VIII. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТРЕУГОЛЬНИКАХ
§ 48. Равнобедренный треугольник
С основными свойствами всякого треугольника мы познакомились в §§ 15–22. Самые главные из них следующие: сумма углов треугольника равна 180°; треугольники равны друг другу или по трем сторонам, или по двум сторонам и углу между ними, или по одной стороне и двум углам (для краткости мы обозначили эти случаи так: ССС, СУС, УСУ). Теперь познакомимся с некоторыми новыми свойствами треугольников.
Предварительные упражнения
Укажите равные треугольники в фигуре черт. 134, где АВ = АС, a AD– равноделящая угла А.
Каковы углы ADB и ADС на черт. 134: острые или тупые?
Мы знаем, что в р а в н ы х треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Покажем, что и
в о д н о м и т о м ж е т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х с т о р о н л е ж а т р а в н ы е у г л ы.
Пусть у нас взят треугольник ABC (черт. 135), в котором сторона АВ равна стороне АС. Легко убедиться, что в таком треугольнике углы В и С, лежащие против равных сторон, равны между собой. Если в нашем треугольнике проведем (черт. 136) равноделящую АD угла А, она разобьет ABCна два треугольника: АDB и АDС, которые равны между собой (СУС). По этому угол В, лежащий против AD, равен углу С, лежащему против той же общей стороны.
Треугольник с двумя равными сторонами называетс я р а в н о б е д р е н н ы м; его равнее стороны называются б о к о в ы м и с т о р о н а м и этого треугольника, а третья сторона – его о с н о в а н и е м.
Поэтому рассмотренное сейчас свойство треугольника можно высказать короче так:
в р а в н о б е д р е н н о м т р е у г о л ь н и к е у гл ы п р и о с н о в а н и и р а в н ы.
Можно удостовериться и в обратном соотношении: если в треугольнике имеются равные углы, то стороны, лежащие против этих углов, – равны; или-короче сказать:
в т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х у г л о в л е ж а т р а в н ы е с т о р о н ы.
Чтобы убедиться в этом, возьмем треугольник (черт. 135), в котором два угла равны: уг. B = уг. C. Проведем (черт. 136) равноделящую AD; в образовавшихся двух треугольниках ADB и ADCсторона AD – общая, уг. BAD = уг. CAD, уг. В = уг. C; следовательно, треугольники равны (УСУ), и потому АВ = АС.
Применения
52. Огород имеет форму равнобедренного треугольника, одна сторона которого на 40 м длиннее другой. Обвод огорода 200 м. Какова длина каждой стороны? Сколько решений имеет эта задача?
Р е ш е н и е. Если оcнование этого треуголь ника больше боковых сторон, то, обозначив его через х, имеем уравнение
х + х – 40 + х – 40 = 200,
из которого находим: х =280/3 = 93 1/3 м.
Значит, в таком случае стороны треугольника имеют длину: 93 1/3 м, 531/3 м и 531/3 м.
Если же основание к о р о ч е боковых сторон, то составляем уравнение
y + y + 40 + y + 40 = 200,
из которого y = 40 м. Следовательно, второе решение задачи 40 м, 80 м и 80 м.
53. Кровля, в зависимости от материала, из которого она сделана, должна составлять с горизонтальной линией следующие углы (черт. 137):
Железная и цинковая. . . 30°
Толевая. . . . . . . . . . 18°
Черепичная. . . . . . . . 40°
Тесовая. . . . . . . . . . 45°
Соломенная. . . . . . . . 60°
Зная это, определите, какой угол должны составлять между собой стропильные ноги двускатной крыши в каждом случае.
Р е ш е н и е. Для железной кровли искомый угол равен 180° – 2 ? 300 = 120°; для толевой 180° – 2 ? 18° = 144°; для черепичной 180° – 2 ? 40° = 100°; для тесовой 180° – 2 ? 45° = 90°; для соломенной 180° – 2 ? 60° = 60°.
§ 49. Угол, опирающийся на диаметр
Из свойств равнобедренного треугольника вытекает следующая особенность угла, вписанного в полукруг (черт. 138) или: как его иначе называют – «опирающего на диаметр»:
У г о л, о п и р а ю щ и й с я н а д и а м е т р, р а в е н п р я м о м у.
«Опирающимся на диаметр», или «вписанным в полукруг» называют такой угол, вершина которого лежит на дуге окружности, а стороны проходят через концы диаметра; таковы углы: 1 на черт. 138 и 2 на черт. 139. Желая удостовериться, что такой угол во всех случаях равен 90°, мы соединяем центр О полукруга (черт. 140) с вершиной В угла. Получаем два равнобедренных треугольника АОВ и ВОС (почему они равнобедренные?). В них
уг. 2 = уг. 1
уг. 3 = уг. 4.
Отсюда уг. 2 + уг. 3 (т. е. уг. АВС) = уг. 1 + уг. 4. Но так как уг. АВС + уг. 1 + уг. 4 = 180°, то уг. ABC= 90°.
Этим свойством окружности пользуются нередко для того, чтобы в изделиях проверять полуокружность помощью чертежного треугольника (как?).
§ 50. Прямоугольный треугольник
В треугольнике, мы знаем, может быть только один прямой угол. Такой треугольник называется п р я м о у г о л ь н ы м. Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: каждая из сторон, между которыми лежит прямой угол, называется к а т е т о м, а сторона против прямого угла называется г и п о т е-н у з о й.
Применения
54. Через точку С (черт. 141) на прямой MNнужно провести перпендикуляр. Как это сделать?
Р е ш е н и е. Отложив (черт. 142) от С в обе стороны по какому-нибудь равному отрезку, т. е. CA= CB, описываем около А и В, как центров, каким-нибудь радиусом дуги; прямая PC, соединяющая точку Р пересечения дуг с точкой С, перпендикулярна к МN. Действительно, треугольники АР С и ВРС, получающиеся после соединения А и В с P, равны (СУС); следовательно, уг. АСР = уг. ВСР, а так как эти углы смежные, то они – прямые.
55. Через точку С (черт. 143) вне прямой МN про вести к этой прямой перпендикуляр.
Р е ш е н и е. Около точки С, как около центра, описываем каким-нибудь радиусом дугу АВ (черт. 144);
затем около точек А и В каким-нибудь радиусом описываем дуги D. Прямая DС перпендикулярна к МN. Чтобы убедиться в этом, соединим С и Dс А и В.
Треугольники ACDи ВCD равны (ССС), следовательно, уг. ACD= уг. DCВ, и значит, треугольник АСО = ВСО (СУС). Отсюда уг. AОС = уг. ВОС, а так как эти углы смежные, то они прямые.
56. Объясните, почему каждая точка М прямой ВM, делящей пополам угол АВС (черт. 145) одинаково отстоит от сторон АВ и ВС угла (т. е. почему, например, MK= ML?).
Р е ш е н и е. Треугольники ВML и ВМК равны (УСУ).
§ 51. Равносторонний треугольник
Треугольник с тремя равными сторонами называется р а в н о с т о р о н н и м. Так как против равных сторон в одном и том же треугольнике лежат равные углы, то все углы равностороннего треугольника равны, и, следовательно, каждый из них равен. 180°: 3 = 60°.
Обратно: если каждый угол треугольника равен 60°, то все стороны такого треугольника одинаковы, – потому что, против равных углов в одном и том же треугольнике лежат, равные стороны.
Применения
57. Без транспортира построить угол в 60°. В 30°. В 15°. В 120°. В 75°.
Р е ш е н и е. Строим равносторонний треугольник произвольных размеров; каждый его угол = 60°. Разделив угол этого треугольника пополам, получим угол в 30°. Разделив еще раз пополам, будем иметь угол в 15°. Угол в 120° = 90° + 30°. Угол в 75° =60° + 15° = 90° – 15°.
§ 52. Катет против угла в 30°
Предварительное упражнение
Равносторонний треугольник разбит равноделящей одного из углов на два треугольника. Определить их углы.
уг. D= 60°; а так как и уг. ABD= 60°, то треугольник ABD– равносторонний, и следовательно, AD= АВ. Но АС = 1/2 АD (почему?); отсюда АС = 1/2 АВ.
Итак, мы убедились, что
к а т е т п р о т и в у г л а в 30° р а в е н п о л о в и н е г и п о т е н у з ы.
Применения
58. Лестница длиною 6 м приставлена к фонарному столбу под углом 30° к нему (черт 148). Каково расстояние от основания лестницы до основания фонаря?
Р е ш е н и е. Так как катет против 30° равен половине гипотенузы, то искомое расстояние = 3 м.
59. Длина стропильной ноги АС (черт. 137) вдвое больше высоты ADстропильной фермы. Определить угол наклона этой кровли к горизонту.
Р е ш е н и е. Искомый угол СAD = 30°, так как только при таком условии CD равно половине АС.
Пусть у нас имеется прямоугольный треугольник (черт. 146) ABC, один угол которого, именно В, равен 30°. Перегнем мысленно треугольник по катету ВС. Тогда займет положение ВСD (черт. 147), при чем CD составит продолжение АС, потому что уг. ВСD + ВСА = развернутому. Уг. СВD = уг. ABC= 30°; значит, уг. А = 60°;
§ 53. Неравные стороны и углы
Мы знаем, что если в треугольнике есть равные стороны, то углы, лежащие против них, тоже равны. Рассмотрим теперь, каково соотношение между сторонами и углами в случае н е р а в н ы х сторон.
Предварительное упражнение
В фигуре черт. 149 укажите какой угол больше: уг. 1 или у г. 2?
В фигуре черт. 151 АВ = AD. Какой угол больше; уг. С или у г. 1?
Покажем, что в
т р е у г о л ь н и к е с н е р а в н ы м и с т о р о н а м и п р о т и в б о л ь ш е й с т о р о н ы л е ж и т б о л ь ш и й у г о л. Пусть в треугольнике АВС (черт. 150) сторона АС больше «стороны АВ. Отложим от вершины образуемого ими угла меньшую сторону АВ на большей АС получим точку D. Соединив Dс В, имеем равнобедренный треугольник ABD, в котором угол 1 = уг. 2. Угол С меньше угла 1, а значить, подавно меньше угла. ABC. Таким образом мы убеждаемся, что против большей стороны [АС] лежит больший угол [ABC].
Нетрудно удостовериться, что и обратно: если в треугольнике имеются неравные углы, то
п р о т и в б о л ь ш е г о у г л а л е ж и т б о л ь ш а я с т о р о н а.
Пусть мы знаем, что в треугольнике (черт. 151) ABC уг. А больше угла С. Тогда сторона ВС не может быть равна АВ: иначе уг. А равнялся бы углу С; не может сторона ВС быть и м е н ь ш е: АВ – тогда уг. А был бы м е н ь ш е угла С (а мы знаем, что уг. А б о л ь ш е уг. С). Не равен и не меньше, значит – больше.
Применения
60. Что больше: гипотенуза или катет?
Р е ш е н и е. Гипотенуза, как сторона, лежащая против самого большого угла треугольника, длиннее каждого катета.
61. Угол при вершине равнобедренного треугольника = 70°. Что длиннее: основание или боковая сторона?
Р е ш е н и е. Углы при основании равны (180°-70°) / 2 = 65°.
Так как угол прш вершине больше, то основание больше боковых сторон.
Повторительные вопросы к §§ 48–53
Каково соотношение между углами треугольника, две стороны которого равны? – каково соотношение между сторонами треугольника, имеющего два равных угла? – Каковы соотношения в треугольнике с неравными сторонами? – С нерав-нымиуглами? – Какой треугольник называется равнобедренным? – Какая сторона такого треугольника называется боковой? – Какая называется основанием? – Как называется треугольник, имеющий два равных угла? – Сколько градусов в угле, опирающемся на диаметр? – Какой треугольник называется прямоугольным? – Что называется гипотенузой? – Катетами? – По каким признакам можно установить равенство прямоугольных треугольников? – Какой треугольник называется равносторонним? – Как велики его углы? – Каково соотношение между гипотенузой и катетом, лежащим против угла в 1/3 прямого?
§ 54. Перпендикуляр, наклонная, проекция
Если из точки проведен к прямой перпендикуляр, – например, CD (черт. 152), то точка D называется
о с н о в а н и е м п е р п е н д и к у л я р а. Всякая другая линия, проведенная через точку С к прямой А В, встречает ее не под прямым углом (почему?) и называется наклонной; например, СЕ, CF – наклонные. Точки Е, F – о с н о в а н и я наклонных.
Расстояния DE, DF от основания перпендикуляра до оснований наклонных называются проекциями этих наклонных: DE – проекция наклонной СЕ, a DF – проекция наклонной CF.
Рассмотрим некоторые соотношения между перпендикуляром, наклонными и их проекциями.
1) Перпендикуляр короче каждой наклонной, проведенной к той же прямой из той же точки. Например, CD на черт. 152 короче, чем CF и чем СЕ, потому что катет короче гипотенузы. Перпендикуляр есть поэтому самое короткое расстояние от точки до прямой. Когда говорят о расстоянии точки от какой-нибудь прямой, то имеют в виду именно к р а т ч а й ш е е расстояние,
т. е. п е р п е н д и к у л я р из точки на эту прямую.
2) Если из какой-нибудь точки проведены к прямой две наклонные о д и н а к о в о й длины, – напр., АВ и АС на черт. 153, то проекции этих наклонных р а в н ы. В самом деле: треугольники ABD и ACD имеют общий катет AD, равные гипотенузы АВ и АС и кроме того, уг. B= уг. С (§ 52); поэтому они равны (СУС), и значит, катет ОВ = катету DC.
3) Обратно: если равны проекции двух наклонных, проведенных к прямой из одной точки, то эти наклонные имеют одинаковую длину. Если бы на черт. 153 нам не было известно, что наклонные АВ и АС равны, но взамен этого мы знали бы, что BD= DC, то установили бы равенство АВ и АС из равенства прямоугольных треугольников ADB и ADC(СУС).
§ 55. Следствие предыдущего параграфа
Сейчас мы установили, что при равных проекциях наклонные равны. Отсюда вытекает важное свойство перпендикуляра, проведенного через середину стороны. А именно: если через середину С отрезка АВ (черт. 154) проведена перпендикулярно к нему прямая EF, то каждая точка этого перпендикуляра удалена от концов отрезка одинаково. Например, точка М одинаково отстоит от точек А и В. Это следует из того, что проекции ВС и АС наклонных MB и МА равны, – значит, равны и наклонные. Точно также равны расстояния NА и NB. Вообще
к а ж д а я т о ч к а п е р п е н д и к у л я р а, п р о в е д е н н о г о ч е р е з с е р е д и н у о т р е з к а, о д и н а к о в о
у д а л е н а о т к о н ц о в э т о г о о т р е з к а.
Другое следствие § 54 дает нам полезный признак равенства прямоугольных треугольников:
п р я м о у г о л ь н ы е т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о г и п о т е н у з е и к а т е т у.
Чтобы убедиться в этом, приложим друг к другу сравниваемые треугольники равными катетами (черт. 136). Тогда гипотенузы, как равные наклонные, должны иметь равные проекции, т. е. другие катеты этих треугольников должны быть равны. Значит, треугольники равны (ССС).
Повторительные вопросы к §§ 54–55
Покажите на чертеже, что называется наклонной линией, основанием перпендикуляра, основанием наклонной, проекцией. – Что длиннее: перпендикуляр или наклонная? – Что называется расстоянием от точки до прямой линии? – Каково соотношение между длиною наклонных в случае равенства проекций? – Каким свойством обладает прямая, проведенная перпендикулярно к отрезку через его середину? – Перечислите все известные вам признаки равенства прямоугольных треугольников.
Применения
62. Извилистый ручей протекает между двумя селениями. Как разыскать все места ручья, одинаково ударенные от обоих селений?
Р е ш е н и е. Соединив селения прямой линией, провешивают через ее середину перпендикуляр. Все точки пересечения этого перпендикуляра с ручьем и будут искомые.
63. Где надо поместить фонарь внутри треугольного участка, чтобы все углы «его были освещены одинаково?
Р е ш е н и е. Искомая точка должна быть одинаково удалена от всех вершин треугольника. Сначала найдем все те точки, которые одинаково отстоят от двух вершин: для этого проведем перпендикуляр через середину одной. стороны треугольника. Затем проведем перпендикуляр через середину другой стороны: на нем расположены все точки, равноудаленные от двух других вершин. Искомая точка лежит на пересечении обоих перпендикуляров.
§ 56. Средняя линия треугольника
Предварительное упражнение
В треугольнике АВС (черт. 155) точка Dесть середина А В, а прямая EFпараллельна АВ. Докажите: 1) что треугольник FCE= треугольнику DBE; 2) что фигура ADEF– параллелограмм.
Средней линией треугольника называется прямая, соединяющая середины двух его сторон (DEна черт. 155). Этот отрезок обладает следующими свойствами:
с р е д н я я л и н и я т р е у г о л ь н и к а п а р а л л е л ь н а п р о т и в о л е ж а щ е й с т о р о н е и р а в н а е е
п о л о в и н е.
Удостоверимся в этом. Пусть в треугольнике АBС (черт 155) прямая DE соединяет середины сторон; покажем, что она параллельна стороне АС и равна ее половине. Для этого через точку Е проведем EF параллельно АВ. Треугольники DBE и FEC равны (почему?), поэтому уг. 1 = уг. 2, и значит, DE параллельно АС; кроме того DE = FCA так как четырехугольник ADEF есть параллелограмм (почему?), то
DE = AF. Итак, DE = FC = AF = ? AC.
§ 57. Деление отрезка на равные части
Мы умеем с помощью циркуля и линейки делить отрезок только на 2, на 4, на 8 и т. д. число равных частей (§ 21). Укажем теперь способ делить отрезок на любое число равных частей.
Пусть потребуется отрезок АВ (черт. 156) разделить на 5 равных частей. Проведем от одного конца этого отрезка, например, от В, под произвольным углом прямую ВС. На этой прямой отложи от конца В пять раз какой-нибудь отрезок; получим точки 1, 2, 3, 4, 5. Последнюю точку 5 соединим с концом А данного отрезка и ч через точ-ки1, 2, 3, 4 проведем прямые, параллельные прямой A5. Можно указать, что эти прямые разделят отрезок АB на 5 равных частей в точках I, II, III, IV.
Для доказательства проведем через точки I, II, III,IV прямые, параллельные ВC (черт. 157). Получим треугольники В1I, ICII, IIDIII, IIIЕIV, IVFА, у которых В—I, I–II, II–III, III–IV, IV—A равны между собою (потому что каждая из них, кроме 1–1, равна противоположной стороне параллелограмма, а В-1, В-2, 2–3, 3–4, 4–5 равны друг другу). Из равенства же указанных треугольников (СУС) вытекает равенство отрезков B-I, 1-11, II–III, III–IV, IV–V.
Применения
Н о н и у с. Ш т а н г е н ц и р к у л ь
Умея делить прямолинейные отрезки на любое число частей, можно изготовить приспособление, полезное для точных измерений – так называемый «нониус».
Для примера рассмотрим следующий простейший нониус. Полоску AВ (масштаб, черт. 158) длиною в 9 см разделим на 10 равных частей; по 0,9 см каждая; получим полоску CD(нониус). Пусть теперь требуется измерить длину небольшого предмета М. Прикладываем его к полоскам АВ и CD, как показывает черт. 159, и замечаем, какие деления обеих полосок совпадают. Предположим, что совпали 6-е деления. Это показывает, что длина предмета равна разнице между 6-ю делениями масштаба ПАВ и 6-ю делениями нониуса. Но 6 делений полоски АВ = 6 см, а 6 делений нониуса = 6 0,9 = 5,4 см. Следовательно, длина предмета равна 6 – 5,4 = 0,6 см. Вообще, длина измеряемого предмета равна стольким десятым долям деления масштаба, сколько единиц в совпадающих делениях масштаба и нониуса.
Если бы мы для изготовления нониуса взяли не 9 сантиметров, а 9 миллиметров, и разделили их общую длину на 10 равных частей, то разность между одним делением масштаба и одним делением нониуса равнялась бы 0,01 см. Следовательно, помощью такого нониуса мы могли бы измерять мелкие предметы с точностью до 0,1 миллиметра.
Нониус обычно применяется в форме так наз. «штангенциркуля», употребляемого для точного измерения мелких предметов. Иногда нониусом снабжается и «микрометр» – инструмент для точного измерения толщины.
Сходным образом может быть устроен нониус для точного измерения дуг. Если 9 градусных делений разделить на 10 частей, то так устроенный нониус позволит измерять дуги с точностью до 0,1 градуса, т. е. до 6.
64. На черт. 160 показано, как можно воспользоваться метром, чтобы разделить ширину доски на равные части. На чем этот способ основан?
Р е ш е н и е. Мы имеем в этом случае ряд параллельных прямых, проведенных через равноудаленные друг от друга точки одной стороны угла; они должны отсечь от другой стороны угла (т. е. от края доски) равные отрезки.
65. Середины сторон прямоугольника с диагональю 10 см последовательно соединены прямыми линиями. Найти обвод образовавшегося четырехугольника.
Р е ш е н и е. Каждая сторона этого четырехугольника равна половине диагонали (как линия, соединяющая середину двух сторон треугольника), т. е. 5 см. Значит обвод четырехугольника = 20 см.
§ 58. Средняя линия трапеции
Предварительные упражнения
На черт. 161 прямые АВ и CD параллельны. Прямая KLпроведена через середину О отрезка EF. Докажите, что треугольники КОЕ и FOL равны.
В четырехугольнике AFED (черт. 155) сторона AF-DEи параллельна ей. Докажите, что этот четырехугольник есть параллелограмм.
С р е д н е й л и н и е й трапеции называется прямая, соединяющая середины ее непараллельных сторон (черт. 162). Этот отрезок обладает следующим свойством:
с р е д н я я л и н и я т р а п е ц и и р а в н а п о л у с у м м е е е о с н о в а н и й.
Удостовериться в этом можно так. Пусть в трапеции ABCD (черт. 163) прямая EF есть средняя линия, т. е. соединяет середины непараллельных сторон АВ и DC. Проведем через точку F прямую, параллельную АВ и продолжим AD до пересечения с сейчас проведенной линией. Треугольники FDM и FNCравны (УСУ), следовательно, MD = NC. Четырехугольник EBNF есть параллелограмм (EB= l/2AB; FN = 1/2MN; AB-=MN; значит, ЕВ равно и параллельно FN и т. д.); поэтому EF= BN. Точно так же EF= AM. Зная это, пишем:
а откуда:
EF = BC + AD/2
Мы убедились, что во всякой трапеции средняя линия равна полусумме ее оснований. Вспомнив, что площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на ее высоту, мы можем высказать следующим образом правило вычисления площади трапеции:
п л о щ а д ь т р а п е ц и и р а в н а е е с р е д н е й л и н и и, у м н о ж е н н о й н а в ы с о т у.
Повторительные вопросы к §§ 57 и 58
Что называется средней линией треугольника? – Каким свойством она обладает? – Как разделить данный отрезок на несколько равных частей? – Начертите какой-нибудь отрезок и разделите его на 3 равные части. – Разделите взятый вами отрезок на 7 равных частей. – Что называется средней линией трапеции? – Каким свойством она обладает? – Как можно вычислить площадь трапеции, если известны ее высота и средняя линии?
Применения
66. Фигура АВCD (черт. 164) ограничена прямой AD, двумя перпендикулярами АВ и CDи кривой ВС. Чтобы определить ее площадь, отрезок ADразделен на 5 равных частей, и из середины этих отрезков 1, 2, 3, 4, 5 восстановлены перпендикуляры к AD. Длина отрезка AD= 80 см; длины перпендикуляров: в точке 1 – 28 см, в 2 – 31 см, в.3 – 31,5 см, в 4 -32 см, в 5 – 34 см. Найти площадь АВСD.
Р е ш е н и е. Площадь первой слева полосы = 28 16 = = 448 кв. см, второй – 31 16 = = 496 кв. см, третьей – 31,5 16 = = 504кв. см, четвертой – 32 16 = 512 кв. см, пятой – 34 16 = 544 кв. см. Искомая площадь = 2 500 кв. см.