часов. Это сравнимо с расстоянием (12 с лишним световых часов), на которое в Солнечной системе успел улететь «Вояджер-1»; это в четыре раза дальше, чем находится от Солнца Нептун, который совершает оборот вокруг Солнца за 185 лет, но звезда S0-2 оборачивается вокруг черной дыры за 15 с половиной лет (а S0-102 – за 11 с половиной). Поэтому ее орбиту уже удалось проследить целиком: она совершила полный оборот на наших глазах, под неустанным наблюдением – и у нее уже заметен «эффект Меркурия», т. е. прецессия орбиты. S0-2 движется с орбитальной скоростью около 5000 км/с; высокие скорости, собственно говоря, и делают возможным эту удивительную ситуацию, где звезды в некотором роде играют роль планет, а смену их расположения из-за орбитального движения можно за не такое уж длительное время увидеть в телескоп[153]. И вся картина, не будем забывать, трехмерна, что яснее видно на рис. 7.13.
Рис. 7.12.Слева: участок неба размером одна угловая секунда на одну угловую секунду в направлении на центр Галактики. Точки – положения звезд, зафиксированные в период с 1995 по 2016 г. Линиями для наглядности показаны вычисленные по наблюдениям орбиты. Справа: та же область в центре Галактики, видимая в телескоп. Указаны положение черной дыры Стрелец A* (Sgr A*) и наблюдаемое положение звезды S0-2 (она же S2)
Рис. 7.13. Движение звезд вокруг сверхмассивной черной дыры в центре Галактики: взгляд «сверху» (слева) и «с ребра» (справа)
Сильная гравитация выдает себя высокими скоростями
Черные дыры превращают в излучение падающую на них материю
Наличие сверхмассивных черных дыр в центрах галактик – типичное явление. Наша черная дыра Стрелец A* находится в спокойном состоянии (иначе, вероятно, факт ее наличия там некому было бы оценить); но гигантские черные дыры в центрах многих других галактик служат «мотором» для самых мощных долговременно действующих разбрасывателей энергии в космосе. В качестве «топлива» они получают просто вещество, какое найдется в галактике (межзвездный газ), а излучают в виде света заметную долю от массы этого вещества, т. е. заметную долю энергии mc2: по самым консервативным оценкам, не меньше одной десятой, что уже много, а возможно, и до четверти. (Солнце, например, за миллиард лет отправит в пространство, главным образом в виде света и в небольшой степени в виде нейтрино, всего лишь несколько сотых долей процента своей массы – притом что оно раскидает в космос около процента своего вещества в виде вещества, т. е. солнечного ветра.) Вещество, которое оказывается в области притяжения черной дыры, собирается в диск. Оно попадает в диск «издалека», а вот слишком близко к центру оно находиться не может, потому что ближе радиуса БУКО нет устойчивых орбит и все, что окажется в этой опасной близости от центра, не задерживаясь, падает на него. По пути от внешней границы диска к внутренней вещество трется само о себя, из-за чего разогревается и излучает энергию – производя эффекты, которые могут быть видны в телескоп на расстояниях в несколько миллиардов световых лет. Падающее вещество находится в сильно разогретом состоянии, поэтому светится, в том числе в высокоэнергетической части спектра – в рентгеновском излучении[154]. Часть энергии выделяется в виде концентрированных струй ионизированного вещества, разогнанного до скоростей, близких к скорости света. Струи выбрасываются вдоль оси вращения черной дыры в обе стороны и, как показывают наблюдения, могут иметь поистине космические размеры – до сотен тысяч и даже миллионов световых лет. Черную дыру в галактике М87 (см. рис. 3.13) выбрали для «фотографирования» в том числе и потому, что она проявляла себя, выбрасывая струи, хоть и всего на 5000 световых лет; они видны и в радио-, и в видимом, и в рентгеновском диапазонах (рис. 7.14)[155]. Не все детали происходящего в этих мощнейших преобразователях энергии понятны, но «в центре событий» там – черные дыры. Работающая здесь причинно-следственная цепочка неплохо иллюстрирует тезис Уилера, приведенный в главе «прогулка 6»: материя, прекратившая свое существование в известных нам формах, уже «все сказала» пространству-времени и проявляет себя только через гравитацию – т. е. кривизну; эта кривизна говорит другой материи, как двигаться, и сопутствующие этому движению яркие явления несложно наблюдать в космосе.
Рис. 7.14. Струя, порождаемая гигантской черной дырой в центре галактики M87, наблюдаемая в радиo- (слева), видимом (в центре) и рентгеновском (справа) диапазонах
Было бы очень интересно обзавестись черной дырой поближе к дому. Относительно недавно обсуждалась (не до конца понятно, с какой степенью серьезности) идея, что Планета 9 (см. главу «прогулка 3») – это забредшая в наши окрестности черная дыра. При массе около пяти масс Земли она очень невелика не только по космическим, но даже и по бытовым масштабам (рис. 7.15). Близкое соседство с ней, впрочем, окажется совсем не бытовым: тот, кому удастся оставаться неподвижным на расстоянии километра от нее, будет испытывать «перегрузку» величиной около двухсот миллионов (2 × 108) ускорений свободного падения на Земле: именно с таким ускорением выпущенные «из рук» предметы будут отправляться к центру. Впрочем, с «предметами» дело обстоит не очень хорошо: на таком расстоянии от центра притяжения и гайки, и муравьи, отправленные в свободное падение, будут пролетать уже в трудно узнаваемом виде. Любые два кусочка вещества, один из которых на 1 мм ближе к центру, чем другой, разрываются с силой, примерно в 400 раз превышающей их вес на Земле. Но на расстояниях, измеряемых десятками тысяч километров и более, такая черная дыра гравитационно проявляет себя как любое тело той же массы. Если Планета 9 – это и правда черная дыра, то единственный способ ее обнаружить – движение; придется и в самом деле разбрасывать гайки. Нужно только придумать, как эти гайки разогнать, чтобы они пролетели расстояние порядка 500 а.е. за время, делающее все приключение хоть сколько-нибудь зрелищным. Разбрасывать нужно сотни, если не тысячи гаек и получать от каждой сигналы о траектории ее движения; некоторые испытают неожиданные ускорения, свидетельствующие о присутствии «Планеты 9/Черной Дыры 0». В нашу пользу то обстоятельство, что достаточно разбрасывать почти буквально «гайки»: большие аппараты здесь совершенно ни к чему. А гайки, снабженные световым парусом, можно было бы разгонять, светя в них мощным лазером. Разгон флотилии «высокотехнологичных гаек» уже до одной сотой скорости света доставил бы их к предполагаемому месту действия меньше чем за год[156].
Рис. 7.15. Невращающаяся черная дыра массой 5 масс Земли в масштабе 1: 1 (размер горизонта)
Два тела, поле и волны. Задача двух тел, «образцово-показательная» в мире Ньютона, актуальна в эйнштейновской гравитации ничуть не менее, а скорее более: это задача про столкновения и близкие к ним выяснения отношений между любыми двумя объектами с сильной гравитацией. Такие объекты, если они не сверхмассивные, по необходимости компактны, и из известных нам это белые карлики, нейтронные звезды и черные дыры. Много нового случается, когда два таких объекта оказываются соседями (а это случается не безнадежно редко, потому что около половины всех звезд – двойные, а эволюция, которую претерпевают компоненты двойных звездных систем, может превратить их в компактные объекты). Сценарий «материя говорит… пространство-время говорит…» превращается здесь в оживленный диалог, в котором обе стороны высказываются одновременно, а вообще-то даже кричат. Запускаемая вблизи черной дыры гайка не сильно меняет кривизну, существующую из-за черной дыры, но черная дыра вблизи черной дыры – совсем другая история, там все происходит сразу: пространство-время и движение двух массивных тел подстраиваются друг под друга, а картина непрерывно меняется. Можно сказать, что полноценная задача двух тел в эйнштейновской гравитации, в отличие от ньютоновской, не решается на языке замкнутых формул по той причине, что субъектов там на самом деле не два, а три. Третий – Агент, гравитационное поле. Здесь он, кстати, обретает полностью самостоятельное существование: забирает «расплескавшуюся» энергию двух объектов, сходящихся по спирали во взаимные объятия, и уносит часть ее прочь – неопределенно далеко, в виде, который естественно назвать гравитационными волнами. Название, конечно, перекликается с электромагнитными волнами, но характер явления совсем иной.
Вдали от своего источника (скажем, двух черных дыр, неистово сближающихся по спирали) гравитационные волны бегут по пространству в виде «ряби» – колыханий метрики, которые тоже являются решением уравнений Эйнштейна (с учетом того, что изменения всех букв абвгдежзик небольшие). Согласно этим уравнениям, они распространяются со скоростью света. Если волна пролетает там, где пространство-время примерно плоское, то скучные значения абвгдежзик, отвечающие «Пифагору с одним минусом», т. е. становятся чуть-чуть веселее. Вместо некоторых нулей в этой таблице на короткое время «вспыхивают» какие-то числа, а единицы и минус единица оказываются не точно единицами и минус единицей. Чтобы лучше разглядеть происходящее, выберем три направления (условно – первое, второе и третье) так, чтобы волна путешествовала вдоль третьего направления. Тогда при прохождении гравитационной волны абвгдежзик-таблица приобретает чуть менее скучный вид
с очень малыми числами A и B, которые еще и меняются с течением времени от положительных к отрицательным и обратно. Эти два числа независимы, и в разных гравитационных волнах они разные: уж какая пришла волна, такая и пришла. Волна несет энергию с объемной плотностью E, пропорциональной A2 + B2; и даже не только энергию, а таблицу энергии-движения-сил
где, кроме слота энергии, заполнены еще слоты количества движения вдоль третьего направления и давления вдоль третьего направления.
Проходящая волна буквально меняет правила, по которым надо исчислять расстояния (и интервалы в пространстве-времени). Чтобы вообще можно было измерять расстояния, нужны как минимум два тела. Эффект гравитационной волны состоит в том, как изменяется расстояние между ними, – это явление типа приливных сил, что означает, что ответственна за него кривизна. Для гравитационной волны кривизна устроена заметно проще, чем в общем случае, показанном на рис. 7.5: в большой таблице уже 192 нуля и независимых компонент не 20, а только две, и они связаны с буквами A и B (кривизна чувствительна не только к тому, какие значения имеют абвгдежзик, но и главным образом к тому, как они меняются в пространстве и с течением времени).
Гравитационная волна – это путешествующие искажения в теореме Пифагора
По своему влиянию на окружающий мир гравитационные волны не похожи на другие известные виды волн. Кривизна – это расхождение геодезических, и эффект гравитационной волны проще всего выразить, показав, что происходит с кольцом из гаек, «сидящих» каждая на своей геодезической (рис. 7.16). Буква A из приведенной чуть выше абвгдежзик-таблицы отвечает за то, что кольцо сжимается в эллипс по одному направлению и растягивается по перпендикулярному к нему; затем сжатие и растяжение меняются местами. Буква B тоже отвечает за перемежающиеся сжатия и растяжения в двух направлениях, но под углом 45° к первым. Все это – в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, а в самом направлении распространения никаких деформаций не происходит. В этом смысле гравитационные волны являются поперечными, они «стягивают и растягивают» только в стороны (причем так, что оставляют неизменным объем!). Космические установки для детектирования гравитационных волн телами, буквально «сидящими» на геодезических – свободно падающими, – только проектируются (предполагаются пробные массы в углах равностороннего треугольника с длиной стороны около 5 млн километров), а наземные установки фиксируют изменение расстояний между зеркалами в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Эти изменения расстояния имеют порядок 10–19 м, что делает задачу их детектирования вызывающе непростой[157]. Эффект столь мал не только из-за малости энергии, которую несет гравитационная волна, но и из-за слабости ее влияния на материю (за что отвечает значение ньютоновой постоянной G, уже встречавшейся нам несколько раз). Эта слабость взаимодействия с материей прекрасна тем, что позволяет гравитационной волне путешествовать, практически не растрачивая себя на взаимодействие с материей по дороге и тем самым неся информацию о своем происхождении на очень значительные расстояния, но эта же слабость бросает вызов самым современным технологиям при попытке считывания этой информации. Разнообразных подробностей и остроумных решений, реализованных в детекторах гравитационных волн, очень много; перед их первым прямым обнаружением на установке LIGO в 2015 г. (столетие спустя после появления уравнений Эйнштейна; Нобелевская премия по физике за 2017 г.) сомнения оставались не столько в том, что они существуют, сколько в том, что ничтожно малые смещения удастся надежным образом обнаружить.
Рис. 7.16. Гравитационная волна говорит материи, как ей двигаться. Находящиеся на геодезических (свободно падающие) частицы расположены по окружности (связей между частицами нет, линии показаны только с целью подчеркнуть форму). Волна проходит перпендикулярно плоскости рисунка. Картинки слева направо – это кадры фильма, сделанные в начале, через четверть периода волны, через полпериода, через три четверти периода и через полный период. Наличие буквы A в метрике вызывает деформации, показанные сверху, а наличие буквы B – показанные снизу. В реальной гравитационной волне деформации двух типов накладываются друг на друга с различными относительными амплитудами
Движение свидетельствовало о гравитационных волнах
Слишком больших сомнений в существовании гравитационных волн не было с тех пор, как излучение энергии в гравитационные волны косвенно измерили за счет движения тел. Открытый в 1974 г. пульсар PSR B1913+16, более известный как пульсар Халса – Тейлора (по именам открывателей и будущих нобелевских лауреатов), вращается вокруг своей оси 17 раз в секунду, и с такой периодичностью на Земле можно детектировать приходящее от него электромагнитное излучение. Пульсары – это вращающиеся нейтронные звезды, которые из-за своего вращения и сильнейшего собственного магнитного поля выглядят для далеких наблюдателей как космические маяки со строго периодическим сигналом. Но для пульсара PSR B1913+16 периодичность 17 раз в секунду искажалась сменяющими друг друга опережением и отставанием: цикл более раннего и более позднего прихода сигнала повторялся каждые 7 3/4 часа. Причиной этого должно было быть наличие второго тела и их совместное обращение вокруг общего центра масс; сдвиг сигнала по времени говорил, что орбита пульсара имела характерный размер менее диаметра Солнца, а значит, вторым телом не могла быть обычная звезда; случившееся везение, таким образом, состояло в обнаружении двойной системы из нейтронных звезд (вторая нейтронная звезда не проявляла себя как пульсар, по крайней мере ее излучение не было направлено к Земле). Массы всех нейтронных звезд должны лежать в некотором достаточно узком интервале, и, используя это знание вместе с анализом сигналов, удалось сделать заключения об орбите пульсара. Во-первых, поворот орбиты (памятные 43 угловые секунды в столетие для Меркурия) здесь составлял 4 градуса в год. А во-вторых, и это сейчас главное, имея представление об орбите и массе двух тел, из уравнений Эйнштейна можно оценить, сколько энергии уходит из такой системы в виде гравитационных волн. Отток энергии из двойной системы приводит к изменению орбит, а эти изменения отражаются в получаемом сигнале. Появляется возможность из (электромагнитных!) измерений узнать, действительно ли энергия уходит из системы гравитационно и уходит ли так, как предсказывают уравнения Эйнштейна. Ответ: да и да. Вся эта история производит на меня впечатление эффективным одновременным применением различных видов знания (и, конечно, методов наблюдений), позволяющих делать выводы о движении.
«Всплески» метрики могут не производить на материю большого впечатления после того, как они в виде гравитационных волн проделали путь в пару миллиардов световых лет; но в момент своего возникновения, скажем, при слиянии компактных объектов, они – полноправный участник событий. Максимального накала драма достигает при слиянии черных дыр: происходит перестройка геометрии, завершающаяся объединением горизонтов. Два куска искривленной пустоты, отрезанные от остального мира полупроницаемыми барьерами, становятся одним куском искривленной пустоты, отрезанным от остального мира полупроницаемым барьером: две черные дыры одновременно проглатывают друг друга. Часть энергии, которая расплескивается в виде гравитационных волн, совсем не мала даже по космическим стандартам: она может составлять несколько масс Солнца (как всегда в таких случаях, умноженных на c2); как мы обсуждали выше, открылось бы немало возможностей, если бы эту энергию можно было как-то собрать вместе, сохранить и пустить на хорошее дело. А при подчеркнуто неравных массах сливающихся черных дыр излучение гравитационных волн производит эффект типа отдачи/пинка на черную дыру, получившуюся в результате слияния, отчего она может приобрести скорость до ста или более километров в секунду, а при особо удачной ориентации осей вращения – до нескольких тысяч километров в секунду. Сама интенсивность испускания гравитационных волн зависит от ориентации осей вращения по отношению к орбите сближающихся по спирали навстречу друг другу черных дыр; все это тоже можно в принципе извлечь из формы регистрируемого сигнала.
Гравитационные волны вызваны движением в космосе в условиях сильной гравитации (большой кривизны), и их детектирование – это новая возможность узнавать про то, как устроена Вселенная, через движение ее частей. Информацию несет в себе путешествующий на большие расстояния Агент, степень материальности которого Ньютон оставил на Усмотрение своих читателей. Среди них нашлись те, которые усмотрели.
Добавления к прогулке 7
Ньютон из замедления времени. Общая теория относительности – эйнштейновская теория гравитации – радикально изменила взгляды на гравитацию, пространство и время, а заодно обогатила наши представления о движении. Но в «тепличных» условиях – если скорости относительно малы, а гравитация достаточно слаба – формулы эйнштейновской гравитации плавно переходят в законы Ньютона: уравнение геодезических – во второй закон Ньютона в присутствии силы притяжения, а уравнения Эйнштейна – в существенно более простое уравнение, из которого для точечных масс получается закон тяготения (1.1). «Плавно переходят» означает здесь, что часть слагаемых в формулах становятся очень малыми и ими тогда можно смело пренебречь, а то, что после этого остается, и оказывается соотношениями ньютоновой теории. Упрощения получаются колоссальными, потому что «часть слагаемых» – это в действительности почти все. Как мы видели в начале этой прогулки, кривизна пространства-времени строится из абвгдежзик-таблицы, представляющей гравитационное поле. Слабая гравитация означает почти плоское пространство-время; если бы оно было строго плоским, т. е. гравитация отсутствовала бы вовсе, то, как мы видели, таблица приняла бы вид с тремя единицами, одной минус единицей и остальными нулями. А за «слабо неплоское» плоское пространство-время отвечает единственный элемент из всех абвгдежзик: это буква г, значение которой близко к «плоскому» значению –1, но все же несколько отличается от него; это записывают как г = –1 + h, и буква h тогда отвечает за всю ньютоновскую теорию гравитации! Закон всеобщего тяготения Ньютона, собственно говоря, и получается из гравитации Эйнштейна во всех случаях, когда при малых значениях буквы h (и с точностью до еще более малых величин) метрика имеет вид
(вблизи поверхности Земли эта h измеряется миллиардными долями). По такой таблице вычисляется кривизна; она чувствительна к тому, как h изменяется в пространстве и во времени, но сейчас существенно только изменение в пространстве, потому что в теории гравитации Ньютона никакой зависимости от времени нет. В результате почти все компоненты кривизны оказываются равными нулю, и в Специальной упаковке кривизны остается одно-единственное слагаемое, выражающееся через эту h. Из всех уравнений Эйнштейна остается одно. Его левая часть выражается через h, а в его правой части, в том же «тепличном» приближении, из всей таблицы энергии-движения-сил остается только «самая неотъемлемая» форма энергии – масса (на единицу объема, т. е. плотность). Полученное уравнение в результате говорит, что h, с точностью до множителя, – это так называемый гравитационный потенциал, причем в точности тот, который отвечает закону гравитации Ньютона[158].
Гравитация Ньютона – эффект искривления не пространства, а времени
Это и означает, что ньютонов закон гравитации представляет собой серьезное упрощение эйнштейновского описания гравитации, получаемое, по существу, игнорированием большей части ее проявлений (разумеется, в рамках последовательной процедуры, из-за чего закон Ньютона и оказывается действенным инструментом в достаточно широких рамках). И с точки зрения геометрии пространства-времени, как мы видим из происхождения буквы h, вся ньютонова гравитация «вырастает» не из кривизны пространства и не из перемешивания пространства и времени, а только лишь из изменения хода времени.
От инерции до «голографии». Дополнительный контекст, определявший направление мысли Эйнштейна в период создания им его уравнений, был связан с фундаментальным свойством движения – инерцией. (Мы уже встречались с ней на прогулке 1; тема восходит к Галилею.) Эйнштейн надеялся, что открытые им уравнения заодно дадут объяснение инерции как свойства, определяемого распределением масс во Вселенной. Эта идея стала чуть позже известна как принцип Маха. Она и в самом деле восходит к Маху и сводится примерно к следующему: тела потому неохотно изменяют характер своего движения, что «где-то там» имеется запас материи («неподвижные звезды»), и именно ее присутствие и порождает свойство инерции. А если бы в пространстве было одно-единственное тело, то мы не могли бы говорить о его ускорении по отношению к чему бы то ни было (идея, далеко не враждебная принципу относительности) и, вероятно, у него не было бы и инерции.
Эти идеи влияли на ход рассуждений Эйнштейна; одно время он воспринимал свои уравнения как правила, по которым материя определяет метрику, и видел их обобщением принципа Маха (взаимодействие определяет инерцию). К концу 1916 г., менее чем через год после того, как Эйнштейн пришел к «канонической» (без лямбды) форме своих уравнений, интенсифицировались его дебаты по переписке с де Ситтером из Лейдена. Это было продолжение их личных бесед во время осеннего визита Эйнштейна в Нидерланды[159]. Начальной точкой послужила идея Эйнштейна о «бесконечно удаленных массах» и о том, как могла бы (как вскоре выяснилось – не могла) вести себя метрика при удалении в сторону этих «где-то-там» тел, предположительно ответственных за инерцию всех тел во Вселенной. Де Ситтер раскритиковал предложение Эйнштейна, тот согласился с критикой; отчасти отвечая на нее, в начале 1917 г. Эйнштейн и добавил Λ-слагаемое в свои уравнения. Найденное после этого решение для вселенной, неизменной во времени, Эйнштейн отправил де Ситтеру. Тот, исследуя это решение, обнаружил другое решение тех же уравнений (с добавленной лямбдой!), в котором, однако, не было вовсе никакой материи, а инерция на фоне разыгрывавшейся там геометрии никуда не девалась. Это вызывающее противоречие с принципом Маха породило несколько раундов дебатов, в ходе которых Эйнштейн искал аргументы, чтобы отвергнуть аргументы де Ситтера – показать, что его вселенная или не статична, или содержит материю в некоторой скрытой форме. Дебаты оказались крайне полезны, вовлекли нескольких других ведущих ученых и закончились тем, что Эйнштейн в общем признал «правомочность» решения де Ситтера. Принцип Маха получил «пробоину» – и не последнюю. Эта идея способствовала разнообразным дискуссиям, но как физический «принцип» ушла в прошлое.
Эйнштейн со временем отказался от принципа Маха в весьма явной форме. Что же касается «попутно» возникшей и привлекшей к себе внимание вселенной де Ситтера, то ее вариант, получивший несколько варварское название «антидеситтеровская», приобрел немалую популярность в последние десятилетия в связи с «голографическим принципом» – современным развитием теории, объединяющим идеи горизонта и квантового описания реальности.
Расширяющаяся Вселенная – расширяющееся пространство? В связи с расширением Вселенной не стихают дискуссии о том, можно ли говорить, что пространство расширяется. А вблизи черной дыры – искривляется, растягивается, закручивается и т. д. (вблизи вращающейся черной дыры – вовлекается). А что же еще, казалось бы, оно там делает? Но среди переменных в уравнениях Эйнштейна и уравнениях геодезических нет «пространства» – там есть только метрика абвгдежзик, т. е. указание на рецепт для исчисления расстояний. Аргумент строгих противников «расширяющегося пространства» строится на том, что расстояния между «точками в пространстве» – понятие бессмысленное, потому что эти точки надо как-то отметить: положить «туда» какую-то вещь, но тогда окажется, что мы измеряем расстояния не между «точками», а между вещами. Возразить на это особенно нечего, кроме того, что бывает страшно удобно говорить (и, главное, думать), что пространство искривляется, растягивается, закручивается и т. п., – настолько удобно, что мне интересно, как часто они сами так думают. Но это снисходительное умонастроение доводит и до рассуждений о «ткани пространства», иногда – о «текстуре пространства» (the fabric of space). Звучит, без сомнения, красиво; но, встречая такое, я примерно через раз все-таки вспоминаю, что никакая «ткань», кроме метрики, науке на данный момент не известна.
Кто главный в уравнениях Эйнштейна? Уравнения Эйнштейна выражают связь двух составляющих реальности: геометрии пространства-времени и материи. Чья забота обеспечить, чтобы равенство выполнялось, – геометрии или материи? Согласие есть продукт непротивления сторон; когда мы говорили об уравнениях движения на прогулке 1, сначала это звучало так, будто требования предъявляются к движению: уравнения определяют, как двигаться телам при наличии данных сил. Но как только сами силы – скажем, силы притяжения – начинают зависеть от взаимного расположения объектов (а потому и от их движения), отношения делаются взаимными: движение должно быть таким, что его изменение определяется силами, которые возникают в текущей конфигурации участников этого движения.
«Согласие» между свойствами материи и геометрией, управляемое уравнениями Эйнштейна, тоже есть результат «совместной настройки», но акцент, пожалуй, зависит от контекста. Фраза Уилера про уравнения Эйнштейна – «материя говорит пространству-времени, как ему искривляться» – звучит так, будто материя всецело командует тем, в каком пространстве-времени она готова жить. Так первоначально был склонен полагать и Эйнштейн (хотя потом до некоторой степени передумал). Примерно так дело и обстоит, например, когда «излишне» много материи не может оставаться материей и превращается в черную дыру, создавая горизонт. Ситуация похожа и в том случае, когда нас интересует пространство-время Вселенной в целом: в правую часть уравнений мы загружаем то, что нам известно про материю, а потом из уравнений определяем геометрию и обнаруживаем, что Вселенная расширяется или сжимается. Но вообще-то распределение материи нельзя задавать совершенно произвольно: как следствие математической структуры уравнений Эйнштейна их правая, «материальная», часть – энергия-движение-силы – должна удовлетворять некоторым условиям, которые уже включают в себя метрику (абвгдежзик-таблицы). Наличие этих условий нельзя не приветствовать, потому что они выражают локальные законы сохранения, но присутствие в этих законах сохранения метрики, которую следует определить из самих уравнений Эйштейна, означает, что материя и геометрия взаимно «настраиваются друг на друга». Высказывание Уилера, звучащее так, что материя распоряжается никого не спрашивая, требует, строго говоря, корректировки; но я полагаю, что Уилер (понимавший происходящее заведомо лучше меня) едва ли был готов сформулировать свой лозунг как «материя, тензор энергии-импульса которой имеет нулевую ковариантную дивергенцию, говорит пространству-времени, как ему искривляться, обеспечивая при этом сохранение нулевой дивергенции».
Конструкторы ворп-драйвов в нескольких вариантах (как и конструкторы червоточин/«кротовых нор», о которых здесь совсем нет места говорить) смотрят на отношения геометрии и материи с другой стороны, позволяя вовсю командовать геометрии: они задают геометрию пространства-времени, которая реализует их чудо технологий, а потом интересуются, какие свойства материи могли бы обеспечить эту геометрию (другое дело, что материя неизменно получается экзотическая). Промежуточный, пожалуй, случай взаимоотношения правой и левой частей уравнений Эйнштейна – это ускоренное расширение нашей Вселенной: известная нам материя «говорит» геометрии расширяться по Фридману, но не в состоянии породить ускоренное расширение; обнаружив же это ускорение из наблюдений, мы ищем ту материю, которую надо добавить к известной нам, чтобы в соответствии с уравнениями она «напоминала» геометрии об этом ускорении.
Тупики движения и конец времени. Падение в черную дыру (для простоты – черную дыру Шварцшильда) прекращается при достижении ее центра. После этого с тем, что туда падало, больше ничего не происходит – не в том смысле, что «ничего нового», а в том, что больше нет времени. Нет никакого способа продолжить время далее этого момента; его просто не существует.
Время заканчивается с попаданием в центр черной дыры
Формально там, в центре, кривизна пространства-времени делается неопределенно («бесконечно») большой, и один из способов заявить это – сказать, что в центре черной дыры решению уравнений Эйнштейна нельзя придать смысл; точка, где смысл теряется, называется сингулярностью, и в центре черной дыры, стало быть, имеется сингулярность. Здесь, однако, есть знаменательная тонкость, потому что в такой точке смысл теряет метрика пространства-времени (абвгдежзик-таблица), но ведь именно метрика определяет геометрию и в силу этого является образующим элементом пространства-времени; поэтому если в какой-либо точке не существует никакой метрики, то саму эту точку нельзя включить в пространство-время. Наличие сингулярности в некоторой точке поэтому скорее следует воспринимать как отсутствие самой этой точки, ее «изъятие» из пространства-времени..
В таких точках имеющаяся теория гравитации доходит до собственного отрицания. Но неизбежно ли их появление? Вопрос представляется сложным, в том числе и потому, что имеющаяся в нашем распоряжении теория оперирует с пространством-временем, и выводы ее должны быть сформулированы в терминах пространства-времени, а не точек, которые к нему не относятся. Замечательным образом, однако, внутри пространства-времени нашлись ресурсы, чувствительные к таким «изъятым» точкам. Это поведение геодезических: возможность или невозможность продолжения их в неопределенно далекое будущее. Будут ли запущенные по ним часы всегда тикать дольше любого наперед выбранного отрезка времени, или же некоторые геодезические куда-то «утыкаются» и время вдоль них кончается?[160] Оказалось возможным обсуждать сингулярности во внутренних терминах пространства-времени – как появление в нем семейств «утыкающихся» геодезических.
Сингулярности – тупики геодезических, конец движения и времени
В черной дыре Шварцшильда все геодезические, зашедшие под горизонт, утыкаются в ее центр. Но такая черная дыра – очень специальный пример пространства-времени. А если взять достаточно общее распределение материи, то можно ли подчинить его каким-то условиям, чтобы в пространстве-времени не было утыкающихся геодезических?
Нельзя, если принять несколько достаточно общих предположений – из числа тех, которые мой коллега и соавтор, обсуждая математические высказывания, квалифицирует как «разумное, доброе, вечное». В данном случае они включают общую теорию относительности, несколько «технических» предположений о пространстве-времени, а также свойство типа положительности энергии (на основе всего, что мы знаем, это очень естественное предположение). Их можно принимать в нескольких различных вариантах, но каждый раз удается вывести из них утверждения о неизбежности непродолжаемых геодезических. Общий вывод состоит в том, что (если не покушаться всерьез на «разумное, доброе, вечное») с математической неизбежностью возникают такие геодезические, которые утыкаются в точку и там заканчиваются; никуда далее продолжить их невозможно. Эти математические теоремы, первые из которых были установлены в середине 1960-х, повлияли на «серьезность» отношения к черным дырам: их стали воспринимать не как экзотические конфигурации, а скорее как проявление общего правила о возникновении непродолжаемых геодезических.
Половина Нобелевской премии по физике за 2020 г. была присуждена Р. Пенроузу за доказательство неизбежности непродолжаемых геодезических. На них кончается движение падающего объекта, а заодно кончается его время и предоставленное ему пространство. При этом, конечно, стоит еще раз вспомнить, что общая теория относительности, входящая в качестве условия в доказанные теоремы, сама должна нарушаться квантовыми эффектами; из-за этого при приближении к «изъятым» точкам на расстояния, сравнимые с 10–33 см, само понятие геометрии пространства-времени становится бессмысленным. Видимо, материя и геометрия там уже не являются чем-то, что лишь взаимодействует друг с другом, а вместо этого материя и пространство-время существуют нераздельно в виде неизвестного нам явления (и лишь на больших масштабах эти две сущности ведут относительно независимое существование, поддерживая «воспоминание» о своем былом единстве через уравнения Эйнштейна). Однако мы довольно далеки от понимания, что там происходит, и на современном уровне знания неизбежные «тупики» геодезических – это просто конец движения и времени для тех, кому случилось там оказаться.
Признания и литературные комментарии
Таблица кривизны формата 4 × 4 × 4 × 4 называется тензором Римана, а формата 4 × 4 – тензором Риччи. «Специальная упаковка кривизны» – это модифицированный тензор Риччи, называемый тензором Эйнштейна по причине его присутствия в уравнениях Эйнштейна. В метрике десять компонент (которые я довольно нетрадиционно обозначаю абвгдежзик), но четыре из них произвольны из-за возможности произвольного переопределения четырех координат (включая время); вырастающую отсюда тему калибровочной инвариантности гравитации я обхожу полным молчанием, хотя она немало сбивала Эйнштейна с пути в период придумывания общей теории относительности. Цитату Дирака по поводу минус единицы, приведенную в его воспоминаниях, можно найти в сборнике [12], но собственно статья, давшая название всему сборнику, доступна также на сайте журнала «Успехи физических наук» https://ufn.ru/ru/articles/1987/9/c/. Определенно не лишено интереса и сопоставление алгебры и геометрии, которое Дирак обсуждает там сразу после минус единицы. В профессиональное описание связи метрики и кривизны в книге [18] включены и «общеразъяснительные» рассуждения – с иллюстрациями и даже с эмоциональными высказываниями («Кривизна! Наконец-то!»).
О Фридмане написано много; достаточно полное изложение имеется в книге [105] – полное в отношении не столько биографических подробностей, сколько позиционирования его работ по отношению к предыдущим результатам Эйнштейна и последующим Леметра, Робертсона и Уокера (и Хаббла). (Там же в немалых подробностях обсуждаются взаимоотношения общей теории относительности и принципа Маха.) Сжатое «формульное» изложение вселенных Фридмана имеется в лекциях Кэрролла по общей теории относительности [52]. В «бесформульном» виде основные положения, касающиеся расширения и вообще устройства и «наполнения» Вселенной, приведены в книге [20]. Рассказ об устройстве Вселенной, включая роль гравитации в ней, имеется и в книге [36]. Мои вселенские персонажи А[нна] и Я[ков] неявно присутствуют, как выяснилось после их появления на этих страницах, еще и в заглавии книги о Вселенной [27]. Особенности «внутреннего» взгляда на удаление «всего от всех» в ходе расширения Вселенной разобраны в [33]. Темп расширения Вселенной несколько менялся за время ее существования, из-за чего граница между наблюдаемыми и ненаблюдаемыми частями не определяется в точности тем, что скорость удаления источника от наблюдателя превышает скорость света в момент излучения, а задается более сложным образом. Ряд технических подробностей, однако, не меняет того факта, что из-за расширения и из-за конечности скорости света наблюдаемая Вселенная оказывается конечной. Тонкие моменты, связанные с тем, что мы можем видеть некоторые галактики, удаляющиеся от нас быстрее света (и, мало того, удалявшиеся быстрее света в момент, когда они испустили тот свет, который мы наблюдаем), рассматриваются в работе [61]; обсуждение ее можно найти в [21].
Я привел приближенное современное значение постоянной Хаббла. Оценка ее величины – результат сложных, системных наблюдений, и она может несколько меняться по мере появления новых данных. Некоторое расхождение в ее значениях, получаемых разными методами («напряжение Хаббла», если использовать кальку с английского), – двигатель прогресса в понимании устройства мира. Здесь стоит заодно оговориться, что масштаб, на котором Вселенную с очень хорошей точностью можно считать однородной и одинаковой по всем направлениям, может еще потребовать уточнения: тот факт, что на достаточно больших масштабах Вселенная «чуть менее одинакова», чем считалось ранее, может как раз вносить вклад в «напряжение Хаббла». И еще один момент, который не помешает упомянуть лишний раз: под Большим взрывом я понимаю именно (момент перехода Вселенной в) плотное горячее состояние, а не момент ее рождения из чего-то еще; между этими двумя ключевыми событиями, согласно современным представлениям, помещается короткий, но впечатляющий период космологической инфляции. Горячей и плотной (и расширяющейся) стала «вся-вся» Вселенная – не только «наше яблоко», которое с тех пор расширилось во все, что мы наблюдаем, но и все «соседние яблоки», наблюдать за судьбой которых мы не в состоянии и никогда не будем в состоянии; о них, мыслимых как нечто единое, говорят как о Мультиверсе (хотя это слово может пониматься и еще более расширительно, см. [31]). Единственная очевидная вещь, которая их объединяет, – общий Большой взрыв (который, напомним, указывает не на точку в пространстве, а на специальный момент времени); он случился везде – даже «более везде», чем во всей наблюдаемой Вселенной.
Впечатления Уилера о Гёделе доступны по ссылке https://youtu.be/Ml1MpjEd5js. Рисунки, изображающие, как выглядит Гёделева вселенная, взяты из работы [49] и представляют собой результат точных вычислений световых геодезических в метрике Гёделя. На странице https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367–2630/15/1/013063, где лежит статья [49], в качестве дополнительных материалов доступны еще и анимации происходящего в такой вселенной.
В обзоре [88] рассматриваются варианты метрики, отвечающей ворп-двигателю. В относительно недавнем обзоре [101] обсуждается несколько способов путешествия быстрее света; оттуда взяты диаграммы на рис. 7.11. На сайте NASA доступна презентация о ворп-двигателе, название которой несколько вызывающим образом фокусирует внимание на слове «оптимизация»: https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/20130011213.pdf. Более серьезно оптимизация ворп-двигателя, и не только она, рассмотрена в статье Introducing Physical Warp Drives[161], появившейся после того, как все вышесказанное уже было написано, поэтому прокомментировать ее придется здесь. В ней обращается внимание сразу на несколько важных моментов. Во-первых, «распространяющийся пузырь» с плоским пространством внутри может лететь и с досветовой скоростью (что тоже может оказаться неплохо), и для этого не требуется отрицательная энергия. Во-вторых, огромное количество отрицательной энергии, требуемое для ворп-драйва Алькубьерре, по крайней мере отчасти вызвано тем, что там довольно неестественным образом предполагается полностью плоское пространство всюду вовне пузыря; другими словами, там требуется, чтобы масса/энергия, заключенная в его стенках, не оказывала никакого внешнего гравитационного эффекта, что выглядит слишком жестким требованием. Ненужно жестким оказывается (это в-третьих) и требование, чтобы часы внутри шли в том же темпе, что и снаружи; это, вообще говоря, совершенно не обязательно, и в «более естественных» вариантах время путешественников течет медленнее с точки зрения внешних наблюдателей. И более того, соотношение того, что внутри пузыря, с тем, как он видится снаружи, может быть сложным: в одном из обсуждаемых вариантов внутренность находится во вращении, что в принципе могло бы использоваться уже не как транспортное средство, а скорее как маховик – накопитель энергии (извлекаемой способом, подобным бросанию предметов под эргосферу вращающейся черной дыры). И наконец, четвертое, но, пожалуй, главное: ошибочно утверждение, что алькубьерровский пузырь и близкие к нему ворп-устройства способны разгоняться и тормозить. Стоит только допустить изменение скорости устройства, как перестают выполняться законы сохранения энергии и количества движения. Это можно компенсировать или каким-то дополнительным полем (что меняет всю постановку задачи), или, возможно, изменением формы самого пузыря – но ни одного точного решения, которое описывало бы, как такое происходит, пока не найдено. Пузырь с плоским пространством внутри летит по Вселенной по инерции, с постоянной досветовой или сверхсветовой скоростью, и использование такой штуки, если она существует, оказывается делом крайне непростым.
Черная дыра вместо Планеты 9 и перспективы ее обнаружения обсуждались, в частности, в работах [100, 110]; ряд астрономов выразили недоумение по поводу этой идеи (Браун – немалое). Картина столкновения Млечного Пути и Андромеды взята из https://www.nasa.gov/mission_pages/hubble/science/milky-way-collide.html, где она приведена со ссылкой на NASA, ESA, Z. Levay and R. Van der Marel, STScI; T. Hallas, and A. Mellinger. Изображение на рис. 7.12 слева взятo с сайта UCLA Galactic Center Group – W. M. Keck Observatory Laser Team; по ссылке http://www.astro.ucla.edu/~ghezgroup/gc/images_science.html можно найти аналогичные периодически обновляемые изображения. В UCLA (Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе) работает, в частности, Андреа Гез, ставшая лауреатом Нобелевской премии по физике за 2020 г. «за открытие сверхмассивного компактного объекта в центре нашей Галактики». На том же сайте на странице http://www.astro.ucla.edu/~ghezgroup/gc/videos/ имеются ссылки на анимации, представляющие наблюдения за центром Галактики и реконструкцию происходящего там; оттуда же взяты изображения на рис. 7.13. Источник изображения на рис. 7.12 справа – ESO/MPE/S, Gillessen et al. (http://www.eso.org/public/images/eso1622b/).
Извлечение энергии вращения из черных дыр называется процессом Пенроуза. Автор идеи – также лауреат Нобелевской премии по физике за 2020 г., хотя и не в связи с вращением черных дыр, а, как было сказано, за «непродолжаемые» геодезические. Ему же принадлежит вывод о вероятном наличии предела для «степени раскручивания» черной дыры. Математически для черной дыры, которая вращается «слишком быстро», исчезает горизонт и более не прикрываемая им сингулярность предстает на всеобщее обозрение (naked singularity, что традиционно переводится как «голая сингулярность», но выразительнее, да и точнее – «обнаженная»). Вероятно, обнаженные сингулярности не могут появляться во Вселенной; Пенроуз выдвинул эту идею (известную как «принцип космической цензуры» – в смысле «космической благопристойности») и привел веские соображения в ее поддержку, но совсем строгого ее доказательства все-таки нет.
Как мы видели на двух последних прогулках, язык искривленной геометрии оказался очень продуктивным для описания гравитации; но вообще-то метрика (десятикомпонентный Агент) – не единственный и не самый общий способ описывать геометрии. Выбор в пользу метрики и только метрики сделал Эйнштейн, в результате чего и получилась общая теория относительности – теория гравитации, описываемой через метрику. С тех пор изучались и до некоторой степени продолжают изучаться другие варианты (неквантовых) теорий гравитации, иногда вовлекающие дополнительные сущности. От всех таких неэйнштейновских теорий требуется, конечно, объяснить все то, что объясняет эйнштейновская; если, кроме того, появятся экспериментальные факты, которые какая-то из альтернативных теорий сможет объяснить лучше, то выбор будет сделан в пользу этой новой теории, а за общей теорией относительности останется статус «промежуточной» теории, открывшей идею кривизны, но оказавшейся не вполне точной. Даже если такое произойдет, значение и роль эйнштейновской теории в понимании гравитации и движения едва ли станут менее значительными.
Движение на прогулке 7
Материя создает геометрию пространства-времени, т. е. гравитацию, согласно уравнениям Эйнштейна, в которых материя представлена несколькими своими атрибутами, в том числе энергией и количеством движения. Однородное и одинаковое по всем направлениям заполнение пространства пылью порождает расширяющуюся (или, в других условиях, сжимающуюся) вселенную. Расширение Вселенной, в которой мы живем, проявляет себя как необычный вид движения, которое наблюдается для любой пары далеких объектов, но у которого нет единой скорости: объекты удаляются друг от друга тем быстрее, чем больше расстояние между ними. Возрастание скорости удаления до скорости света и выше приводит к ограничениям на размер наблюдаемой Вселенной. Экспериментально обнаруженное ускорение этого расширения заставляет предположить существование темной энергии. Во вселенных с другими геометриями материя может демонстрировать не расширение, а другие виды движения вроде закручивания, распространяющегося и на свет. Управление геометрией не исключает в принципе существования «пузыря», на стенках которого сконцентрирована высокая кривизна, из-за чего он передвигается быстрее скорости света.
Движение пробных тел служит для определения массы и количества вращения черных дыр. Звезды, обращающиеся вокруг черной дыры Стрелец A*, послужили такими пробными телами в центре нашей Галактики. Теоретическое знание говорит, что внутри эргосферы вращающихся черных дыр все тела приходят в движение вокруг черной дыры, которому принципиально нельзя воспрепятствовать. Там же, в эргосфере, возможны траектории движения, позволяющие извлекать энергию вращения из черной дыры: после разделения движущегося тела одна его часть исчезает в черной дыре, а другая вылетает наружу, забрав часть энергии вращения черной дыры. Движение двух сближающихся черных дыр (или других компактных объектов) вызывает передачу энергии гравитационному полю, возмущение в котором распространяется со скоростью света в виде гравитационных волн; относительно недавнее их детектирование позволяет нам получать недоступные ранее сведения о функционировании и устройстве Вселенной.