Одна из реконструкций доказательства теоремы Пифагора, принадлежащего Лю Хуэю и восстановленного на базе текстовых указаний в его книге, представляет собой хитроумное и необычное рассечение. Собственно прямоугольный треугольник, о котором идет речь, показан на рисунке черным. Квадрат, построенный на одном из его катетов (светло-серый), рассечен надвое диагональю. Квадрат, построенный на другом катете, разрезан на пять частей: один маленький квадратик (темно-серый), пара симметрично расположенных треугольников (средне-серых) тех же формы и размера, что и первоначальный прямоугольный треугольник, и пара симметрично расположенных треугольников (белых), заполняющих оставшееся место. После этого все семь кусочков собираются воедино и образуют квадрат на гипотенузе.
Для доказательства этой теоремы могут быть использованы и другие рассечения, попроще.
Древнекитайские математики были нисколько не слабее своих греческих современников, и развитие китайской математики после периода Лю Хуэя видело множество открытий, опередивших появление тех же достижений в европейской математике. К примеру, оценки числа π, полученные Лю Хуэем и Цзу Чунчжи, европейцам удалось превзойти лишь 1000 лет спустя.
Джозеф проверяет, не могли ли некоторые идеи китайских математиков попасть с купцами и торговыми караванами в Индию и Аравию, а затем, возможно, даже в Европу. Если так, то позднейшие достижения, когда европейцы заново открывали математические законы, вполне возможно, не были совершенно независимыми. В Индии в VI в. были китайские дипломаты, и китайские переводы индийских математических и астрономических трактатов сделаны в VII в. Что же до Аравии, то пророк Мухаммед выпустил хадис – изречение с религиозным смыслом, – в котором говорилось: «Ищите знание, даже если до него далеко, как до Китая». В XIV в. арабские путешественники сообщали о прочных торговых связях с Китаем, а марокканский путешественник и ученый Мухаммад ибн Баттута написал о китайских научных и технических достижениях, а также о китайской культуре в книге «Рила» – «Путешествия».
Мы знаем, что идеи из Индии и Аравии проникали в средневековую Европу, о чем говорится в двух следующих главах. Поэтому вполне возможно, что в Европу проникали в какой-то мере и китайские знания. Присутствие иезуитов в Китае в XVII и XVIII вв. отчасти через Конфуция вдохновило философию Лейбница. Можно предположить, что существовала сложная сеть, посредством которой математика, физика и многое другое циркулировало между Грецией, Ближним Востоком, Индией и Китаем. Если это так, то традиционная история западной математики, возможно, нуждается в определенном пересмотре.
3. Dixit Algorismi. Мухаммад аль-Хорезми
После смерти пророка Мухаммеда в 632 г. власть над исламским миром перешла к сменявшим друг друга халифам. В принципе, халифов избирали за их достоинства, так что система правления в халифате не была в строгом смысле монархией. Однако халиф обладал всей полнотой власти. К 654 г., при третьем халифе Усмане, халифат стал крупнейшей в истории империей. Его территория (в терминах современной географии) включала Аравийский полуостров, Северную Африку от Египта через Ливию до восточной части Туниса, Левант, Кавказ и значительную часть Средней Азии, от Ирана через Пакистан и Афганистан до Туркмении.
Первые четыре халифа считаются праведными (рашидун); их сменила династия Омейядов, на смену которой, в свою очередь, пришла династия Аббасидов, которые свергли Омейядов с помощью персов. Центр власти, находившийся первоначально в Дамаске, переместился в Багдад – город, основанный халифом аль-Мансуром в 762 г. Его расположение вблизи от границ Персии отчасти диктовалось необходимостью прибегать к услугам персидских управленцев, понимавших, как взаимодействуют между собой разные области Исламской империи. Был создан пост визиря, позволивший халифу передать другому человеку административную ответственность: визирь, в свою очередь, поручал решение местных вопросов региональным эмирам. Постепенно халиф превратился в номинального главу государства, а реальная власть сосредоточилась в руках визиря, но первые халифы династии Аббасидов пользовались значительной властью.
Примерно в 800 г. Гарун аль-Рашид основал «Байт аль-хикма», или «Дом мудрости», – академию, в которой письменные труды из других культур переводились на арабский язык. Его сын аль-Мамун довел проект отца до логического завершения – собрал в Байт аль-хикма огромную коллекцию греческих рукописей и пригласил многих известных ученых. Багдад, ставший центром науки и торговли, привлекал купцов и ученых мужей даже из таких отдаленных мест, как Китай и Индия. Среди них был и Мухаммад ибн Мусса аль-Хорезми – ключевая фигура в истории математики.
Аль-Хорезми родился в Хорезме или где-то неподалеку от него; Хорезм – это город в Средней Азии, современная Хива в Узбекистане. Главные работы аль-Хорезми относятся ко времени правления аль-Мамуна; он участвовал в сохранении и развитии тех знаний, которые тогда стремительно теряла Европа. Он переводил ключевые рукописи с греческого и санскрита, делал собственные открытия в физике, математике, астрономии и географии и написал серию книг, которые мы сегодня назвали бы научными бестселлерами. Название книги «Об индийском счете», написанной около 825 г., было переведено на латынь как Algoritmi de Numero Indorum; в то время это был практически единственный трактат, распространявший по всей Европе новость, о поразительном способе проведения арифметических расчетов. По пути Algoritmi превратились в Algorismi, и методы расчета с применением десятичных чисел получили название алгоризмов. В XVIII в. это слово изменилось и приобрело сегодняшнюю форму – алгоритм.
Его книгу «Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джебр ва-ль-мукабала» («Краткая книга об исчислении алгебры и аль-мукабалы»), написанную около 830 г., Роберт Честерский в XII в. перевел на латынь с названием Liber Algebrae et Almucabola. В результате аль-джебр, латинизированное до algebra, стало самостоятельным словом. Теперь оно означает использование таких символов, как x и y, для неизвестных величин, а также методы отыскания этих неизвестных путем решения уравнений, но в самой книге никакие символы не используются.
«Алгебра» была написана, когда халиф аль-Мамун предложил аль-Хорезми написать популярную книгу о вычислениях. Сам автор описывает ее цель так:
…здесь содержится простейшее и полезнейшее в арифметике, постоянно необходимое людям в случаях наследования, завещаний, раздела имущества, судебных тяжб и торговли и в любых сделках друг с другом или когда речь идет об измерении земель, рытье каналов, геометрических расчетах и других вещей разных сортов и типов.
Все это не слишком похоже на книгу по алгебре. И правда, непосредственно алгебра занимает в ней лишь небольшую часть. Аль-Хорезми начинает с объяснения чисел в очень простых выражениях – единицы, десятки, сотни – на том основании, что «когда я думаю о том, в чем люди обычно нуждаются при расчетах, я понимаю, что это всегда число». Вообще, это не ученый трактат для мужей науки, но популярная математическая книга, практически учебник, который пытается не только информировать, но и обучать обычных читателей. Именно этого хотел халиф, и именно это он получил. Аль-Хорезми не рассматривал свою книгу как результат работы на переднем крае исследовательской математики. Но мы сегодня именно так смотрим на ту ее часть, которая посвящена аль-джебре. Это самый глубокий раздел книги: систематическое развитие методов решения уравнений с некоторой неизвестной величиной.
Собственно термин «аль-джебр», который обычно переводят как «дополнение», относится к приему добавления одного и того же слагаемого к обеим частям уравнения с целью его упрощения. «Аль-мукабала», или «уравновешивание», относится к переносу одного из слагаемых с одной стороны уравнения на другую сторону (но с противоположным знаком) и к сокращению подобных членов в обеих частях уравнения.
К примеру, если уравнение в современной символьной записи выглядит как
x – 3 = 7,
то аль-джебра разрешает нам добавить по 3 к обеим сторонам уравнения и получить
x = 10,
что в данном случае решает уравнение. Если уравнение выглядит как
2x2 + x + 6 = x2 + 18,
то аль-мукабала позволяет нам перенести 6 с левой стороны уравнения на правую, только со знаком минус, и получить
2x2 + x = x2 + 12.
Вторая аль-мукабала позволяет нам перенести x2 из правой части уравнения в левую и вычесть уже его, получив
x2 + x = 12,
что проще, но еще не дает решение уравнения.
Я повторю, что аль-Хорезми не использует никаких символов. Отец алгебры на самом деле не делал ничего из того, что сегодня большинство из нас считает алгеброй. Он все описывал словами. Конкретные числа были единицами, неизвестная величина, которую мы называем x, называлась у него корнем, а наш x2 назывался квадратом. Приведенное уравнение в этих терминах выглядело бы так:
квадрат плюс корень равно двенадцать единиц,
и без всяких символов. Так что следующая задача – объяснить, как от уравнения подобного типа перейти к ответу. Аль-Хорезми подразделяет уравнения на шесть типов, причем типичный случай представляет собой «квадраты и корни равняются числам», то есть что-то вроде x2 + x = 12.
Затем он переходит к анализу каждого типа уравнений по очереди, причем решает их с использованием смеси алгебраических и геометрических методов. Так, чтобы решить уравнение