Волновой пакет имеет очевидные колебания лишь в небольшом объеме пространства.
Эта функция имеет характеристики и волны, и частицы, но как мы можем сотворить такую штуку из обычных волн? Мы можем найти подсказку в случае с частицей в коробке, когда самое низкое энергетическое состояние является суммой двух различных волн, одной, соответствующей частице, движущейся налево, и другой – направо.
Давайте рассмотрим, что происходит, когда мы сложим вместе две волны, соответствующие двум возможным различным скоростям. В этом случае мы получим волновую функцию, которая выглядит примерно как на следующей иллюстрации.
Складывая две волны с немного отличающейся частотой, мы получаем волновую функцию с двумя биениями, где две волны взаимно уничтожаются. Мы возводим это в квадрат, чтобы получить распределение вероятностей.
Когда две волны с различной длиной складываются, есть места, где получаются еще бо́льшие по амплитуде волны, но по мере того как волны движутся вперед, они выходят из фазы друг с другом. На некотором расстоянии будет место, где они взаимно уничтожат друг друга почти совсем, и получится, что волны там вообще нет. Это называется «биение[168]», поскольку в музыке существует похожее явление, которой приводит к рассогласованному дребезжащему звуку, когда два слегка расстроенные относительно друг друга инструмента играют одну и ту же ноту.
Когда у нас всего две волны, сложенные вместе, результатом будут лишь небольшие участки, где нет волн, но если мы добавим больше волн, то участки, где волны вычитаются друг из друга, становятся шире, а области, где есть волны, становятся более узкими и четкими. Чем больше длин волн мы добавляем, тем больше полученная в результате волновая функция напоминает волновой пакет, который описывает частицу. Каждая дополнительная длина волны, однако, соответствует возможному моменту импульса. Как только вы добавляете длины волн, вы увеличиваете вероятность нахождения частицы с каждым определенным моментом импульса; вы делаете волновой пакет меньше за счет более точно определенного положения, но этот процесс увеличивает неопределенность момента частицы.
Добавляются (снизу вверх) одна, две, три и пять длин волн, чтобы сделать постепенно все более узкие волновые пакеты.
Вот почему квантовая неопределенность, наверное, лучше всего описывается как indeterminacy – невозможность точного определения: напряжение между свойствами волны и частицы означает, что невозможно точно определить одновременно и положение, и момент импульса частицы одновременно. Если делать волновой пакет уже, чтобы лучше определить положение, это будет означать добавление длин волн и увеличение неопределенности в моменте. С другой стороны, уменьшение числа возможных длин волн для более точного определения момента будет приводить к расширению волнового пакета с большей неопределенностью по положению. Квантовая неопределенность есть не практические ограничения нашей способности измерять вещи, но фундаментальные ограничения на то, какого рода свойства могут иметь квантовые частицы.
Стабильность атомов
Как нулевая энергия и принцип неопределенности помогают обеспечивать стабильность материи? Чтобы это понять, надо отвлечься от простой, но вообще-то искусственной модели «частица в коробке» и рассмотреть более реалистичную ситуацию, когда электрон связан с ядром атома.
Электрон, соединенный с атомом, представляет гораздо более сложную ситуацию, чем электрон, ограниченный коробкой, но рассуждения в обеих ситуациях похожи. Связанный электрон более или менее по определению ограничен в небольшом пространстве вокруг ядра, и точно так же, как в случае с электроном в коробке, размер этого пространства определяет минимум кинетической энергии, которую должен иметь электрон.
Однако в случае с атомом все усложняется силами притяжения между отрицательно заряженным электроном и положительно заряженным ядром. По соглашению в физике такое взаимодействие описывается в терминах отрицательной потенциальной энергии связанного электрона, она добавляется к положительной кинетической энергии, чтобы получилась полная энергия частицы. Как было упомянуто ранее, это дает нам простой способ определить, связан электрон или нет: связанные электроны имеют отрицательную полную энергию. (Вот почему энергия электрона на Боровской орбите, которую мы описывали в главе 4, представляет собой отрицательное число.) Закон сохранения энергии говорит, что эта полная энергия – постоянна, с увеличением кинетической энергии уменьшается, потенциальная, и наоборот, чтобы сумма оставалась неизменной.
В то время как потенциальная энергия связанного электрона всегда отрицательная, она может варьироваться в зависимости от его положения. На больших расстояниях между электроном и ядром она почти нулевая, а когда они сближаются, эта энергия становится все более и более отрицательной. Математически величина этой отрицательной потенциальной энергии возрастает беспредельно: если разместить электрон прямо на ядре, то потенциальная энергия станет отрицательно бесконечной. Это вызывает неприятную перспективу, что электрон всегда может снизить свою общую энергию, приблизившись к ядру.
К счастью, не так сложно показать математически, что увеличение кинетической энергии, происходящее от более тесной связи электрона, достаточно, чтобы противостоять увеличению отрицательной потенциальной энергии. На самом деле, эта кинетическая энергия представляла весьма существенную историческую проблему для ядерных физиков. Атомные массы всегда больше, чем число протонов, которое можно подсчитать на основе заряда ядра, так что до открытия нейтрона физики предполагали, что ядро должно иметь некоторое количество дополнительных протонов с очень сильно привязанными «ядерными электронами», чтобы уравновесить их положительный заряд. Кинетическая энергия связанного электрона становится такой огромной, что невозможно удержать его в пределах пространства атомного ядра с помощью известных физикам взаимодействий. Модель «ядерного электрона» никогда не давала хороших результатов, и Эрнест Резерфорд, среди прочих, верил долгие годы, что ядро должно содержать также тяжелые нейтральные частицы. Когда коллега Резерфорда, Джеймс Чедвик, продемонстрировал в 1932 году существование нейтрона, следуя подсказке в статье Фредерика и Ирены Жолио-Кюри[169], многие физики были благодарны за возможность отказаться от «ядерных электронов».
Благодаря возрастающей кинетической энергии, которая возникает из ограничения электрона в небольшом пространстве, полная энергия электрона на орбите ядра имеет меньший предел. Энергия электрона отрицательна, что указывает на то, что он связан, но она никогда не может стать бесконечно отрицательной, так что его волновая функция простирается в некотором диапазоне вокруг ядра. Атом, состоящий из электрона, привязанного к положительно заряженному ядру, стабилен и не обрушится внутрь самого себя.
Принцип запрета Паули и твердая материя
Волновой природы материи достаточно, чтобы гарантировать стабильность атомов, поэтому философский вопрос о существовании макроскопических предметов может казаться решенным. Тот факт, что отдельное ядро, по орбите которого движется один электрон, стабилен, не обязательно, однако, означает, что большой набор ядер и электронов тоже будет стабильным. Вычисления для одного атома достаточно просты, чтобы их сделал студент старших курсов института физики, но как только вы добавляете хотя бы третью заряженную частицу, то выполнить точные вычисления энергии с помощью карандаша и бумаги становится невозможным, и получаются только приближенные решения и численное моделирование.
Это не единственная проблема в квантовой физике. Классическая «проблема трех тел» точно так же не поддается точному решению и задолго до введения Планком в концепцию квантов энергии беспокоила людей. Проблемой множественных взаимодействующих объектов впервые серьезно озаботились, когда Исаак Ньютон открыл свой закон всеобщего притяжения в конце 1600-х годов и использовал его для объяснения формы орбит в Солнечной системе. Основные свойства этих орбит могут быть определены, если рассматривать взаимодействие между данной планетой и Солнцем, но, конечно же, существуют также силы гравитации между планетами, их тоже нужно принять во внимание. Они гораздо меньше, но не настолько, чтобы ими можно было пренебречь: в 1846 году Урбен Леверье[170] использовал минутные[171] отклонения между предсказанными и наблюдаемыми орбитами планеты Уран, чтобы сделать вывод о существовании еще одной планеты, чья орбита находилась дальше от Солнца. Леверье предсказал положение этой новой планеты, используя приблизительные вычисления по закону Ньютона, и Иоганн Галле[172] нашел планету Нептун почти точно в указанном месте в первую ночь наблюдений[173], после того, как получил предсказание Леверье.
Несмотря на успех примерных орбитальных вычислений подобных тем, что сделал Леверье, отсутствие точного решения проблемы трех (или более) тел оставалось головной болью с тревожными последствиями для человеческого существования. В то время как силы между отдельными планетами весьма слабы по сравнению с гравитационным притяжением Солнца, если они объединятся неправильным образом, то могут предположительно дестабилизировать орбиты планет, швырнув Землю на Солнце или в глубины межзвездного пространства. В отсутствие точного решения этой проблемы нет гарантии, что Солнечная система будет продолжать существовать в нынешней конфигурации.
В 1887 году в попытке решить проблему король Швеции объявил международные соревнования с призом для любого математика, который решит задачу множества тел. Этот приз впоследствии ушел к Анри Пуанкаре