Почти 2500 лет назад философ Зенон Элейский опубликовал большое количество парадоксов, стремясь показать абсурдность «здравого смысла» относительно окружающей реальности. Одной из его наиболее известных апорий была попытка продемонстрировать, что движение есть иллюзия, потому что любое движение требует бесконечного количества времени. Чтобы пройти через комнату, например, я сначала должен пройти половину пути до середины комнаты, что потребует некоторого времени, но потом я должен пройти половину оставшейся половины (то есть три четверти расстояния), что тоже займет некоторое время. Затем я должен пройти еще половину оставшегося расстояния (то есть от трех четвертей комнаты дойти до отметки в семь восьмых), и это тоже потребует какого-то времени. Этот процесс можно продолжить до бесконечности, откуда следует, что движение на любое расстояние, в принципе, требует бесконечного числа повторений, каждая из которых отнимает конечное количество времени. Отсюда делается вывод: чтобы куда-нибудь дойти, требуется бесконечное количество времени, и, таким образом, движение невозможно[159].
Большинство людей реагируют на это примерно так же, как рассказывается о Диогене-кинике[160]: он попросту встал и пошел прочь от философа. Движение – это настолько очевидный факт нашего повседневного существования, что заявление о его невозможности кажется смешным. Более склонные к математическим рассуждениям мыслители указывают на то, что каждый раз, деля расстояние пополам, вы делите пополам и время, за которое его надо преодолеть. С изобретением интегрального и дифференциального исчисления мы знаем, что бесконечное число все более уменьшающихся чисел может в сумме дать конечное число (более того, если быть точным, то сумма, описанная в парадоксе, будет слагаться из ряда 1/2 + 1/4 + 1/8 +. и в итоге равняться единице). Однако философы продолжали спорить по поводу тонких моментов в аргументации Зенона вплоть до сегодняшних дней.
Что предметы тверды есть еще один убедительный факт нашего существования, мы это ощущаем на опыте всякий раз, когда кладем один предмет на другой. Вопрос о стабильности твердой материи, таким образом, может показаться из разряда тех тем, которые лучше оставить философам или у кого слишком много свободного времени. И все же оказалось крайне трудным доказать, если основываться на физических принципах, что твердые предметы, состоящие из большого числа взаимодействующих частиц, действительно стабильны.
Проблема наиболее просто описывается в терминах энергии: как материя вообще, любая физическая система всегда пытается снизить свою энергию, поэтому чтобы большое количество частиц составляли стабильный твердый предмет, их расположение должно обладать минимальной энергией, и количество энергии уже больше не могло снижаться. Однако, как мы видели, когда говорили о модели Бора, притяжение между положительными и отрицательными зарядами дает им отрицательную потенциальную энергию, которая возрастает до отрицательной бесконечности, когда два заряда находятся прямо друг на друге. Бесконечное значение предполагает, что любой набор частиц в принципе может уменьшить свою энергию, упаковав все свои компоненты более плотно. Это не сразу очевидно, но если рассуждать далее, то почему бы силам притяжения, которые притягивают частицы друг к другу, чтобы создать атомы, молекулы и предметы, при определенных обстоятельствах не стянуть все эти частицы до бесконечно малого объема, вызывая «схлопывание» предмета, делая его твердым и высвобождая огромное количество энергии в ходе такого процесса. Кусочек хлеба, ожидающий, что его поджарят в тостере, с этой точки зрения будет потенциальной атомной бомбой.
Предотвращение такого коллапса нужно, чтобы твердые предметы могли существовать, и это требует некоторого дополнительного фактора, что повышает энергию, если частицы сблизятся еще больше. Это будет обеспечивать минимальную энергию при определенном размере, во многом так же, как уравновешиваются электромагнитные силы против сил, которые нужны, чтобы удержать электрон на небольшой орбите, что Бор определил как оптимальный радиус самой низкоэнергетической орбиты в атомной модели. Наконец, энергия поступает из двух основных квантовых идей, которые мы уже обсуждали, из специфической волновой природы материи и принципа запрета Паули. Чтобы объяснить, как это происходит, мы должны познакомиться с одним из наиболее важных последствий квантовой физики, чего ни одна книга по теме не может обойти вниманием – это принцип неопределенности Гейзенберга[161].
Определенность неопределенности
В середине 1920-х годов, столкнувшись с неспособностью модели Бора-Зоммерфельда правильно описать некоторые простые на вид системы, как ионизированная молекула водорода, с которой мучился Вольфганг Паули во время своей докторской диссертации, некоторые из (в основном) молодых физиков начали отказываться от полуклас-сического обоснования «старой квантовой теории». Первый прорыв был сделан, когда Вернер Гейзенберг решил, что ключом к решению проблемы будет отказ от идеи точно определенных электронных орбит.
Гейзенберг был из того же поколения, что и Паули (этот был на год старше), и, как и он, учился под руководством Арнольда Зоммерфель-да в Мюнхене. Его диссертационное исследование было по теме классической физики турбулентности, но, как многие физики в то время, он проявлял интерес к возникавшей квантовой теории. После защиты докторской диссертации он переехал в Геттингер, чтобы работать с Максом Борном, и провел зиму 1924–1925 в институте у Нильса Бора в Копенгагене.
Пока работал в Дании с Бором, Гейзенберг старался использовать «старую квантовую теорию» для объяснения интенсивности спектральных линий, то есть почему атомы излучают и поглощают более активно на некоторых характерных частотах, чем на других. Статистическая модель света, разработанная Эйнштейном, давала очень общие правила для таких вычислений, но при попытке более детального анализа оказывалось, что это крайне затруднительно.
Летом 1925 года Гейзенберг вернулся в Геттинген и продолжил свою напряженную работу над проблемой спектральных линий. В то же время он боролся с аллергией и, чтобы избежать сильного приступа сенной лихорадки, на некоторое время уехал на отдаленный остров Гельголанд, где мог дышать воздухом без пыльцы и сконцентрироваться на своей работе. Именно там на него сошло озарение, и ученый понял, что попытки вычисления классических орбит, по которым следуют электроны, – это пустая трата времени. Раз ни один мыслимый эксперимент не давал надежду отследить движение электрона по его орбите, так не стоило и тратить силы на более точное определение этого движения. Вместо этого он попробовал найти способ сформулировать квантовую теорию исключительно в терминах экспериментально наблюдаемых величин.
После длительного периода напряженных математических усилий Гейзенберг нашел ответ на вопрос. Ответ был найден в форме тщательно вычисленных таблиц чисел, описывающих измеряемые свойства квантовых прыжков. Эти значения были отсортированы по рядам и колонкам на основе конкретных пар измерявшихся начальных и конечных состояний электрона. Как и в случае с волновым уравнением Шрёдингера в предыдущей главе, теория Гейзенберга работала с вероятностями, но в терминах разрешенных состояний, а не в конкретных положениях электрона. Проблема интенсивности спектральных линий, что мотивировала Гейзенберга, привела к определению вероятности того, что электрон из одного разрешенного состояния перейдет в другое, причем чем больше вероятность, тем ярче будет спектральная линия. Эти вычисления требовали привлечения комбинированных результатов из его таблиц с числами согласно правилам, которые понемногу начали вырисовываться.
Вернувшись в Геттинген, Гейзенберг показал свою работу Борну. Тот заметил сходство между вычислениями Гейзенберга и матрицами – индексированными таблицами с числами и специальными правилами, определяющими работу с этими матрицами при вычислениях – что изучали коллеги-математики. Борн, Гейзенберг и еще один ассистент Борна, Йордан Паскуаль[162], переформулировали результаты Гейзенберга на язык матриц, что привело к первой относительно полной теории квантовой физики – «матричной механике»[163].
Сначала матричная механика была воспринята не слишком восторженно, поскольку физики в те дни не были хорошо подкованы в математике матричных вычислений. Но когда Эрвин Шрёдингер вывел свое волновое уравнение следующей зимой[164], многие физики вздохнули с облегчением. Оба подхода были эквивалентны с точки зрения математики, и в наши дни физики изучают и тот, и другой. Волновые функции, вычисляемые с помощью уравнения Шрёдингера, регулярно описываются с использованием математических терминов, заимствованных из матричной механики, в то время как открытия Гейзенберга часто описываются в волновых терминах, что требует более интуитивного понимания происходящего. В реальности вычисления делаются с использованием того подхода, который позволит проще решить конкретную проблему.
Гейзенберг больше всего известен вне физического сообщества за его принцип неопределенности – одна из идей квантовой физики, просочившейся в массовую культуру. Наиболее известная формулировка этого принципа гласит, что невозможно знать одновременно и положение, и момент импульса частицы до определенного уровня точности. Обе из этих величин неопределенные, и результат их неопределенности должен быть больше некоторого минимального значения. Другими словами, когда неопределенность одной уменьшается, неопределенность другой должна возрастать как минимум в той же степени. Если вы точно знаете, как быстро что-либо движется, вы теряете возможность понять, где это находится, и наоборот.