Звук, что мы слышим от гитары, представляет прекрасную аналогию спектра, который мы видим в модели черного тела. Начальный щипок за струну будет возбуждать волны с огромным количеством различных частот, как свет, входивший в коробку нашего черного тела. После очень короткого времени, однако, деструктивная интерференция между множественными отражениями от концов струны или стенок коробки уничтожает большинство этих длин волн, оставляя только те, которые соответствуют модам стоячих волн.
В случае с гитарной струной большинство энергии волны поступает в основную (первую) моду, что в первую очередь определяет звук, который мы слышим. Чем больше частота гармоник, тем меньше на их долю остается энергии, но они все-таки присутствуют и ответственны за богатый звук настоящего инструмента по сравнению, скажем, с компьютерным звуком, сгенерированным в одном единственном тоне. Множественные различные настройки и эффекты, используемые гитаристами, производят отчетливо различные тона за счет усиления некоторых из этих гармоник и подавления других, чтобы создать особый звук, скажем, у гитары Джерри Гарсии[51] или Джими Хендрикса[52].
Для световых волн в нашей коробке, изображающей черное тело, распределение энергии формируется не только эстетическими вкусами конкретного игрока, но и с помощью простого правила из физики тепла: равное распределение. Процесс определения мод стоячих волн считается несколько более сложным для света в трех измерениях, чем звука в одном измерении, но приводит к тому же результату – можно насчитать ограниченный набор пронумерованных мод. Раз уж мы знаем эти моды, закон равного распределения энергии говорит нам присвоить каждой моде равную часть общей энергии, полученной от теплового движения частиц, из которых состоят стены коробки[53].
Проблема в том, что по мере того как длины волн становятся все короче, длины волн допустимых мод становятся все ближе и ближе друг к другу. Если мы подсчитаем количество мод внутри некоторого заданного диапазона длин волн, мы обнаружим что оно возрастает бесконечно на коротких волнах (мы помним, они соответствуют высоким частотам). Если мы вообразим струну длиной в полметра с основной волной длиной в один метр, допустимы две моды с длиной в пять миллиметров между 0.1 метра и 0.095 метра, то есть две длины волны, которые могут уложить целое количество своих полуволн в длину струны. В диапазоне пятимиллиметровой длины волны между 0.02 метра и 0.015 метра существует тридцать четыре моды.
В терминах спектра эта модель не дает хорошего, простого пика (максимума) на промежуточных длинах волны, найденных в экспериментах. Наоборот, модель утверждает, что любой объект, независимо от температуры, должен излучать бесконечное число коротковолнового (высокочастотного) излучения. Это не совсем то, что мы хотели бы иметь в своем тостере.
Спектр теплового излучения при разных температурах плюс предсказания модели Рэйли-Джинса, т. е. «ультрафиолетовая катастрофа».
Провал прямолинейного подсчета мод был настолько тяжелым, что приобрел название «ультрафиолетовой катастрофы»[54]. Объяснение максимума, наблюдаемого в спектре реального черного тела, и успешное описание Планком в 1900 году в его формуле потребовало фундаментальных сдвигов в нашем понимании того, как распределяется энергия.
Квантовая гипотеза
К счастью, тот же самый Макс Планк, который нашел математическую функцию, точно описывающую спектр излучаемого света, также обнаружил способ объяснения причины такого спектра. В терминах описанной выше модели Планк связал каждую из мод стоячих световых волн с «осциллятором» внутри материала, когда каждая колеблющаяся частица, или осциллятор[55], испускает только одну частоту света. Потом он присвоил каждому из этих осцилляторов характерную энергию, равную его частоте, умноженной на некоторую небольшую константу. Затем ученый установил, что количество энергии, испускаемой конкретным отдельным осциллятором, должно быть целым множителем этой характеристики энергии, которую он назвал «квантом» по латинскому выражению «сколько надо». Таким образом, осциллятор может иметь один квант энергии, два или три, но никогда половину кванта или «пи» кванта.
Эта «квантовая гипотеза» совершила необходимый трюк, отрезав высокочастотное излучение как раз в тех областях, где и свершилась ультрафиолетовая катастрофа. Когда мы приписываем каждому «осциллятору» равную порцию имеющейся тепловой энергии, низкочастотные осцилляторы получают много раз умноженную характерную энергию и таким образом излучают много квантов света. По мере увеличения частоты, количество излучаемого каждым отдельным осциллятором света падает, потому что доля тепловой энергии каждого из них составляет меньшее кратное его характерной энергии. Когда частота делается настолько высокой, что характерная энергия больше, чем доля тепловой энергии осциллятора, он вообще перестает испускать свет.
На низких частотах, в таком случае, существует относительно немного осцилляторов, потому что есть немного возможных стоячих волн с относительно большой длиной волны, однако каждый излучает множество «квантов» света. На высоких частотах осцилляторов много (потому что допустимых мод много на коротких волнах), но каждый излучает немного света или совсем не излучает. Соревнование между увеличивающимся количеством осцилляторов и уменьшающимся излучением дает точно тот вид спектра с максимумом, который наблюдался при излучении абсолютно черного тела: начиная с длинных волн и спускаясь вниз, возрастание количества осцилляторов идет изначально быстрее, чем уменьшение количества излучаемого каждым осциллятором света, так что общее количество света возрастает до максимума (пика) и затем уменьшается по мере того как излучение совсем пропадает. Это также объясняет смещение пика спектра: по мере возрастания температуры количество тепловой энергии возрастает, увеличивая долю, приписанную каждой моде и поднимая вверх ту частоту, на которой квантовая гипотеза обрезает излучение света.
Планк изначально ввел квантовую гипотезу, полагая, что это был «отчаянный математический трюк». Действительно, это было похоже на вычислительный трюк, какие часто применяются в исчислении. Физики-математики постоянно описывают гладкие, непрерывные явления в терминах дискретных шагов для решения задач, затем используют отлаженные математические техники, делая «шаги» бесконечно малыми и восстанавливая изначальную непрерывность. Планк знал, что придание каждому осциллятору характерной энергии, которая увеличивается с частотой, даст спектр с обрезанным «хвостом», но он и был нужен. Также он полагал, что сможет использовать исчисление, чтобы уменьшить множитель-константу частоты до нуля, восстановив непрерывность и покончив похожими на ступеньки квантами энергии. Вместо этого ученый обнаружил, что константа должна быть очень маленькой, но при этом она упрямо не хотела принимать нулевой значение. В наши дни она называется «постоянной Планка» в его честь и обозначается символом h со значением 0.0000000000000000000000000000000006626 джоуля, умноженных на секунду – действительно очень малое значение[56]. Если рассматривать квантовую гипотезу, а именно то, что энергия поступает в виде дискретных, неделимых «пакетов» и h принимает такое маленькое, но не нулевое значение, процесс распределения доступной энергии между всеми возможными частотами ведет точно к формуле, которую нашел Планк для описания спектра черного тела.
Формула Планка была потрясающим успехом и стала одним из бесценных инструментов для многих областей физики. Астрономы используют ее для определения температуры далеких звезд и газовых облаков, измеряя спектр, который те излучают. Спектр света от типичной звезды, включая наше Солнце, сильно напоминает спектр черного тела, и сравнивая свет, что мы видим, с предсказаниями формулы Планка, мы можем вычислить температуру поверхности звезд, находящихся от нас за много световых лет.
Возможно наиболее совершенным спектром черного тела, когда-либо измеренным, считается «космическое микроволновое фоновое излучение», о чем мы упоминали раньше. Это поле слабого излучения в радиочастотном диапазоне спектра пронизывает всю Вселенную. Это фоновое излучение – одно из наилучших свидетельств в пользу космологии Большого взрыва: микроволновки, которые мы видим сегодня, были созданы около 300 000 лет после Большого взрыва, когда Вселенная еще была крайне раскалена и плотна, но уже достаточно остыла, чтобы позволить фотонам распространяться. В последующие миллиарды лет Вселенная расширялась и охлаждалась, так что высокоэнергетические фотоны в области видимого света с температурой в тысячи кельвинов растянулись в область микроволновых длин волн. Спектр был измерен множество раз и совпадает с черным телом температурой в 2.7 К с феноменальной точностью. В действительности мельчайшие изменения в температуре этого фонового излучения из разных точек неба – сдвиги на миллионные доли кельвина – обеспечивают наилучшую информацию из всей, что мы имеем об условиях в очень молодой Вселенной и о происхождениях галактик, звезд и планет.
Если спуститься с небес на землю, формула Планка дает нам возможность говорить о свете и тепле каждый день. Фотографы и дизайнеры говорят о «температуре цвета» различных видов света, что является числом в кельвинах, соответствующим температуре черного тела, чей видимый спектр наиболее близок обсуждаемому[57]. В вашем любимом хозяйственном магазине можно купить различные типы лампочек – «мягко-белые», «естественный свет» и так далее. Они используют различные технологии для производства света со спектром, который напоминает излучение черного тела от объектов с различными температурами.