[6]
§ 30. Куб
До сих пор мы занимались только плоскими фигурами, т. е. такими, которые всеми своими точками расположены на плоскости. Плоскими поверхностями или плоскостями называются такие «поверхности, которые ровны и гладки, как поверхность зеркала или полированной доски; край линейки, приложенный в любом месте к плоскости, примыкает к ней всеми своими точками.
Теперь перейдем к фигурам, которые имеют не только длину и ширину, но также и высоту или толщину. Такие фигуры называются т е л а м и.
Начнем с рассмотрения наиболее общеизвестного тела – куба (черт. 98). Куб ограничен 6-ю равными квадратами, которые называются его г р а н я м и; стороны же граней называются р е б р а м и. Одна из особенностей куба та, что его противоположные грани лежат в плоскостях, которые не встречаются, сколько бы их ни продолжали; такие плоскости называются п а р а л-л е л ь н ы м и.
Чтобы склеить куб из бумаги (либо изготовить из жести), надо начертить его выкройку, или, как ее называют, «развертку». На черт. 99 изображена такая развертка куба для склеивания из бумаги (полоски у краев граней оставлены для клея).
Повторительные вопросы
Что называется плоскостью? Телом? Кубом? Гранями куба? Ребрами? – Сколько у куба граней? Сколько ребер? – Начертите развертку куба.
Применения
27. Надо изготовить куб, полная поверхность которого равна 600 кв. см. Каково должно быть ребро этого куба?
Р е ш е н и е. Площадь каждой из шести квадратных граней куба равна 600: 6 = 100 кв. см. Ребро куба равно стороне квадрата, т. е. ?100 = 10 см.
§ 31. Прямоугольный параллелепипед
Куб может служить примером тел, которые в математике называются «прямоугольными параллелепипедами». Прямоугольный параллелепипед, это – тело, имеющее форму прямоугольного ящика или бруса; оно ограничено 6-ю п р я м о у г о л ь н и к а м и; противоположные грани его параллельны и равны (черт. 100).
Часто нужно бывает определить, как велик объем прямоугольного параллелепипеда, – например, узнать вместимость ящика, «кубатуру» комнаты, объем бруса и т. п. Единицею меры для объемов служит объем такого куба, ребро которого равно 1 см, 1 м, – вообще какой-нибудь единице длины («линейной» единице). Такая единица меры называется «кубическим сантиметром», «кубическим метром» и т. п. – в зависимости от длины ребра кубической единицы. Подобно тому, как п л о щ а д ь фигуры можно определить, измерив лишь некоторые линии этой фигуры, так и объем многих тел возможно вычислить, если измерить некоторые их линии. Покажем, как это делается для прямоугольного параллелепипеда.
Пусть требуется определить объем (кубатуру) комнаты (черт. 101). Измеряем линейным метром длину и ширину пола: предположим, что длина его 4 м, а ширина 3 м. Мы можем, следовательно, расчертить пол на 4 3, т. е. на 12 метровых квадратов, как показывает черт. 102. Измерим теперь высоту комнаты; пусть она равна 3 метрам. Тогда очевидно, что на каждом метровом квадрате пола можно вообразить себе квадратный столб в 3 метра высоты, т. е. составленный из 3 кубических метров (черт. 103).
Так как всех подобных столбов 12, то в комнате поместится 12 3 = 36 кубических метров. Мы получили это число перемножением длины комнаты, ее ширины и высоты (4 3 3).
Итак, чтобы узнать, сколько кубических метров в комнате, нужно измерить линейным метром ее длину, ширину, высоту и перемножить эти три числа.
Сказанное относится ко всякому телу в форме прямоугольного параллелепипеда, – даже если его длина, ширина или высота содержит дробное число единиц меры. Во всех случаях -
О б ъ е м п р я м о у г о л ь н о г о п а р а л л ел е п и п е д а р а в е н п р о и з в е д е н и ю е г о д л и н ы, ш и р и н ы и
в ы с о т ы (или, как говорят, – п р о и з в е д е н и ю т р е х е г о и з м е р е н и й). Обозначая длину параллелепипеда через а, ширину – через b, высоту – через с, имеем, что объем v параллелепипеда v = abc.
Так как у куба длина, ширина и высота равны, то
О б ъ е м к у б а р а в е н к у б у е г о р е б р а. Обозначая ребро куба через а, имеем, что объем его V = а ? а ? а = а3.
Отсюда следует, что в кубическом метре 10 ? 10 ? 10 = 1000 куб. дециметров, или 100 ? 100 ? 100 = 1 000 000 куб. сантиметров, или 1000 ? 1000 ? 1000 = 1 000 000 000 куб. миллиметров.
Для измерения весьма больших объемов (например высокой горы) употребляют кубический километр. В кубическом километре 1000 ? 1000 ? 1000 = 1 000 000 000 (миллиард) куб. метров.
Итак:
куб. метр = миллиону куб. см = миллиарду куб. мм.
куб. километр = миллиарду куб. метров.
Сокращенное обозначение кубических мер таково:
куб. метр… куб. м или м3
« дециметр. . . . . куб. дм или дм3
« сантиметр. . . . . куб. см или см3
« миллиметр. . . . . куб. мм или мм3
« километр. . . . . куб. км или км3
Повторительные вопросы
Какое тело называется прямоугольным параллелепипедом? – Какие у него грани? – Есть ли у него равные ребра? – Начертите развертку прямоугольного параллелепипеда. – Какие вы знаете кубические меры? – Как вычисляется объем прямоугольного параллелепипеда? Объем куба? – Напишите формулу объема этих тел. – Каковы соотношения между кубическими мерами? Каковы их сокращенные обозначения?
Применения
28. На прямоугольное поле шириною 135 м и длиною 240 м выпало дождевой воды 3 мм. Сколько куб. метров воды выпало на все поле?
Р е ш е н и е. Искомый объем равен
135 ? 240 ? 0,003 = 100 куб. м.
29. Прямоугольный бак в 1 м ширины и 140 см длины налит водою. Когда под воду окунулся человек, уровень воды поднялся на 4 см. Как велик объем тела этого человека?
Р е ш е н и е. Объем тела человека равен 100 ? 140 ? 4 = 60 000 куб. см.
30. Если куб с ребром 1 см представить себе разделенным на кубики с ребром в 0,1 мм, то во сколько раз общая поверхность всех этих мелких кубиков будет больше поверхности первоначального куба?
Р е ш е н и е. Поверхность куба с ребром 1 см равна 6 кв. см = 600 кв. мм. Поверхность кубика с ребром 0,1 мм равна 6 0,01 = 0,06 кв. мм. Число этих кубиков равно 100 ? 100 ? 100 = 1 000 000. Общая поверхность кубиков будет 0,06 ? 1 000 000 = 60 000 кв. мм, т. е. общая поверхность увеличится в 100 раз.
§ 32. Призмы
П р я м о ю п р и з м о ю называется тело, две грани (о с н о в а н и я) которого представляют собою треугольники, четырехугольники или многоугольники, а все остальные (б о к о в ы е) – прямоугольники (черт. 104). Рассмотренный раньше прямоугольный параллелепипед можно отнести к призмам: это прямая призма с прямоугольными основаниями. Если основания прямой призмы треугольники, то призма «треугольная», если квадрат, то призма «квадратная»; если вообще четырехугольники, то «четырехугольная»; если какие-нибудь многоугольники, то «многоугольная», напр. «восьмиугольная», и т. п.
Объем прямоугольной призмы, т. е. прямоугольного параллелепипеда, мы уже умеем вычислять: для этого нужно умножить ее длину на ширину и на высоту. Так как произведение длины ^прямоугольника на его ширину дает его площадь, то предыдущее – правило мы можем высказать иначе, а именно так:
о б ъ е м п р я м о у г о л ь н о й п р и з м ы
р а в е н п р о и з в е д е н и ю п л о щ а д и е е о с н о в а н и я н а в ы с о т у. Если площадь основания такой призмы обозначить через s, а высоту – через h, то объем ее V = sh.
Можно убедиться, что та же формула применима и ко всякой прямой призме, какую бы форму ни имело ее основание. Действительно, на каждый квадратный сантиметр основания прямой призмы опирается столб, высота которого равна высоте призмы (h). Все эти столбы, вместе взятые, составляют объем призмы. Но объем каждого столба равен 1 кв. см Ч hсм = hкуб. см; число же столбов равно числу кв. см, заключающихся в основании призмы. Если площадь основания 5 кв. см, то число призм будет s, а сумма их объемов s ? h= sh куб. см. Это и будет объем призмы.
Итак,
О б ъ е м в с я к о й п р я м о й п р и з м ы р а в е н п р о и з в е д е н и ю п л о щ а д и е е о с н о в а н и я н а в ы с о т у.
Повторительные вопросы
Что называется прямой призмой? – Что такое прямая прямоугольная призма? Квадратная? Треугольная? Шестиугольная? – Как вычисляется объем всякой прямой призмы? – Выразите это правило формулой.
Применения
31. Вычислить объем прямой т р е у г о л ь н о й призмы, если ее высота 16 см, а треугольник, лежащий в основании призмы, имеет основание 7 см и высоту – 5 см.
Р е ш е н и е. Вычисление объема начнем с определения площади основания; она равна 0,5 7 5 = 18 кв. см. Умножив основание призмы на высоту, 18 16, узнаем ее объем – 290 куб. см.
32. Чердачное помещение (черт. 105) имеет форму прямой треугольной призмы. Длина его – 14 м, ширина – 8,1 м, а высота конька – 3,2 метра. Найти объем («кубатуру») этого помещения.
Р е ш е н и е. Кубатура равна 1/2 ? 8,1 ? 3,2 ? 14 = 180 куб. м.
33. Какова площадь основания прямой многогранной призмы, объем которой 720 куб. см, а высота 18 см?
Р е ш е н и е. Основание определится, если разделить объем (720) на высоту (18). Получим 40 см.
§ 33. Объем и вес
В метрической системе мер единицей веса служит вес одного кубического сантиметра чистой воды – грамм (г).
Тысяча граммов составляют килограмм (кг), а тысяча килограммов – тонну (т). Нетрудно сообразить, какой объем занимают эти количества воды. 1 грамм воды занимает, конечно, 1 куб. см. Килограмм воды занимает объем в 1000 раз больший, т. е. 1000 куб. см = 1 куб. дециметру; значит, килограмм есть вес 1 куб. дециметра воды. Далее, тонна воды занимает объем в 1000 раз больший, чем килограмм, т. е. 1000 куб дм; но 1000 куб. дм = = 1 куб. метру; значит, тонна есть вес 1 куб. метра воды. Запомним эти соотношения:
1 куб. см воды весит 1 грамм
1 куб. дм»» 1 килограмм
1 куб. м»» 1 тонну.
Зная это, можно по объему воды вычислить ее вес (без взвешивания), и наоборот, по весу воды найти (без измерения) ее объем. Покажем на нескольких примерах, как это делается.
34. В прямоугольный аквариум, ширина которого 20 см, а длина 35 см, налито воды до высоты 12 см. Сколько весит вода в аквариуме?
Р е ш е н и е. Находим сначала объем воды в аквариуме; он равен 20 ? 35 ? 12, т. е. 8 400 куб. см. Так как каждый куб. см воды весит 1 грамм, то вода в аквариуме весит 8400 граммов, или 8,4 кг.
35. Сколько весит вода в прямоугольном баке длиною 1,5 м и шириною 1 м, если она налита до высоты 0,6 м?
Р е ш е н и е. Объем воды в баке равен 1,5 ? 1 ? 0,6 = 0,9 куб. м. Так как 1 куб. метр воды весит 1 тонну, то вода в баке весит 0,9 тонны.
Подобным же образом можно по объему вычислять вес тел и из любого другого материала, если знать, сколько весит 1 куб. сантиметр этого материала. Очень полезно поэтому располагать таблицей, в которой указано, сколько весит 1 куб. сантиметр различных веществ.
Вес 1 куб. сантиметра вещества называются удельным весом этого вещества. Краткая табличка удельных весов наиболее употребительных материалов здесь приведена.
Таблица удельных весов
Твердые тела
Золото. . . . . . . . . . . . . 19,3 грамма
Свинец. . . . . . . . . . . . 11,4»
Серебро. . . . . . . . . . . . 10,5»
Медь кованая. . . . . . . . . . 8,9»
Латунь. . . . . . . . . . . . . 8,5»
Железо, сталь, чугун. . . . . . . 7,8»
Олово. . . . . . . . . . . . . 7,3»
Цинк. . . . . . . . . . . . . 7,1»
Алюминий. . . . . . . . . . . 2,6»
Гранит. . . . . . . . . . . . . 2,5»
Стекло оконное. . . . . . . . . 2,5»
Лед. . . . . . . . . . . . . . 0,9»
Дерево сосновое сухое. . . . . . 0,5»
Пробка. . . . . . . . . . . . 0,20»
Жидкости
Ртуть. . . . . . . . . . . . . 13,6 грамма
Вода чистая. . . . . . . . . . 1»
Спирт (100) керосин. . . . . . . 0,8»
Нефть. . . . . . . . . . . . . 0,76»
Числа этой таблицы показывают:
1) сколько граммов весит 1 куб. см данного вещества;
2) сколько килограммов весит 1 куб. дециметр этого вещества;
3) сколько тонн весит 1 куб. метр этого вещества.
Действительно, если 1 куб. см, например, алюминия весит 2,6 грамма, то 1 куб. дм должен весить в 1000 раз больше, т. е. такое же число килограммов, а 1 куб. метр еще в 1000 раз больше, т. е. такое же число тонн.
Из следующих примеров видно, как надо пользоваться этой таблицей для разных расчетов.
36. Сколько весит железный брусок длиною 0,6 м, шириною 2,5 см и толщиною 1,5 см?
Р е ш е н и е. Объем бруска в куб. см равен 60 ? 2,5 ? 1,5 = 225. В таблице находим, что 1 куб. см железа весит 7,8 г; следовательно, брусок весит 7,8 ? 225 = 1800 г = 1,8 кг.
37. Какой объем занимает полкилограмма свинца?
Р е ш е н и е. Каждые 11,4 грамма свинца занимают объем в 1 куб. см (см. таблицу). Значит, наш кусок свинца имеет в объеме столько куб. см, сколько раз в его весе заключается 11,4 г. Разделив 0,5 кг на 11,4 г получаем 500: 11,4 = 44.
Итак, объем 0,5 кг свинца – 44 куб. см.
38. Найти вес 1 м железа, раз меры поперечного сечения которого указаны в мм на черт. 106.
Р е ш е н и е – по образцу предыдущих задач.
Повторительные вопросы
Какие вам известны единицы веса? – Что такое грамм? Килограмм? Тонна? – Какой объем занимает грамм воды? Килограмм воды? – Что такое удельный вес? – Что означают числа в таблице удельных весов?